文档内容
2.3平行线的性质
考点一：平行线的性质
1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单地说:两直线平行，同位角相等.
2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单地说:两直线平行，内错角相等.
3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单地说:两直线平行，同旁内角互补.
注意：是先有两直线平行，才有以上的性质，前提是“线平行”。
一个结论：平行线间的距离处处相等。题型一：平行线的性质
1．（2021·重庆巫溪·七年级期末）如图，已知 ，且 ，则 （ ）．
A．27° B．63° C．117° D．127°
2．（2021·辽宁·沈阳市第一二六中学七年级阶段练习）如图，直线a∥b，射线DC与直线a相交于点C，
过点D作DE⊥b于点E，已知∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．115° B．125° C．155° D．165°
3．（2021·山东淄博·七年级期末）如图，已知△ABC，∠ABC=90°，AB=BC，顶点A，B分别落在直线b
和直线a上．若a∥b，则∠1+∠2的度数为（ ）A．30° B．45° C．60° D．90°
题型二：根据平行线性质探究角的关系
4．（2022·全国·七年级课前预习）如图，已知AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3等于（ ）
A．60° B．50° C．45° D．30°
5．（2021·江苏宿迁·七年级期中）如图，已知直线 、 被直线 所截， ，E是平面内任意
一点（点E不在直线 、 、 上），设 ， ．下列各式：① ，② ，③
，④ ， 的度数可能是（ ）
A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
6．（2021·江苏·宜兴市实验中学七年级阶段练习）如图：已知∠1＝∠2，下列结论：①∠3＝∠4；②∠3
与∠5互补；③∠1＝∠4；④∠3＝∠2；⑤∠1与∠5互补，正确的有（ ）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
题型三：根据平行线性质求角的大小
7．（2022·吉林长春·七年级期末）如图，AB∥CD，∠FGB＝155°，FG平分∠EFD，则∠AEF的大小为（
）
A．25° B．50° C．70° D．77.5°
8．（2022·全国·七年级）如图，AB∥ED，CD∥EF，若∠1＝145°，则∠2的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．60°
9．（2022·吉林·长春外国语学校七年级期末）如图，已知∠1 = 40°，∠2=40°，∠3 = 140°，则∠4的度数
等于（ ）
A．40° B．36° C．44° D．100°
题型四：平行线性质在生活应用问题
10．（2022·全国·七年级）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的 ，第二次拐的 ，第三次拐的 ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 是（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·浙江·七年级期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，在原来的反方向上平行行驶，
那么汽车两次拐弯的角度是（ ）
A．第一次右拐60°，第二次左拐120° B．第一次左拐70°，第二次右拐70°
C．第一次左拐65°，第二次左拐115° D．第一次右拐50°，第二次右拐50°
12．（2021·全国·七年级期末）如图 是长方形纸带， ，将纸带沿 折叠成图 ，再沿 折叠
成图 ，则图 中的 的度数是（ ）
A．102° B．112° C．120° D．128°
题型五：平行线之间的距离
13．（2021·广西贵港·七年级期末）已知直线 ，且 与 的距离为2cm， 与 的距离为3cm，则
与 的距离为（ ）
A．2cm或3cm B．3cm C．1cm或5cm D．5cm
14．（2021·河南南阳·七年级期末）如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CD、
CE，若△ACD的面积为8，则△BCE的面积为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．4
15．（2020·四川巴中·七年级期末）如图，AB//CD，F为 的平分线的交点， 于点
E，且EF=6，则AB与CD之间的距离是（ ）A．6 B．8 C．10 D．12
题型六：平行线的判定和性质的综合问题
16．（2022·海南海口·七年级期末）如图，AB CD，∠1＝∠A．
（1）试说明：AC ED；
（2）若∠2＝∠3，FC与BD的位置关系如何？为什么？
请在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式．
解：（1）∵AB CD，（已知）
∴∠1＝∠BED，（ ）
又∵∠1＝∠A，（已知）
∴∠BED＝∠ ，（等量代换）
∴ ．（ ）
（2）FC与BD的位置关系是： ．理由如下：
∵AC ED，（已知）
∴∠2＝∠ ．（ ）
又∵∠2＝∠3，（已知）
∴∠ ＝∠ ．（等量代换）
∴ ．（ ）17．（2021·重庆巫溪·七年级期末）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分
∠ACB，交BD于O，且∠EOD+∠OBF=180°，∠F=∠G．求证：DG∥CE．
18．（2021·重庆巫溪·七年级期末）已知：AB∥CD．点E在CD上，点F，H在AB上，点G在AB，CD之
间，连接FG，EH，GE，∠GFB=∠CEH．
(1)如图1，求证：GF∥EH；
(2)如图2，若∠GEH=α，FM平分∠AFG，EM平分∠GEC，试问∠M与α之间有怎样的数量关系（用含α
的式子表示∠M）？请写出你的猜想，并加以证明．一、单选题
19．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级开学考试）如图所示，把一个长方形纸片ABCD沿EF折
叠后，点D，C分别落在点D，C位置，D'恰好在BC上，若∠ ，则∠ED'F等于（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
20．（2022·河南新乡·七年级期末）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC//DE，则
的度数为（ ）
A．5° B．10° C．15° D．20°
21．（2022·河南新乡·七年级期末）如图， ， ， ，则∠BCD的度数为
（ ）A．125° B．135° C．115° D．105°
22．（2022·江苏苏州·七年级期末）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°）按如图所
示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是（ ）
A．38° B．45° C．58° D．60°
23．（2022·福建·泉州五中七年级期末）如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么 BCE＝（ ）
A．180°－ 2＋ 1 B．180°－ 1－ 2 C． 2＝2 1 D． 1＋ 2
一：选择题
24．（2021·河北廊坊·七年级阶段练习）如图，已知∠2＝∠B，∠1＝35°，则∠D的度数是（ ）A．30° B．40° C．50° D．35°
25．（2021·河北廊坊·七年级阶段练习）如图，a//b，∠1＝80°，∠2＝155°，则∠3的度数是（ ）
A．115° B．110° C．105° D．100°
26．（2021·河北廊坊·七年级阶段练习）如图，AD//BC，∠DAC＝65°，∠ACF＝28°，∠EFC＝143°，∠B
＝52°，则∠BEF的度数是（ ）
A．120° B．125° C．127° D．128°
27．（2022·福建福州·七年级期末）一副三角板摆放如图所示，斜边FD与直角边AC相交于点E，点D在
直角边BC上，且FD AB，∠B＝30°，则∠ADB的度数是（ ）
A．95° B．105° C．115° D．125°
28．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期中）如图，一条公路经过两次转弯后又回到原来的
方向，如果第一次的拐角为140°，则第二次的拐角为（ ）A．40° B．50° C．140° D．150°
29．（2021·河南安阳·七年级期末）已知直线 ，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置
（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．55° B．45° C．30° D．25°
30．（2021·安徽六安·七年级期末）如图，已知CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D、F，下列条件不能推出
∠ADG＝∠B的是（ ）
A．∠2＝∠3 B．∠1＝∠3 C．∠1＝∠2 D．∠DGC+∠ACB＝180°
二、填空题
31．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级开学考试）如图，AB//CD，直线 分别交 、
于点E、F， 平分 ，若 ，则 ______．32．（2022·海南海口·七年级期末）如图，∠1＝∠2，∠A＝80°，则∠ADC＝_____度．
33．（2022·山东东营·七年级期末）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=62°，则
∠AEG=_____°．
34．（2022·吉林长春·七年级期末）如图，将三角尺与两边平行的直尺（EF∥HG）贴在一起（∠ACB＝
90°）在直尺的一边上．若∠2＝47°，则∠1的大小为 _____度．
35．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，已知AE∥BC，∠BAC＝105°，∠DAE＝48°，则∠C＝______．36．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级期末）将一把直尺和一块含30°角的直角三角
板按如图所示方式摆放，其中∠CBD=90°，∠BDC=30°，若∠1=78°，则∠2的度数为________．
37．（2022·全国·七年级）如图，AB∥CD，M在AB上，N在CD上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝_______．
三、解答题
38．（2022·山东东营·七年级期末）如图，已知BC平分∠ABD交AD于点E，∠1=∠3，
(1)证明；AB∥CD
(2)若AD⊥BD于点D，∠CDA=34°，求∠3的度数．
39．（2022·四川省渠县中学七年级开学考试）已知，如图，CD平分∠ACB， ，∠AED=82°．求
∠EDC的度数．下面是小明同学的证明过程，请在括号内填上恰当的依据．证明： （已知）
∴∠ACB=∠AED（ ）
∠EDC=∠DCB（ ）
又∵CD平分∠ACB（已知）
∴ （ ）
又∵∠AED=82°（已知）
∴∠ACB=82°（ ）
∴ ，
∴∠EDC=∠DCB=41°（ ）
40．（2022·福建漳州·七年级期末）如图，已知射线AM∥BN，连结AB，点C是射线BN上的一个动点（与
点B不重合），AD，AE分别平分∠BAC和∠CAM，交射线BN于点D，E．
(1)试说明：∠ACB＝2∠AEB；
(2)若∠ADB﹣∠BAD＝45°，求∠AEB的度数．
41．（2022·黑龙江·肇东市第七中学七年级期末）已知直线l∥l，l 和l，l 分别交于C，D两点，点A，B
1 2 3 1 2
分别在线l，l 上，且位于l 的左侧，点P在直线l 上，且不和点C，D重合．
1 2 3 3(1)如图1，有一动点P在线段CD之间运动时，求证：∠APB =∠1+∠2；
(2)如图2，当动点P在点C上方运动时，猜想∠APB、∠1、∠2有何数量关系，并说明理由．
42．（2022·黑龙江·肇东市第七中学七年级期末）如图，AB CD，点E在直线CD上，BG平分∠ABE交
CD于点G．
(1)求证：∠BGE＝∠GBE；
(2)若∠DEF＝70°，求∠FBG的度数．
43．（2022·福建·晋江市季延中学七年级期末）如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)若∠1=135°，∠2=155°，试猜想∠P=______．
(2)在图①中探究∠1，∠P，∠2之间的数量关系，并证明你的结论．(3)将图①变为图②，仍有AB∥CD，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
44．（2022·吉林长春·七年级期末）如图，己知AB∥DC，AC⊥BC，AC平分∠DAB，∠B＝50°，求∠D的
大小．
阅读下面的解答过程，并填括号里的空白（理由或数学式）．
解：∵AB∥DC（ ），
∴∠B+∠DCB＝180°（ ）．
∵∠B＝（ ）（已知），
∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝（ ）（垂直的定义）．
∴∠2＝（ ）．
∵AB∥DC（已知），
∴∠1＝（ ）（ ）．
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAB＝2∠1＝（ ）（角平分线的定义）．
∵AB∥DC（己知），
∴（ ）+∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝ ．
45．（2021·北京·七年级期末）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N=360°，则
称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角．(1)若∠H=120°，则∠H的4系补周角的度数为 °；
(2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE；
①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数；
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中
n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的
位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．1．C
【解析】
【分析】
先根据∠2与∠3是邻补角求得∠3，然后再利用两直线平行，同位角相等即可求得∠1的度数．
【详解】
解：如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：C
【点睛】
本题考查了平行线的性质及邻补角的定义，识图是解决问题的关键．
2．B
【解析】
【分析】
延长CD，与直线b相交于点F，根据平行线的性质，得 ；根据余角的性质，计算得 ，再根据补角的
性质计算，即可得到答案．
【详解】
延长CD，与直线b相交于点F∵直线a∥b
∴
∵DE⊥b
∴
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线、余角和补角的知识；解题的关键是熟练掌握平行线的性质，从而完成求解．
3．B
【解析】
【分析】
根据a∥b，得到∠1+∠3+∠4+∠2=180°，将∠3=45°，∠4=90°代入即可求出结论．
【详解】
解：如图，
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠C=∠3=45°，
∵a∥b，
∴∠1+∠3+∠4+∠2=180°，
∵∠3=45°，∠4=90°，
∴∠1+∠2=45°，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．A
【解析】
略
5．D
【解析】
【分析】
由题意根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【详解】
解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE =β，
1
∵∠AOC=∠BAE+∠AEC，
1 1
∴∠AEC=β-α．
1
（2）如图2，过E 作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE=α，∠2=∠DCE =β，
2 2 2
∴∠AEC=α+β．
2
（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE =∠DCE =β，
3 3
∵∠BAE=∠BOE +∠AEC，
3 3 3
∴∠AEC=α-β．
3
（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE+∠AEC+∠DCE =360°，
4 4 4
∴∠AEC=360°-α-β．
4（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨
论．
6．A
【解析】
【分析】
根据平行线的判定与性质分别对每一项进行分析即可得出答案．
【详解】
解： ，
，
， ，
，
，
与 互补，
与 互补，
与 互补，
与 互补；
正确的有5个；
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等，同旁内角互补．
7．B【解析】
【分析】
由平角可得 ，利用平行线的性质及角平分线可得： ， ，继
续利用平行线的性质即可得出结果．
【详解】
解： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴FG平分 ，
∵ ，
∴ ，
∴故选：B．
【点睛】
题目主要考查平行线的性质及利用角平分线进行计算，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．
8．A
【解析】
【分析】
根据平行线的性质求解即可．
【详解】
∵AB∥ED，
∴∠1+∠D＝180°，
∵∠1＝145°，
∴∠D＝35°，
∵CD∥EF，
∴∠2＝∠D＝35°，
故选：A．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
9．A
【解析】
【分析】
首先根据 得到 ，然后根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠4的度数．
【详解】∵∠1＝40°，∠2＝40°，
∴∠1＝∠2，
∴PQ MN，
∴∠4＝180°﹣∠3＝40°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，内
错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的判定：内错角相等，两直线平行；
同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
10．D
【解析】
【分析】
过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，由题意可得 ，进而可得 ，然后问题可
求解．
【详解】
解：过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，如图所示：
∵第三次拐的 ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，
∴直线BD与第三次拐弯的道路也平行，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选D．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
11．C【解析】
【分析】
根据两直线平行，同位角相等对各选项进行判断．
【详解】
解：A、第一次右拐60°，第二次右拐120°，所以A选项不符合；
B、第一次左拐70°，第二次左拐110°，所以B选项不符合；
C、第一次左拐65°，第二次左拐115°，所以C选项符合；
D、第一次右拐50°，第二次右拐130°，所以D选项不符合．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
12．A
【解析】
【分析】
根据两条直线平行，内错角相等，则∠BFE=∠DEF=26°，根据平角定义，则∠EFC=154°（图a），进一步求得
∠BFC=154°-26°=128°（图b），进而求得∠CFE=128°-26°=102°（图c）．
【详解】
解：∵AD∥BC，∠DEF=26°，
∴∠BFE=∠DEF=26°，
∴∠EFC=154°（图a），
∴∠BFC=154°-26°=128°（图b），
∴∠CFE=128°-26°=102°（图c）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了翻折变换，平行线的性质和平角定义，根据折叠能够发现相等的角是解题的关键．
13．C
【解析】
【分析】
直线a的位置不确定，可分情况讨论：直线a在直线c，b的同侧，或直线a在直线c、b的之间，进而得出a与b
的距离．
【详解】
解：分两种情况：
①如图所示，c与b的距离为3+2=5（cm）；②如图所示，c与b的距离为3-2=1（cm）；
综上所述，c与b的距离为5cm或1cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线
之间的距离．
14．D
【解析】
【分析】
根据平移的性质可得AB=BD=CE，再由平行线间三角形的面积关系求解即可．
【详解】
解：∵△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，
∴AB＝BD，
∴S ABC＝S BCD＝ S ACD＝ ＝4，
△ △ △
∵DE∥BC，
∴S BCE＝S BCD＝4．
△ △
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平移的性质，平行线间面积性质，注意掌握性质的运用是解题的关键．
15．D
【解析】
【分析】
过点 作 于点 ，交 于点 ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 ，再根据
平行线间的距离的定义解答．【详解】
解：如图，过点 作 于点 ，交 于点 ，
，
．
为 、 的平分线的交点， ，
，
与 之间的距离 ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线间的距离的求解，熟记性质并作出辅助线是解题
的关键．
16．（1）两直线平行，内错角相等；A；AC；DE；同位角相等，两直线平行；（2）FC BD；CGD；两直线平
行，内错角相等；CGD；3；FC；BD；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质与判定填空即可；
（2）根据平行线的性质与判定填空即可．
【详解】
解：（1）∵AB∥CD（已知），
∴∠1＝∠BED（ 两直线平行，内错角相等），
又∵∠1＝∠A（已知），
∴∠BED＝∠A（等量代换），
∴AC∥DE（ 同位角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；A；AC；DE；同位角相等，两直线平行；
（2）FC与BD的位置关系是：FC∥BD．理由如下：
∵AC∥ED（已知），
∴∠2＝∠CGD（ 两直线平行，内错角相等），
又∵∠2＝∠3（已知），
∴∠CGD＝∠3（等量代换），
∴FC∥BD（ 内错角相等，两直线平行）．
故答案为：FC∥BD；CGD；两直线平行，内错角相等；CGD；3；FC；BD；内错角相等，两直线平行．【点睛】
本题主要考查平行线的性质和判定：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行；熟记其性质和判定是
解题关键．
17．见详解
【解析】
【分析】
由“对顶角相等”、“同旁内角互补，两直线平行”判定EC∥BF，则同位角∠ECD=∠F．所以结合已知条件，角
平分线的定义，利用等量代换推知同位角∠G=∠ECB．则易证DG∥CE．
【详解】
证明：∵∠EOD=∠BOC，∠EOD+∠OBF=180°，
∴∠BOC+∠OBF=180°，
∴EC∥BF，
∴∠ECD=∠F．
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ECD=∠ECB．
又∵∠F=∠G，
∴∠G=∠ECB．
∴DG∥CE．
【点睛】
本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
18．(1)证明见解析过程
(2)∠FME=90°- ，证明见解析过程．
【解析】
【分析】
（1）由平行线的性质得到∠CEH=∠EHB，等量代换得出∠GFB=∠EHB，即可根据“同位角相等，两直线平行”
得解；
（2）过点M作MQ∥AB，过点G作GP∥AB，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．
(1)
）证明：∵AB∥CD，
∴∠CEH=∠EHB，
∵∠GFB=∠CEH，
∴∠GFB=∠EHB，
∴GF∥EH；
(2)解：∠FME=90°- ，理由如下：
如图2，过点M作MQ∥AB，过点G作GP∥AB，
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD，
∴∠AFM=∠FMQ，∠QME=∠MEC，
∴∠FME=∠FMQ+∠QME=∠AFM+∠MEC，
同理，∠FGE=∠FGP+∠PGE=∠AFG+∠GEC，
∵FM平分∠AFG，EM平分∠GEC，
∴∠AFG=2∠AFM，∠GEC=2∠MEC，
∴∠FGE=2∠FME，
由（1）知，GF∥EH，
∴∠FGE+∠GEH=180°，
∵∠GEH=α，
∴∠FGE=180°-α，
∴2∠FME=180°-α，
∴∠FME=90°- ．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是解题的关键．
19．B
【解析】
【分析】
根据矩形的对边平行知AD∥BC，据此得∠DEF＝∠EFB＝65°，∠ED'F＝∠AED′再根据折叠变换的性质知∠D′EF
＝∠DEF＝65°，继而由∠AED′＝180°−∠DEF−∠D′EF可得答案．
【详解】
解：由题意知AD∥BC，∠EFB＝65°，
∴∠DEF＝∠EFB＝65°，∠ED'F＝∠AED′
根据折叠变换的性质知∠D′EF＝∠DEF＝65°，
则∠AED′＝180°−∠DEF−∠D′EF＝50°，
∴∠ED'F＝50°故选B．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行内错角相等的性质、翻折变换的性质．
20．C
【解析】
【分析】
由两直线平行，内错角相等得到 ，再通过 ，据此求解即可．
【详解】
解：由题意可知， ，
∵
∴
∵
∴
【点睛】
此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．
21．A
【解析】
【分析】
作CF//AB，根据两直线平行，同旁内角互补求解．
【详解】
解：作CF//AB，
∴∠B+∠1=180°，
∵ ，
∴CF//DE，
∴∠D+∠2=180°，
∴∠B+∠1+∠D+∠2=360°，
∵ ， ，
∴∠1+∠2=125°，
即∠BCD=125°，
故选A．【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，
②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．
22．A
【解析】
【分析】
过点 作 ，根据平行线的性质求得 ，进而根据 即可求解
【详解】
如图，过点 作 ，
则
∠BAC＝30°
故选A
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质是解题的关键．
23．A
【解析】
【分析】
根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，这两条性质解答．
【详解】∵AB∥CD，CD∥EF，
∴∠1=∠BCD，∠ECD+∠2=180°，
∴ BCE＝∠BCD+∠ECD=180°－ 2＋ 1，
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，正确选择合适的平行线性质是解题的关键．
24．D
【解析】
【详解】
根据平行线的判定和性质即可求解．
【解答】
解：∵∠2=∠B，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠D，
∵∠1=35°，
∴∠D=35°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键是掌握平行线性质定理、判定定理的应用．
25．C
【解析】
【分析】
过 作 ，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】
解：过 作 ，
，
，
，
，
，，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
26．D
【解析】
【分析】
由平行可得到∠DAC＝∠ACB，结合条件可求得∠FCB＝37°，可得∠EFC+∠FCB＝180°，可判定EF∥BC，进而可
得出结论．
【详解】
解：∵AD//BC，
∴∠ACB＝∠DAC＝65°，
∵∠ACF＝28°，
∴∠FCB＝37°，
∴∠EFC+∠FCB＝143°+37°＝180°，
∴EF//BC．
∵∠B＝52°，
∴∠BEF＝180°﹣52°＝128°．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是平行线的性质与判定，合理利用已知条件进行角度转化是本题的关键．
27．B
【解析】
【分析】
由题意可知∠ADF＝45°，则由平行线的性质可得∠B+∠BDF＝180°，求得∠BDF＝150°，从而可求∠ADB的度数．
【详解】
解：由题意得∠ADF＝45°，
∵ ，∠B＝30°，
∴∠B+∠BDF＝180°，
∴∠BDF＝180°﹣∠B＝150°，
∴∠ADB＝∠BDF﹣∠ADF＝105°．
故选：B
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
28．C【解析】
【分析】
由于拐弯前、后的两条路平行，用平行线的性质求解即可．
【详解】
解：∵拐弯前、后的两条路平行，
∴ （两直线平行，内错角相等）．
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解．
29．A
【解析】
【分析】
易求 的度数，再利用平行线的性质即可求解．
【详解】
解： ， ，
，
直线 ，
，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
30．A
【解析】
【分析】
根据平行线的判定及性质、垂线的含义、余角的含义，逐一判断即可得出答案．
【详解】
解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠BFE=∠ADC=90°，EF CD，
∴∠B=90°-∠3，∠ADG=90°-∠1，∠3=∠2，
∴当∠2=∠3时，
不能推出∠ADG=∠B，故A符合题意；
当∠1=∠3时，
有∠ADG=∠B，
故B不符合题意；
当∠1=∠2时，
有∠1=∠3，
∴∠ADG=∠B，
故C不符合题意；
当∠DGC+∠ACB=180°时，
则DG BC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴∠ADG=∠B，
故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟练掌握并应用平行线的判定与性质．
31．52°##52度
【解析】
【分析】
由平行线的性质，角平分线的定义，得到 ，然后由补角的定义，即可得到答案．
【详解】
解：∵AB//CD，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：52°；
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，补角的定义，熟练掌握这些性质及快速找到角度的关系是解出本
题的关键．
32．100
【解析】
【分析】
由∠1＝∠2可得AB∥CD，即知∠A+∠ADC＝180°，根据∠A＝80°，即得∠ADC＝100°．【详解】
解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝80°，
∴∠ADC＝100°，
故答案为：100．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题关键．
33．56
【解析】
【分析】
根据长方形的对边平行知AD∥BC，据此得∠DEF＝∠EFB＝62°，∠EGF＝∠AEG再根据折叠变换的性质知∠GEF
＝∠DEF＝62°，继而由∠AEG＝180°−∠DEF−∠GEF可得答案．
【详解】
解：由题意知AD∥BC，∠1＝62°，
∴∠DEF＝∠EFB＝62°，∠EGF＝∠AEG
根据折叠变换的性质知∠GEF＝∠DEF＝62°，
则∠AEG＝180°−∠DEF−∠G′EF＝56°，
∴∠EGF＝56°
故答案为：56
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行内错角相等的性质、翻折变换的性质．
34．43
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质求出∠2的度数，再由∠1与∠3互余即可得出结论．
【详解】
解：如图所示：
∵ ， ，
∴
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．【点睛】
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
35．27°
【解析】
【分析】
利用平角定义求出∠EAC的度数，根据 ，求出∠C．
【详解】
解：∵∠BAC＝105°，∠DAE＝48°，
∴∠EAC=180°-∠BAC-∠DAE＝27°，
∵ ，
∴∠C＝∠EAC=27°，
故答案为：27°．
【点睛】
此题考查了平角的定义，平行线的性质：两直线平行内错角相等，熟记平行线的性质是解题的关键．
36．18°##18度
【解析】
【分析】
根据平角及已知条件可得 ，由平行线的性质可得 ，结合图形求解即可得．
【详解】
解： ， ，
∵ ，
∴四边形AEGH为矩形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴故答案为： ．
【点睛】
题目主要考查角度的计算及平行线的性质，理解题意，结合图形求角度是解题关键．37．540°
【解析】
【分析】
首先过点E、F作EG、FH平行于AB，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案．
【详解】
如图，过点E、F作EG、FH平行于AB，
∵AB∥CD，
∵AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠1+∠MEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFN+∠4＝180°，
∴∠1+∠MEF+∠EFN+∠4＝540°，
故答案为：540°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
38．(1)见解析
(2)∠3的度数为28°．
【解析】
【分析】
（1）由角平分线的定义得到∠1=∠2，即得∠2=∠3，即可判定AB∥CD；
（2）由垂直的定义得出∠ADB=90°，可得∠CDB=∠CDA+∠ADB=124°，由平行线的性质得出∠ABD=56°，根据角
平分线的定义即可得解．
(1)
证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB∥CD．(2)
解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵∠CDA=34°，
∴∠CDB=∠CDA+∠ADB=34°+90°=124°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∴∠ABD=180°-124°=56°，
∵BC平分∠ABD，∠1=∠3．
∴∠3=∠1=∠2= ∠ABD=28°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解
题的关键．
39．两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；等量代换；等量代换
【解析】
【分析】
由角平分线的定义，结合平行线的性质，易求∠EDC的度数．
【详解】
证明：∵DE∥BC（已知）
∴∠ACB=∠AED（两直线平行，同位角相等）
∠EDC=∠DCB（两直线平行，内错角相等）
又∵CD平分∠ACB（已知）
∴∠DCB= ∠ACB（角平分线的定义）
又∵∠AED=82°（已知）
∴∠ACB=82°（等量代换）．
∴∠DCB= ×82°=41°．
∴∠EDC=∠DCB=41°（等量代换）．
故答案是：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；等量代换；等量代换．
【点睛】
本题考查了平行线的性质．这类题首先利用平行线的性质确定内错角相等，然后根据角平分线定义得出所求角与
已知角的关系转化求解．
40．(1)证明见解析
(2)【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的性质可得 ，再根据平行线的性质可得 ，即
可得证 ．
（2）根据平行线的性质可得 ，根据角平分线的性质可得 ，根据角
的和差关系可得 ，由（1）的结论可得 ．
(1)
解：∵AE平分∠CAM
(2)
解：
∵AD平分∠BAC
由（1）知，
【点睛】
此题考查了平行线的角度问题，解题的关键是掌握平行线的性质以及判定定理、角平分线的性质．
41．(1)见解析
(2)∠2=∠1+∠APB．理由见解析
【解析】
【分析】
（1）过点P作PE∥l，根据l∥l 可知PE∥l∥l，故可得出∠1=∠APE，∠2=∠BPE．再由∠APB=∠APE+∠BPE即可
1 1 2 1 2
得出结论；（2）过P作PG∥l，依据l∥l，可得PG∥l∥l，进而得到∠2=∠BPG，∠1=∠APG，再根据∠BPG=∠APG+∠APB，
1 1 2 1 2
即可得出∠2=∠1+∠APB．
(1)
解：证明：如图①，过点P作PE∥l，
1
∵l∥l，
1 2
∴PE∥l∥l，
1 2
∴∠1=∠APE，∠2=∠BPE．
又∵∠APB=∠APE+∠BPE，
∴∠APB =∠1+∠2；
(2)
结论：∠2=∠1+∠APB．
证明：如图②，过P作PG∥l，
1
∵l∥l，
1 2
∴PG∥l∥l，
1 2
∴∠2=∠BPG，∠1=∠APG，
∵∠BPG=∠APG+∠APB，
∴∠2=∠1+∠APB．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
42．(1)见解析
(2)145°
【解析】
【分析】
（1）根据AB CD，可得∠ABG＝∠BGE，根据BG平分∠ABE，可得∠ABG＝∠GBE，进而可得∠BGE＝∠GBE；
（2）根据AB CD，可得∠ABE＝∠DEF＝70°，根据平角定义可得∠ABF＝180°−∠ABE＝110°，根据BG平分
∠ABE，可得∠ABG＝ ∠ABE＝35°，进而可得∠FBG的度数．
(1)
证明：∵AB CD，
∴∠ABG＝∠BGE，
∵BG平分∠ABE，
∴∠ABG＝∠GBE，
∴∠BGE＝∠GBE；
(2)
∵AB CD，
∴∠ABE＝∠DEF＝70°，
∴∠ABF＝180°−∠ABE＝110°，
∵BG平分∠ABE，
∴∠ABG＝ ∠ABE＝35°，
∴∠FBG＝∠ABF＋∠ABG＝110°＋35°＝145°．
答：∠FBG的度数为145°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
43．(1)70°；
(2)∠EPF+(∠1+∠2) =360°，理由见解析；
(3)∠PGF的度数为140°．
【解析】
【分析】
（1）过点P作PQ∥AB，由平行线的性质得到∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，进一步计算即可求得∠EPF的
度数；
（2）同（1）法即可求得∠EPF+(∠1+∠2) =360°；
（3）过点P作PQ∥AB，过点G作GH∥AB，由平行线的性质即可求解．
(1)
解：过点P作PQ∥AB，
∴∠1+∠EPQ=180°，
∵∠1=135°，
∴∠EPQ=180°-∠1=45°，∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠2+∠FPQ=180°，
∵∠2=155°，
∴∠FPQ=180°-∠2=25°，
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=70°；
故答案为：70°；
(2)
解：∠EPF+(∠1+∠2) =360°，理由如下：
过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，
即∠EPQ=180°-∠1，∠FPQ=180°-∠2，
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=360°-(∠1+∠2)；
即∠EPF+(∠1+∠2) =360°；
(3)
解：过点P作PQ∥AB，过点G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥GH∥CD，
∴∠1+∠3=180°，∠4+∠5=180°，∠6+∠2=180°，
∴∠1+∠3+∠4+∠5+∠6+∠2=540°，
∵∠EPG=75°，
∴∠3+∠4=75°，∵∠1+∠2=325°，
∴∠5+∠6=540°-(∠1+∠2)-(∠3+∠4)= 540°-325°-75°=140°．
∴∠PGF的度数为140°．
．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
44．见解析．
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质可得 ，从而可得 ，再根据垂直的定义可得 ，从而
可得 ，然后根据平行线的性质可得 ，根据角平分线的定义可得 ，最后根
据平行线的性质即可得．
【详解】
解：∵ （已知），
∴ （两直线平行，同旁内角互补）．
∵ （已知），
∴ ．
∵ （已知），
∴ （垂直的定义）．
∴ ．
∵ （已知），
∴ （两直线平行，内错角相等）．
∵ 平分 （已知），
∴ （角平分线的定义）．
∵ （己知），
∴ （两条直线平行，同旁内角互补）．
∴ ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、垂直的定义、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
45．(1)60(2)①∠B=75°，②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时
k=2n．
【解析】
【分析】
（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义列出方程求解便可；
（2）①过E作EF∥AB，得∠B+∠D=∠BED，再由已知∠D=60°，∠B是∠E的3系补周角，列出∠B的方程，求得
∠B便可；
②根据k系补周角的定义先确定P点的位置，再结合∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE求解k与n的关系即可求解．
(1)
解：设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得，120+4x=360，
解得，x=60，
∠H的4系补周角的度数为60°，
故答案为：60；
(2)
解：①过E作EF∥AB，如图1，
∴∠B=∠BEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，∠D=60°，
∴∠D=∠DEF=60°，
∵∠B+60°=∠BEF+∠DEF，
即∠B+60°=∠BED，
∵∠B是∠BED的3系补周角，
∴∠BED=360°-3∠B，
∴∠B+60°=360°-3∠B，
∴∠B=75°；
②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n．
