文档内容
1.1.1 探索勾股定理（第 1 课时） 导学案
(1)理解并掌握勾股定理的内容，会在直角三角形中运用勾股定理求第三边，形成勾股定理的应用意识；
(2)经历探索勾股定理的过程，了解先猜想后验证的数学定理学习方法和从特殊到一般的数学定理验证方法；
(3)会利用面积法（割补法/拼图法）验证勾股定理，体会数形结合的思想方法，提高推理能力。
重点：探索勾股定理的过程，理解并掌握勾股定理的内容，在直角三角形中运用勾股定理求第三边。
难点：利用数格子和表格从特殊情况入手总结出勾股定理。
温故知新（自学）
(1)等腰三角形中的边角关系有哪些？ (2)直角三角形中的边角关系有哪些？
∠A+∠B+∠C=90°，∠B=∠C
AB=AC
AB=AC ⇄ ∠B=∠C
新知探究（一） 等腰直角三角形三条边长之间的关系（自学）
问题1.图案中的两个小正方形的面积和一个大正方形的面积有什么关系？
答：两个小正方形的面积和等于大正方形的面积。
问题2.根据问题1的结论，请你分析等腰直角三角形的三边的边长平方之间的
关系？（同桌交流）
答：图中等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
新知探究（二） 归纳勾股定理——直角三角形三条边长之间的关系（合作）
拿出准备好的方格纸（每个小方格代表1个单位面积），在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，分
别测量它们的三条边长，并填入后面表格。看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流。
问题1.分别求出图1中正方形A、B、C的面积
正方形A的面积是 9 ，正方形B的面积是 9 ，正方形C的面积是 1 8
.
问题2.用什么方法求出的A、B、C的面积？
A、B：数格子（3×3=9个）；C：①数格子（不满一格按半格算)；
②割：分割成4个等腰直角三角形（S =4× ×3×3=18）；
正方形C
③补：补成一个6×6的大正方形（S = ×6×6=18）
正方形C
问题3.分别求出图2中的正方形（A、B、C）的面积；
正方形A的面积是 4 ，正方形B的面积是 4 ，正方形C的面积是 8 .问题3.按照上述方法求出图3和图4中正方形的面积，
并在小组内讨论正方形C的面积是怎样得出的？
图3：正方形A的面积是 4 ，正方形B的面积是 9
，正方形C的面积是 1 3 .
图4：正方形A的面积是 1 6 ，正方形B的面积是 9
，正方形C的面积是 2 5 .
完成表格：
直角三角形 A的面 S ，S ，S 之间的关系
a b B的面积 C的面积 A B C
积
3 9 3 9 18 9+9=18
2 4 2 4 8 4+4=8
2 4 3 9 13 4+9=13
4 16 3 9 25 16+9=25
a2 b2 c2 S +S =S ，a2+b2=c2
A B C
问题4.通过以上观察分析，三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？和直角三角形的三边有什么关系？
答：S + S = S ；以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面
A B C
积
问题5.如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面猜想的数量关系还成立吗？
说明你的理由.
答：成立；∵2.4=0.8×3，1.6=0.8×2，32×22=13；∴0.82×32+0.82×22=0.82×13（不唯一）
问题6.从上面的分析中，归纳直角三角形三边长度之间存在什么关系？
答：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方：a2+b2=c2；
归纳总结
1.直角三角形中 较短的直角边 称为勾， 较长的直角边 称为股， 斜边 称为弦。
2.直角三角形 两直角边的平方和 等于 斜边的平方 。如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边
为c，那么 a 2 +b 2 =c 2 ，即表示为：Rt△ABC中，∠C= 90° , 则a2+b2=c2.
应用新知
例1.应用勾股定理求导入问题中的消防梯的长度解：因为62+82=100=102，所以建消防梯长10m
例2.求出图中直角三角形第三边的长度.
（1） （2）
解：（1）由勾股定理，得152+x2=172，所以x2=64，所以x=8.
（2）由勾股定理，得x2=32+42+52，所以x2=169，所以x=13.
（一）P3随堂练习1、2题
（二）题型总结
题型一.勾股定理与等面积法求三角形一边上的高
例1.已知∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4.求CD的长.
解：因为∠ACB=90°，AC=3，BC=4，所以AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.
根据三角形的面积公式， AC·BC= AB·CD，所以CD= .
变式1.（求等腰三角形的面积）如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△ABC的面积．解：作AD⊥BC于D，在等腰△ABC中，因为AB=AC=13，BC=10，所以BD=CD=5，所以AD2=AB2-BD2 =132-52
=144，AD=12，所以S = BC•AD= ×10×12=60．
△ABC
题型二. 应用勾股定理和方程思想求边长
例2.如图，在 中， ， ，垂足为D．已知 ， ．设 长为x．
(1)根据勾股定理，得 ．（用含x的代数式表示，结果需化简）
(2)求x的值．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 长为x，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ．
变式2-1.如图，在 中， ，点 在 边上，若 ， ，且 ，
求 的长．解：设 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
再 中， ，根据勾股定理可知， ，
即 ，
解得 ，
∴ ．
变式2-2.如图，在 中， ，D为AC上一点，若 是 的角平分
线，则 ．
解：如图，过点D作 的垂线，垂足为P，
在 中，∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ，
设 ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：5．
题型三. 应用勾股定理和方程解折叠问题
例3.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 ， ，现将 折叠，使点 与点 重
合．折痕为 ，则 的长为 ．
解：由折叠得， ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
即 ，
故答案为： ．
变式3.如图，三角形纸片 ， ，将纸片沿过点C的直线折叠，使点A落在边 上点D处，再
折叠纸片使点B与点D重合，折痕交 于点E．若 ， ，则 的长为 ．【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．由折叠的性质可证得 是直角三角形，得到 ，
设 ，则 ，利用勾股定理列式计算即可求解．
解：由折叠可得 ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
设 ，则 ，
由勾股定理得 ，即 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
1.（2024·四川·中考真题）如图， 中， ， ， ，折叠 ，
使点A与点B重合，折痕 与 交于点D，与 交于点E，则 的长为 ．解：由折叠的性质，得 ，
设 ，则 ，
由勾股定理，得 ，
∴ ，
解得 .
故答案为：3．
2.（2024·江苏常州·中考真题）如图，在 中， ， ， ，
D是边 的中点，E是边 上一点，连接 ．将 沿 翻折，点C落在
上的点F处，则 ．
解：∵ ， ， ，D是边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵将 沿 翻折，点C落在 上的点F处，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则： ，
在 中，由勾股定理，得： ，解得： ；
∴ ；
故答案为： ．
