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1.1.1 探索勾股定理（第 1 课时） 导学案
（1）经历面积法证明勾股定理的不同方法的学习过程，体会数形结合的思想方法，提高推理能力；
（2）熟练运用勾股定理解直角三角形，会利用勾股定理解决实际问题，形成勾股定理的应用意识。
重点：理解勾股定理的不同证明方法，能利用勾股定理解决实际问题。
难点：利用面积法（割补法/拼图法）证明勾股定理。
温故知新（自学）
(1)勾股定理： 直角三角形 两直角边的平方和 等于 斜边的平方 。如图，Rt△ABC中，∠C=90°，则 a 2 + b 2 = c 2 .
(2)完全平方公式： ( a + b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 ； ( a - b ) 2 = a 2 -2 ab + b 2
新知探究（一） 探索勾股定理——验证（证明）勾股定理（问题启发+自学）
问题1.设直角三角形的三边长为a、b、c，分别以三条边的长度为边长向外作正方
形，联系上节课的学习内容，你能对其中的大正方形进行分割或补形么？怎么做的？
方法一：补形法
问题2.你有多少方法，用a、b、c表示出大正方形ABCD的面积？（教师提示：先将所有三角形和正方形
的面积用a、b、c的关系式表示出来）
答：大正方形ABCD的面积表示：①4× ab+c2，②(a+b)2，
问题3.如何用上面的两个式子验证勾股定理？
答 ： 正 方 形 C 的 面 积 表 示 ： ① S =c2， ② S =S - S =(a+b)2-
正方形 C 正方形 C 大正方形 4 个三角形
ab×4=a2+b2+2ab-2ab=a2+b2.所以a2+b2=c2.（勾股定理得证）
方法二：分割法
问题4.根据上面的验证过程，你能在图1-6中验证勾股定理么？
答：小正方形ABCD的面积表示：①(b-a)2，②c2-4× ab；
正方形C的面积表示：S =S + S =(a+b)2- ab×4=a2+b2+2ab-2ab=a2+b2.
正方形C 小正方形 4个三角形
所以a2+b2=c2.（勾股定理得证）
问题5.你还有其它方法来证明勾股定理么？
方法三：拼图法（毕达哥拉斯证法）
问题6.如图，正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和一个正方形拼成，你能用两种不同的方式表示出
正方形ABCD的面积么？
答：①S =(a+b)2，②S =4× ab+c2；
正方形ABCD 正方形ABCD
根据面积相等列式：(a+b)2 =4× ab+c2；
根据完全平方公式变形：a2+2ab+b2 =2ab+c2；
最后可得：a2+b2=c2.（勾股定理得证）
新知探究（二） 三角形三边的平方的关系（小组讨论）
问题1.钝角三角形和锐角三角形是否满足勾股定理？（提示：三边是否满足a2+b2=c2.）
答：不一定
问题2.用数格子的方法，判断图中三角形的三边是否满足a2+b2=c2.师生归纳结论：
直角三角形 钝角三角形 锐角三角形
a2+b2<c2 a2+b2<c2
a2+b2=c2
应用新知——勾股定理验证：
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，请你尝试用这一图验证勾股定理，并说明它与方法一、方法二
的联系.
答：因为S = (a+b)(a+b)= (a2+b2+2ab)，S = ab+ ab+ c2= (2ab+c2)，
梯形 梯形
所以a2+b2=c2.
例题（教材P5）：在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400 m处侦察，发现一
辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400m；过了10s，测得汽车与他相距
500 m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10 s的平均速度吗?
问题：你能根据题意画出图形吗?在你画的图形中存在一个怎样的三角形?
答：根据题意，可以画出图1-9，其中点A表示王叔叔所在位置，点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位
置。由于王叔叔距离公路400m，因此∠C是直角，三角形ABC为直角三角形。
解：由勾股定理，可得AB2= BC2 +AC2 ，也就是5002=BC2+4002，所以BC=300.
敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为300×6×60=108 000(m),即它行驶的速度为108 km/h.题型一. 在勾股树图中寻求图形面积之间的关系
例1.如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S ，S ，S ，若S+S+S=16，
1 2 3 1 2 3
则S 的值为（ B ）
1
A.7 B.8 C.9 D.10
方法点拨：以直角三角形三边为基础向外作正方形，等腰三角形或半圆，都能形成简单的勾股图，对于勾
股图都有相同的结论，即S=S+S （S 是以斜边为基础向外作的图形的面积，S 和S 分别是以直角边基础
1 2 3 1 2 3
向外所作图形的面积.
变式1-1.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正
方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 8 ，正方形F的面积是 5 ，正方形G
的面积是 1 3 ．
解题过程： 正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，
正方形A，B的面积和为8，正方形C，D的面积和为5，
由勾股定理得，正方形 的面积为8，正方形 的面积为5，
继续应用勾股定理，得正方形 的面积为13，
故答案为：8，5，13．变式1-2.如图，以 的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为 ，若 ，
则 的值为 4 5
答案：45
解题过程：依题意，由勾股定理得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：45．
变式1-3.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S= π，S=2π，试求出S
1 2 3
的面积.
解：如图，由圆的面积公式，得S= π( )2= π，S= π( )2=2π，所以c2=25，a2=16.
1 2
根据勾股定理，得b2=c2-a2=9.所以S= π( )2= πb2= π.
3
题型二. 勾股定理证明（寻求图形面积之间的关系）例2.在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；
乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出
的构图方案，可以证明勾股定理的是（ ）
A．甲 B．乙
C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以
答案：C
解题过程：甲同学的方案：
由题意得等腰三角形的直角三角形；
梯形的面积 直角三角形的面积 等腰三角形的面积，
，
整理得 ，
因此甲同学的方案可以证明勾股定理．
乙同学的方案：
大正方形的面积 小正方形的面积 直角三角形的面积 ，
，
，
，
因此乙同学的方案可以证明勾股定理；
故选：C．
例3.如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中
间的空白部分组成．若正方形 的边长为5，五边形 的面积是36，则图中空白部分的面积是
．解：∵正方形 的边长为5，
∴正方形 的面积 ，
∴两个全等的直角三角形的面积=五边形 的面积-正方形 的面积 ，
∴图中空白部分的面积=正方形 的面积-两个全等的直角三角形的面积 ，
故答案为： ．
题型三.勾股定理的应用——构造直角三角形解决问题
（课本P6随堂练习）例4.如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接
M,O,Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5000万元/km,该沿江高速公路的建设成
本预计是多少?
解：由勾股定理，可得MO2=MN2+NO2，即MO2=302+402=502，
∴MO=50km，同理可得OQ2=OP2+PQ2=502+1202=1302，
∴OQ=130km
∴该沿江高速公路的造价预计是5000×(50+130)=900000（万元）
变式4.某条道路限速 ，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检
测仪A正下方 的B处，过了 ，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离 为 ．
(1)求 的长；
(2)这辆小汽车超速了吗？
（1）解：根据题意，得 ， ,由勾股定理，得 ，
∴ ，
故 的长为 ．
（2）解： ，
∵ ，
∴这辆小汽车未超速．
拓展提升
1.如图①，在 中， ， ，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行
下面的操作：由两个小正方形分别向外作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形
的直角边为边长作正方形，图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形， ，按此规律，如果图
①中直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ．
分析：本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，图形类规律探索，根据题意找出一般规律是解题关键．
根据题意设 ， ，由勾股定理的得到 ，再结合周长得到三边长，分别计算出图①、
图②和图③的面积，得出 次操作后图形中所有正方形的面积和为 ，即可求解．
解： ，
设 ， ，
，
，
图①中直角三角形的周长为12，
，
，
， ， ，图①中所有正方形的面积和为 ，且直角三角形两直角边向外作的小正方形面积
之和等于斜边向外作的小正方形面积，
1次操作后，图②中所有正方形的面积和为 ，
2次操作后图③中所有正方形的面积和为 ，
……
观察发现， 次操作后图形中所有正方形的面积和为 ，
10次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ，
故答案为： ．
2.用下面的图形验证勾股定理
解：如图，S =a2+b2+2× ab，S =c2+2× ab，
多边形ABCDEF 多边形A′B′C′D′E′F′
∵S =S ，
多边形ABCDEF 多边形A′B′C′D′E′F′
∴a2+b2+2× ab=c2+2× ab，
∴a2+b2=c2.（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一
个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得
到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到
的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有
正方形的面积和为 ．
分析：本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别计
算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解．
解：图①中，∵ ，
根据勾股定理得， ，
∴图①中所有正方形面积和为： ，
图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：
，
图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：
，
⋯
∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ，
∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ，
故答案为：48．
