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1.1 探索勾股定理
题型一 应用勾股定理解直角三角形
1．我国古建筑的屋顶结构设计融合实用功能、艺术美学于一体，既利于排水采光，又形成灵动曲线，是
中华工匠智慧的立体结晶．如图，某古建筑屋顶的人字架是等腰三角形， ， ，若跨度
尺，上弦 尺，则中柱 的长 尺．
【答案】9
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握“等腰三角形的三线合一的
性质”．首先由三线合一得到 ，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解： ，，
∴ ．
故答案为：9．
2．如图，在 中， ，斜边 的垂直平分线l交 于点D，连接 ．若 ，
则 的周长为 ．
【答案】17
【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距
离相等是解题的关键．
先利用勾股定理求出 ，再利用线段垂直平分线的性质得到 ，由此即可利用三角形周长公
式求出答案．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∵斜边 的垂直平分线l交 于点D，
∴ ，
∴ 的周长 ，
故答案为：17．
3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在 中， ，点 在 的延长线上，过点
作 于点 ，交 于点 ， ．(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明 是解题的关键．
（1）由 于点 ， ，得 ，而 ，
，可根据“ ”证明 ，得 ， ，推导出 ，再证明
，则 ；
（2）由 ， ， ，勾股定理求得 ， ，则
，由勾股定理得 ，即可求解．
【详解】（1）证明： 于点 ，
，
，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
．（2）解： ， ， ，
， ，
，
，
，
解得：
题型二 应用勾股定理求（证明）线段的平方和
4．（20-21八年级上·山西临汾·期末）已知 中， ， ， 的对边分别为 、 、 ，若
，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得．
【详解】由题意，画出图形如下：
由勾股定理得： ，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键．
5．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的
“垂美”四边形 ，对角线 相交于点O．若 ，则 的值为（ ）A．20 B．16 C．18 D．25
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理，证明 ，再由勾股定理得
， ，然后证明
，即可解决问题．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由勾股定理得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：A．
题型三 勾股定理与图形面积转化
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为 ．
【答案】36
【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
【详解】在Rt△ACB中， ，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和
故答案为：36．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 ， ，斜边长为 ，那么
．
7．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S，S，
1 2
S，若S＝9π，则S+S 等于 ．
3 3 1 2
【答案】9π．
【难度】0.65
【分析】根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到S +S 的值，从而可以解答本题．
1 2
【详解】解：∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵S＝π（ ）2× ，S＝π（ ）2× ，S＝π（ ）2× ，
1 2 3
∴S+S＝π（ ）2× +π（ ）2× ＝π（ ）2× ＝S，
1 2 3
∵S＝9π，
3
∴S+S＝9π，
1 2
故答案为：9π．
【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．
题型四 应用勾股定理构造直角三角形解决问题
8．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高 的树顶飞到一棵高
的树顶上，两棵树相距 ，则喜鹊至少要飞 ．【答案】13
【难度】0.85
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得： ，
∴ ．
即喜鹊至少要飞 ．
故答案为：13
9．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板宽
度 为 ，支架脚 的长度为 ， ，保持此时 的形状不变，当 平分
时，点 到 的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用勾股定理
得出 ，再由等面积法求出 ，因为 平分 ，，则 ，即可作答．
【详解】解：过点B分别作 ，垂足分别为D，E，如图所示：
∵平板宽度 为 ，支架脚 的长度为 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
点 到 的距离是 ，
故选：D．
10．某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高 的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图1所示，
人只要移至该门口 及 以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．一个身高 的学生走到D处，
门铃恰好自动响起，如图2所示．求此时该学生头顶C到门铃A的距离．
【答案】5米
【难度】0.65
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确识图，理清题目中各线段的长度，运用勾股定理解题是本题的
关键．
根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．
【详解】解：过点C作 ，垂足为点E，则 ，
由题意得： 米， 米， 米
则 ，
在 中，由勾股定理得： ,即 ，
解得 米．
答：该生头顶C到门铃A的距离为5米．
11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，树根下有一个蛇洞，树高 ，树顶有一只鹰，它看见一条
蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路
线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇．
【答案】鹰向离树 的地方扑击才能恰好抓到蛇
【难度】0.85
【分析】此题考查了勾股定理的应用，设 的长为 ，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】如答图，
设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得 ，
设 的长为 ，则 ，
解得 ．
答：鹰向离树 的地方扑击才能恰好抓到蛇．题型五 面积法验证勾股定理
12．（24-25八年级下·云南文山·期中）如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦
图”，它解决的数学问题是（ ）
A．勾股定理 B．三角形内角和定理
C．三角形全等 D．中心对称图形
【答案】A
【分析】本题考查对勾股定理的证明，掌握“弦图”的作用是解题的关键．根据“弦图”是解决勾股定理
的证明的解答即可．
【详解】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的，
∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理．
故选：A．
13．我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的
研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形面积公式，三角形面积公式以及梯形面积公式，由正方形面
积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题
的关键．【详解】解： 、大正方形的面积为： ，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：
，
∴ ，故原选项能证明勾股定理，不符合题意；
、大正方形的面积为： ，也可看作是 个矩形和 个小正方形组成，则其面积为： ，
∴ ，
∴原选项不能证明勾股定理，符合题意；
、大正方形的面积为： ，也可看作是 个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：
，
∴ ，
∴ ，故原选项能证明勾股定理，不符合题意；
、梯形的面积为： ，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形
组成，则其面积为： ，
∴ ，
∴ ，故原选项能证明勾股定理，不符合题意；
故选： ．
题型一 “勾股树图”与等面积法
1．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）如图， 中， ，分别以 的三条边为一
条边在 的外部作等腰直角三角形， 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ，
下列结论一定成立的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和等腰
直角三角形的性质是解题的关键．
由勾股定理得 ，再由等腰直角三角形的性质得 ， ，则
，同理 ，然后由三角形面积得 ，， ，
即可解决问题．
【详解】解： ，
，
是等腰直角三角形，
， ，
，
同理： ，
，，
同理： ，
是等腰直角三角形， ，
，
，
故选项A不符合题意；，
故选项B不符合题意；
， ，
，
故选项C符合题意；
，
故选项D不符合题意；
故选：C．
2．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，分别以等腰 的边 ， ， 为直径画半圆，若
，则阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的利用割补法求解阴影部分的面积，勾股定理的应用，理解阴影部分的面积等于直角三
角形 的面积是解题的关键．
根据阴影部分的面积等于阴影部分所在的两个半圆的面积加上 的面积减去大半圆的面积，列式计算
即可得解．
【详解】解： 等腰 ， ，
，
；．
故选：A．
3．如图，以 的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为 、 ，
的面积 ，若 ， ，则 的值为 ．
【答案】8
【难度】0.65
【分析】本题考查了勾股定理、圆的面积，熟记圆的面积公式，利用等面积法得出等量关系是解答的关键．
根据勾股定理和圆的面积公式即可求得 的值．
【详解】解：设 的三边分别为 ，则 ，
观察图形可得： ，
即 ，
，
，
，
故答案为：8．
4．（24-25八年级下·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上
生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的
图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2026 B．2025 C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面
积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积
和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积 正方形C的面积 正方形A的面积 ，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026．
故选：A．
5．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，正方形 的边长为 ，其面积标记为 ，以 为斜边作
等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，…，按此规律，则 的值为 ．（结果用含 的式子表示）
【答案】
【难度】0.85
【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理与正方形面积的关键找出规律．
根据勾股定理可得 ，从而得到 ，依次类推，即可得到 ，找出规律，
进而得到 的值．
【详解】解：如图所示， 为等腰直角三角形，
则 ．
，
即 ，
同理可得： ，
，
故答案为： ．
6．（24-25八年级下·四川广元·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角
三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如
果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ．
【答案】2026
【分析】本题主要考查勾股定理，由题目条件和所画出来的图形正确找出规律是解题的关键．分别计算出
第一，第二，第三代勾股树中所有正方形的面积，得出第 代勾股树中所有正方形的面积为 进行分析
计算．
【详解】解：由题意可知，第一代勾股树中所有正方形的面积为 ；
第二代勾股树中所有正方形的面积为 ；
第三代勾股树中所有正方形的面积为 ……，
则第 代勾股树中所有正方形的面积为 ，
∴第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ．
故答案为：2026．
题型三 “赵爽弦图”与图形的面积转化
7．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而构造的精妙
图形，它最早用严谨的“数形结合”方法，直观揭示了直角三角形三边的数量关系，展现了中华民族的数
学智慧．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形 ，中间阴影部分是一个小正方形 ，
这样就组成一个“赵爽弦图”．若 ， ，则正方形 的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】A【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键．利用勾股定理求得直
角边的较短边，进一步根据正方形 的面积 大正方形面积 4个直角三角形面积即可求得正方形
的面积．
【详解】解：直角三角形直角边的较短边为 ，
正方形 的面积 ．
故选：A．
8．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它是由4个全等的直角三角
形与1个小正方形拼接而成．如图，已知“赵爽弦图”中大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用
x，y表示直角三角形的两直角边（ ），下列三个结论：① ；② ；③ ．
其中正确结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【难度】0.85
【分析】本题利用了勾股定理、面积分割法等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断①正确；根据
小正方形的面积可判断②正确
根据四个三角形的面积 小正方形的面积 大正方形的面积可判断③正确，即可．
【详解】解：设大正方形的边长为c，
根据勾股定理得：
∵大正方形面积为49，
∴ ，故①正确；
根据题意得：小正方形的边长为 ，
∵小正方形面积为4，∴小正方形的边长为 ，
∴ ，故②正确；
∵大正方形是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼接而成，
∴ ，故③正确；
故选：D
9．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的
直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别记
为 ， ， ．若 ，则 的长是（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】C
【难度】0.65
【分析】本题考查勾股定理，正方形面积的计算，整式的运算等，利用勾股定理结合正方形的面积公式以
及面积关系列出等式，即可求解．掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：设 的长直角边为 ，短直角边为 ，斜边长为 ，则： ，
由题意，得： ， ， ，
，
，
，即 ，
，
故选：C．
题型二 拼图法验证勾股定理
10．（24-25八年级下·河南许昌·期中）我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，小明也仿照赵爽的
方法借助图形的拼接，证明勾股定理．他发现只需将两张全等的直角三角形纸片与一张满足一定要求的长
方形纸片，如图（1）所示，拼成如图（2）所示的图形，利用面积的不变性也可证明勾股定理 ．
下面是小明证明勾股定理的部分过程，请你帮助小明续写证明过程．
证明：如图，连接 ，由题意，得 ， ，
……
【答案】见解析
【难度】0.85
【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．利用两种不同的
方法表示出四边形 的面积，化简整理即可得到勾股定理表达式．
【详解】证明：如图，连接 ，由题意，得 ， ，
，
，
化简得 ．
11．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形 和四边形 都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角
形三边长 ， ， 之间的一个重要结论：
【深入思考】
如图2，在 中， ， ， ， ，以 为直角边在 的右侧作等腰直角
，其中 ， ，过点 作 ，垂足为点 ．
(1)求证： ， ．
(2)请你用两种不同的方法表示梯形 的面积，并证明：
【答案】(1)详见解析
(2) ，详见解析
【难度】0.85
【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的性质与判定，理解勾股定理解决问题的关键．
（1）依据题意，通过证明 即可判断得解；
（2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形 和
，再列式变形即可得解．
【详解】（1）证明∶ ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ， ，∴ ．
∴ ；
（2）证明： 由题意得，第一种方法：
，
第二种方法：
，
，
，
；
12．（2025·河南安阳·二模）阅读材料：意大利著名画家达•芬奇用一张纸板经过以下操作验证了勾股定理．
第一步：在一张长方形的纸板上画两个边长分别为 ， 的正方形 和正方形 ，连接 ，
得到以 为对称轴的六边形 ，如图①；
第二步：将长方形纸板沿 折叠，沿四边形 的边剪下六边形 ，再沿 把剩余的纸板剪
开，得到两张纸板Ⅰ，Ⅱ，如图②；
第三步：将纸板Ⅱ上下翻转后与纸板I拼成如图③的图形；
第四步：比较图①，图③中的两个六边形 和六边形 ，由它们的面积相等可得结论．解决问题：若设图①中六边形 的面积为 ，图③中六边形 的面积为 ，
．小强同学得出了以下四个结论：
① ；② ；③ ；④ ．则其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【难度】0.65
【分析】先分别分析 、 的构成并计算，再根据面积相等推导结论．本题主要考查勾股定理的验证，利
用图形割补后面积不变建立等式是解题的关键．
【详解】解： 是由边长为 的正方形、边长为 的正方形和两个全等的直角三角形组成，正方形面积分
别为 、 ，直角三角形面积为 ，两个就是 ，
∴ ，故①错误．
是由边长为 的正方形和两个全等的直角三角形组成，正方形面积为 ，直角三角形面积为 ，两个
就是 ，
∴ ，故②错误．
∵操作过程只是裁剪、翻转、拼接，面积不变，
∴ ，即 ，
化简可得 ，故③④正确 ，
故选：B．1．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦
图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形 拼成的一个大正方形 ，连接 ，交
于点P．如图所示，若 ， ，则正方形 的面积为（ ）
A．28 B．25 C．30 D．24
【答案】A
【难度】0.65
【分析】首先证明出 ，得到 ，然后证明出 ，得到
， ，然后 ，得到 ，然后由 得到
，相加求出 ，进而求解即可．
【详解】如图所示，设 ， 交于点M
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形 拼成的一个大正方形 ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴ 得，
∴
∴正方形 的面积 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”，全等三角形的性质和判定，完全平方公式的变形应用，勾股定理
等知识点，正确理解题意，利用勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键．
2．【知识回顾】
（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两
直角边长分别为 ， ，斜边长为 ．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 ．请写出证明过程．
【类比迁移】
（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若 ， ，则空白部分的面积为
___________．
【能力提升】
（3）如图3，在 中， 是 边上的高， ， ， ，设 的长为 ，请求出
的值．
【答案】（1）见解析；（2）13；（3）
【难度】0.65
【分析】（1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为 的正方形的面积建立方
程，即可得出结论；
（2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案；
（3）设 的长为 ，则 ，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解:（1）依题意，∵大的正方形的面积可以表示为 ，
大的正方形的面积还可以表示为
∴
∴
∴ ；
（2）空白部分的面积 边长为c的正方形的面积 个直角三角形的面积 ，
∵ ， ，
∴空白部分的面积 ；（3）∵设 的长为 ，则
∵ 是 边上的高
∴
∴
∴
解得 ．
【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有
著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的 和
按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c， ．
(1)请你利用图1证明勾股定理；
(2)如图2，在 中， ， ， ，且 ，当 是钝角三角形时，猜想 与
之间的关系，并说明理由；
(3)已知 的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足 ，求 的
斜边的长．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
(3) 的斜边的长为
【难度】0.4
【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式，熟练掌握勾股定理是解题关键．（1）证明 ，根据 列式可得 ；
（2）过点A作 交 延长线于H，设 ，由勾股定理得 ，整理得
，由 可得 ，故可得结论；
（3）把 代入 得 ，求出 的值，再求 的值即可．
【详解】（1）证明：根据题意，由图1可知：
， ， ， ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴
；
又∵
，
∴ ，
∴ ；（2）解： ，理由如下：
过点A作 交 延长线于H，设 ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
化简得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：在 中， ，
∵
∴ ，
∴ ，
解得， ，
∵
∴ ，
∴ （负值舍去）∴ 的斜边的长为 ．
