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思维突破 / 六年级 / 秋季
第 1 讲 比比皆是
例题练习题答案
例1 【答案】老师有260人，学生有1170人
2 : 9
【解析】已 知 老 师 和 学 生 的 人 数 比 为 ， 可 求 出 他 们 的 体 检 费 总 数 比 为
(2 ×3) : (9 ×2) = 1 : 3 3120 ÷(1 +3) = 780
．那么老师花的体检费是 （元），
780 ×3 = 2340
学 生 花 的 体 检 费 是 （ 元 ） ． 进 而 可 求 出 老 师 有
780 ÷3 = 260 2340 ÷2 = 1170
（人），学生有 （人）．
练1 【答案】77辆
25 : 18
【解析】可 求 出 收 取 大 、 小 客 车 的 过 路 费 之 比 是 ， 大 客 车 总 收 费 是
602 ÷(25 +18)×25 = 350
（ 元 ） ， 小 客 车 总 收 费 是
602 ÷(25 +18)×18 = 252 350 ÷10 = 35
（元）．大客车有 （辆），小客车有
252 ÷6 = 42 35 +42 = 77
（辆），共有客车 （辆）．
例2 【答案】巧克力糖420块，水果糖600块
7 : 10
【解析】巧 克 力 糖 与 水 果 糖 的 总 块 数 之 比 是 ， 那 么 袋 数 比 是
(7 ÷6) : (10 ÷15) = 7 : 4
． 由 此 可 知 巧 克 力 糖 有
30 ÷(7 −4)×7 = 70 30 ÷(7 −4)×4 = 40
（袋），水果糖有 （袋）．巧克力糖
70 ×6 = 420 40 ×15 = 600
有 （块），水果糖有 （块）．
练2 【答案】180支
(3 ÷9) : (7 ÷6) = 2 : 7
【解析】可求出玫瑰花与康乃馨的花束数之比 ．玫 瑰 花 有
50 ÷(7 −2)×2 = 20 20 ×9 = 180
（束），共 （支）．
例3 【答案】26辆
6:4:3
【解析】车辆数=总重量÷载重量，由此可知三种卡车的辆数之比是 ．那么一共雇了
6 ÷(6 −3)×(6 +4 +3) = 26
（辆）卡车．
练3 【答案】25天
(4 ÷1) : (5 ÷2) : (9 ÷3) = 8 : 5 : 6
【解析】大洋、二洋和三洋喝饮料的天数比是 ，二洋喝
10 ÷(8 −6)×5 = 25
了 （天）．
5 : 9
例4 【答案】
【解析】如图所示，表格中所填均为份数，不是具体的人数．练4 【答案】1400人
150 ÷(7 −4)×28 = 1400
【解析】如图所示．该厂共有职工 （人）．
5
挑战极 【答案】
16
限1 5 : 4
【解析】由甲、乙两校获奖总人数之比为 ，知获奖总人数是9的倍数，又根据条件（2），可
知获奖总人数是4的倍数．那么可设为36份．然后可根据条件填出其它．
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 1 讲 比比皆是
自我巩固答案
1 【答案】A
5 : 2
【解析】可知所有苹果和所有梨的重量比是 ．一共2.8千克，说明苹果一共重
2.8÷(5 +2)×5 = 2 2 ÷5 = 0.4
（千克），梨重0.8千克．那么一个苹果重 （千
克）．
2 【答案】2
(4 ×20) : (3 ×21) = 80 : 63
【解析】圆珠笔和铅笔的总价之比是 ．可求出买圆珠笔一共花了
71.5÷(80 +63)×80 = 40
（元），买铅笔一共花了31.5元．那么一支圆珠笔
40 ÷20 = 2
（元）．3 【答案】24
(24 ×10) : (5 ×5) = 48 : 5
【解析】篮球和毽子的总价之比是 ．可求出买篮球一共花了
265 ÷(48 +5)×48 = 240
（ 元 ） ， 买 毽 子 一 共 花 了 25 元 ． 一 个 篮 球
240 ÷10 = 24
（元）．
4 【答案】21
18
7 4
【解析】 : = 7 : 6 3 ÷(7 −6)×7 = 21
男生和女生的人数之比是 ，那么男生有 （人），
3 2
21 −3 = 18
女生有 （人）．
5 【答案】10
(2 ×5) : (5 ×3) = 10 : 15 = 2 : 3
【解析】男生和女生的人数之比是 ，那么男生有
5 ÷(3 −2)×2 = 10
（人）．
6 【答案】4
2 : 6 : 15 46 ÷(2 +6 +15)×2 = 4
【解析】三人花的钱数之比是 ，那么刘备花了 （个）铜
钱．
7 【答案】36
18 : 15 : 20
【解析】三 种 鸡 蛋 的 价 钱 之 比 是 ， 那 么 小 高 买 柴 鸡 蛋 花 了
106 ÷(18 +15 +20)×18 = 36
（元）．
8 【答案】230
10 ÷(7 −6)×23 = 230
【解析】设该工厂一共有职工23份，列表分析，一共有 （人）．
9 【答案】105
10 ÷(6 −4)×21 = 105
【解析】设五年级一共有学生21份，列表分析，一共有 （人）．
10 【答案】48 : 3
【解析】可知所有大象和所有河马的重量比是 ．一共11吨，说明大象一共重
11 ÷(8 +3)×8 = 8 8 ÷2 = 4
（吨），河马一共重3吨．那么一头大象重 （吨）．
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 1 讲 比比皆是
课堂落实答案
1 【答案】0.6
2 【答案】0.6
3 【答案】5
4 【答案】24
5 【答案】4
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 2 讲 僧多粥少
例题练习题答案
例1 【答案】（1）成正比；（2）不成比例；（3）成反比；（4）成反比；（5）不成比例；（6）成
正比
【解析】根据正比例、反比例概念进行分析判断．
练1 【答案】（1）成正比；（2）成反比；（3）不成比例；（4）成反比；（5）不成比例
【解析】根据正比例、反比例概念进行分析判断．
4 : 5 2 : 3 6 : 3 : 2
例2 【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）每瓶可乐价钱相同，钱数与瓶数成正比；（2）路程一定，时间和速度成反比；
（3）路程一定，时间和速度成反比，小高、墨莫和卡莉娅三人所用时间比为
40 : 80 : 120 = 1 : 2 : 3 6 : 3 : 2
，所行路程相同，可设为6份，由此可得速度比为 ．
8 : 7 6 : 4 : 3
练2 【答案】（1） ；（2）
10.5 : 12 = 7 : 8 8 : 7
【解析】（1）小高和墨莫用的时间比是 ，那么速度比是 ；（ 2 ） 设 这 件 工 程 的 工 作 量 为 12 份 ， 那 么 三 人 完 成 工 程 所 用 的 时 间 比 为
12 12 12
: : = 6 : 4 : 3
．
2 3 4
例3 【答案】60元
【解析】卡莉娅所带的钱数一定，因此所购买苹果的单价与数量成反比．打折前、后的单价比为
5 : 4 4 : 5
， 则 数 量 比 为 ， “1” 份 对 应 的 是 3 斤 ， 打 折 前 可 购 买
3 ÷(5 −4)×4 = 12
（ 斤 ） ， 打 折 后 可 购 买 15 斤 ， 妈 妈 给 了 卡 莉 娅
12 ×5 = 60
（元）．
练3 【答案】2240元
40 : 35 = 8 : 7
【解析】总租车费不变，每人应付车费和人数成反比．前、后应付车费之比是 ，
7 : 8 8 ÷(8 −7)×7 = 56
那么人数之比为 ．由此可知原来有 （人），后来变成64
40 ×56 = 2240
人．总租车费为 （元）．
例4 【答案】甲700个，乙600个，丙525个
28 : 24 : 21
【解析】工作量相同，时间与效率成反比．那么可以求出三个人的效率之比是 ．甲应
1825 ÷(28 +24 +21)×28 = 700
加工的零件是 （个），乙应加工的零件是
1825 ÷(28 +24 +21)×24 = 600
（ 个 ） ， 丙 应 加 工 的 零 件 是
1825 ÷(28 +24 +21)×21 = 525
（个）．
练4 【答案】甲厂36台，乙厂24台，丙厂18台
【解析】工作量相同，时间与效率成反比．那么可以求出甲厂、乙厂、丙厂的效率之比是
6 : 4 : 3 78 ÷(6 +4 +3)×6 = 36
．甲厂应生产的拖拉机是 （台），乙厂应生产的
78 ÷(6 +4 +3)×4 = 24
拖 拉 机 是 （ 台 ） ， 丙 厂 应 生 产 的 拖 拉 机 是
78 ÷(6 +4 +3)×3 = 18
（台）．
挑战极 【答案】8点30分45秒
2 : 3 2 : 3
限1 【解析】前一半时间与后一半时间的效率比是 ，所以工作量之比也是 ．前一半时间完成
216个，后一半时间完成324个，共用时54分．又知道9点的时候完成了243个，从一半时
1 1
2 29
间处到上午9点生产了27个零件，用时 分．那么开始工作的时间在9点之前 分，
4 4
即8点30分45秒开始工作．
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 2 讲 僧多粥少自我巩固答案
1 【答案】A
【解析】路程一定，速度与时间成反比．
2 【答案】B
【解析】时间相同，路程与速度成正比．
3 【答案】B
60 60 60
【解析】 : : = 6 : 3 : 2
设这件工程的工作量为60份，那么三人的效率比为 ．
10 20 30
4 【答案】C
15 15 15
【解析】 : : = 5 : 10 : 3
单价=总价÷数量，所以三种水果的单价比为 ．
3 1.5 5
5 【答案】2
【解析】（1）工作时间=工作总量÷工作效率，商一定，工作总量与工作效率成正比；
（2）长方形面积=长×宽，乘积一定，长与宽成反比；
（3）总页数=已经看完的页数+没有看的页数，两者为和的关系，不成比例；
（4）总价=单价×数量，乘积一定，单价与数量成反比；
综上分析，（2）、（4）成反比例关系，所以有2组．
6 【答案】0
【解析】（1）路程=速度×时间，乘积一定，速度与时间成反比；
（2）三角形面积×2=底×高，乘积一定，底和高成反比；
（3）电池总电量=用电量+待机时间×单位待机时间耗电量，两者不成比例；
（4）水池形状不确定，进水量与水深不成正比例；
综上分析，有0组．
7 【答案】2
【解析】（1）正方形周长÷边长=4，商一定，两者成正比，正确；
（2）没有说路程一定，错误；
S ÷r2 =π
（3） ，商一定，所以成正比，正确；
（4）获奖人数+未获奖人数=总人数，不成比例，错误；
所以，有2句是对的．
8 【答案】4
V ÷a = a2
【解析】（1） ，商变化，不成比例，错误；
（2）没有说数量一定，且数量一定，总价与单价成正比，错误；
（3）没有说水流速度一定，错误；
（4）两者不成比例，错误；所以，有4句错误．
9 【答案】21
3.5 : 3 = 7 : 6
【解析】小高所带的钱数一定，所以单价和数量成反比．降价前、后单价比为 ，所
6 : 7
以数量比为 ，由此可知降价前、后分别可以买6瓶和7瓶，所以爸爸给了小高
3 ×7 = 21
（元）．
10 【答案】10
2 : 2.5 = 4 : 5
【解析】小高所带的钱数一定，所以单价和数量成反比．提价前、后单价比为 ，所
5 : 4
以数量比为 ，由此可知提价前、后分别可以买5支和4支，所以小高一共拿了
2 ×5 = 10
（元）．
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第 2 讲 僧多粥少
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】A
3 【答案】1
4 【答案】1
5 【答案】30
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 3 讲 会变速的自行车
例题练习题答案
2 : 3
例1 【答案】
3 : 2 2 : 3
【解析】两齿轮咬合，圈数与齿数成反比．圈数比是 ，那么齿数比是 ．
练1 【答案】16圈
4 : 5 5 : 4
【解析】两齿轮咬合，圈数与齿数成反比．齿数比是 ，那么圈数比是 ．A转20圈时，B转
20 ÷5 ×4 = 16
（圈）．
50 : 70 : 49
例2 【答案】【解析】相互咬合的齿轮，它们的齿数与圈数成反比．A、B两个齿轮它们的圈数比为 7 : 5 ，齿数
比为 5 : 7 ，B、C两个齿轮它们的圈数比为 7 : 10 ，齿数比为 10 : 7 ，由此可得A、B、C
50 : 70 : 49
三个齿轮的齿数比为 ．
练2 【答案】30圈
3 : 4 : 5
【解析】三个齿轮的齿数之比为 ，设转过的长度为60份，由此可得圈数比为
20 : 15 : 12 ． A 、 C 两 个 齿 轮 一 共 转 动 64 圈 ， 由 此 可 求 出 1 份 对 应
64 ÷(20 +12) = 2 （圈），B齿轮一共转动了 15 ×2 = 30 （圈）．
例3 【答案】100米
3
【解析】
设步行的时间为5份，骑车所用的时间比步行时间少 ，则骑车所用的时间为2份．骑车与
5
2 : 5 5 : 2
步行的时间比为 ，则速度比为 ．又知骑车比步行每分钟快150米，则1份为
150 ÷(5 −2) = 50 50 ×2 = 100
（米/分），步行速度为 （米/分）．
练3 【答案】18天
9 : 7 7 : 9
【解析】甲、乙的工作效率之比是 ．完成同一件工程，两人所需的时间之比是 ．那么乙
4 ÷(9 −7)×9 = 18
单独完成需要 （天）．
例4 【答案】84小时
【解析】首先可以明确每台机器的效率一样，机器越多则效率越高．从第一个条件可知，完成相同
8 : 7 7 : 8
的工作量，增加机器前、后的时间比为 ，则效率比为 ．机器的台数与效率成正
7 : 8
比，因此台数比也为 ，2台机器对应一份，实际上有14台机器．如果减少2台的话，
14 : 12 7 : 6 7 : 6 6 : 7
还剩下12台机器．台数比为 ，即 ，那么效率比也为 ，时间比为 ，1
小时对应一份，减少前用时6小时，即完成这件工程14台机器需工作6小时，则1台机器需
工作84小时．
练4 【答案】120小时
6 : 5
【解析】从第一个条件可知，完成相同的工作量，增加机器前、后的时间比为 ，则效率比为
5 : 6 5 : 6
．机器的台数与效率成正比，因此台数比也为 ，3台机器对应一份，实际上有15
15 : 12 5 : 4
台机器．如果减少3台的话，还剩下12台机器．台数比为 ，即 ，那么效率比
5 : 4 4 : 5
也为 ，时间比为 ，2小时对应一份，减少前用时8小时，即完成这件工程15台机
器需工作8小时，则1台机器需工作120小时．
挑战极 【答案】35天
2 : 5 5 : 2
限1 【解析】甲和乙的工作时间之比是 ，效率比是 ．那么“他们一起做”和“甲单独做”的
7 : 5 5 : 7
效率之比就是 ，做完这件工作所用的时间之比就是 ．2份对应4天，甲单独做需
4 ÷2 ×7 = 14 14 ÷2 ×5 = 35
要 （天）．乙单独做需要的时间就是 （天）．思维突破 / 六年级 / 秋季
第 3 讲 会变速的自行车
自我巩固答案
1 【答案】B
3 : 6 = 1 : 2 2 : 1
【解析】两齿轮咬合，圈数与齿数成反比．A、B圈数比是 ，那么齿数比是 ．
2 【答案】A
12 : 10 = 6 : 5 5 : 6
【解析】两齿轮咬合，圈数与齿数成反比．A、B圈数比是 ，那么齿数比是 ．
3 【答案】C
2 : 3 3 : 2
【解析】两齿轮咬合，圈数与齿数成反比．A、B圈数比是 ，那么齿数比是 ；B、C圈数比
4 : 5 5 : 4 15 : 10 : 8
是 ，那么齿数比是 ；统一份数后为 ．
4 【答案】C
3 : 5 5 : 3
【解析】两齿轮咬合，圈数与齿数成反比．A、B圈数比是 ，那么齿数比是 ；B、C圈数比
6 : 4 = 3 : 2 2 : 3 10 : 6 : 9
是 ，那么齿数比是 ；统一份数后为 ．
5 【答案】10
2 : 1 1 : 2
【解析】甲、乙的工效之比为 ．完成同一件工程，两人所需的时间比是 ，那么乙单独完
5 ÷(2 −1)×2 = 10
成工程需要用 （天）．
6 【答案】21
7
【解析】 : 1 = 7 : 5 5 : 7
甲、乙的工效之比为 ．完成同一个零件，两人所需的时间比是 ，那么
5
6 ÷(7 −5)×7 = 21
乙单独加工一个零件需要用 （时）．
7 【答案】1080
2 : 1.2 = 5 : 3 3 : 5
【解析】小东上、下学的速度比为 ．走同一段路，所以时间比为 ，上学时间
24 ÷(5 +3)×3 = 9 9 ×60 ×2 = 1080
为 （分），则距离为 （米）．
8 【答案】30
20 : 60 = 1 : 3 3 : 1
【解析】小高上、下班的速度比为 ．走同一段路，所以时间比为 ，上班时间
2 ÷(3 +1)×3 = 1.5 20 ×1.5 = 30
为 （时），则距离为 （千米）．
9 【答案】600
20 : 15 = 4 : 3 3 : 4
【解析】人数变化前、后每人应付车费比为 ．总车费不变，所以人数比为 ，
10 ÷(4 −3)×4 = 40 40 ×15 = 600
后来人数为 （人），则总租车费为 （元）．
10 【答案】302.5 : 2 = 5 : 4 4 : 5
【解析】文具店促销活动前、后单价比为 ．总价没变，所以数量比为 ，则后
3 ÷(5 −4)×5 = 15 15 ×2 = 30
来买了 （支），则总共花了 （元）．
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 3 讲 会变速的自行车
课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】B
3 【答案】12
4 【答案】1080
5 【答案】750
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 4 讲 千变万化的“X”
例题练习题答案
例1 【答案】16
【解析】上底与下底的长度比为 1 : 2 ，设△OCD面积是1份，则△AOD与△BOC的面积均为2份，
△ABO的面积为4份，共有9份，梯形面积为36，故一份所对应的面积为4．则△ABO的面
积为16．
练1 【答案】27平方厘米
1 : 3 1 : 3 : 3 : 9
【解析】上底与下底之比为 ．由沙漏模型可知四个三角形的面积之比是 ，那么阴
48 ÷(1 +3 +3 +9)×9 = 27
影部分的面积是 （平方厘米）．
例2 【答案】33
【解析】连接DE，由沙漏模型可知， BE : CD = BO : OD = EO : OC = 2 : 3 ，设△OBE
的面积为4份，则△OBC和△ODE的面积为6份，△OCD的面积为9份，△ADE与△DBE为等高
三角形，所以△ADE的面积为5份，因此整个平行四边形的面积为30份，总面积为90，则
11 ×3 = 33
一份对应的面积为3，阴影部分占了11份，面积为 ．练2 【答案】12
【解析】连接DE，由沙漏模型可知， BE : AD = BO : OD = EO : OA = 1 : 2 ，设△OBE
的面积为1份，则△OBA和△ODE的面积为2份，△AOD的面积为4份，△CDE与△DBE为等高
三角形，所以△CDE的面积为3份，因此整个正方形的面积为12份，总面积为
6 ×6 = 36 ，则一份对应的面积为3，△AOD的面积为 3 ×4 = 12 ．
例3 【答案】45平方厘米
GF : BE = 12 : 20 = 3 : 5 GO : OE = 3 : 5
【解析】由条件知， ，由沙漏模型知 ，那么
5
△GOF与△EOF的面积之比也是 3 : 5 ．△OEF的面积是△EFG的面积的 ，△OEF的面积为
8
5
12 ×12 ÷2 × = 45
（平方厘米）．
8
400
练3 【答案】
13
【解析】由沙漏模型知， AH : HG = AD : BG = 10 : 16 = 5 : 8 ，那么△ABH与△BGH的
5
面积之比也是 5 : 8 ，△ABH的面积是△ABG的面 积 的 ． △ABH的 面 积 是
13
5 400
10 ×16 ÷2 × =
．
13 13
例4 【答案】10平方厘米
1
【解析】 BE : AD = 1 : 2 BG : GD = 1 : 2 BG = BD
由条件知， ，则 ， ．同理，
3
1
DF : AB = 1 : 2 DH : HB = 1 : 2 DH = BD
， 则 ， ． 由 此 可 得 ，
3
1
GH = BD BG : GH : HD = 1 : 1 : 1
， ． 阴 影 部 分 面 积 为
3
60 ÷2 ÷3 = 10
（平方厘米）．
练4 【答案】15平方厘米
1
BE : AD = 1 : 3 BG : GD = 1 : 3 BG = BD
【解析】由条件知， ，则 ， ．同理，
4
1
DF : AB = 1 : 3 DH : HB = 1 : 3 DH = BD
， 则 ， ． 由 此 可 得 ，
41
GH = BD BG : GH : HD = 1 : 2 : 1
， ． 阴 影 部 分 的 面 积 为
2
60 ÷2 ÷2 = 15
（平方厘米）．
挑战极 【答案】17.25
限1 【解析】如图所示，延长AF与BC的延长线交于G点．因为F点是中点，可以将△CFG看成是△ADF绕
点F旋转180°得到的，所以有AD与CG的长度相同．注意沙漏形ADOEG，
S OD 3
AD : EG = 3 : 5 ． 连 结 AE ， 可 知 △AOD = = ，
S OE 5
△AOE
5
S
△AOE
=
8
×S
△ADE
= 11.25 ．又可以求出△ABE的面积是6，那么阴影部分的面积
就是17.25．
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 4 讲 千变万化的“X”
自我巩固答案
1 【答案】18
2 : 3 4 : 6 : 6 : 9
【解析】上底与下底的长度比为 ，由沙漏模型可知四个三角形的面积比是 ，那么
50 ÷(4 +6 +6 +9)×9 = 18
阴影部分的面积是 ．
2 【答案】3
ΔDOC ΔBOA 1 : 4 ΔDOC
【解析】由沙漏模型知， 和 的面积比为 ，所以 的面积为
12 ÷4 ×1 = 3
．
3 【答案】A
【解析】连接DE，由沙漏模型可知， BE : AD = BO : OD = EO : OA = 1 : 3 ，设△OBE
的面积为1份，则△OBA和△ODE的面积为3份，△AOD的面积为9份，△CDE与△DBE为等高
三角形，所以△CDE的面积为8份，因此整个正方形的面积为24份，总面积为
6 ×6 = 36 ， 则 一 份 对 应 的 面 积 为 36 ÷24 = 1.5 ， △ AOD 的 面 积 为
1.5×9 = 13.5
．4 【答案】C
【解析】连接DE，由沙漏模型可知， BE : AD = BO : OD = EO : OA = 2 : 5 ，设△OBE
的面积为4份，则△OBA和△ODE的面积为10份，△AOD的面积为25份，△CDE与△DBE为
等高三角形，所以△CDE的面积为21份，因此整个长方形的面积为70份，总面积为
2
4 ×5 = 20 （平方厘米），则一份对应的面积为 平方厘米，△BOE的面积为
7
2 8
×4 =
（平方厘米）．
7 7
5 【答案】A
【解析】连接EC，由沙漏模型可知， AE : BC = AF : FC = EF : FB = 2 : 3 ，设△AEF
的面积为4份，则△ABF和△EFC的面积为6份，△BFC的面积为9份，△CDE与△CEA为等高三
角形，所以△CDE的面积为5份，因此整个平行四边形的面积为30份，总面积为12，则一
0.4×11 = 4.4
份对应的面积为0.4，阴影部分的面积为 ．
6 【答案】A
【解析】连接DE，由沙漏模型可知， BE : AD = BO : OD = EO : OA = 1 : 3 ，设△BOE
的面积为1份，则△ABO和△DEO的面积为3份，△AOD的面积为9份，△CDE与△BDE为等高
三角形，所以△CDE的面积为8份，因此整个正方形的面积为24份，总面积为
6 ×6 = 36 ，则一份对应的面积为 36 ÷24 = 1.5 ，四边形OECD的 面 积 为
33
1.5×11 =
．
27 【答案】19.2
ΔADH ΔBHG DH : BH = AD : BG = 8 : 12 = 2 : 3
【解析】 和 为沙漏模型，所以 ，
ΔADH ΔABH 2 : 3
那 么 和 的 面 积 之 比 也 为 ， 所 以 阴 影 部 分 的 面 积 为
3
8 ×8 ÷2 × = 19.2
．
3 +2
8 【答案】B
ΔADH ΔBHG DH : BH = AD : BG = 8 : 12 = 2 : 3
【解析】 和 为沙漏模型，所以 ，
ΔADH ΔABH 2 : 3 ΔADH
那 么 和 的 面 积 之 比 也 为 ， 所 以 面 积 为
2
8 ×8 ÷2 × = 12.8 ΔBHG 12.8÷4 ×9 = 28.8
， 的面积为 ．
3 +2
9 【答案】6
AO : OC = AB : CD = 1 : 2 OC = 3 ÷1 ×2 = 6
【解析】由沙漏模型可知， ，所以 ．
10 【答案】8
AO : OC = AB : CD = 3 : 4 OC = 6 ÷3 ×4 = 8
【解析】由沙漏模型可知， ，所以 ．
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 4 讲 千变万化的“X”
课堂落实答案
1 【答案】12
2 【答案】20
3 【答案】150
4 【答案】11
5 【答案】11.25
思维突破 / 六年级 / 秋季第 5 讲 阿基米德的墓碑
例题练习题答案
例1 【答案】125.6平方米
【解析】注 意 抹 水 泥 部 分 的 面 积 是 圆 柱 的 侧 面 加 上 一 个 底 面 的 面 积 ．
π ×42 +2 ×π ×4 ×3 = 40π = 125.6
（平方米），抹水泥部分的面积是125.6平方
米．
练1 【答案】2512平方厘米
2 ×π ×102 +2 ×π ×10 ×30 = 800π = 2512
【解析】需要铁皮的面积为 （平方厘米）．
例2 【答案】6280立方厘米
20 ÷2 = 10
【解析】可知圆柱的底面半径是 （厘米），高是20厘米．原来木桩的体积是
π ×102 ×20 = 2000π = 6280
（立方厘米）．
练2 【答案】25.12
π ×22 ×2 = 8π = 25.12
【解析】圆柱的体积是 ．
例3 【答案】9立方米
6 2
【解析】 π ×( ) ×3 = 9
以3米为高，6米为底面周长，围成一个圆柱体，体积为 （立方
2π
米 ） ． 以 6 米 为 高 ， 3 米 为 底 面 周 长 ， 围 成 一 个 圆 柱 体 ， 体 积 为
3 2
π ×( ) ×6 = 4.5
（立方米）．所以容积最大是9立方米．
2π
练3 【答案】72立方厘米
【解析】以 12 厘 米 为 高 ， 6 厘 米 为 底 面 周 长 ， 围 成 一 个 圆 柱 形 筒 ， 体 积 为
2
6
π ×( ) ×12 = 36
（立方厘米）．以6厘米为高，12厘米为底面周长，围成一个
2π
2
12
π ×( ) ×6 = 72
圆柱形筒，体积为 （立方厘米）．所以容积最大是72立方厘
2π
米．
例4 【答案】37.68，50.24
【解析】旋转后得到的立体图形是圆锥．以长为4的直角边为轴旋转一周得到的圆锥的底面半径是
1
×π ×32 ×4 = 12π = 37.68
3，高为4，体积是 ．以长为3的直角边为轴旋转一周
3
1
×π ×42 ×3 = 16π = 50.24
得到的圆锥的底面半径是4，高是3，体积是 ．
3
练4 【答案】188.4
1
【解析】 ×π ×62 ×5 = 60π = 188.4
圆锥的体积是 ．
3
8 : 9
【答案】挑战极 【解析】按图1所示的方式旋转，最后会得到一个圆柱，底面半径为2，高为4．体积为
4π ×4 = 16π
限1 ．按图2所示的方式旋转，最后会得到一个类似陀螺的旋转体．如果从中间
劈成两半，会得到两个相同的圆锥．圆锥的底面半径是3，高也是3．这个旋转体的体积是
1
2 × ×9π ×3 = 18π 16π : 18π = 8 : 9
，所以两个旋转体的体积比为 ．
3
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 5 讲 阿基米德的墓碑
自我巩固答案
1 【答案】376.8
1
【解析】 ×π ×62 ×10 = 376.8
圆锥的体积为 （立方厘米）．
3
2 【答案】251.2
π ×22 ×20 = 251.2
【解析】圆柱的体积为 （立方厘米）．
3 【答案】251.2
12.56÷3.14÷2 = 2
【解析】圆 柱 底 面 半 径 为 （ 厘 米 ） ， 所 以 圆 柱 的 体 积 为
π ×22 ×20 = 251.2
（立方厘米）．
4 【答案】1884
20 ÷2 = 10 π ×102 +π ×20 ×25 = 1884
【解析】圆柱半径为 （厘米），需要面积为 （平
方厘米）的铁皮．
5 【答案】1256
π ×102 ×2 +π ×10 ×2 ×10 = 1256
【解析】需要铁皮的面积为 （平方厘米）．
6 【答案】4
314 ÷(3.14×52) = 4
【解析】圆柱的高为 （厘米）．
7 【答案】10
628 ÷10 ÷2 ÷π = 10
【解析】底面半径是 （厘米）．
8 【答案】18
6 ÷3 ÷2 = 1 π ×12 ×6 = 18
【解析】圆柱底面半径为 （分米），所以圆柱的体积为 （立方
分米）．
9 【答案】3
1
【解析】 ×32 = 3
，所以圆锥体积是圆柱体积的3倍．
310 【答案】24
4 ×2 ×3 = 24
【解析】 ，所以圆柱体积是圆锥体积的24倍．
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 5 讲 阿基米德的墓碑
课堂落实答案
1 【答案】94.2
2 【答案】31.4
3 【答案】12.56
4 【答案】5
5 【答案】12
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 6 讲 乌鸦怎么才能喝到水
例题练习题答案
例1 【答案】100.48立方厘米
【解析】瓶子的容积是水的体积和瓶中空气的体积之和．在左图中，水的形状是圆柱形，可求出体
π ×22 ×6 = 24π
积是 （立方厘米）．在右图中，空气的形状也是圆柱形，可求出体积
π ×22 ×2 = 8π 24π +8π = 32π = 100.48
是 （立方厘米）．那么瓶子的容积是 （立
方厘米）．
练1 【答案】565.2立方厘米
π ×32 ×16 +π ×32 ×4 = 180π = 565.2
【解析】瓶子的容积是 （立方厘米）．
例2 【答案】0.628立方米
【解析】上升的水的体积，就是石头的体积，正好是一个底面半径为2米，高为5厘米的圆柱形的体
π ×22 ×0.05 = 0.628
积． （立方米）．
练2 【答案】1厘米
3.14×102 = 314
【解析】水 池 的 底 面 积 是 （ 平 方 米 ） ． 那 么 水 面 上 升 的 高 度 是
3.14÷314 = 0.01
（米），即1厘米．例3 【答案】6分米
【解析】根据题意可知一定不会浸没．放入前、后水的形状有变化．之前是一个底面积为
20 ×8 = 160 160 −60 = 100
（平方分米）的长方体，之后是一个底面积为 （平方分
米）的柱体．注意到水的体积没有发生变化，那么可以求出后来水的高度是
160 ×10 ÷100 = 16 16 −10 = 6
（分米）．水面上升了 （分米）．
练3 【答案】8厘米
π ×62 = 36π
【解析】水 之 前 的 底 面 积 是 （ 平 方 厘 米 ） ， 之 后 的 底 面 积 是
36π −π ×42 = 20π
（ 平 方 厘 米 ） ． 那 么 可 以 求 出 后 来 水 的 高 度 是
36π ×10 ÷20π = 18 18 −10 = 8
（厘米），上升了 （厘米）．
例4 【答案】5分米
【解析】根据题意可知一定不会浸没．放入前、后水的形状有变化．之前是一个底面积为
20 ×8 = 160 160 −60 = 100
（平方分米）的长方体，之后是一个底面积为 （平方分
米）的柱体．注意到水的体积没有发生变化，那么可以求出后来水的高度是
160 ×10 ÷100 = 16
（分米）．但注意到水池的高度只有15分米，所以水的高度上升
15 −10 = 5
到15分米后就不会再上升了．最后上升了 （分米）．
练4 【答案】6厘米
π ×62 = 36π
【解析】水 之 前 的 底 面 积 是 （ 平 方 厘 米 ） ， 之 后 的 底 面 积 是
36π −π ×42 = 20π
（ 平 方 厘 米 ） ． 那 么 可 以 求 出 后 来 水 的 高 度 是
36π ×15 ÷2 ÷20π = 13.5 13.5−7.5 = 6
（厘米），上升了 （厘米）．
挑战极 【答案】21厘米
限1 【解析】由于圆柱体的高度已知，只要求出圆锥体的高度即可．可设圆锥体的高为x厘米，由于正
放 和 倒 放 时 ， 空 白 部 分 的 体 积 是 相 同 的 ， 可 列 方 程 ：
1
×π ×62 ×x+(11 −x)×π ×62 = 5 ×π ×62 x = 9
，解得： ．容器的高为
3
9 +12 = 21
（厘米）．
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 6 讲 乌鸦怎么才能喝到水
自我巩固答案
1 【答案】A
【解析】瓶子的容积是水的体积和瓶中空气的体积之和．所以瓶子的容积为：π ×12 ×5 +π ×12 ×(7 −6) = 18.84
（立方厘米）．
2 【答案】B
【解析】瓶子的容积是水的体积和瓶中空气的体积之和．所以瓶子的容积为：
π ×12 ×4 +π ×12 ×(6 −5) = 15.7
（立方厘米）．
3 【答案】C
【解析】上升水的体积，就是石头的体积，正好是一个底面半径为4米，高10厘米的圆柱形的体
π ×42 ×0.1 = 5.024
积． （立方米）．
4 【答案】B
【解析】上升水的体积，就是石头的体积，正好是一个底面半径为2米，高0.2米的圆柱形的体积．
π ×22 ×0.2 = 2.512
（立方米）．
5 【答案】4
3.14÷(3.14×52) = 0.04
【解析】水面上升的高度为 （米），即4厘米．
6 【答案】2
6.28÷(3.14×102) = 0.02
【解析】水面上升的高度为 （米），即2厘米．
7 【答案】2
【解析】根据题意可知一定不会浸没．放入前、后水的形状有变化．之前是一个底面积为
20 ×12 = 240 240 −40 = 200
（平方分米）的长方体，之后是一个底面积 （平方分
米）的柱体．注意到水的体积没有发生变化，那么可以求出后来水的高度是
240 ×20 ×0.5÷200 = 12 12 −10 = 2
（分米），水面上升了 （分米）．
8 【答案】5
【解析】根据题意可知一定不会浸没．放入前、后水的形状有变化．之前是一个底面积为
10 ×8 = 80 80 −40 = 40
（平方分米）的长方体，之后是一个底面积 （平方分米）
的柱体．注意到水的体积没有发生变化，那么可以求出后来水的高度是
80 ×10 ×0.5÷40 = 10 10 −5 = 5
（分米），水面上升了 （分米）．
9 【答案】A
4 +12 ×3 ÷72 = 4.5
【解析】根据题意可知一定会浸没，所以水面高度会变为 （厘米）．
10 【答案】3
2 +10 ×2 ÷20 = 3
【解析】根据题意可知一定会浸没，所以水面高度会变为 （厘米）．
思维突破 / 六年级 / 秋季第 6 讲 乌鸦怎么才能喝到水
课堂落实答案
1 【答案】18.84
2 【答案】2.512
3 【答案】100
4 【答案】5
5 【答案】3.5
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 7 讲 期中复习
期中试卷答案
1 【答案】反
3 : 4
2 【答案】
3 【答案】15
4 【答案】62.8
5 【答案】52
6 【答案】162
7 【答案】4
8 【答案】307.72
9 【答案】2160
10 【答案】11.7
11 【答案】15
980
12 【答案】
17
13 【答案】384
2
14 【答案】
3
15 【答案】30千米
16 【答案】70件
17 【答案】47.1立方厘米
18 【答案】66平方厘米1 : 2
19 【答案】
20 【答案】324立方厘米
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 8 讲 三个和尚没水喝
例题练习题答案
2
例1 【答案】 10
（1）12小时；（2） 小时；（3）72小时
7
1 1
【解析】
一个进水管的效率是 ，一个排水管的效率是 ．
24 36
1
1 ÷( ×2) = 12
（1）同时打开2个进水管， （时）可以将空水池灌满；
24
1 1 2
1 ÷( ×3 − ) = 10
（2）同时打开3个进水管和1个排水管， （时）可以将
24 36 7
空水池灌满；
1 1
1 ÷( ×2 − ) = 72
（3）同时打开1个进水管和2个排水管， （时）可以将满
36 24
池的水排光．
练1 【答案】18小时，不能灌满
1 1
【解析】
进水管和排水管的效率分别是 和 ．同时打开2个进水管和2个排水管，进水的效率
12 18
1 1 1 1
2 × −2 × = 1 ÷ = 18
是 ，需要 （时）灌满；如果打开2个进水管和
12 18 18 18
1 1
2 × −3 × = 0
3个排水管，进水的效率是 ，永远不能灌满．
12 18
例2 【答案】2小时
1 1 1 1
【解析】 − =
进水管的效率为 ，排水管的效率为 ，将2个进水管和1个排水管同时打
6 6 12 12
1 1 1
÷( ×2 − ) = 2
开， （时）能灌满整个池子的二分之一．
2 6 12
练2 【答案】1.2小时
1 1 1 1
【解析】 + =
排水管的效率是 ，进水管的效率是 ．如果开2个进水管1个排水管，进水
6 3 6 2
1 1 5 5
2 × − = 1 ÷ = 1.2
的效率是 ，需要 （时）将空池灌满．
2 6 6 6
例3 【答案】上午10点
1 1 11
【解析】 ( + )×6 =
从上午8点到下午2点共6个小时，进水管的工作量为 ，多出来
10 12 10
11 1
( −1)÷ = 2
的工作量即是排水管的工作量，排水管工作了 （时），因此排水
10 20管在上午10点被关闭．
练3 【答案】上午9点
1 6 1
【解析】 ×12 =
从上午6点到下午6点，进水管一直开着，灌进的水量为 ，超出 ．说明
10 5 5
1 1 1
÷ = 3
排水管一共排出的水量是 ．排水管开着的时间是 （时），那么排水管在
5 5 15
上午9点被关闭．
例4 【答案】2小时
1
【解析】
将蓄水池内的水设为单位“1”，5根排水管的排水效率与一根进水管的进水效率差为 ，
6
1
8根排水管的排水效率与一根进水管的进水效率差为 ，由此可知3根排水管的排水效率为
3
1 1 1 1
− =
， 1 根 排 水 管 的 排 水 效 率 为 ， 一 根 进 水 管 的 进 水 效 率 为
3 6 6 18
1 1 1 1 1
×5 − = 1 ÷( ×11 − ) = 2
，11根排水管 （时）能把水放空．
18 6 9 18 9
练4 【答案】4分钟
1
【解析】
将船内积水设为单位“1”，3个船员的排水效率与水的进水效率差为 ，5个船员的排
10
1 1 1 1
− =
水效率与水的进水效率差为 ，由此可知2个船员的排水效率为 ，1个船
5 5 10 10
1 1 1 1
×3 − =
员 的 排 水 效 率 为 ， 水 的 进 水 效 率 为 ， 6 个 船 员
20 20 10 20
1 1
1 ÷( ×6 − ) = 4
（分）可以排干积水．
20 20
挑战极 【答案】7个
1
限1 【解析】
将超过安全线的水量设为单位“1”，1个泄洪闸与河水流入的效率差为 ，2个泄洪闸
30
1 1 1 1
− =
与河水流入的效率差为 ，由此可知1个泄洪闸的排水效率为 ，河水
10 10 30 15
1 1 1
− =
流入的效率为 ．若要2.5小时使水位降至安全线以下，泄洪闸每小时需
15 30 30
1 13 13 1 1
1 ÷2.5+ = ÷ = 6
排出的水量为 ，需要泄洪闸 （个），即至少需
30 30 30 15 2
要7个泄洪闸．
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 8 讲 三个和尚没水喝
自我巩固答案
1 【答案】601 1
【解析】1 ÷( ×2 − ) = 60
（分）可以将满池水排空．
30 20
2 【答案】A
1 3 3
【解析】 ×3 =
3 小 时 排 水 管 排 水 ， 说 明 进 水 也 是 ， 所 以 进 水 管 堵 住 了
8 8 8
3 1
3 − ÷ = 1.5
（时）．
8 4
3 【答案】60
1 1
【解析】1 ÷( ×2 − ) = 60
（分）可以将满池水排空．
40 30
4 【答案】10
1 1
【解析】1 ÷( ×2 − ) = 10
（分）可以将空池注满．
15 30
5 【答案】15
1 1
【解析】1 ÷( ×2 − ×2) = 15
（时）能将空池灌满．
12 20
6 【答案】20
1 1
【解析】1 ÷( ×3 − ×2) = 20
（时）能将满池水排空．
12 10
7 【答案】15
1 1 1
【解析】 ÷( − ) = 15
（天）之后可以卖完书店的这批书．
4 20 30
8 【答案】45
1 1 1
【解析】 ÷( − ×2) = 45
（天）之后可以卖完商店的商品．
2 30 90
9 【答案】B
【解析】设 水 池 的 容 积 为 “1” ， 打 开 进 水 管 3 小 时 后 水 池 中 的 水 占 水 池 容 积 的
1 1 5
×3 − ×2 =
．
4 6 12
10 【答案】4
1 3 3 1
【解析】 ×(19 −10) = −1 =
进水管一直在工作，进水量为 ，说明排水量为 ，所
6 2 2 2
1 1
÷ = 4
以排水管打开了 （时）．
2 8
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 8 讲 三个和尚没水喝
课堂落实答案1 【答案】20
2 【答案】30
3 【答案】15
4 【答案】10
5 【答案】3
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 9 讲 甜甜咸咸就是我
例题练习题答案
例1 【答案】（1）250，20；（2）12，28；（3）200
50 +200 = 250 50 ÷250 ×100% = 20%
【解析】（1）糖水有 （克）；浓度为 ；
40 ×30% = 12 40 −12 = 28
（2）糖水中含糖 （克）；含水 （克）；
48 ÷24% = 200
（3）这瓶墨水共有 （克）．
练1 【答案】（1）10，450，90；（2）60，240；（3）120
50 ÷500 ×100% = 10% 500 −50 = 450
【解析】（1）果汁的浓度为 ，水有 （克），水占
450 ÷500 ×100% = 90%
果汁的 ；
300 ×20% = 60 300 −60 = 240
（2）盐水中的盐有 （克），水有 （克）；
30 ÷20%−30 = 120
（3）加水 （克）．
例2 【答案】36%，10%
100 ×20% = 20
【解析】原 来 糖 水 中 含 糖 （ 克 ） ， 阿 呆 糖 水 的 浓 度 ：
20 +25 45
×100%= ×100% = 36%
； 阿 瓜 糖 水 的 浓 度 ：
100 +25 125
20 20
×100%= ×100% = 10%
．
100 +100 200
练2 【答案】20%；44%
200 ×30% = 60
【解析】原 来 糖 水 中 含 糖 （ 克 ） ， 加 入 100 克 水 后 ， 浓 度 变 为
60
×100% = 20%
； 倒 入 50 克 糖 后 ， 浓 度 变 为
200 +100
60 +50
×100% = 44%
．
200 +50
例3 【答案】48克
32 ×75% = 24
【解析】在加水的过程中，糖的重量不变，为 （克）．稀释后浓度为30%，那么
24 ÷30% = 80 80 −32 = 48
这时糖水的重量为 （克），需加入 （克）水．练3 【答案】100克
300 ×0.2 = 60
【解析】在加水的过程中，糖的重量不变，为 （克）．稀释后浓度为15%，那么
60 ÷0.15 = 400 400 −300 = 100
这时糖水的重量是 （克）．需加入 （克）水．
例4 【答案】100克
200 ×(1 −25%) = 150
【解析】糖水中水的重量是不变量，水有 （克），浓度为50%的糖水
150 ÷(1 −50%) = 300 300 −200 = 100
的重量为 （克），加入了 （克）糖．
练4 【答案】100克
【解析】糖 水 中 水 的 重 量 是 不 变 量 ， 需 加 入
300 ×(1 −40%)÷(1 −55%)−300 = 100
（克）糖．
挑战极 【答案】590克
限1 【解析】原有10克盐，倒入的200克盐水中含盐10克，一共有20克．可求出最后2.5%的盐水有
20 ÷0.025 = 800 800 −200 −10 = 590
（克）．原来这盆水有 （克）．
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 9 讲 甜甜咸咸就是我
自我巩固答案
1 【答案】240
300 ×80% = 240
【解析】有纯酒精 （克）．
2 【答案】90
90 ÷100 ×100% = 90%
【解析】该酒精溶液的浓度为 ．
3 【答案】55
(100 +100 ×10%)÷(100 +100)×100% = 55%
【解析】得到的新酒精溶液的浓度为 ．
4 【答案】45
50 ×90%÷(50 +50)×100% = 45%
【解析】得到的新酒精溶液的浓度为 ．
5 【答案】30
300 ×40%÷(300 +100)×100% = 30%
【解析】得到的糖水浓度是 ．
6 【答案】28
(50 +200 ×10%)÷(200 +50)×100% = 28%
【解析】得到的糖水浓度是 ．
7 【答案】480
1020 ×25%÷17%−1020 = 480
【解析】稀释前、后溶质的量不变，需加水 （克）．8 【答案】250
250 ×20%÷10%−250 = 250
【解析】稀释前、后溶质的量不变，需加水 （克）．
9 【答案】200
72 ÷36% = 200
【解析】这瓶白酒共有 （克）．
10 【答案】7
100 ×7% = 7
【解析】这杯糖水有 （克）糖．
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 9 讲 甜甜咸咸就是我
课堂落实答案
1 【答案】95
2 【答案】75
3 【答案】10
4 【答案】100
5 【答案】50
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 10 讲 神奇的十字
例题练习题答案
例1 【答案】16%
250 ×56%+500 ×12%×5
纯酒精的质量
【解析】 = ×100%= ×1
混合溶液的浓度
250 +500 ×5
酒精溶液的质量
练1 【答案】41%
200 ×20%+300 ×55%
【解析】 ×100% = 41%
混合之后新糖水的浓度是 ．
200 +300
例2 【答案】225克
【解析】根据十字交叉法，可求出浓度为20%的硫酸溶液和浓度为65%的硫酸溶液的质量比为
450 ÷2 ×1 = 225
2∶1，那么需要浓度为65%的硫酸溶液 （克）．
练2 【答案】80克【解析】根据十字交叉法，可求出浓度为15%的糖水和浓度为35%的糖水的质量比是3∶1，那么需
240 ÷3 ×1 = 80
要加入浓度为35%的糖水 （克）．
例3 【答案】浓度40%的糖水750克；浓度56%的糖水250克
3 : 1
【解析】根据十字交叉法，可求出浓度为40%的糖水和浓度为56%的糖水质量比为 ，将1000
3
1000 × = 750
克混合糖水按比分配，需要浓度为40%的糖水 （克），需要浓度
3 +1
1
1000 × = 250
为56%的糖水 （克）．
3 +1
练3 【答案】浓度37%的糖水300克；浓度55%的糖水150克
2 : 1
【解析】根据十字交叉法，可求出浓度为37%的糖水和浓度为55%的糖水质量比为 ，将450克
2
450 × = 300
混合糖水按比分配，需要浓度为37%的糖水 （克），需要浓度为
2 +1
1
450 × = 150
55%的糖水 （克）．
2 +1
例4 【答案】25克
【解析】法一：加入等量的糖和水，相当于加入了50%的糖水溶液，根据十字交叉法可得，浓度为
50 ×50% = 25
50%的糖水的质量为50克，所以加入了 （克）糖．
法 二 ： 列 方 程 解 应 用 题 ： 设 加 入 了 x 克 糖 ， 可 得 ：
20%×100 +x = 30%×(100 +2x) x = 25
，解得 ，所以加入了25克糖．
练4 【答案】15克
【解析】加入等量的糖和水，即加入的糖水浓度为50%．根据十字交叉法，可知浓度为60%的糖水
1 : 4
与 浓 度 为 50% 的 糖 水 的 质 量 比 是 ． 那 么 原 来 浓 度 为 60% 的 糖 水 有
60 ÷4 ×1 = 15
（克）．
挑战极 【答案】66千克
1 : 2
限1 【解析】首先对甲、乙混合用十字交叉法，得出甲、乙瓶的糖水质量比为 ，乙瓶的糖水质量为
11 ÷1 ×2 = 22 11 +22 = 33
（千克），混合液的质量为 （千克）．然后对混合液
1 : 2
与丙混合用十字交叉法，得出混合液与丙瓶糖水的质量比为 ，丙瓶的糖水质量为
33 ÷1 ×2 = 66
（千克）．
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 10 讲 神奇的十字
自我巩固答案
1 【答案】15【解析】得 到 的 糖 水 的 浓 度 为
(500 ×10%+500 ×20%)÷(500 +500)×100% = 15%
．
2 【答案】34
【解析】得 到 的 糖 水 的 浓 度 为
(900 ×30%+600 ×40%)÷(900 +600)×100% = 34%
．
3 【答案】20
(150 ×25%+150 ×15%)÷(150 +150)×100% = 20%
【解析】混合溶液的浓度为 ．
4 【答案】50
(100 ×30%+200 ×60%)÷(100 +200)×100% = 50%
【解析】混合溶液的浓度为 ．
5 【答案】840
【解析】根据十字交叉法，可求出浓度为20%的盐水和浓度为40%的盐水质量比是1:3，那么需要
280 ÷1 ×3 = 840
加入浓度为40%的盐水 （克）．
6 【答案】100
1 : 1
【解析】利用十字交叉法，可以求出浓度为20%的盐水与浓度为40%盐水质量比是 ．需要加
入浓度为40%的盐水100克．
7 【答案】375
【解析】根据十字交叉法，可求出浓度为25%的糖水和浓度为45%的糖水质量比是3:1，这两种溶
3
500 × = 375
液一共500克，那么需要浓度为25%的糖水 （克）．
3 +1
8 【答案】360
【解析】根据十字交叉法，可求出浓度为20%的糖水和浓度为70%的糖水质量比是3:2，这两种溶
3
600 × = 360
液一共600克，那么需要浓度为20%的糖水 （克）．
3 +2
9 【答案】400
【解析】加入等量的糖和水，即加入的糖水浓度为50%．根据十字交叉法，可知浓度为40%的糖水
1 : 4
与 浓 度 为 50% 的 糖 水 的 质 量 比 是 ． 那 么 浓 度 为 50% 的 糖 水 有
200 ÷1 ×4 = 800
（克），其中有糖和水各400克．
10 【答案】5
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 10 讲 神奇的十字课堂落实答案
1 【答案】30
2 【答案】17.5
3 【答案】200
4 【答案】200
5 【答案】50
【解析】加入等量的糖和水，实际上相当于加入了浓度为50%的糖水．这不就还是两种溶液混合的
问题吗．利用十字交叉法进行计算．可以算出两种溶液的重量比是20%：10%=2:1，所以
加入的糖和水共重100克，加入的糖等于50克
．
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 11 讲 如何成为“百万富翁”
例题练习题答案
例1 【答案】（1）50%，80%，60%；（2）1800元；（3）500元
1500 −1000 = 500
【解析】（ 1 ） 茶 叶 的 利 润 是 （ 元 ） ， 利 润 率 为
500 ÷1000 ×100% = 50% 900 −500 = 400
；瓷器的利润是 （元），利润率为
400 ÷500 ×100% = 80% 400 +500 = 900
；一起算的总利润是 （元），利润率
900 ÷(1000 +500)×100% = 60%
为 ．
1200 ×50% = 600
（ 2 ） 电 视 机 的 利 润 是 （ 元 ） ， 应 该 卖
1200 +600 = 1800
（元）．
600 ÷(1 +20%) = 500
（3）进货花了 （元）．
练1 【答案】（1）5750元；（2）2000元
5000 ×(1 +15%) = 5750
【解析】（1） （元）；
2600 ÷(1 +30%) = 2000
（2） （元）．
例2 【答案】亏了，亏了5元60 ÷(1 +20%) = 50
【解析】其中一件商品的进价是 （元），另一件商品的进价是
60 ÷(1 −20%) = 75 50 +75 = 125
（元），所以两件商品的总进价是 （元），总
60 ×2 = 120 125 −120 = 5
售价是 （元），所以亏了，亏了 （元）．
练2 【答案】亏本，亏了10元
75 ÷(1 +25%) = 60
【解析】其中一件商品的成本价是 （元），另一件商品的成本价是
75 ÷(1 −25%) = 100 100 +60 = 160
（元），所以两件商品的总成本是 （元），
75 ×2 = 150 160 −150 = 10
总售价是 （元），所以是亏本，亏了 （元）．
例3 【答案】（1）8%；（2）50%
【解析】（1）设成本为1份，售价=成本×（1+利润率），则售价为1.2份，打九折后，售价变为
(1.08−1)÷1 ×100% = 8%
1.08份，利润率为 ；
（2）设成本为1份，则售价为1.2份，进货价降低20%后，成本变为0.8份，利润率为
(1.2−0.8)÷0.8×100% = 50%
．
练3 【答案】（1）17%；（2）62.5%
【解析】（1）设成本为1份，售价=成本×（1+利润率），则售价为1.3份，打九折后，售价变为
(1.17−1)÷1 ×100% = 17%
1.17份，利润率为 ；
（2）设成本为1份，则售价为1.3份，进货价降低20%后，成本变为0.8份，利润率为
(1.3−0.8)÷0.8×100% = 62.5%
．
例4 【答案】（1）3200元；（2）1600元
【解析】（1）设成本为1份，定价=成本×（1+利润率），则定价为1.2份，打九折出售，实际售
(1.08−1)÷1 ×100% = 8%
价 为 1.08 份 ， 利 润 率 为 ， 则 成 本 是
256 ÷8% = 3200
（元）；
（2）设成本为1份，定价=成本×（1+利润率），则定价为1.2份，打八折出售，实际售
64 ÷0.04 = 1600
价为0.96份，亏损了0.04份，则成本是 （元）．
练4 【答案】（1）800元；（2）1500元
【解析】（1）设成本为1份，定价=成本×（1+利润率），则定价为1.3份，按定价的80%出售，
(1.04−1)÷1 ×100% = 4%
实 际 售 价 为 1.04 份 ， 利 润 率 为 ， 则 成 本 是
32 ÷0.04 = 800
（元）；
（2）设成本为1份，定价=成本×（1+利润率），则定价为1.4份，打七折出售，实际售
30 ÷0.02 = 1500
价为0.98份，亏损了0.02份，则成本是 （元）．
挑战极 【答案】200元
限1 【解析】B 商 品 的 成 本 为 240 ÷(1 +0.2) = 200 （ 元 ） ， 打 折 后 售 价 为
240 ×0.9 = 216 （元），获利16元．A商品获利 36 −16 = 20 （元）．设A商品的定价 为 1 份 ， 则 成 本 为 0.8 份 ， 打 九 折 后 售 价 为 0.9 份 ， 则 A 商 品 的 定 价 为
20 ÷(0.9−0.8) = 200
（元）．
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 11 讲 如何成为“百万富翁”
自我巩固答案
1 【答案】B
3000 ×(1 +0.25)×0.95−3000 = 562.5
【解析】赚了 （元）．
2 【答案】1440
1200 ×(1 +20%) = 1440
【解析】定价为 （元）．
3 【答案】3450
3000 ×(1 +15%) = 3450
【解析】定价为 （元）．
4 【答案】4000
800 ÷20% = 4000
【解析】成本为 （元）．
5 【答案】6500
1500 +1500 ÷30% = 6500
【解析】售价为 （元）．
6 【答案】125
150 ÷(1 +20%) = 125
【解析】进价为 （元）．
7 【答案】2000
3000 ÷(1 +50%) = 2000
【解析】进价为 （元）．
8 【答案】12
96 ÷(1 +20%) = 80
【解析】其中一件商品的成本价为 （元），另一件商品的成本价为
96 ÷(1 −4%) = 100 80 +100 = 180
（元）．总成本为 （元），总售价为
96 ×2 = 192 192 −180 = 12
（元），所以赚了 （元）．
9 【答案】4
100 −100 ×(1 +20%)×0.8 = 4
【解析】亏了 （元）．
10 【答案】3600
【解析】设成本为1份，售价=成本×（1+利润率），则售价为1.25份，打九折后售价变为1.125
(1.125−1)÷1 ×100% = 12.5%
份 ， 利 润 率 为 ， 所 以 进 价 为
450 ÷12.5% = 3600
（元）．思维突破 / 六年级 / 秋季
第 11 讲 如何成为“百万富翁”
课堂落实答案
1 【答案】160
2 【答案】2400
3 【答案】12000
4 【答案】3000
5 【答案】7
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 12 讲 复利的威力
例题练习题答案
例1 【答案】10750元
10000 ×2 ×3.75%+10000 = 10750
【解析】共有 （元）．
练1 【答案】2475元
2000 ×5 ×4.75%+2000 = 2475
【解析】共有 （元）．
例2 【答案】10609元
10000 ×(1 +3%)2 = 10609
【解析】共有 （元）．
练2 【答案】409.6元
100 ×(1 +60%)3 = 409.6
【解析】要还 （元）．
例3 【答案】（1）4860元；（2）方案①更优惠
6000 ×0.9×0.9 = 4860
【解析】（1）销售价格是每平方米 （元）；（2）只需计算优惠的金
4860 ×100 ×0.02 = 9720
额：①打九八折销售优惠： （元），②不打折，一次性送
80 ×100 = 8000
装修费每平方米80元优惠： （元），所以，方案①更优惠．
练3 【答案】（1）6480元；（2）方案①更优惠
8000 ×0.9×0.9 = 6480
【解析】（1）销售价格是每平方米 （元）；（2）只需计算优惠的金
6480 ×100 ×0.05 = 32400
额：①打九五折销售优惠： （元），②不打折，一次性100 ×100 = 10000
送装修费每平方米100元优惠： （元），所以，方案①更优惠．
例4 【答案】455元
10000 = 3500 +1500 +3000 +2000
【解析】调整前缴税： ，
3500 ×0%+1500 ×3%+3000 ×10%+2000 ×20% = 45 +300 +400
（
= 745
10000 = 5000 +3000 +2000
调整后缴税： ，
5000 ×0%+3000 ×3%+2000 ×10% = 90 +200 = 290
（元）．
745 −290 = 455
可以少上缴所得税： （元）．
练4 【答案】255元
8000 = 3500 +1500 +3000
【解析】调 整 前 缴 税 ： ，
1500 ×0.03+3000 ×0.1 = 45 +300 = 345
（ 元 ） ． 调 整 后 缴 税 ：
8000 = 5000 +3000 3000 ×0.03 = 90
， （ 元 ） ． 可 以 少 上 缴 所 得 税 ：
345 −90 = 255
（元）．
挑战极 【答案】17875元
1165 = 90 +900 +175
限1 【解析】 ，
175 ÷0.2+900 ÷0.1+90 ÷0.03 = 875 +9000 +3000 = 12875
（元），
12875 +5000 = 17875
工资总额为 （元）．
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 12 讲 复利的威力
自我巩固答案
1 【答案】C
1000 +1000 ×4.25%×3 = 1127.5
【解析】共有 （元）．
2 【答案】B
200 +200 ×3.75%×1 = 207.5
【解析】共有 （元）．
3 【答案】A
2000 ×(1 +3%)2 = 2121.8
【解析】共有 （元）．
4 【答案】5000
【解析】设需要存入本金x元，则 x+x×3%×1 = 5150 ，解得x=5000．
5 【答案】5000
275 ÷2.75%÷2 = 5000
【解析】存入 （元）．6 【答案】1210
1000 ×(1 +5%×2)2 = 1210
【解析】共有 （元）．
7 【答案】15
5500 = 5000 +500 5000 ×0%+500 ×3% = 15
【解析】调整后缴税 ， （元）．
8 【答案】60
7000 = 5000 +2000 5000 ×0%+2000 ×3% = 60
【解析】调整后缴税 ， （元）．
9 【答案】390
11000 = 5000 +3000 +3000
【解析】调 整 后 缴 税 ，
5000 ×0%+3000 ×3%+3000 ×10% = 390
（元）．
10 【答案】490
12000 = 5000 +3000 +4000
【解析】调 整 后 缴 税 ，
5000 ×0%+3000 ×3%+4000 ×10% = 490
（元）．
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 12 讲 复利的威力
课堂落实答案
1 【答案】2135
2 【答案】2546.16
3 【答案】5000
4 【答案】30
5 【答案】400
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 13 讲 狄利克雷的苹果
例题练习题答案
例1 【答案】11人
31 ÷3 = 10⋯⋯1
【解析】有咖啡汽水、奶茶汽水和咖啡奶茶3种不同的选择方式，而 ，所以
10 +1 = 11
至少有 （人）买的饮料完全相同．练1 【答案】14人
83 ÷6 = 13⋯⋯5 13 +1 = 14
【解析】共有6种不同的选择方式，而 ，所以至少有 （人）
买的饮料完全相同．
例2 【答案】19人
【解析】设三项游艺活动为A、B和C．那么参加的方式有AB、AC、BC、A、B、C，共有6种参加
6 ×3 +1 = 19
方法，所以至少 （人）．
练2 【答案】29人
7 ×4 +1 = 29
【解析】共有7种参加方法，所以至少 （人）．
例3 【答案】27个
【解析】可构造出26个数组：（1，49）、（2，48）、…、（24，26）、（25）、（50）．所以
至少要取27个数才能保证其中一定有两个数的和是50．
练3 【答案】20个
【解析】可构造出19个数组：（1，33）、（2，32）、…、（16，18）、（17）、（34）、
（35）．所以至少要取20个数才能保证其中一定有两个数的和是34．
例4 【答案】27个
【解析】考虑最不利情况：最多选出多少个数，其中任意两数的差都不是6．我们将差为6的数排成
一行，如下表：
要想差不为6，同一行中相邻的两个数就不能同时选．那么第一行中最多只能选1、13、
25、37、49共5个．同理第二行最多也只能选5个．第三行到第六行每行最多只能选4个．
那么一共最多能选26个．接下来只要再选1个，一定会有两数差为6．所以答案是
26 +1 = 27
（个）．
练4 【答案】29个
【解析】考虑最不利情况：最多选出多少个数，其中任意两数的差都不是7．我们将差为7的数排成
一行，如下表：每一行都最多只能选4个．那么一共最多能选28个．接下来只要再选1个，一定会有两数差
28 +1 = 29
为7．所以答案是 （个）．
挑战极 【答案】46个，37个
限1 【解析】由题意可知，如果取出的数没有两个数的和是7的倍数，则：除以7余1的数与除以7余6的
数不能共存，除以7余2的数与除以7余5的数不能共存，除以7余3的数与除以7余4的数不
100 ÷7 = 14⋯⋯2
能共存．而除以7余0的数只能取1个，且 ，所以最不利的情况是
取尽余1、余2、余3和一个余0的数，共45个数，所以至少选出46个数才可满足要求．同
理至少选出37个数才能保证是6的倍数．（注意：此时除以6余3和余0的数都只能选1个）
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 13 讲 狄利克雷的苹果
自我巩固答案
1 【答案】9
2 ×4 +1 = 9
【解析】一副扑克牌有四种花色，所以至少摸 （张）．
2 【答案】21
5 ×4 +1 = 21
【解析】一副扑克牌有四种花色，所以至少摸 （张）．
3 【答案】7
20 ÷3 = 6⋯⋯2
【解析】有短跑、跳高、短跑跳高3种不同的选择， ，所以至少有
6 +1 = 7
（位）运动员所选的项目相同．
4 【答案】11
【解析】选 一 个 项 目 有 4 种 ， 选 两 个 项 目 有 6 种 ， 共 有 10 种 不 同 的 选 择 ，
101 ÷10 = 10⋯⋯1 10 +1 = 11
，所以至少有 （位）运动员所选的项目相同．
5 【答案】12【解析】可构造出11组数：（1，19）、（2，18）、…、（9，11）、（10）、（20）．所以至
少要取12个数才能保证其中有两个数的和是20．
6 【答案】22
【解析】可构造出21组数：（1，39），（2，38），…，（19，21），（20），（40）．所以至
少需要取22个数才能保证其中有两个数的和等于40．
7 【答案】7
【解析】考虑最不利的情况，最多选出多少个数，其中任意两个数的差都不是3，我们将差为3的数
排成一排，如下表：
要想差不为3，每一行都最多只能选2个．那么一共最多能选6个．接下来只要再选1个，一
6 +1 = 7
定会有两数差为3．所以答案是 （个）．
8 【答案】13
【解析】考虑最不利的情况，最多选出多少个数，其中任意两个数的差都不是4，我们将差为4的数
排成一排，如下表：
要想差不为4，每一行都最多只能选3个．那么一共最多能选12个．接下来只要再选1个，
12 +1 = 13
一定会有两数差为4．所以答案是 （个）．
9 【答案】10
【解析】我们将差为5的数排成一排，如下表：
要想差不为5，每一行都最多只能选2个．那么最多取10个数．10 【答案】22
【解析】我们将差为6的数排成一排，如下表：
要想差不为6，前4行每一行都最多只能选4个，后2行每一行都最多只能选3个．那么最多
取22个数．
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 13 讲 狄利克雷的苹果
课堂落实答案
1 【答案】5
2 【答案】14
3 【答案】7
4 【答案】7
5 【答案】11
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 14 讲 我是神枪手
例题练习题答案
2 7
例1 【答案】
（1） ；（2） ；（3）0，1
9 9
【解析】共有9个球，每个球都有可能被取到．（1）红球的数量是2个，所以取到红球的概率是
2 2 7
1 − =
；（2）排除法可得： ；（3）没有绿球，所以绿球出现的概率是0．一定
9 9 9
不是绿球，概率是1．
1 1 1
练1 【答案】
（1） ；（2） ；（3）
6 2 21
【解析】
投掷一个骰子，所有情况共有6种．（1）点数是6的情况只有一种，概率为 ；（2）点
6
3 1
=
数是奇数的情况有1、3、5这3种情况，概率为 ；（3）点数是质数的情况有2、
6 2
3 1
=
3、5这3种情况，概率为 ．
6 2
1 2
例2 【答案】
，
3 3
3 ×3 = 9
【解析】两个盒子各取一个球，共有 （种）取法，同色的情况有黑黑、白白、黄黄三
3 1 1 2
= 1 − =
种，所以，同色概率为 ，不同色的概率为 ．
9 3 3 3
1 1
练2 【答案】 ，
2 2
2 ×2 = 4
【解析】两个盒子各取一个球，共有 （种）取法，同色的情况有黑黑、白白两种，所以
2 1 1 1
= 1 − =
同色的概率为 ，不同色的概率为 ．
4 2 2 2
1 1 5
例3 【答案】
（1） ；（2） ；（3）
6 9 18
6 ×6 = 36
【解析】（1）一次投掷两个骰子，共有 （种）情况，其中相同的情况有6种，所以概
6 1
= 1 +4 2 +3 3 +2 4 +1
率为 ；（2）和为5可以是 、 、 、 ，共四种，概率为
36 6
4 1
=
；（3）按第一个骰子的点数分类，第一个骰子点数为1~6时，第二个骰子的点
36 9
10 5
=
数依次有1、2、2、2、2、1种情况，一共10种情况，所以概率为 ．
36 18
1 3
练3 【答案】
（1） ；（2）
8 8
2 ×2 ×2 = 8
【解析】（1）一次投掷3枚硬币，共有 （种）情况，出现3个正面的情况只有1
1
种，概率为 ；（2）出现一正两反的情况有：正反反、反正反、反反正，共3种，概率为
8
3
．
8
例4 【答案】0.72，0.02
0.8×0.9 = 0.72
【解析】他们都命中的概率是他们分别命中的概率的乘积，即 ；都没命中的概
(1 −0.8)×(1 −0.9) = 0.02
率是他们分别没命中的概率的乘积，即 ．
1
练4 【答案】
32
1 1 1 1 1 1
【解析】 × × × × =
过关的概率是 ．
2 2 2 2 2 32
挑战极 【答案】一样大
1
限1 【解析】
先计算第一个人的中奖概率为 ；再计算第二个人中奖的概率，首先第一个人要没有中
3
2 1
奖，概率为 ，此时第二个人抽中的概率为 ，所以，第二个人中奖的概率为
3 2
2 1 1
× =
，综上，两个人中奖的概率一样大．
3 2 3
思维突破 / 六年级 / 秋季第 14 讲 我是神枪手
自我巩固答案
1 【答案】A
12 +13 +14 = 39
【解析】所有情况共有 （种），第一层12本，所以取得第一层书的概率为
12 4
=
．
39 13
2 【答案】A
4
【解析】 5 +5 +6 = 15
所有情况共有 （种），红球有4个，所以取得红球的概率为 ．
15
3 【答案】C
2 ×2 ×2 = 8
【解析】所有情况共有 （种），符合题意的有正正反、正反正、反正正、正正正，
4 1
=
所以小高获胜的概率为 ．
8 2
4 【答案】C
1 1 1 1
【解析】 × × =
可以考虑反面，都是反面朝上时小高失败，概率为 ，则小高获胜的概
2 2 2 8
1 7
1 − =
率为 ．
8 8
5 【答案】B
6 ×6 = 36
【解析】总共有 （种）情况，点数之和为3的有（1，2），（2，1）两种，所以概率
2 1
=
为 ．
36 18
6 【答案】C
6 ×6 = 36
【解析】总共有 （种）情况，点数之和为5的有（1，4），（2，3），（3，2），
4 1 1 8
= 1 − =
（4，1）四种，所以概率为 ，那么点数和不是5的概率为 ．
36 9 9 9
7 【答案】A
6 ×6 = 36
【解析】总共有 （种）情况，点数之和为7的有（1，6），（2，5），（3，4），
6 1
=
（4，3），（5，2），（6，1）6种，所以概率为 ．
36 6
8 【答案】B
6 ×6 = 36
【解析】总共有 （种）情况，点数之和为10的有（6，4），（5，5），（4，6）3
3 1
=
种，所以概率为 ．
36 12
9 【答案】A
0.3×0.3 = 0.09
【解析】他们都命中的概率是他们分别都命中的概率的乘积，即 ．
10 【答案】C1 −0.8 = 0.2
【解析】命中率为0.8，则不命中的概率为 ，所以都不命 中 的 概 率 为
0.2×0.2 = 0.04
．
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 14 讲 我是神枪手
课堂落实答案
1 【答案】0.25
2 【答案】0.5
【解析】投掷3枚硬币可能的情况有：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反
正、反反反，共8种，其中有2枚或2枚以上的硬币正面朝上的次数是4次，所以，概率为
0.5．
3 【答案】A
4 【答案】B
5 【答案】0.01
思维突破 / 六年级 / 秋季
第 15 讲 期末复习
期末试卷答案
1 【答案】80
2 【答案】75
3 【答案】150
1
4 【答案】
12
5 【答案】10
6 【答案】25
7 【答案】亏本
8 【答案】24；4.8
9 【答案】2010 【答案】12
11 【答案】22
12 【答案】7614
13 【答案】12
14 【答案】300；200
15 【答案】1000元
16 【答案】1060.9元
1 3
17 【答案】 ；
4 4
18 【答案】19个
19 【答案】790元
20 【答案】4.5小时
