文档内容
第3课时 定理与证明 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1.理解公理、定理与证明的概念，掌握常用的数学公理．
2.经历实际情境，初步体会公理化思想和方法．
3.通过证明命题，感受证明的必要性及数学的严谨性，提升演绎推理和语言表达能
力。
【学习过程】
任务一：公理、定理及证明的概念
1.自主学习教材P184-185页有关内容，完成以下探究问题，并与同伴交流。
（1） ________________叫做公理．除了公理外，其它命题的真假都需要____的方法
进行判断．
（2） ________________的过程称为证明．经过证明的________称为定理．每个定理
都只能用_____、_____、和已经证明为_____的命题来证明．
（3）本套教科书选用九条基本事实（本教材的公理）作为证明的出发点和依据，我们
已经认识了其中的八条：
①________________________________________ ；
② ________________________________________；
③_________________________________________；
④__________________________________________；
⑤__________________________________________；
⑥__________________________________________；
⑦__________________________________________；
⑧__________________________________________.
另外一条基本事实（公理）我们将在后面的学习中认识它．
（4） 数与式的运算律和运算_____、等式的有关_______，以及反映大小关系的有关
性质（也作为公理）都可以作为______的依据．例如，如果 a=b，b=c，那么
_________，这一性质称为“等量代换” ．
【即时测评】
1.“两条直线相交成直角，就叫做两直线相互垂直”这个句子是（ ）
A.定义 B.命题 C.公理 D.定理
12.某工程队在修建高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明这
样能缩短路程（ ）
A.直线公理：两点确定一条直线
B.线段最短的公理：两点之间的所有连线中，线段最短
C.平行公理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行
D.直线公理和线段最短公理
评价任务一
得分：
任务二： 运用公理证明定理
活动2 从公理出发，就可以证明已经探索过的结论了。例如，我们可以证明下面的定
理：
定理：同角(等角)的补角相等
定理：同角(等角)的余角相等
定理：对顶角相等
定理：三角形的任意两边之和大于第三边
例题 证明对顶角相等
问题1：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
问题2：你能说说证明的思路吗？
由上面的例题，我们可以得到定理：对顶角相等
问题3：证明时，每一步过程最终可以凭借的数学知识种类是什么？这是一种什么数学
思想方法？
问题4：尝试总结：证明一个命题的一般步骤。
①已知：写出命题的 （必要时结合图形）；
2②求证：写出命题的 ；
③证明：写出演绎推理的 ．
D
【即时测评】
1
3．证明“同角的补角相等” 3
A 2 O B
已知：直线AB与直线CD相交于点O，
∠2与∠3分别是∠1的补角. C
求证：∠2=∠3.
证明：∵∠1+∠2=180° ， ∠1+∠3=180° （ ） 的定义
∴∠2=180°-∠1 ， ∠3=180°-∠1 （ ） 的性质
∴∠2=∠3 （ ）
（1）写出上面证明过程中每一步的根据。
（2）如果把同角改成等角，你会有什么发现？如果把补角变成余角，你又有什么发
现？
评价任务二
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
1．“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）
A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题
2．下列命题中，属于定义的是（ ）
A、两点确定一条直线 B、同角的余角相等
C、两直线平行，内错角相等 D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长
度
3．如图，AB∥CD，∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E．填空：
3∵AB∥CD，
∴∠BAC+① ＝180°．
∵AE平分∠BAC．
1
∴∠1= ② ．
2
∵CE平分∠ACD．
1
∴∠2= ③ ．
2
∴∠1+∠2＝④ °．
∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝⑤ °．
∴AE⑥ CE．
请 用 文 字 语 言 将 以 上 证 明 的 条 件 和 结 论 归 纳 为 一 个 真 命 题 ： ⑦
．
4．如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③AB∥DE；④BE＝CF．请你从中选三个作为题设，余下的一
个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．
解：我写的真命题是：
已知： ；
求证： ．（注：不能只填序号）
证明如下：
4参考答案
即时测评：
1. A
2.D
3.（1）平角、等式、等量代换（2）等角的补角相等，等角的余角相等
当堂训练
1.B
2.D
3.∠ACD；∠BAC；∠ACD；90；90；⊥；两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角
的平分线互相垂直．
4.①②④；③．
证明如下：
∵BE＝FC，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝FE，
在△ABC和△DEF中
{AB=DE
AC=DF，
BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE．
5
