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第 3 课时 三角形的中线、角平分线、高
1．掌握三角形的中线、角平分线、高的定义；(重点)
2．能够准确地画出三角形的中线、角平分线和高，并能够对其进行简单的应用．(难
点)
一、情境导入
这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？本节我们一
起来解决这个问题．
二、合作探究
探究点一：三角形的中线
【类型一】 应用三角形的中线求线段的长
在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长
大2cm，则BA＝________.
解析：如图，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴△ABD的周长－△ADC的周长＝(BA
＋BD＋AD)－(AC＋AD＋CD)＝BA－AC＝BA－5cm＝2cm，∴BA＝7cm.故答案为7cm.
方法总结：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD与△ADC
的周长之差转化为边长的差．
【类型二】 利用中线解决三角形的面积问题
如图，在△ABC 中，E 是 BC 上的一点，EC＝2BE，点 D 是 AC 的中点，设
△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S ，S 和S ，且S ＝12，则S －
△ABC △ADF △BEF △ABC △ADF
S ＝________．
△BEF
解析：∵点D是AC的中点，∴AD＝AC.∵S ＝12，∴S ＝S ＝×12＝6.∵EC＝
△ABC △ABD △ABC
2BE，S ＝12，∴S ＝S ＝×12＝4.∵S －S ＝(S ＋S )－(S ＋S )＝S
△ABC △ABE △ABC △ABD △ABE △ADF △ABF △ABF △BEF △ADF
－S ，即S －S ＝S －S ＝6－4＝2.故答案为2.
△BEF △ADF △BEF △ABD △ABE
方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于
底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
探究点二：三角形的角平分线如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE
＝40°，求∠ADB的度数．
解析：根据AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，得出∠BAD＝30°.再利用CE是
△ABC的高，∠BCE＝40°，得出∠B的度数，进而得出∠ADB的度数．
解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE 是
△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－30°－50°
＝100°.
方法总结：通过本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法，同时此类问题往往和
三角形的高综合考查．
探究点三：三角形的高
【类型一】 三角形高的画法
作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是( )
解析：从三角形的顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．过
点C作边AB的垂线段，即作AB边上的高CD，所以作法正确的是D.故选D.
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该
边或在该边的延长线上．
【类型二】 根据三角形的面积求高
如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若
点P在边AC上移动，则BP的最小值为________．
解析：根据“垂线段最短”，当BP⊥AC时，BP有最小值．由△ABC的面积公式可知
AD·BC＝BP·AC，解得BP＝.故答案为.
方法总结：解答此题可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，这种解题方
法通常称为“面积法”．【类型三】 三角形的内角与角平分线、高的综合运用
在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，
求∠DCE的度数．
解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出
∠ACB，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE
即可．
解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB
＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°－30°＝60°.∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE＝×90°＝
45°，∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
方法总结：本题是常见的几何计算题，解题的关键是利用三角形的内角和定理和直角
三角形两锐角互余性质，找出角与角之间的关系并结合图形解答．
三、板书设计
1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三
角形的高．
2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．
3．三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角
的顶点与交点的线段叫做三角形的角平分线．
本节课由实际问题“平分三角形蛋糕”引入，让学生意识到数学与实际生活的密切联
系，明确数学来源于实践应用于实践，进而学习用数学方法解决实际问题．然后从画图入
手，分三种情况，即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，培养学生分类讨论思想．同
时，可以在学生头脑中对这三种线段留下清晰的形象，然后结合这些具体形象叙述它们的
定义以及表示方法，最后通过例题进一步巩固
