文档内容
2.3.3 二次根式的四则混合运算（第 3 课时） 教学设计
1.教学内容
本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》八年级上册（以下统称“教材”）第二章“实
数”2.3.3二次根式的四则混合运算（3），内容包括：理解并应用二次根式的四则运算法则．
2.内容解析
学生在学习本节课前，已经学习了二次根式的概念、性质以及简单运算，本节内容是在
以上的基础上进行的，是对前面知识的深化和拓展. 但学生在学习时，往往会出现计算错误，
这是因为学生的的计算能力还有待提升，二次根式的综合运算也练习地比较少.因此通过对各
种二次根式运算题目的练习，能够有效提升学生的运算能力，包括准确运用运算法则、合理
选择运算步骤等。在探讨不同计算方法、解决实际图形问题的过程中，能培养学生的逻辑思
维能力、问题解决能力和知识迁移能力。这也为后续学习更复杂的数学知识，如一元二次方
程、函数等涉及到的根式运算奠定了基础，在整个初中数学知识体系中起到了承上启下的作
用.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解并运用二次根式四则运算的核心法则，
掌握混合运算的步骤顺序.
1.教学目标
（1）理解并应用二次根式的四则运算法则，体会转化思想，提升运算能力.
（2）掌握混合运算的步骤和策略，运用分类讨论思想和整体思想，提升逻辑思维能力.
（3）解决实际问题，培养数学建模思想，提升问题解决能力和合作意识.
2.目标解析
（1）学生能准确回忆二次根式的加、减、乘、除运算法则，并通过化简、分母有理化等
步骤，将复杂混合运算转化为简单运算。体现转化思想，能将无理式转化为有理式，重点提
升学生的运算能力（确保计算准确、高效）.（2）学生能分析运算顺序，遵循先乘除后加减、括号优先，识别和处理不同根式，如是
否同类，使用分类讨论思想处理特殊情况，如根式合并的条件差异。体现整体思想，重点提
升学生的逻辑思维能力（推理运算过程的合理性和严谨性）.
（3）学生能结合生活场景，建立数学模型解决二次根式混合运算的应用题。体现数学建
模思想，通过小组讨论培养严谨态度，提升问题解决能力（从抽象到具体）和团队协作能力.
八年级学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的四则运算、实数的概念以及二次根
式的基本性质和简单运算。他们对 “数” 的扩充有了一定的认识，这为学习二次根式的四
则混合运算奠定了知识基础。同时，在之前的数学学习中，学生已经接触过类比的数学思想，
如通过有理数的运算类比学习实数的运算，这有助于他们在本节课中运用类比思想理解二次
根式的运算规则.
1. 学生在进行二次根式的四则混合运算时，学生可能会混淆运算顺序，尤其是在同时涉
及加减乘除运算时，可能出现先算加减后算乘除的错误。这需要教师在教学时强调，或者给
学生展示这类错误，进行提醒与规避.
2. 学生在化简时，对于根号内含有字母的二次根式化简，学生可能难以理解化简的依据
和方法，容易忽略字母的取值范围，导致化简结果错误。针对这个情况，可用“特殊值法”
带入帮助学生理解，或是数学结合的方式代入理解.
3. 在运用类比思想学习二次根式运算时，部分学生可能无法将二次根式的运算与实数的
运算有效联系起来，难以实现知识的迁移.这需要在教学中，多设置有对比性的题目，帮助学
生完成知识的迁移.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：在混合运算中，二次根式的化简与合并，特
别是分母有理化在混合运算中的应用.
1.温故知新
本节课将学习二次根式的混合运算，先回顾以下问题：
(1) 最简二次根式的判断标准是什么？
被开方数不含分母；被开方数不含开得尽的因数或因式.
(2) 如何判断同类二次根式？先将二次根式化到最简，再对比被开方数是否一致
(3) 二次根式的乘除法则是什么?
乘法法则：❑√a⋅❑√b=❑√a⋅b(a≥0,b≥0)
❑√a √a
除法法则： =❑ (a≥0,b>0)
❑√b b
(4) 同类二次根式的加减法则是什么？
系数相加减，被开方数和根指数保持不变
通过以上问题，猜测一下：如何进行二次根式的混合运算？让我们赶紧进入本节课的学
习吧！
（设计意图：由学生回忆并回答，为学习本节的知识做铺垫）
（教学建议：教师提问，指定学生代表回答．回顾二次根式的相关知识，有利于学生在已有
知识的基础上，展开二次根式混合运算的学习）
2.情景引入
教师在多媒体设备上展示情境：
“农科院的工程师设计了两块高科技梯田（如图），用于培育特殊作物。
梯田A：上底 = 6 m，下底 = 10 m，高 = 4 m → 面积：整数解
梯田B：上底 = ❑√18m，下底 = ❑√50m，高 = ❑√8m → 面积：神秘表达式
观测站传回数据：梯田A的产量恰好是梯田B的两倍！但梯田B的面积算式却让计算
(❑√18+❑√50)×❑√8
机‘死机’了：>S = >，你能帮助大家把这个复杂的式子算出来吗？
B 2
(设计意图：用生活情境将二次根式混合运算的式子展示出来，更好的引出本节课的教学内容，
同时让学生感受能够将新知识与生活情境以及其他数学知识联系，不仅激发学生的学习兴趣
与探索欲望，更能体现本节内容的实际应用价值)
探究点1 二次根式的混合运算
1.观察下列两个式子，你认为这两个式子有哪些计算难点？
❑√3 ❑√6 7
① + ； ② ❑√28- .
❑√2 2 ❑√7
答：在这两个式子中，分母都有根号，这直接导致通分困难，进而影响分数的加减运算.
2.仔细观察小明对①式的计算步骤，回答下列问题：
❑√3 ❑√6 ❑√3×❑√2 ❑√6 ❑√6 ❑√6
+ = + = + =❑√6
❑√2 2 ❑√2×❑√2 2 2 2（1）在该计算过程中，分子分母同乘❑√2有上面目的是什么？
答：核心目的是“分母有理化”——将分母中的无理数❑√2化为有理数2.
7
（2）计算❑√28- ，你有哪些方法？
❑√7
解：方法一：先化简再合并
7
❑√28- =2❑√7-❑√7=❑√7
❑√7
方法二：统一成根号内的运算
7 √49
❑√28- =❑√28-❑ =2❑√7-❑√7=❑√7
❑√7 7
（3）分母有理化具体如何操作？
答：当式子中的分母为单项式时，只需分子分母同乘分母中的无理数；
当式子中的分母为多项式时，则需要借助平方差公式，化无理式为有理式.
（4）总结分母有理化的意义.
答：分母有理化是数学中的一种重要变形方法，其核心意义在于将分母中含有的无理数（如根号
形式）转化为有理数，从而简化表达式、方便后续的计算和分析.
3
（5）计算❑√18-❑√2+ 的正确结果是（A）
❑√2
7❑√2 3 ❑√2
A. B. 2❑√2+ C. 3❑√2- D. 4❑√2
2 ❑√2 2
（6）计算( 2 ) 正确结果是（A ）
❑√8+ ÷❑√2
❑√2
2 2
A. 3 B. 2+ C. ❑√8÷❑√2+ ÷❑√2 D. 1+❑√2
❑√2 ❑√2
（设计意图：解决混合运算中分母有理化的问题）
（教学建议：教师引导学生通过观察与归纳，引导学生总结混合运算中最有难度且最容易错
的部分，培养学生主动参与、归纳总结的意识，同时检测了学生的学习效果）
典例分析
例 计算
√3 √2 √1
（1）❑ -❑ （2）❑√18-❑√8+❑
2 3 8（3）( √1) （4）√25 .
❑√24-❑ ÷❑√3 ❑ +❑√99-❑√18
6 2
√3 √2 √3×2 √2×3 1 1 1
解：（1）❑ -❑ =❑ -❑ = ❑√6- ❑√6= ❑√6
2 3 2×2 3×3 2 3 6
√1 √ 2 1 5
（2）❑√18-❑√8+❑ =❑√9×2-❑√4×2+❑ =3❑√2-2❑√2+ ❑√2= ❑√2
8 16 4 4
（3）
( √1) √1 √1 √ 1 √ 2 1 11
❑√24-❑ ÷❑√3=❑√24÷❑√3-❑ ÷❑√3=❑√24÷3-❑ ÷3=❑√8-❑ =❑√4×2-❑ =2❑√2- ❑√2= ❑√2
6 6 6 18 6×6 6 6
√25 √25×2 5 1
（4）❑ +❑√99-❑√18=❑ +❑√99-❑√9×2= ❑√2+❑√99-3❑√2=- ❑√2+❑√99；
2 2×2 2 2
1、对于（3）的计算，你还有其他方法吗？
先化简括号内的式子，在进行除法运算
( ❑√24-❑ √1) ÷❑√3 =( 2❑√6- ❑√6) ÷❑√3 = 11 ❑√6÷❑√3 = 11 ❑√2
6 6 6 6
探究点2 二次根式的混合运算的实际运用
1.化简(√1 ) ，其中 ， 。你是怎么做的？
❑ -❑√b ⋅❑√ab a=28 b=7
a
解：①先化简
(√1 ) √1
❑ -❑√b ⋅❑√ab=❑ ⋅❑√ab-❑√b⋅❑√ab
a a
√1
❑ ⋅ab ❑√b⋅ab ❑√b b❑√a
a
= - = -
②代值
将a=28，b=7代入化简后的式子可得：
❑√7 ❑√28 ❑√7 ❑√7 ❑√7
（1）结合解
-
决
7
此题
=
的过
-1
程
4
，请
=
你
-1
总
3
结此题的方法技巧.
答：在代值求解的计算中，通常先化简，再将已知的值代入，不仅能够 大
大地简化计算，更能够提升正确率.
2. 如图，方格纸中每个小方格的边长均为1。（1）求梯形ABCD的周长。
（2）求梯形ABCD的面积。你有哪些求解方法？与同伴进行交流。
解：（1）周长是四边长度之和，
AD=6，BC= ， ，
❑√17 AB=❑√52+52=5❑√2 CD=❑√12+12=❑√2
周长=AD+BC+AB+CD
=6+❑√17+5❑√2+❑√2=6+❑√17+6❑√2
（2）方法1：“梯形公式法”（直接数底和高）
1
梯形面积公式：S= ×(上底+下底)×高
2
， ，高 =
CD=❑√12+12=❑√2 AB=❑√52+52=5❑√2 h 3❑√2
代入公式得：
1
S= ×(❑√2+5❑√2)×3❑√2=18
2
方法2：“分割法”（数完整格子）
将梯形分割为“矩形+两个直角三角形”，分别数各部分的格子数：
中间矩形：以上底CD为长，以高为宽，面积=6；
左右三角形：面积分别为S =3❑√2×3❑√2÷2=9
左
S =❑√2×3❑√2÷2=3
右
总面积3+6+9=18。
（3）通过以上学习，请你谈谈求图形的面积有哪些方法？
①整体法：可直接用面积公式求出，也可以利用填补的思路，看作一个规则图形，在不填补的部分
减去
②切割法：将图形切割为几个比较好求的部分，再计算出其面积即可.
（4）对比有理数和实数的学习过程，你对“数”的扩充有什么感悟？
①数的扩充是“解决矛盾”的必然结果
②数的扩充保持“运算一致性”
③数的扩充提升“描述准确性”
④数的扩充体现“严谨性”的提升
（设计意图：通过以上例子，学生能够感悟二次根式的混合运算在化简与数形结合中的使
用.）
（教学建议：引导学生化简后代值，在这一过程中强调化简之后计算的简便性，加深学生对
二次根式混合运算的理解.同时引导学生解决数形结合的题目，并用不同的方法思路去解决问题．在这一学习过程中，体会数学中的数学结合思想，提升学生一题多解能力，拓展其学习
思维．）
某社区需要规划一个梯形绿化区，其尺寸如下（单位：米）：上底是 ❑√27，下底为❑√48 ，高为
❑√12，在绿化区内需修建一个矩形水池，水池长为 ❑√6，宽为 ❑√3，水池边与梯形底边平行.已知 剩
余种植面积 为 15❑√3平方米，但测量发现梯形实际高为 ❑√a（a待定），水池尺寸不变。
（1）当 a=12 时，计算梯形绿化区的面积；
（2）求 a的值，使剩余种植面积恰为 15❑√3平方米。
解：（1）当 a=12 时，❑√27=3❑√3,❑√48=4❑√3,❑√12=2❑√3
1 1
S = ×(上底+下底)×高= ×(3❑√3+4❑√3)×2❑√3
梯 2 2
1
= ×7❑√3×2❑√3=7×3=21
2
1 1 7❑√3a
（ ）S = ×(❑√27+❑√48)×❑√a= ×7❑√3×❑√a=
梯 2 2 2
2
S =❑√6×❑√3=❑√18=3❑√2
池
7❑√3a
-3❑√2=15❑√3
2
解出 a：
2772+360❑√6 2772 360❑√6 132 120❑√6
a= = + = +
147 147 147 7 49
132×7 120❑√6 924+120❑√6
a= + =
49 49 49
（设计意图：将二次根式的混合运算与实际问题结和，不仅加深学生对混合运算的理解，更
是锻炼了学生的数学应用能力.）
（教学建议：学生分组讨论探究作答，教师汇总后订正．此类题目第一问一般较为简单，在
进行第二问的化简时，教师可作适当题型与点拨）
1.计算：
√2 √ 1 √1
（1）❑ -❑ （2）❑√12-❑√3+❑
5 10 3
（3）( √1) （4） 。
❑√18-❑ ×❑√8 2❑√75+❑√8-❑√27
2❑√10 ❑√10 2❑√10-❑√10 ❑√10
解：（ ）原式 - = =
5 10 10 10
1 = ❑√3 ❑√3 4❑√3
（2）原式2❑√3-❑√3+ =❑√3+ =
3 3 3
5❑√2 5❑√2
（ ）原式 ×❑√8= ×2❑√2=5❑√2×❑√2=5×2=10
2 2
（3）原式=10❑√3+2❑√2-3❑√3=7❑√3+2❑√2
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学
4 =
生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策
略.
类型一：混合运算类
1. 计算 (❑√27-❑√12)×❑√3+❑
√1
2. ❑√8÷❑√2+(❑√5-❑√3) 2
2
❑√2 ❑√2
解1.原式= (3❑√3-2❑√3)×❑√3+ =3+
2 2
2.原式=
2+(5-2❑√15+3)=10-2❑√15
类型二：代数式求值类
3. 已知 x=❑√7+1，求 x2-2x-6值；
解：先化简x2-2x+1-7
=(x-1) 2-7
代入 可得
x=❑√7+1 (❑√7) 2-7=0
类型三：几何应用类
4. 一个长方形的长为 2❑√6，宽为 ❑√3，求其对角线的长度.
解：长方形的对角线可用勾股定理来求，
根据勾股定理，a2+b2=c2
对角线长为 ❑√(2❑√6) 2+(❑√3) 2=❑√24+3=❑√27=3❑√3 .
类型四：规律探究类
5. 观察下列等式：
√ 1 √3 ❑√6，√ 1 √7 ❑√21…则第n个等式是√ 1 ❑√n(n+2)+1
❑1+ =❑ = ❑2+ =❑ = ❑n+ =
2 2 2 3 3 3 n+1 n+11.（2024·湖南） 计算 ❑√50×❑√2的结果是（A ）
A. 10 B. 5❑√2
C. 2❑√10 D. ❑√100
√1
2.（2024·天津） 计算 ❑√12-❑√3+❑ 的结果为（ A）
3
5❑√3
A. B. 2❑√3
3
❑√3
C. ❑√3 D.
3
3.（2024·四川） 已知 ，化简 的结果为（D ）
1
