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2.3.3 二次根式的混合运算（第 3 课时） 导学案
1.理解并应用二次根式的四则运算法则，体会转化思想，提升运算能力.
2.掌握混合运算的步骤和策略，运用分类讨论思想和整体思想，提升逻辑思维能力.
3.解决实际问题，培养数学建模思想，提升问题解决能力和合作意识.
重点：理解并运用二次根式四则运算的核心法则，掌握混合运算的步骤顺序.
难点：在混合运算中，二次根式的化简与合并，特别是分母有理化在混合运算中的应用.
第一环节 自主学习
温故知新：
本节课将进入二次根式的混合运算的学习，先回顾以下知识点：
1、最简二次根式的判断标准：
①被开方数不含分母 ②被开方数不含开得尽的因数或因式
2、同类二次根式：
①先将二次根式化到最简 ②再对比被开方数是否一致
3、二次根式的乘除法则：
①乘法法则：❑√a⋅❑√b=❑√a⋅b(a≥0,b≥0)
❑√a √a
②除法法则： =❑ (a≥0,b>0)
❑√b b
4、同类二次根式的加减法则：①系数相加减②被开方数和根指数保持不变.
新知自研：自研课本第45-46页的内容.
【学法指导】
自研课本P44页尝试思考上方的内容，完成下列问题：
1.观察下列两个式子，回答以下问题.
❑√3 ❑√6 7
① + ； ❑√28- .
❑√2 2 ❑√7
②
（1）若要计算以上两个式子，需要解决的问题主要是：①部分分数的分母有根号，导致通分困难；②部
分二次根式需要化简
（2）仔细观察小明对①式的计算步骤，填写完整相应的部分：
❑√3 ❑√6 ❑√3×❑√2 ❑√6
+ = + （分母含有无理数的分式，分子分母同乘它的无理数部分）
❑√2 2 ❑√2×❑√2 2
❑√6 ❑√6
= + =❑√6（化为同分母分数相加）
2 2（3）在该计算过程中，分子分母同乘❑√2是为了“分母有理化”——将分母中的无理数❑√2化为有理数2
7
2. 请你尝试用不同的方式计算❑√28- .
❑√7
解：方法一：先化简再合并 方法二：统一成根号内的运算
7 =2 = 7 √49
❑√28- ❑√7-❑√7 ❑√7 ❑√28- ❑√28-❑ ❑√7-❑√7 ❑√7
❑√7 ❑√7 7
= =2 =
（1）分母有理化的具体操作：
①当式子中的分母为单项式时，只需分子分母同乘分母中的无理数；
②当式子中的分母为多项式时，则需要借助平方差公式，化无理式为有理式.
（2）分母有理化的意义：分母有理化是数学中的一种重要变形方法，其核心意义在于将分母中含有的无
理数（如根号形式）转化为有理数，从而简化表达式、方便后续的计算和分析.
3
（3）计算❑√18-❑√2+ 的正确结果是（A）
❑√2
7❑√2 3 ❑√2
A. B. 2❑√2+ C. 3❑√2- D. 4❑√2
2 ❑√2 2
（4）计算( 2 ) 正确结果是（A ）
❑√8+ ÷❑√2
❑√2
2 2
A. 3 B. 2+ C. ❑√8÷❑√2+ ÷❑√2 D. 1+❑√2
❑√2 ❑√2
3.尝试完成以下例题.
√3 √2 √1
（1）❑ -❑ （2）❑√18-❑√8+❑
2 3 8
（3）( √1) （4）√25 .
❑√24-❑ ÷❑√3 ❑ +❑√99-❑√18
6 2
√3 √2 √3×2 √2×3 1 1 1
解：（1）❑ -❑ =❑ -❑ = ❑√6- ❑√6= ❑√6
2 3 2×2 3×3 2 3 6
√1 √ 2 1 5
（2）❑√18-❑√8+❑ =❑√9×2-❑√4×2+❑ =3❑√2-2❑√2+ ❑√2= ❑√2
8 16 4 4（3）
( √1) √1 √1 √ 1 √ 2 1 11
❑√24-❑ ÷❑√3=❑√24÷❑√3-❑ ÷❑√3=❑√24÷3-❑ ÷3=❑√8-❑ =❑√4×2-❑ =2❑√2- ❑√2= ❑√2
6 6 6 18 6×6 6 6
√25 √25×2 5 1
（4）❑ +❑√99-❑√18=❑ +❑√99-❑√9×2= ❑√2+❑√99-3❑√2=- ❑√2+❑√99；
2 2×2 2 2
4.对于（3）的计算，你还有其他方法吗？
解：先化简括号内的式子，在进行除法运算
( √1) =( ❑√6) =11 =11
❑√24-❑ ÷❑√3 2❑√6- ÷❑√3 ❑√6÷❑√3 ❑√2
6 6 6 6
第二环节 合作探究
小组群学
先自研课本P45页的内容,在小组长的带领下，思考以下问题：
1.化简(√1 ) ，其中 ， 。你是怎么做的？
❑ -❑√b ⋅❑√ab a=28 b=7
a
解：①要想简化此题，手要先进行化简
√1 =√1 - = -
原式=❑ ⋅❑√ab-❑√b⋅❑√ab ❑ ⋅ab ❑√b⋅ab ❑√b b❑√a
a a
②将以上式子化到最简后，再带值求解
将a=28，b=7代入化简后的式子可得：
❑√7-7❑√28=❑√7-14❑√7=-13❑√7
2.类似以上的问题，通常先化简，再将已知的值代入，不仅能够简化计算，更能够提升正确率.
3.如图，方格纸中每个小方格的边长均为1。
（1）求梯形ABCD的周长。
（2）求梯形ABCD的面积。你有哪些求解方法？与同伴进行交流。
解：（1）周长是四边长度之和，
AD=6，BC= ， ，
❑√17 AB=❑√52+52=5❑√2 CD=❑√12+12=❑√2
周长=AD+BC+AB+CD
=6+❑√17+5❑√2+❑√2=6+❑√17+6❑√2（2）方法1：“梯形公式法”（直接数底和高）
1
梯形面积公式：S= ×(上底+下底)×高
2
， ，高 =
CD=❑√12+12=❑√2 AB=❑√52+52=5❑√2 h 3❑√2
代入公式得：
1
S= ×(❑√2+5❑√2)×3❑√2=18
2
方法2：“分割法”（数完整格子）
将梯形分割为“矩形+两个直角三角形”，分别数各部分的格子数：
中间矩形：以上底CD为长，以高为宽，面积=6；
左右三角形：面积分别为S =3❑√2×3❑√2÷2=9
左
S =❑√2×3❑√2÷2=3
右
总面积3+6+9=18。
4.一般在计算图形的面积时，有以下方法：
①整体法：可直接用面积公式求出，也可以利用填补的思路，看作一个规则图形，在把填补的部分减去
②切割法： 将图形切割为几个比较好求的部分，再计算出其面积即可 .
5. 对比有理数和实数的学习过程，你对“数”的扩充有什么感悟？
数的扩充是“解决矛盾”的必然结果 ； 数的扩充保持“运算一致性” ；
数的扩充提升“描述准确性” ； 数的扩充体现“严谨性”的提升 （回答合理即可）
6.归纳总结二次根式混合运算的步骤以及分母有理化的过程（随堂笔记部分）
7.拓展提升
某社区需要规划一个梯形绿化区，其尺寸如下（单位：米）：上底是 ❑√27，下底为❑√48 ，
高为 ❑√12，在绿化区内需修建一个矩形水池，水池长为 ❑√6，宽为 ❑√3，水池边与梯形底边
平行.已知 剩余种植面积 为 15❑√3平方米，但测量发现梯形实际高为 ❑√a（a待定），水池
尺寸不变。
（1）当 a=12 时，计算梯形绿化区的面积；
（2）求 a的值，使剩余种植面积恰为 15❑√3平方米。
解：（1）当 a=12 时，❑√27=3❑√3,❑√48=4❑√3,❑√12=2❑√3
1 1
S = ×(上底+下底)×高= ×(3❑√3+4❑√3)×2❑√3
梯 2 2
1
= ×7❑√3×2❑√3=7×3=21
21 1 7❑√3a
（ ）S = ×(❑√27+❑√48)×❑√a= ×7❑√3×❑√a=
梯 2 2 2
2
S =❑√6×❑√3=❑√18=3❑√2
池
7❑√3a
-3❑√2=15❑√3
2
2772+360❑√6 2772 360❑√6 132 120❑√6
a= = + = +
147 147 147 7 49
132×7 120❑√6 924+120❑√6
a= + =
49 49 49
1.计算：
√2 √ 1 √1
（1）❑ -❑ （2）❑√12-❑√3+❑
5 10 3
（3）( √1) （4） 。
❑√18-❑ ×❑√8 2❑√75+❑√8-❑√27
2
❑√10 ❑√10 2❑√10-❑√10 ❑√10
解：（ ）原式 - = =
5 10 10 10
1 = ❑√3 ❑√3 4❑√3
（2）原式2❑√3-❑√3+ =❑√3+ =
3 3 3
5❑√2 5❑√2
（ ）原式 ×❑√8= ×2❑√2=5❑√2×❑√2=5×2=10
2 2
（3）原式=10❑√3+2❑√2-3❑√3=7❑√3+2❑√2
4 =
类型一：混合运算类
1. 计算 (❑√27-❑√12)×❑√3+❑
√1
2. ❑√8÷❑√2+(❑√5-❑√3) 2
2
❑√2 ❑√2
解1.原式= (3❑√3-2❑√3)×❑√3+ =3+
2 2
2.原式=
2+(5-2❑√15+3)=10-2❑√15
类型二：代数式求值类
3. 已知 x=❑√7+1，求 x2-2x-6值；
解：先化简x2-2x+1-7=(x-1) 2-7
代入 可得
x=❑√7+1 (❑√7) 2-7=0
类型三：几何应用类
4. 一个长方形的长为 2❑√6，宽为 ❑√3，求其对角线的长度.
解：长方形的对角线可用勾股定理来求，
根据勾股定理，a2+b2=c2
对角线长为 ❑√(2❑√6) 2+(❑√3) 2=❑√24+3=❑√27=3❑√3 .
类型四：规律探究类
5. 观察下列等式：
√ 1 √3 ❑√6，√ 1 √7 ❑√21…则第n个等式是√ 1 ❑√n(n+2)+1
❑1+ =❑ = ❑2+ =❑ = ❑n+ =
2 2 2 3 3 3 n+1 n+1
1.（2024·湖南） 计算 ❑√50×❑√2的结果是（A ）
A. 10 B. 5❑√2
C. 2❑√10 D. ❑√100
√1
2.（2024·天津） 计算 ❑√12-❑√3+❑ 的结果为（ A）
3
5❑√3
A. B. 2❑√3
3
❑√3
C. ❑√3 D.
3
3.（2024·四川） 已知 ，化简 的结果为（D ）
1
