文档内容
第四章 一次函数
4.4一次函数的运用（3）导学案
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学习目标与重难点
学习目标：
1、经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的过程，发展应用意识。
2、进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力。进一步体会函数与方程的联系。
3、利用一次函数图象（两条直线）分析、解决简单实际问题，发展几何直观。
学习重点：用一次函数知识解决生活中的实际问题
学习难点：将实际问题转化为数学问题
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预习自测
一、知识链接
一次函数的解析式、一次函数的图像及性质 。
二、自学自测
如图所示，L1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，L2反映了该公司产品的销售成本
与销售量的关系，根据图象填空：
（1）当销售量为2t时，销售收入 元，销售成本 元.
（2）当销售量为6t时，销售收入 元， 销售成本 元。
（3）当销售量等于 时，销售收入等于销售成本.
（4）当销售量 时,该公司赢利(收入大于成本)；当销售量 时,该公司亏损(收入小于成
本)；
（5）当销售量等于 时，该公司盈利1000元.
(6)L1对应的函数表达式是 ，
1L2对应的函数表达式是 ，
（7）由于收入与销售量的关系式是Y=1000x,
成本与销售量的关系式是y=500x+2000
利用关系式验证当销售量等于6吨时，该公司盈利1000元.
回顾与思考:
收入与销售量的关系式是Y=1000x,
成本与销售量的关系式是y=500x+2000
1000,500,2000实际意思是什么？
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教学过程
一、创设情境、导入新课
《龟兔赛跑》
下图是龟兔赛跑时间（分钟）与路程（米）的图像，关于这个故事你能提出那些数学问题?并解答自
己的问题.
（1）这一次是 米赛跑。
（2）那条直线表示兔子的图象？哪条直线表示乌龟的图像？
，
（3）当乌龟到达终点时，兔子到终点还需要 分钟。
（4）兔子睡觉前的速度是 ，睡觉后的速度是 。乌龟的速度 。
（5）乌龟和兔子在 分钟处于同一位置，这位置距离终点 米
二、合作交流、新知探究
课本第99页例题3：图4--11是某景区游览线路图，甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是
2沿游览线路追赶乙，图4-12中 分别是两人分别到观景台1的路程S(单位：m)和时间t(单位
min)之间的关系，
假设两人的速度保持不变，回答下列问题
（1）哪条直线表示甲到观景台1路程与追赶时间的关系？
。
（2）甲、乙两人的速度哪个快？
（3）30min甲能否追上乙
（4）到达观景台3后道路分岔，甲能否追上乙？
（5）甲追上乙的时间是多少？此时甲、乙分别走了多少米？
（6）图中的点P的含义是什么？
（7）写出 ， 的代数式，代数式中的K值和b值分别是多少？各表示什么意义？
小结：应用一次函数解决问题的方法
图像法；直观分析问题中的变化趋势，图像位置、交点位置、参数K值和b值的含义。
3代数法：根据一次函数的解析式，分析函数的增减性，
建立模型，利用一元一次方程求解与x轴、y轴的交点，利用一元一次方程组求解交点坐标。
三、课堂练习、巩固提高
1．某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录
的数据可绘制如图所示的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如
图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A. 第10天销售20千克
B．一天最多销售30千克
C. 第9天与第16天的日销售量相同
D．第19天比第1天多销售4千克
2. 甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A、B两地间的路程为20km．他们前进的路程
为s(km)，甲出发后的时间为t(h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，
下列说法正确的是( )
A．甲的速度是4km/h
B．乙的速度是10km/h
C．乙比甲晚出发1h
D．甲比乙晚到B地3h
3.一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时
从点A出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速
跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C，下列选项中，能符合题意反映甲、乙两人出发
后2小时内运动路程y（千米）与时间x（小时）函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
4. 已知关于x的方程mx+n=0的解是x=2，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是 .
5. 一元一次方程3x+2=8的解是 ， 则一次函数y=3x+2在自变量x= 时的函数值是8；
6. 直线y=3x+6与x轴的交点的横坐标x的值是方程2x+a=0的解，则a的值是 4 .
能力提升：
7. 如图，在平面直角坐标系中，点A，A，A，A…A 都在直线1：y＝ x+1上，点B，B ，
1 2 3 n 1
4B ，B …B 都在x轴上，且AB ⊥1，B A⊥x轴，AB ⊥1，B A⊥x轴，则A 的横坐标为: ,
2 3 n 1 1 1 1 2 2 2 n
（用含有n的代数式表示）。
【解析】先求出 的长度，找出规律求出 ，再计算 即可得到 的横坐标。
拓展迁移
8．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙离开A城的距离y（千米）
与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题：
（1）乙车比甲车晚出发多少时间？
（2）乙车出发后多少时间追上甲车？
（3）求乙车出发多少时间，两车相距50千米？
9．如图1，甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以
各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同
时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如
图2，结合图象信息解答下列问题：
（1）乙车的速度是多少千米/时，乙车行驶全程的时间t等于多少小时；
5（2）求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函
数关系式；
（3）直接写出甲车出发多长时间两车相距80千米．
5
四、总结反思、拓展升华
应用一次函数解决问题的方法
图像法；直观分析问题中的变化趋势，图像位置、交点位置、参数K值和b值的含义。
代数法：根据一次函数的解析式，分析函数的增减性，
建立模型，利用一元一次方程求解与x轴、y轴的交点，利用一元一次方程组求解交点坐标。
数学思想：数形结合、模型化，
数学能力：识图能力、创新能力，
五、【作业布置】
基础达标：
1. 甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶，甲车先到达B地后，立即按原路以
相同速度匀速返回(停留时间不作考虑)，直到两车相遇.若甲、乙两车之间的距离y(km)与两车行驶的
时间x(h)之间的函数图象如图所示，则A，B两地之间的距离为( )
A.150 km B.300 km
6C.350 km D.450 km
2.在市举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之
间的函数关系图象如图所示，根据图象得到下列结论，其中错误的是（ ）
A．这次比赛的全程是500米
B．乙队先到达终点
C．比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度
快
D．乙与甲相遇时乙的速度是375米/分钟
3.货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同
的速度沿原路返回甲地．已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度
为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y(千米)与各自行驶时间t(小时)
之间的函数图象是( )
4.甲、乙两人从学校沿同一路线到距学校3000m的图书馆看书，甲先出发，他们距学校的路程y
（m）与甲的行走时间x（min）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）甲行走的速度为 m/min，
乙比甲晚出发 min．
（2）直线BC所对应的函数表达式为 ．
（3）甲出发 min后，甲、乙两人在途中相遇．
能力提升：
5.甲、乙两人同时从A、B两地出发相向而行，甲先到达B地后原地休息，甲、乙两人的距离y
（km）与乙步行的时间x（h）之间的函数关系的图象如图，则a=_______b= .
拓展迁移：
6.某校运动会需购买A、B两种奖品共100件．若A种奖品每件10元，B种奖品每件15元，设购买
A、B两种奖品的总费用为W元，购买A种奖品m件．
7（1）求出W（元）与m（件）之间的函数关系式；
（2）若总费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，试求出最少费用W的
值．
7.新华文具店的某种毛笔每支售价2.5元，书法练习本每本售价0.5元，该文具店为促销制定了两种
优惠办法：
甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；
乙：按购买金额打九折付款。
实验中学欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x(x≥10)本。
(1)请写出用甲种优惠办法实际付款金额y甲(元)与x(本)之间的函数关系式；
(2)请写出用乙种优惠办法实际付款金额y乙(元)与x(本)之间的函数关系式；
(3)若购买同样多的书法练习本时，你会选择哪种优惠办法付款更省钱；
课堂练习参考答案：
1、C
2、C
3、A
4、(2,0)
5、X=2; 2
6、4
7、 ;
8【解析】先求出 的长度，找出规律求出 ，再计算 即可得到 的横坐标。
8、解：（1）由图象可知乙车比甲车晚出发1个小时．
（2）设甲的函数解析式为y=kt，把点（5，300）代入得到k=60，故y=60x，
设乙的函数解析式为y=k′t+b，把点（1，0）和点（4，300）代入得到K′=100,b=100
故y=100t﹣100，
联立得
y=60t
y=100t﹣100
t=2.5, y=150
2.5-1=1.5
所以乙车出发后1.5小时追上甲车．
（3）分两种情况讨论
①相遇前相距50千米
由题意：60t﹣（100t﹣100）=50
解得t=1.25
1.25-1=0.25(小时）
②相遇后相距50千米
由题意得：100t﹣100﹣60t=50
解得t=3.75
3.75-1=2.75（小时）
所以求乙车出发0.25或2.75小时，两车相距50千米．
9、
解：（1）∵乙车比甲车先出发1小时，由图象可知乙行驶了80千米，
∴乙车速度为：80千米/时，乙车行驶全程的时间t=480÷80=6（小时）；
（2）∵甲车到达C地后因立即按原路原速返回A地，
∴结合函数图象可知，当x=2.5时，y=300；当x=5时，y=0；
甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y=kx+b，
将(2.5,300),(5,0)代入y=kx+b，得：
K=-120,b=600
甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y=﹣120x+600；
（3）由题意可知甲车的速度为：600÷5=120（千米/时），
设甲车出发m小时两车相距8O千米，有以下两种情况：
①两车相向行驶时，有：120m+80（m+1）+80=480，
9解得：m=1.6；
②两车同向行驶时，有：600﹣120m+80（m+1）﹣80=480，
解得：m=3；
∴甲车出发1.6小时或3小时两车相距80千米．
课外作业参考答案：
1、D
2、C
3、C
4、(1) 50; 10 (2) y=100x-1000 (3) 20
5、【解析】 AB两地相距21千米，3小时相遇，速度和21÷3=7，乙速度21÷7=3，∴甲速度7-
3=4，甲行完全程的的时间21÷4=5.25.此时乙行驶的路程是5.25×3=15.75.
所以a=5.25;b=15.75。
6、解：（1）由题意W=10m+15(100-m)=﹣5m+1500．
（2）由 解得70≤m≤75，
∵W=﹣5m+1500，k=﹣5＜0，W随m的增大而减小，
∴当m=75时，W最小值=1500﹣5×75=1125（元）．
7、解：（1）y=2.5×10+(x-10)×0.5=0.5x+20(x≥10)
所以种优惠办法实际付款金额y甲(元)与x(本)之间的函数关系式是y=0.5x+20(x≥10)
(2)y=(2.5×10+0.5X)×90%=0.45X+22.5
所以乙种优惠办法实际付款金额y乙(元)与x(本)之间的函数关系式是y=0.45x+22.5
(3)0.5x+20-(0.45x+22.5)=0.05x-2.5,
当0.05x-2.5=0, x=50,所以当书法练习本等于50时，两种方案费用相同；
当0.05x-2.5＞0, x＞50,所以当书法练习本大于50时，乙种方案省钱；
当0.05x-2.5＜0, x＜50,所以当书法练习本小于50时，甲种方案省钱；
所以当10 x＜50，选择甲种方案省钱；当x=50,两种方案费用相同；当x＞50，选择乙种方案
省钱。
10
