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3.2 平面直角坐标系第 1 课时 导学案
（1）理解坐标系的概念和点的坐标表示，掌握由点求坐标和由坐标描点的方法；
（2）建立点与坐标的一一对应关系，能体会到“一一对应”和数形结合的数学思想。
复习数轴的概念和有序数对表示法：
（1）数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线，数轴上的点与实数一一对应，右边的点表示正
数，左边的点表示负数，原点表示零。
（2）有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作 ( a ， b ) 。
新知探究（一） 平面直角坐标系与点的坐标表示（自学）
1.图3-4呈现了北京市部分景点的大致位置，确定平面中的点的位置需要两个数据，我们能不能根据所
学，用两个数据表示出各个景点的位置?
预设：建立网格，如图3-5。
尝试·思考：
（1）如图3-5，小亮在景点图上画上了方格，标上数字，并用(0,0)表示卢沟桥的位置，用(11, 4)表示天
安门广场的位置，那么北京奥林匹克公园的位置应如何表示? (5, 12) 表示哪个最点的位置? (6, 5)呢?
答：北京奥林匹克公园(11, 12) 、(5, 12) 圆明园、(6, 5)玉渊潭公园。
（2）在图3-6中，看到了什么？
预设：以天安门广场作为基点，有两条互相垂直的数轴。
（3）在图3-6中怎么借助两条数轴表示各个景点的位置？
预设：找到数轴上的的点用有序数对表示。
（4）如图3-6,如果小亮和他的朋友位于天安门广场，并用(0，0)表示天安门广场的位置，那么你能分别
表示北京奥林匹克公园、卢沟桥的位置吗?
答：北京奥林匹克公园(0, 8)、卢沟桥(-11, -4)。
概念学习：
·平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴称为 x 轴或横
轴，竖直的数轴称为 y 轴或纵轴 ， x 轴和 y 轴 统称坐标轴，它们的公共原点O称为平面直角坐标系的原点。
·点的坐标：建立了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一组有序实数对来表示了。如图3-7,对于平面
内任意一点P， 过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数 a 、 b 分别称为点P的横坐
标 、 纵坐标 ，有序实数对(a, b)称为点P的坐标。
·象限：如图3-8,在平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了四部分。右上方的部分称为第一象
限，其他三部分按逆时针方向依次称为第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不在任何一一个象
限内。
新知探究（二） 根据坐标找点（操作与思考）
（1）在图3-10所示的平面直角坐标系中，描出下列各点:A(-5, 0), B(1, 4), C(3, 3),D(1,0)，E(3,-
3),F(1,-4)。 B(1,4)
C(3,3)
（2）依次连接A, B, C, D, E, F,A,你得到什么图形?
答：心形。 A(-5,0) D(1,0)
（3）通过上面的操作，坐标系中点与有序实数对之间有何关系?
E(3,-3)
预设：一一对应。
F(1,-4)
·平面中的点与有序实数对的关系：
在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应；反过
来，对于任意一个有序实数对,都有平面上唯一的一点与它对应。
例1.写出图3-9中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标。
答:如图3-9，各个顶点的坐标分别是A(-2, 0), B(O, -3), C(3, -3),
D(4, 0), E(3, 3), F(0, 3)。
（一）P60随堂练习
1.右面是某学校的示意图，以办公楼所在位置为原点，以图中小方格的边长为单位长度，建立平面直角坐
标系。（1）请写出教学楼、实验楼、图书馆的坐标;
（2）学校准备在(-3,-3)处建一栋学生公寓，请你标出学生公寓的位置。
y
x
·(-3,-3)
（二）题型总结
题型一.给出点写坐标与根据坐标描点
2.完成下列各题：
(1)写出图中A,B,C,D各点的坐标．
(2)描出点 ．
(3)顺次连接A,B,C,D各点，围成的封闭图形是什么图形，并计算它的面积．
【分析】本题考查的是坐标与图形，掌握“确定坐标系内点的坐标以及根据点的坐标确定点的位置”是解
本题的关键．
（1）根据图中A,B,C,D的位置写出点的坐标即可；
（2）根据 ，在坐标系内确定点的位置即可；
（3）由四边形的四条边相等，四个角是直角可得答案．
【详解】（1）解：由题意得 ；
（2）解：如图所示；
（3）解：如图所示，四边形 是正方形，它的面积是 ．题型二.根据图形的性质求坐标（坐标与图形）
3.课间，顽皮的小刚拿着老师的等腰直角三角尺放在黑板上画好了的平面直角坐标系内（如图），已知直
角顶点H的坐标为 ，另一个顶点G的坐标为 ，则顶点K的坐标为 ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
根据余角的性质，得到 ，根据全等三角形的判定与性质，得到 ， 的长度，由此得
到答案．
【详解】如图，作 轴， 轴，
，， ，
又 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
故答案为： ．
4．如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别是 ， ， ，则到
三个顶点距离相等的点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线上任意一
点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．到 三个顶点距离相等的点是 与 的垂直平分线的
交点，进而得出其坐标．
【详解】解：如图所示， 与 的垂直平分线的交点为点D，∴到 三个顶点距离相等的点的坐标为 ，
故答案为： ．
·拓展提升：
5.如图，在平面直角坐标系 中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底” ：
任意两点横坐标差的最大值：“铅垂高” ：任意两点纵坐标差的最大值，则A，B，C三点的“矩面积”
．例如：三点坐标分别为 ，则“水平底” ，“铅垂高” ，A，
B，C三点的“矩面积” ．
根据所给定义解决下列问题：
(1)已知点 ，则A，B，C三点的“矩面积” ______；
(2)已知点 ， ，在 轴上是否存在点 ，使这三点的“矩面积”为 ？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知点 ，若 ，设A，B，M的“矩面积”为 ，A，B，N
的“矩面积”为 ．若 为固定值，求 的取值范围．
【分析】本题主要考查了新定义，坐标与图形，解题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题．（1）根据新定义进行求解即可；
（2）设点 ，根据点 ， ，分 和 两种情况求解即可；
（3）分当 时，当 时， 当 时，当 时，分别求出 、 ，再根据 为固定
值，讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，
，
故答案为： ；
（2）解：存在．设点
当 时，由题意得： ，
，
若 ，即 ，
∴
点 的坐标为 ，
当 时，由题意得： ，
∴
若 ，即 ，
∴ ，
点 的坐标为 ，
综上：点 的坐标为 和 ．
（3）解：若 ，则 ； ，则 ，
①当 时， ， ，是固定值；
②当 时， ， ， 不是固定值；③当 时， ， ， 不是固定值；
④当 时， ， ， 是固定
值．
综上， 的取值范围是 或 ．
