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第五章 分 式与分式方程
5.1 分式及其基本性质
第 1 课时 分式的有关概念
【素养目标】
1.以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式，建立数学模型，并理解分式的概
念．
2.能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件．
3.通过对分数与分式的类比，学生亲身经历探究整式扩充到分式的过程，初步学会运用
类比、转化的思想方法研究数学问题，会用数学的思维思考现实世界．
重点：理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件．
难点：掌握分式有意义的条件及分式的值为零的条件．
【情境导入】
2019 年 12 月 30 日，京张高速铁路开通运营，大大缩短了北京市到张家口市的
旅程时间。京张高速铁路正线全长 174 km，高速列车的平均行驶速度是快速列车的 3
倍。如果设快速列车的平均行驶速度为 x km/h，那么：
(1) 快速列车从北京市到张家口市的行驶时间是多少?
(2) 高速列车从北京市到张家口市的行驶时间是多少?
【合作探究】
探究点1：分式的概念
[尝试·思考]
(1) 李叔叔计划用 x 元购买一批单价为 a 元/kg 的苹果，由于购买量大，现在每千克
便宜了 b 元，那么李叔叔现在可以购买多少千克苹果?
(2) 在 2022 年北京冬奥会期间，某电视台对其中一项赛事进行了连续转播。据统计，
这项赛事前 a 天日均收看人数为 m 万，后 b 天日均收看人数为 n 万，那么这 (a +
b) 天该赛事的日均收看人数为多少万 ?
[观察·交流]上面问题中出现了代数式
它们有什么共同特征 ? 它们与整式有什么不同?与同伴进行交流。
第 1 页[知识要点]
分式的定义
A
一般地，用 A，B 表示两个整式，A÷B 可以表示成 的形式， 如果 B 中含有字母，
B
A
那么称 为分式，其中 A 称为分式的分子，B 称为分式的分母.
B
对于任意一个分式，分母都不能为零.
注意分式的定义：① 分子、分母都是整式；
② 分母含有字母；③分母不能为零.
思考1：分式与分数在形式上有什么异同点？
思考2： 既然分式是不同于整式的另一类式子，那么它们统称为什么呢？
[典例精析]
例1 下列各式哪些是整式 ? 哪些是分式 ?
[方法总结]
判断分式需要注意：
1. 含有 π 的式子，π 是常数；
2. 式子中含有多项时，若其中有一项分母中含有字母，则该式也为分式；
A
3. 要看化简前形式，故 为分式.
B
[尝试·交流]
b 1
你能赋予分式 ， 一些实际意义吗 ? 与同伴进行交流。
a a−b
b
1. 分式 的实际意义
a
1
2. 分式 的实际意义
a−b
第 2 页探究点2：分式的有意义的条件
想一想：我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为 0. 要使分式有意义，
A
分式 中的分母应满足什么条件？
B
[典例精析]
a+1
例2 (1)当 a = 1，2，－1 时，分别求出分式 的值；
2a－1
(2)当 a 取何值时，分式有意义.
[练一练]
1
1. 若式子 x + 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是________.
x－2
x－m
2. 当 x＝2 时，分式 没有意义，则 m ＝____.
x+m
探究点3： 分式值为零的条件
A
想一想：分式 的值为零应满足什么条件？
B
[典例精析]
x2−1
例3 当 x 为何值时，分式 的值为零?
x + 1
[练一练]
x2−49
3. 已知分式 的值等于 0，则 x＝_____.
x + 7
第 3 页2x+k
4. 已知，当 x = 5 时，分式 的值等于零，则k = .
3x − 2
当堂反馈
1.下列代数式中，属于分式的是( )
1 1
A.－3 B. a－b C. D.－4a3b
2 x
x
2.当分式 的值为0时，则x的值为( )
x－2
A.0 B.2 C.－2 D.0或2
1
3.当x＝ 时，分式 无意义.
2x－6
4.李老师到超市买了x kg香蕉，花费m元钱；买了y kg苹果，花费n元钱.若李老师
要买2 kg香蕉和3 kg苹果，则共需花费 元.
5.当x为何值时，下列分式有意义？
8 1
(1) ； (2) .
x－1 ｜x｜－2
x+1
6.已知分式 ，当 x = m 时，分式的值为 0 ；
2−x
当 x = n 时，分式无意义.求 mn 的值.
第 4 页参考答案
【情境导入】
【合作探究】
探究点1：分式的概念
[尝试·思考](1) 苹果现在的单价：a - b 元/kg ，
x
李叔叔现在可以购买的苹果 ： kg
a−b
(2) 这 (a + b) 天该赛事的总收看人数：ma + nb
ma + nb
这 (a + b) 天该赛事的日均收看人数：
a+b
A
[观察·交流]答：(1) 从整体上看，它们与分数一样都是 (即 A÷B )的形式；
B
(2) 从分子、分母单独看，分子、分母都是整式，并且分母中都含有字母.
A
思考1：相同点：都是 的形式.
B
思考2：
[典例精析]
例1 整式 整式 分式 整式 分式 整式 分式 分式 分式 整式
[尝试·交流]
b
1. 示例1 (数量关系)：买 a 千克水果花了 b 元，那么每千克水果的价格就是 元。
a
示例2 (行程问题)：汽车行驶 a 小时，一共行驶了 b 千米，
第 5 页b
那么汽车的平均速度就是 千米/时。
a
2. 示例 (行程问题)：甲的速度是 a 米/秒，乙的速度 b 米/秒 (a > b)，两人同时同地
同向出发，那么甲每秒比乙多走 a - b 米。要拉开 1 米的距离，所需的时间就是
1
秒。
a−b
探究点2：分式的有意义的条件
A
想一想：当 B = 0 时，分式 无意义；
B
A
当 B ≠ 0 时，分式 有意义.
B
a+1 1+1
[典例精析]例2 解：(1)当 a = 1时， = =2；
2a－1 2×1－1
a+1 2+1
当 a = 2 时， = =1；
2a－1 2×2－1
a+1 −1+1
当 a = －1 时， = =0；
2a－1 2×(－1)－1
(2) 当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之外，分式都有意义.
1
由分母 2a－1 = 0，得 a= .
2
1 a+1
所以，当 a≠ 时，分式 有意义.
2 2a－1
[练一练]答：1. x≠2 2. －2
探究点3： 分式值为零的条件
A
想一想：当 A = 0 而 B ≠ 0 时，分式 的值为零.
B
[典例精析]例3 解：当分子等于零而分母不等于零时，分式的值为零.
则 x2－1 = 0，
∴ x = ±1.
而 x + 1 ≠ 0，∴ x≠－1.
x2−1
∴当 x = 1 时分式 的值为零.
x + 1
[练一练]3. 7 4. －10
当堂反馈
2m 3n
1. C 2. A 3.3 4.( ＋ )
x y
5.解：(1)x≠1. (2)x≠±2.
6.解：∵当 x = m 时，分式的值为 0，
∴ m + 1 = 0 且 2－m≠0. ∴ m = -1.
∵当 x = n 时，分式无意义，
∴ 2－n = 0. ∴ n = 2.
第 6 页∴ mn = (－1) 2 = 1.
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