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第五章 分 式与分式方程
5.1 分式及其基本性质
第 2 课时 分式的基本性质
【素养目标】
1.通过类比整式的基本性质探索分式的基本性质，初步学会运用类比迁移的思想方法研
究数学问题．
2.理解并掌握分式的基本性质．
3.能运用分式的基本性质约分和通分．
重点：掌握分式的基本性质，利用分式的基本性质进行分式的约分和通分．
难点：确定公分母，灵活运用分式的基本性质进行分式的约分和通分．
【复习导入】
1. 什么是分式 ?
2. 分式有意义的条件 ?
【合作探究】
探究点1：分式的基本性质
思考1：下列分数哪两个之间是相等的？并说出理由.
2 1 7 24
3 8 12 36
a 1
思考2：你认为分式 与 相等吗 ?
a2 a
想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗 ?
[知识要点]
分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.
上述性质可以用等式表示为：
b b赘m b b m
= ， = (m ≠ 0).
a a赘m a a m
第 1 页其中 a，b，m 是整式.
[典例精析]
例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
b by bx b2
(1) = (y≠0) (2) = .
2x 2xy ax a
提问：在例1 (2)中，为什么 x≠0 ?
例2 化简下列分式：
思考：运用分式的基本性质应注意什么 ?
[对应训练]
1. 填空：
3x2y 3x bn+n ( ) b ( )
(1) = ; (2) = ;(3) = ;(4)
5xy2 ( ) an+cn a+c 2ab 4a2b
x x2 −x
= (x≠1)
x+1 ( )
[易错辨析]
1.下列分式运算中正确的是( ).
a ac x−y y−x x+xy 1 0.3a+b 3a+10b
A. = B. = C. = D. =
b bc x+ y x−y x3+xy x2 0.2a+0.5b 2a+5b
探究点2：分式的约分
问题1 分数约分中关键的步骤是什么？
第 2 页问题2 类比分数的约分，观察例2，你能想出如何对分式进行约分吗？
[知识要点]
约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
[典例精析]
例3 约分：
(1) −25a2bc3 ; (2) x2−9 .
15ab2c x2+6x+9
[操作·交流]
5x y
化简分式：
20x2y
5x y
在化简分式 时，小宇和小丽的做法出现了分歧：
20x2y
5x y 5x 5x y 5xy 1
小颖： = . 小明： = = .
20x2y 20x2 20x2y 4x ∙ 5xy 4x
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
[知识要点]
最简分式
分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式.
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分
式或整式.
[练一练]
1. 下列分式是最简分式的个数为( ).
x−y 2mn x+2 3x
① ; ② ; ③ ; ④ .
x+y 3a2b x2 −4 4xy
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
[知识要点]
约分的基本步骤：
(1) 若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
第 3 页(2) 若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公
因式．
注意事项：
(1) 约分前后分式的值要相等.
(2) 约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
(3) 约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个
因式.
[观察·思考]
−x x −x x
(1) 与 有什么关系 ? 与 有什么关系?
y −y −y y
−x x x x
(2) 与 − 有什么关系? 与 − 有什么关系?
y y −y y
[知识要点]
分式的符号法则
分式的分子、分母与分式本身这三处的正负号，同时改变两处，分式的值不变.
式子表示：
当堂反馈
1.下列等式从左到右变形正确的是( )
n n＋1 b b－m
A. ＝ B. ＝
m m＋1 a a－m
ab b b b2
C. ＝ D. ＝
a2 a a a2
x 4m x＋π b2－4 xy
2.下列分式 ， ， ， ， 中，最简分式的个数是( )
x2 2m＋4 x b＋2 x＋y
A.1 B.2 C.3 D.4
x
3.若分式 中，x，y，z的值都变为原来的3倍，则分式的值是原来的 倍.
y＋z
m2－2m＋1
4.化简： ＝ .
m2－1
a 2 a
5.若 ＝ ，则 ＝ .
b 3 a＋b
6.化简下列分式：
第 4 页6x y2
(1) ；
－2y
x2－2xy＋y2
(2) .
y－x
参考答案
【复习导入】
1. 一般地，用 A，B 表示两个整式，A÷B 可以表示成 的形式， 如果 B 中含有
A
字母，那么称 为分式.
B
2. 分式的分母不等于零.
【合作探究】
探究点1：分式的基本性质
2 24
思考1：解 ： = 理由 ： 分数的基本性质 ： 分数的分子与分母同时乘(或除
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以)一个不等于零的数，分数的值不变。
[典例精析]
例1 解：(1) 因为 y≠0 ，所以 ；
(2) 因为 x≠0 ，所以
例2 解： ；
(2) .
[对应训练]
1.(1) 5y; (2) b+1 ; (3) 2ab; (4)x2 −1.
[易错辨析] 1. D .
探究点2：分式的约分
24 2
问题1 = 约去分子分母的最大公约数.
36 3
问题2约去分子分母的公因式.
[典例精析]
第 5 页−25a2bc3 5abc×5ac2 5ac2
例3 解：(1) =− =− .
15ab2c 5abc×3b 3b
(x+3)(x−3) x−3
(2) 原式 = = .
(x+3) 2 x+3
[操作·交流]
一般约分要彻底，使分子、分母没有公因式.
[练一练]1. B
[观察·思考]
−x x −x x
解：(1) = ， = ；
y −y −y y
−x x x x
(2) =− ， = − . .
y y −y y
[知识要点]
x −x x −x x −x x −x
=− =− = ， − = = =−
y y −y −y y y −y −y
当堂反馈
1. C
2. B
3. 1
m－1
4.
m＋1
2
5.
5
6.解：(1)原式＝－3xy.
(2)原式＝y－x.
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