文档内容
1.1.1 探索勾股定理（第 1 课时） 导学案
（1）经历面积法证明勾股定理的不同方法的学习过程，体会数形结合的思想方法，提高推理能力；
（2）熟练运用勾股定理解直角三角形，会利用勾股定理解决实际问题，形成勾股定理的应用意识。
重点：理解勾股定理的不同证明方法，能利用勾股定理解决实际问题。
难点：利用面积法（割补法/拼图法）证明勾股定理。
温故知新（自学）
(1)勾股定理：。如图，Rt△ABC中，∠C=90°，则.
(2)完全平方公式：新知探究（一） 探索勾股定理——验证（证明）勾股定理（问题启发+自学）
问题1.设直角三角形的三边长为a、b、c，分别以三条边的长度为边长向外作正方
形，联系上节课的学习内容，你能对其中的大正方形进行分割或补形么？怎么做的？
方法一：补形法（课本P4，图1-5）
问题2.你有多少方法，用a、b、c表示出大正方形ABCD的面积？（教师提示：先将所有三角形和正方形
的面积用a、b、c的关系式表示出来）
问题3.如何用上面的两个式子验证勾股定理？
方法二：分割法（课本P4，图1-6）
问题4.根据上面的验证过程，你能在图1-6中验证勾股定理么？问题5.你还有其它方法来证明勾股定理么？
方法三：拼图法（毕达哥拉斯证法）
问题6.如图，正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和一个正方形拼成，你能用两种不同的方式表示出
正方形ABCD的面积么？
新知探究（二） 三角形三边的平方的关系（小组讨论）
问题1.钝角三角形和锐角三角形是否满足勾股定理？（提示：三边是否满足a2+b2=c2.）
问题2.用数格子的方法，判断图中三角形的三边是否满足a2+b2=c2.
直角三角形 钝角三角形 锐角三角形
应用新知——勾股定理验证：
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，请你尝试用这一图验证勾股定理，并说明它与方法一、方法二
的联系.
例题（教材P5）：在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400 m处侦察，发现一
辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400m；过了10s，测得汽车与他相距
500 m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10 s的平均速度吗?
问题：你能根据题意画出图形吗?在你画的图形中存在一个怎样的三角形?
题型一. 在勾股树图中寻求图形面积之间的关系（例1图） （变式1-1图） （变式1-2图）
例1.如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S ，S ，S ，若S+S+S=16，
1 2 3 1 2 3
则S 的值为（ ）
1
A.7 B.8 C.9 D.10
变式1-1.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正
方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 ，正方形F的面积是 ，正方形G的
面积是 ．
变式1-2.如图，以 的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为 ，若 ，
则 的值为
变式1-3.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S= π，S=2π，试求出S
1 2 3
的面积.
题型二. 勾股定理证明（寻求图形面积之间的关系）
（例2图） （例3图）
例2.在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；
乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出
的构图方案，可以证明勾股定理的是（ ）
A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以
例3.如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形 的边长为5，五边形 的面积是36，则图中空白部分的面积是
．
题型三.勾股定理的应用——构造直角三角形解决问题
（课本P6随堂练习）例4.如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接
M,O,Q三城市的高速公路，已知高速公路的建设成本是5000万元/km,该沿江高速公路的建设成本预计是
多少?
变式4.某条道路限速 ，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检
测仪A正下方 的B处，过了 ，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离 为 ．
(1)求 的长；(2)这辆小汽车超速了吗？
拓展提升
1.如图①，在 中， ， ，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行
下面的操作：由两个小正方形分别向外作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形
的直角边为边长作正方形，图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形， ，按此规律，如果图
①中直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ．
（题1图） （题2图）
2.用下面的图形验证勾股定理
（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一
个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得
到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有
正方形的面积和为 ．
