文档内容
北师大版（2024）第四章《一次函数》4.4一次函数的运用（2）教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 一次函数的运用（2） 课时 1
培养学生数学建模能力和数形结合思想，让学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析问
课标 题，用数学的语言来表达思想，学生从算术思维向代数思维的转变，为后续学习反比例函数、二
要求 次函数乃至高中数学奠定至关重要的基础。
本节课内容选自义务教育课程标准实验教科书北京师范大学版的数学教材八年级上册的第
四章第四节，课题为《一次函数图象的应用》。本节课为第2课时。其主要内容是学生已经学习掌
握了一次函数的意义、一次函数的图象及其性质、确定一次函数的表达式的基础之上，通过开展
经历体验探究活动，进行应用一次函数的图象解决简单的实际问题并发现一元一次方程与一次
教材
分析 函数之间关系的过程。使学生体会到数学学习过程中“数形结合”思想的重要性。在整个函数
知识体系中，对于图象的感受、解读、分析特别是应用函数的图象解决问题是极其重要的内容，
而一次函数图象的应用是学生在整个学习生涯中所接触的第一个相关内容，对于后续其它函数
图象应用的学习将积累宝贵的学习经验和经历，因此本节课内容的重要性不言而喻。
学生已学习了一次函数及其图象，认识了一次函数的性质。在现实生活中也见识过大量的
学情 函数图象，所以具备了从函数图象中获取信息，并借助这些信息分析问题、解决问题的基础，提
分析 高学生应用数学的能力。但由于初中学生的年龄特点，他们认识事物还不够全面、系统，所以还
需通过具体实例来培养他们这方面的能力。
1、经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的过程，发展应用意识。
核心 2、利用一次函数图象（一条直线）分析、解决简单实际问题，发展几何直观,初步体会函数与方
素养 程的联系。
目标
3、进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力。
教学 用一次函数知识解决生活中的实际问题
重点
教学 将实际问题转化为数学问题
难点
教学 课件
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
二、课前 某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量y（升） 完成课前检测 通过课前检测，检
检测 与摩托车行驶路程x（千米）之间的关系如图所示． 题 测学生从图像中获
取信息的能力，便
于调整教学策略
1根据图象回答下列问题：
（1）油箱最多可以储油多少升【10】
（2）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？
分析：函数图象与x轴交点的横坐标即为摩托车行驶的
最长路程．
解：观察图象，得：当y=0时，x=500，因此一箱汽油可供
摩托车行驶500千米．
（3）摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？
分析：x从0增加到100时，y从10开始减少，减少的数
量即为消耗的数量．
解：x从0增加到100时，y从10减少到8，减少了2升，
因此摩托车每行驶100千米消耗2升汽油．
（4）油箱中的剩余油量小于1升时，摩托车将自动报
警，加满油行驶多少千米后，摩托车将自动报警？
分析：当y小于1时，摩托车将自动报警．
解：当y=1时，x=450，因此行驶了450千米后，摩托车
将自动报警．
三|、探究 探究从一条直线上获取信息解决实际问题 1、从情境题 通过情境题的学习
新知 情境题（课本第96页例题2）：由于持续高温和连日无 中的四个问题 提高学生的识图能
雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．干旱持续 逐一分析，找 力，进一步理解一
时间t(天)与蓄水量V(万米3)的关系如下图所示，回答 到解决问题的 次函数的变化规律
下列问题： 策略。 是均匀的增加或减
2、从数和形 少，通过小组交流
两个方面小组 讨论从数和形两个
交流一次函数 方面理解一次函数
和一元一次方 和一元一次方程之
程之间的联系 间的联系，进一步
体会数形结合的思
2想，发展数形结合
解决问题的能力。
(1)水库干旱前的蓄水量是多少？
答：从图像中可知当t=0,y=1200因此水库干旱前的蓄
水量是1200万米3
（2）干旱持续10天，蓄水量为多少？连续干旱23天
呢？
解：一次函数v=kt+b直线经过（40,400）和（0，1200）
得 400=40t+b
1200=0×t+b, 解得k=-20,b=1200
函数表达式v=-20t+1200.
当t=10,v=-20t+1200=1000
当t=23,v=-20t+1200=740．
所以干旱持续10天，蓄水量为10000万米 。连续干旱
23天蓄水量为740万米
（3）蓄水量小于400万米 时，将发生严重干旱警报．干
旱多少天后将发出严重干旱警报？
解：当蓄水量小于400万米 时，将发出严重干旱警报，
也就是当V 等于400万米 时，求所对应的t的值．
当V 等于400万米 时，代入v=-20t+1200
得400=-20t+1200, t=40
所以干旱40天后发出严重干旱警报。
（4）按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？
解;水库干涸也就是V 为0，所以求函数图象与横轴交
点的横坐标即为所求．当V 为0时，代入v=-20t+1200
即0=-20t+1200
求出t=60
∴预计持续干旱60天水库将干涸。
结合例题想一想一元一次方程-20x+1200=0与一次函
数y=-20x+1200有什么联系？
一般地，一次函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变
量的值就是一元一次方程kx+b=0的解。
3从图像上看一次函数的图像与X轴的交点的横坐标就
是方程kx+b=0的解
五、课堂 基础达标 完成课堂练习 引导学生能够在课
练习 1．已知下列各点的坐标：M（－3，4）， N （3，－ 题 堂练习的完成过程
2），P（1，－5），Q（2，－1），其中在直线y＝－x＋1的图 中对要点知识加深
象上的点有（ C ）． 巩固，有效应用。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．有一游泳池已注满水，使用一段时间后把水排完清
洗，然后再注满水使用，则池中存水量Q随时间t变化
的大致图象是（ B ）．
3.某公司生产一种产品，前期投资成本为100 万元，
在此基础上，每生产一吨又要投入 5万元成本，那么生
产的总成本 （万元）与产量 （吨）之间的函数解析式是
y=5x+10 0 ．
4. 函数 的图象交 x轴于点A，交y
轴 于 点 B，则 A，B 两点间的距离为
5
5. 直线 y=kx+b 与两坐标轴围成的三角形面积为6，
且经过点 (3,0)，则这条直线的解析式为
6．下列四个图象中，不表示某一函数图象的是（D)
7. 如图，直线y=kx+b(k≠0）过
A(0,5),B(-4,0),则关于方程KX+b
的解是( A )
A. x=-4 B. x=5
C. D.
能力提升
8.如图①，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P
以 每 秒 2cm 的 速 度 沿 图 ①
（∠A=∠B=∠C=∠E=∠F=90°）的边线运动，运动路径
为：G-C-D-E-F-H,相应的△ABP的面积y(cm ）关于运
动时间t(S) 的函数图象如图②，若AB=6cm 有下列
4结论：
①图①中的BC长是8cm ;②图②中的M点表示第4秒
时，y 的值为 24cm ③图②中的 N 点表示第
12 秒时，y的值为18cm ，其中，正确结论的个数是(
3 )个
9.乘坐上海市某种出租汽车．当行驶路程不大于 3 公
里时，乘车费用都是14元（即起步价14元）；当行驶路
程大于3公里时，超过3公里部分每公里收费2.7元．行
驶路程大于15 公里时，超过15 公里部分按每公里
27元加价50%收费．（不考虑堵车等其它因素）
（1）当x＞3 时，求乘车费用y（元）与行驶路程x（公
里）之间的函数解析式；
（2）出租车计价器是按实际金额进行“四舍五入”后
取整得出应付金额（如实际金额的范围在不小于 19.5
元且小于20.5元时，计价器上显示应付金额为20 元）
．小杰一次乘车后付了车费28 元，请你确定小杰这次
乘车路程x的范围；
（3）小明打车前用某导航软件查到了打车地点与目的
地之间的路程为19公里，那么根据收费规定，并按(2)
中计价方式，小明打车去目的地所需费用约为多少元?
解：（1） 根据题意可知：
当3＜x 15，y=14+2.7(x-3)=14+2.7x-8.1=2.7x+5.9 ，
函数解析式为y=2.7x+5.9 ( 3＜x 15）
当 x＞15 时，y=14+2.7×12+2.7×（1+5%）×（x-15）
=4.05x-14.35
函数解析式为 y=4.05x-14.35(x＞15)
（2） 依题意得，27.5 2.7x+5.9＜28.5 ，
解得 8＜x
（3）2.7×15+5.9+4×2.7×（1+5%）=62.6≈63
10.如图1，在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿
BADC方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为
x，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2
5所示，则当x=7时，点E应运动到( B )
A.点C处 B.点D处 C.点B处 D.点A处
六、提升 适时小结，兴趣延伸 引导学生对本 引导学生从知识内
1 知识方面： 节课的知识进 容、研究方法以及
从一次函数的图象上上获取相关的信息 行小结 运用过程三个方面
2 数学思维： 总结自己的收获，
数形结合，函数与方程的思想 让学生全面把握本
3 数学能力： 节课的重点和难
点，并启发学生用
识图能力，应用能力
类比或迁移的方法
学习后续课程。
板书设计 一次函数的应用 利用简洁的文字、
数学思维： 数形结合、函数与方程； 符号、图表等呈现
数学能力： 识图能力、应用能力； 本节课的新知，可
以帮助学生理解掌
握知识，形成完整
的知识体系。
作业设计 基础达标：
（课外练 1、看图填空：
习） (1)当y =0时，x = - 2 ；当X=0时，y= 1 .
(2)直线对应的函数表达式是 y=0.5x+ 1 。
2.函数y＝－3x－6中，当自变量x增加1时，函数值y就
（ C ）．
A．增加3 B．增加1 C．减少3 D．减少1
3.某人早上进行登山活动，从山脚到山顶休息一会儿又沿原路返回，若用横轴表示时间t，纵
轴表示与山脚距离h，那么下列四个图中反映全程h与t的关系图是（ D )
4. 全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任
务，某地区现有土地面积100万千米 ，沙漠面积200万千米
，土地沙漠化的变化情况如图所示:
（1）如果不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙漠面
积将增加 1 0 万千米 ,
6(2) 如果该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大，那么从现在开始，第 5 0 年底后，该地区将丧
失土地资源,
(3)如果从现在开始采取植树造林措施，每年改造4万千米 沙漠，那么到第几年底，该地区的
沙漠面积能减少到176万千米 ．
解：如果从现在开始采取植树造林等措施，每年改造4万千米 沙漠，每年沙化2万 千米 ，实
际每年改造面积2万千米 ，由于(200－176)÷2=12，故到第12年底，该地区的沙漠面积能减
少到176万千米 ．
5.甲、乙两个工程队合作修一条长为4000米的路，假设甲、乙两个工程队的工作效率是一定
的．甲队单独做了20 天后，乙队加入合作完成剩下的全部
工程完成的工程量y（米）与工程时间x（天）的关系如图所
示．下列结论中错误的是（ D ）
A. 完成该工程一共用了30天 B. 乙工程队在该工程中一
共工作了 10天
C. 甲工程队每天修路 50米 D. 乙工程队每天修路300
米
能力提升：
6.将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大
容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图
象大致为（ B ）
7. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y=tx+2t+2(t＞
0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t 的取值范围是（ D
）
A. B. C. D.
拓展迁移：
8. 已 知 一 次 函 数 y=kx+b 的 图 象 与 x 轴 交 于 点 M(-6,0) ,
与y轴交于点N，如果△MON 的面积为12，求这个函数的 解析式．
解： 由题意得N点坐标为(0,4) 或（0，-4）.
把M（-6，0），N（0，4）代入y=kx+b中，求出
K= ,b=4, 所以一次函数解析式是 ，
把M（-6，0），N（0，-4）代入y=kx+b中，求出
K=- , b=4, 所以一次函数解析式是
9.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的
7李如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y元与行
李质量的关系如图：
(1)旅客最多可免费携带多少千克行李？[30]
⑵超过30千克后，每千克需付多少元？[0.2]
10、如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量 y（千瓦时），关于已行驶路
程 x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已经行驶
的路为 15 0 千米．
当0 x 150 时，消耗 1千瓦时的电量，汽车能行驶的路程
为 6 0 千米．
（2）当 150 x 200 时，求 y 关于x 的函数表达式，并
计算当汽车已行驶 160 千米时，蓄电池的剩余电量．
解： 当 150 x 200 时，图像经过（150,35），（200,10）代入y=kx+b中，求出
K=-0.5;b=110.函数表达式为Y= -0.5x+110
当汽车行驶x= 160千米时，蓄电池的剩余电量y=30 千瓦时．
教学反思
8
