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4.3 一次函数的图象
题型一 判断一次函数的图象
1．（24-25八年级下·云南保山·期末）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象大致是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】判断一次函数的图象
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数 （k为常数， ），当 时，y
随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小；当 ，图象与y轴的正半轴相交，当 ，图象
与y轴的负半轴相交，当 ，图象经过原点，据此求解即可．
【详解】解：∵ 中 ，
∴y随x的增大而增大，
∵ ，
∴函数图象与y轴的负半轴相交，
∴一次函数 经过第一，三，四象限．
故选：C．
2.已知正比例函数 的函数值y随x的增大而减小，则一次函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断一次函数的增减性、正比例函数的性质、根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象是解决本题的关键．
先根据正比例函数的性质确定 的取值范围，再根据一次函数的性质判断一次函数 的图象
特征．
【详解】解：∵正比例函数 的函数值y随x的增大而减小，∴ ，
对于一次函数 ，其中一次项系数 ，
∴一次函数 随 的增大而增大，
即函数图象从左到右上升，
∵ ，
∴一次函数图象与 轴的交点在 轴负半轴上，
综合以上分析，一次函数 的图象过第一、三、四象限．
故选：B．
题型二 判断一次函数的增减性
3.下列函数中，y随x增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断一次函数的增减性
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键．
根据 ， ，则y随x的增大而减小， ，则y随x的增大而增大，据此逐项判断即可．
【详解】解：A． ， ，故y随x的增大而增大，不符合题意；
B． ， ，故y随x的增大而减小，符合题意；
C． ， ，故y随x的增大而增大，不符合题意；
D． ， ，故y随x的增大而增大，不符合题意．
故选：B．
题型三 根据一次函数增减性求参数
4.若一次函数 中， 的值随着 值的增大而增大，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】本题主要考查一次函数的性质，由一次函数 中， 的值随着 值的增大而增大，可得自
变量系数大于0，进而可得出m的范围．
【详解】解：∵一次函数 中， 的值随着 值的增大而增大，
∴ ．
故选：A．
5.如果一次函数 的函数值y随x的增大而减小，那么实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，对于一次函数 ，当 时y随x的增大而增
大，当 时， y随x的增大而减小，据此求解即可．
【详解】解：∵一次函数 的函数值y随x的增大而减小，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
6．（24-25八年级下·河北邢台·期末）已知直线 经过点 ， ．若 ，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
【分析】本题考查了一次函数的增减性．根据一次函数的增减性判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴y随x增大而减小，∵ ，
∴ ，
解得 ，
故选：A．
7.若 关于 的函数是 ，且 随着 的增大而减小，则 的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】此题考查了一次函数一次项系数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的一次项系数和增减性
的关系．
根据一次函数一次项系数和增减性的关系判断即可．
【详解】解：∵ 关于 的函数是 ，且 随着 的增大而减小，
∴
∴ ．
故答案为： ．
题型四 根据一次函数的增减性比较函数值大小
8．（24-25八年级下·四川泸州·期中）若点 ， 都在一次函数 的图象上，则
和 的大小是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】比较一次函数值的大小
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据 时， 的值随着 的增大而减小即可判断求解，掌握一次
函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵ ，
∴ 的值随着 的增大而减小，
又∵ ，
∴ ，
故选： ．
9．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）已知点 和点 都在一次函数 的图象上，
则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数解析式中的系数判断函数的增减性，结合点的纵坐标大
小关系，推断对应的横坐标大小．
【详解】解：一次函数 的 ，
故函数值 随 的增大而减小，
点 的纵坐标为 ，点 的纵坐标为 ，显然 ，即 ，
由于函数 随 的增大而减小，当 时，对应的 应大于 （纵坐标越小，对应的横坐标越大），
综上， ，
故选：A．
10.已知点 ， 是一次函数 图象上的两点，则 和 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、比较一次函数值的大小
【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“ ， 随 的增大而增大； ， 随 的增大而减小”是解题的关键．
由 ，利用一次函数的性质可得出 随 的增大而增大，结合 ，即可得出 和 的大小关系．
【详解】解： ，
随 的增大而增大，
又 点 ， 是一次函数 图象上的两点， ，
．
故选：C．
11.若点 在一次函数 （m是常数）的图象上，则 的大小关系
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握其增减性是解题的关键．
一次函数 ，当 时，函数值 随 的增大而减小，利用此性质比较大小即可．
【详解】解：由 知， ，函数值 随 的增大而减小，
，
，
故选：B．
12.若点 ， ，是一次函数 图象上两点，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小
【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“ ，y随x的增大而增大； ，y随x的增大而减小”是解题的关键．由 ，利用一次函数的性质可得y随x的增大而减小，再结合 ，即可得出
．
【详解】解：∵ ，
∴y随x的增大而减小，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
13.已知点 ， 都在直线 上，则 的关系是 （填“ ”“ ”或“
”）
【答案】
【难度】0.85
【知识点】比较一次函数值的大小
【分析】本题考查一次函数图象与性质，涉及增减性判定函数值大小知识，由直线 确定函数中
值随着 的增大而减小，再由点的横坐标大小即可判断答案，熟练掌握一次函数增减性确定函数值大小的
方法是解决问题的关键．
【详解】解：∵直线 中， ，
∴函数中 值随着 的增大而减小，
∵点 ， 都在直线 上，且 ，
，
故答案为： ．
14.已知一次函数 ．(1)在图中画出该函数的图象；
(2)若 和 是一次函数 图象上的两点，比较 和 的大小，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2) ，理由见解析．
【难度】0.85
【知识点】画一次函数图象、比较一次函数值的大小
【分析】本题主要考查一次函数的图像及函数图像变化趋势，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）根据解析式得出 时， ， 时， ，描点，画出直线即可；
（2）根据一次函数的性质，得出y随x的增大而增大即可得出答案
【详解】（1）解：因为 ，
所以当 时， ；
当 时， ．
描点，该函数的图象如下：（2）解：因为 ，所以y随x的增大而增大,
因为 ，
所以 ．
题型五 判断一次函数的图象位置
15．（24-25八年级下·四川南充·期末）一次函数 的图象一定不经过下面的那个点
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题考查了一次函数的图象，根据函数的解析式来判断经过的象限，从而得出结果．
【详解】解： 一次函数 ， ，大致图像如下：
函数不经过第二象限，
在第二象限，一定不经过，
故选：B．16.函数 的图象在第二、四象限，则一次函数 的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，先根据题意判断出 的符号是解答此题的关键．根据
正比例函数 的图象经过第二、四象限可判断出 的符号，进而可判定一次函数 的图象所经
过的象限，从而得出结论．
【详解】解： 函数 的图象经过第二、四象限，
，
，
一次函数 的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C ．
题型六 待定系数法确定一次函数解析式与一次函数的平移问题
17.将函数 的图象向上平移3个单位长度得到函数 的图象，那么 的图象也可以看成是由 的图
象（ ）
A．向左平移 个单位长度得到 B．向右平移 个单位长度得到
C．向左平移3个单位长度得到 D．向右平移3个单位长度得到
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】本题考查了一次函数图象的平移：上加下减，左加右减，掌握此平移特征是关键；根据平移特征
即可求解．
【详解】解：将函数 的图象向上平移3个单位长度得到函数 的图象，则 ，
∵ ，
∴ 的图象也可以看成是由 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象．
故选：A．18.在平面直角坐标系中，若将一次函数 的图像向左平移 个单位长度后，得到一个正比例
函数的图像，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的定义、一次函数图象平移问题
【分析】本题考查的是一次函数图像的平移，根据平移的性质可得平移后的解析式为 ，再
结合正比例函数图像过原点可得答案．
【详解】解：将一次函数 的图像向左平移 个单位长度后，
得到 ，
把 代入，
得 ，
解得 ，
故选C．
19.关于函数 有下列结论，其中错误的是（ ）
A．若点 在图象上，则
B．图象经过点
C．图象向下平移2个单位长度得解析式为
D．与 轴交点坐标为
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小、一次函
数图象平移问题
【分析】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象的平移规律是解题
的关键．【详解】A．当 时， ；当 时， ，则 ，故A正确，不符合题意；
B．当 时， ，则图象经过点 ，故B正确，不符合题意；
C．图象向下平移2个单位长度得解析式为 ，故C错误，符合题意；
D．令 ，则 ，解得 ， 与 轴交点坐标为 ，故D正确，不符合题意．
故选：C．
20.将正比例函数 的图象向左平移1个单位长度，则平移后所得图象的解析式是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】本题考查的是正比例函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则是解答此题的关键．
根据“左加右减”的原则求解即可．
【详解】将正比例函数 的图象向左平移1个单位长度，所得的函数解析式为 ．
故答案为： ．
21.已知一次函数 （k为常数，且 ）的图象经过点 .
(1)求一次函数的表达式；
(2)写出一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后的图象对应的函数表达式.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题
【分析】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数图象的平移规律，熟练掌握求一次函数的解析式及一
次函数图象的平移规律是解题的关键．
（1）将点 的坐标代入 计算即可；
（2）根据一次函数图象的上下平移规律计算即可．【详解】（1）解： 一次函数 （k为常数，且 ）的图象经过点 ，
∴ ，
解得 ，
即该一次函数的表达式为 ；
（2）解：一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后所得图象对应的函数表达式为 ．
22.将直线 向上平移5个单位后得到直线 ．
(1)写出直线 的函数表达式；
(2)判断点 是否在直线 上．
【答案】(1)
(2)点 在直线 上
【难度】0.85
【知识点】求一次函数自变量或函数值、一次函数图象平移问题
【分析】本题考查一次函数的平移，一次函数的性质；
（1）根据口诀“上加下减，左加右减”求解即可；
（2）求出当 时的函数值，再判断即可．
【详解】（1）解：将直线 向上平移5个单位后的函数解析式为 ，
即直线 的函数解析式为 ；
（2）解：当 时， ，
所以点 在直线 上．
题型七 根据一次函数的性质求待定参数
23.正比例函数 的图象经过一，三象限，则m可能是（ ）
A．2 B．1 C． D．0【答案】A
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的性质、已知函数经过的象限求参数范围
【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质，求不等式的解集，掌握正比例函数的图象所在象限判定比
例系数的符号，求不等式的解集的方法是解题的关键．
【详解】解：正比例函数 的图象经过一，三象限，
∴ ，
解得， ，
∴只有A选项符合题意，
故选：A．
题型八 一次函数的对称问题
24.在平面直角坐标系中，若直线 与直线 关于 轴对称，则一次函数 的图象不
经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象与对称问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据轴对称的性质得出k，b的值，然后进行解答即
可．
【详解】解：∵直线 与直线 关于 轴对称，
∴
∴一次函数 即 ，的图象不经过第二象限，
故选：B．
25.若平面直角坐标系中，两点关于过原点的一条直线对称，则这两点就是互为镜面点，这条直线叫镜面直
线，如 和 是以 为镜面直线的镜面点． 和 是一对镜面点，则镜面直线
为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解、一次函数图象与对称问题【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．求得线段 的中
点，然后根据待定系数法即可求得．
【详解】解：设直线 的解析式为 ，
∵ 和 ，
∴线段 的中点为 ，
∵镜面直线经过原点 和 ，
代入解析式为 ，得
解得
∴镜面直线为 ；
故答案为： ．
题型九 一次函数图象与坐标轴的交点问题
26.一次函数 图像与 轴的交点坐标为 ，图像不经过第 象限．
【答案】 二
【难度】0.94
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
令 ，即可求出与 轴的交点坐标，根据一次函数的性质可以得到该函数经过哪几个象限，不经过哪个
象限，从而可以解答本题．
【详解】解：将 代入 ，得：
解得 ．
因此，函数与 轴的交点坐标为 ．
一次函数 ， ， ，
因此函数图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故答案为： ；二．
27.直线 与 轴的交点坐标为 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，掌握交点特征是解题的关键．
把 代入 运算即可．
【详解】解：把 代入 可得：
解得：
∴交点坐标为 ，
故答案为： ．
28.一次函数 的截距为 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了一次函数的截距，解题的关键是掌握一次函数截距的定义．
根据一次函数截距的定义，直接得出函数 的截距．
【详解】解：在一次函数 为常数， 中， 叫做截距．
对于一次函数 ，其中 ，所以该一次函数的截距为3．
故答案为：3．
29.直线 与 轴的交点坐标是 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查的知识点是一次函数与坐标轴的交点问题．在平面直角坐标系中，求直线与 轴的交点
坐标时，利用 轴上点的纵坐标为 这一特性，将 代入一次函数解析式，进而求解出对应的横坐标，从而得到交点坐标．
【详解】解：当 时， ，
解得： ；
即：横坐标为 ，纵坐标为 ，
所以直线 与 轴的交点坐标是 ．
故答案为： ．
30.若关于 的一次函数 的截距（与y轴交点的纵坐标）为 ，则 的值为 ．
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，根据题意可知一次函数与y轴交于 ，将这个点代入一次
函数解析式即可求出m的值．
【详解】解： 关于 的一次函数 的截距为 ，
一次函数 与 轴交于点 ，
将点 代入函数解析式 得 ，
，
故答案为： ．
31.已知一次函数
(1)画出函数的图象．
(2)求图象与x轴、y轴的交点 A、B的坐标．
(3)若(1)中的图象上有一点 ，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2) 、
(3) ．
【难度】0.65【知识点】画一次函数图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数自变量或函数值
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，正确画出一次函数的图象是解题的关键．
（1）根据描点法画出函数图象即可；
（2）当 时， ，当 时， ，解得 ，即可求出答案；
（3）把点的坐标代入函数解析式，即可得到答案．
【详解】（1）解：列表如下：
．． ．．
x 0 1 2
． ．
．． ．．
y
． ．
函数的图象如图所示，
（2）解：当 时， ，
当 时， ，
解得 ，
∴一次函数 与x轴、y轴的交点 A、B的坐标分别为 、 ．
（3）把 代入 得到 ，
即m的值为 ．题型一 一次函数的图象与性质综合
1．（24-25八年级下·福建厦门·期末）对于一次函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．当 时， B． 随 的增大而减小
C．它的图象与 轴交于点 D．它的图象经过第一、二、三象限
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性、根据一次函数解析式判断其经过
的象限
【分析】本题考查一次函数的性质．根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴一次函数 的图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大，
当 时， ，即一次函数 的图象与y轴交于点 ，
当 时， ，∴当 时， ，
观察四个选项，选项C符合题意，
故选：C．
2．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）对于一次函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A．图像不经过第三象限
B．点 在直线 上
C．图像与直线 平行
D．若点 ， 在该函数图像上，则
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】比较一次函数值的大小、一次函数图象平移问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的图像与性质，一次函数图像与系数的关系，根据一次函数图像的性质进行逐一分析解答即可．
【详解】解：A．∵ ， ，
∴一次函数 的图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故本选项正确，不符合题意；
B．∵ 时， ，
∴函数图像必经过点 ，故本选项正确，不符合题意；
C．∵ 与 的k均为 ，
∴ 的图像与直线 平行，故本选项正确，不符合题意；
D．∵ ， ，
∴y随x的增大而减小，
∵点 ， 在该函数图像上，且 ，
∴ ，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
3.在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴，y轴分别交于点A，
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B；
(2)①若点 ， 在该一次函数的图象上，且 ，则 ______ （用“>”或“<”填空）；
②当 时，y的取值范围是______(3)将一次函数 的图象沿y轴向上平移 个单位长度，所得直线与x轴交于点E，若
，求m的值．
【答案】(1)见解答图
(2)①>；②
(3)m的值为
【难度】0.65
【知识点】画一次函数图象、比较一次函数值的大小、一次函数图象平移问题
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．
（1）根据直线与坐标轴的交点即可求得A、B的坐标，根据两点确定一条直线，作出一次函数的图象即可；
（2）①根据图象即可判断；②根据图象即可求得；
（3）求得平移后的函数解析式，进一步求得E点的坐标，利用 即可求得m的值．
【详解】（1）解：已知一次函数 的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，
当 时， ，
，
当 时， 解得 ，
，
函数图象如图．
（2）解：①由图象可知，一次函数 随x的增大而减小，点 ， 在该一次函数的图象上，且 ，
，
故答案为：>；
②由图象可知，当 时，y的取值范围是 ，
故答案为： ；
（3）解：将一次函数 的图象沿y轴向上平移 个单位长度，得到 ，
令 ，则求得 ，
，
，
，
，
的值为
题型二 判断两个一次函数的图象位置
4.两个一次函数 与 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.65
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．根据一次函
数的图像与性质，对每个图逐个判断a，b的符号即可．
【详解】解：A、在 中， ， ；在 中， ， ；所以两个图像对a的判断
矛盾，故选项A不符合题意；
B、在 中， ， ；在 中， ， ；所以两个图像对b的判断矛盾，故选项B
不符合题意；
C、在 中， ， ；在 中， ， ；所以两个图像对a，b的判断一致，故选
项C符合题意；
D、在 中， ， ；在 中， ， ；所以两个图像对b的判断矛盾，故选项
D不符合题意．
故选：C．
5.在平面直角坐标系中，若直线 经过第一、二、四象限，则直线 不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知函数经过的象限求参数范围
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质（k、b的取值对函数图象所在象限的影响） ，解题的关键是
根据已知直线经过的象限确定k、b的符号，再结合符号判断另一条直线经过的象限．
先根据直线 经过第一、二、四象限，确定 、 ；再分析直线 中 （正）和
（负）的符号对图象的影响，判断其经过的象限，进而确定不经过的象限．
【详解】解： 根据一次函数 的图象性质：当 时，直线从左到右上升；当 时，直线从
左到右下降；当 时，直线交y轴正半轴；当 时，直线交y轴负半轴．
已知直线 经过第一、二、四象限，
（直线下降）， （交y轴正半轴）．
∴对于直线 ：
（直线上升）， （交y轴负半轴），
∵
直线 经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
∴
故选：B．
题型三 一次函数与坐标轴的交点
6.一元一次方程 的解是 ，则函数 的图象与 轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了一元一次方程，先明确方程的解与对应函数图象和 轴交点的关系，根据已知方程的
解确定交点坐标即可．
【详解】解： 函数 的图象与 轴有交点，
此时的 ，
即 ，
一元一次方程 的解是 ，
即为该交点的横坐标，
函数 的图象与 轴的交点坐标是 ，
故选：B．
7.已知一次函数 ．
(1)根据关系式画出函数的图象．(2)求出图象与 轴、 轴的交点 、 的坐标．
(3)求出 的面积．
(4) 的值随 值的增大怎样变化？
【答案】(1)见解析
(2) ，
(3) 的面积为1
(4) 随着 的增大而减小
【难度】0.65
【知识点】画一次函数图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数图象与 轴的交点问题，熟练掌握一次函数的图象和
性质，是解题的关键：
（1）列表，描点，连线画出函数图象即可；
（2）直接根据（1）即可得出结果；
（3）利用面积公式进行计算即可；
（4）根据图象进行作答即可．
【详解】（1）解：列表如下：
0 1 2
y 2 0
描点，连线，画图如下：
（2）由（1）可知： ， ；
（3）∵ ， ，∴ ， ，
∴ ；
（4）根据图象可知， 随着 的增大而减小．
8.在平面直角坐标系 中，对于 两点给出如下定义：若点 的横、纵坐标之和等于点 的横、纵坐
标之和，则称 两点为同和点．下图中的 两点即为同和点．
(1)已知点 的坐标为 ．
①在点 中，为点 的同和点的是_____．
②若点 在 轴上，且 ， 两点为同和点，则点 的坐标为_____．
(2)直线 与 轴、 轴分别交于点 ，点 为线段 上一点．
①若点 与点 为同和点，求点 坐标；
②若存在点 与点 为同和点，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)①R，T；②
(2)① ；②
【难度】0.65
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，理解“同和点”的定义并运用是解题的关键．
（1）①由同和点的定义可求解；②由同和点的定义可求解；（2）①由同和点的定义，列出等式可求解；②由同和点的定义，列出等式可得 ，即可求解．
【详解】（1）解：① 点 的坐标为 ，
，
点 ， ， ，
， ， ，
点 的同和点的是R，T，
故答案为：R，T；
② 点 在 轴上，且 ， 两点为同和点，
点 ，
故答案为： ；
（2）解：① 直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，
当 时， ；当 时， ，解得 ，
点 ，点 ，
点 与点 为同和点，
设点 ，
，
，
点 坐标为 ；
②设点 坐标为 ，
点 与点 为同和点，
，
，点 为线段 上一点，
，
，
．
题型四 两个一次函数的交点问题
9.在平面直角坐标系 中，函数 的图象与函数 （ ）的图象交于点 ．
(1)求m与k的值；
(2)当 时，对于x每一个值，总有函数 （ ）的值大于函数 （ ）的值，直接
写出n的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)
【难度】0.65
【知识点】求一次函数解析式、一次函数的规律探究问题、根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数性质，两条直线相交或平行问题，正确理解一次
函数性质，并熟练掌握两条直线相交或平行情况是解题的关键．
（1）将点 代入函数 求解，即可得到m的值，再结合待定系数法求解即可得到k的值；
（2）联立 与 求出交点横坐标为 ，再结合题意和一次函数性质得到 ，
求解，即可解题．
【详解】（1）解：将点 代入函数 有： ，
解得 ，
，
，
解得 ；
（2）解：由（1）知， ，
联立 与 有： ，
解得 ，当 时，对于x每一个值，总有函数 （ ）的值大于函数 （ ）的值，
又 时，直线 与直线 平行，
， ，
当 时，解得 ，
即n的取值范围为 ．
10．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，已知直线 交x轴于点 ，交y轴于点B，直线
交x轴于点D，与直线 相交于点 ，求m的值与直线 的解析式．
【答案】m的值是3，直线 的解析式为
【难度】0.65
【知识点】求一次函数解析式
【分析】本题考查了求一次函数的解析式，熟练掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．把
代入 ，求出 ，得到 ，再用待定系数法求一次函数的解析式即可．
【详解】解：把 代入 ，得 ，
，
，
把 ， 代入 ，得 ，解得 ，
的值是3，直线 的解析式为 ．
题型五 根据一次函数的增减性求参数（范围）
11.在平面直角坐标系中，过点 的直线l 经过第二、三、四象限．若点 ， ， 都在直线
l上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据直线l经过第二、三、四象限且过点 ，得出y随x
的增大而减小，则 ，再根据点 在直线l上，得出 ，即可解答．
【详解】解：∵过点 的直线l 经过第二、三、四象限，
∴y随x的增大而减小．
∵ ，
∴ ，
∴A、B、C均错；
∵点 在直线l上， ，
∴ ．
∴D正确．
故选：D．
12．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）若 是一次函数 图象上不同的两点，
且 ，则a 的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握“当 时， 随 的增大而减小”是解题的关键．
根据 可得出 与 异号，进而得出 ，解之即可得出结论．
【详解】解： ，
与 异号，
∴当 时， ，当 时， ，
∴y随 增大而减小，
∵ ，
∴ ，解得： ．
故选：D．
13.当 时，一次函数 满足 ，则常数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查了一次函数的性质．根据题意得到当 时，一次函数 最大值满足 ，
然后根据 和 分情况讨论分别求出最大值即可．
【详解】解：∵当 时，一次函数 满足 ，
∴当 时，一次函数 最大值满足 ，
当 时，一次函数 随 的增大而减小，
∵ ，∴当 时，有最大值
解得： ，
故此时： ；
当 时，一次函数 随 的增大而增大，
当 ，有最大值 ，
解得 ；
故此时： ，
综上所述， 且 ．
故选：C．
题型六 探究新函数的图象与性质
14.数学兴趣小组根据学习函数获得的经验，对函数 进行了探究．下面是他们的探究过程，请你帮
助他们补充完整．
(1)自变量 的取值范围是______；
(2)下表是 与 的几组对应值，请你完成表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
______ ______ ______ ______
(3)结合函数图象，可以发现：
函数的最小值为______；
写出此函数的性质（一条即可）．
【答案】(1)全体实数
(2)见解析(3) ；
函数 的图象关于 轴对称；
当 时， 随 的增大而减小；
当 时， 随 的增大而增大等（答案不唯一，写出一条即可）
【难度】0.65
【知识点】求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象
【分析】本题考查了一次函数与分段函数，画函数图象，函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问
题是解题的关键．
（1）根据解析式即可确定自变量取值范围；
（2）把 的值分别代入函数解析式中，求得对应的 值即可，再根据表格描点连线即可画出函数图象；
（3） 根据图象直接得到最小值； 观察函数图象的特征，写出其中一条性质即可．
【详解】（1）解： 取任意实数，函数 都有意义，
故答案为：全体实数；
（2）解：补全表格如下：
在平面直角坐标系中画出该函数的图象如下图：
（3）解： 观察图象可知，函数的最小值为 ；
故答案为： ；函数 的图象关于 轴对称；
当 时， 随 的增大而减小；
当 时， 随 的增大而增大等（答案不唯一，写出一条即可）．
15．小明根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完成：
(1)函数 的定义域是_________，函数值 的取值范围是_________；
(2)下表为 与 的几组对应值：
1 2 3 4 5 ．．．
0 1 1.41 1.73 2 ．．．
在所给的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(3)结合图象写出该函数的一条性质：________．
【答案】(1) ， ；
(2)见解析
(3) 随 的增大而增大．
【难度】0.65
【知识点】二次根式有意义的条件、从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象
【分析】本题考查了函数的图象，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
（1）根据二次根式的性质即可得出结论；
（2）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；
（3）根据函数图象即可得出结论．
【详解】（1）解：函数 的定义域是 ，函数 的函数值 的取值范围是 ；
故答案为： ， ；
（2）解：如图所示：（3）解：由图象可得： 随 的增大而增大．（答案不唯一）
16．（24-25八年级上·全国·期末）问题：探究函数 的图象和性质．
根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，请补充完整：
(1)函数的自变量 的取值范围是______；
(2)下表是 与 的几组对应值，请将表格补充完整：
… …
_____ _____ _____
… …
_ _ _
(3)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象；
(4)进一步探究：结合函数的图象，写出此函数的性质 一条即可
【答案】(1)
(2)0， ，
(3)见解析
(4)函数图象关于直线 对称【难度】0.65
【知识点】求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信息、求自变量的取值范围、用描点法画函数图象
【分析】 由分母不为零，确定 的取值范围；
将 ， ， 代入解析式计算即可；
在平面直角坐标系中描点连线画出函数的图象即可；
观察图象的特点，可得出函数图象是一个关于直线 对称．
此题主要考查函数的图象，性质，观察函数图象并结合函数性质是解决本题的关键．
【详解】（1）解：因为分母不为零，
，解得： ，
故答案为： ；
1
（2）x=− 时， ；
2
时， ；
时， ；
故答案为： ， ， ；
（3）如图：
（4）观察坐标的特点，可得出函数的性质：函数图象关于直线 对称．
17．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）对于函数 （m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题．
(1)当 时，函数为 ；当 时，函数为 ，用描点法画出了这两个函数的图象，如图
所示．
观察函数图象可知：函数 的图象关于_______对称：
对于函数 ，当 _______时， ；
(2)当 时，函数为
①在图中画出函数 的图象：
②对于函数 ，当 时， 的取值范围是________；
(3)结合函数 ， 和 的图象，可知函数 的图象可由函数
的图象平移得到，它们具有类似的性质．若 ，写出由函数 的图象得到函数 的图象
的平移方式．
【答案】(1)y轴， 或 ；
(2)①见解析；②
(3)将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象
【难度】0.65
【知识点】画一次函数图象、判断一次函数的增减性、一次函数图象与对称问题、一次函数图象平移问题【分析】（1）根据 时， ， 时， ，得到函数 的图象关于y轴对称；
根据函数 中， ，得到 ，或 ；
（2）①在 中，取 作射线 ，即得函数 的图象；②根
据函数图象关于直线 对称，点 对称，在 范围内， ；
（3）根据函数图象的平移规律进行解答即可．
【详解】（1）∵ 中，当 时， ，当 时， ，
∴函数 的图象关于y轴对称；
∵函数 中， ，
∴ ，
∴ ，
解得， ，或 ，
∴当 ，或 时， ；
故答案为：y轴， 或 ；
（2）①在 中，令 ，则 ，令 ，则 ，令 ，则 ，
过 作射线 ，即得函数 的图象；
②由函数图象看出，函数图象关于直线 对称，点 对称，顶点是 ，∴当 时， ；
故答案为： ；
（3）将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 即 的图象
【点睛】本题主要考查了分段函数．熟练掌握绝对值性质，两点法画一次函数图象，一次函数的图象和性
质，函数的对称性，函数的增减性，函数的平移，是解决问题在关键．
题型七 一次函数图象与几何变换
18.如图， ，将直线 以每秒2个单位长度向右平移 秒，当直线
与四边形 有公共点时， 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换及一次函数的性质，根据题意，分别求出平移后的直线
经过点B和点D时的函数解析式，进而可得出平移的距离，据此可解决问题．
【详解】解：将 代入 得 ，
解得 ，
所以直线l与x轴的交点坐标为 ．
令平移后的直线函数解析式为 ，
当平移后的直线经过点B时， ，
解得 ，
所以此时直线的函数解析式为 ，
则 ．当平移后的直线经过点D时，
，
解得 ，
所以此时直线的函数解析式为 ，
令 得， ，
解得 ，
所以 ，
所以当直线l与四边形 有公共点时，t的取值范围是： ．
故选：A．
19.点 关于 对称点 的坐标是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】一次函数图象与对称问题、等边对等角
【分析】本题考查轴对称的性质、一次函数与坐标轴的交点问题、等腰三角形的性质、坐标与图形，熟练
掌握轴对称性质是解答的关键．
设直线 与x、y轴交点分别为E、F，过A作 轴交直线 于P，设点A关于直线
对称点为点B，连接 ，先求得直线 与坐标轴的交点坐标得到 ，进而可得
，由平行线的性质和对称性质得到 ， ，进而可求解．
【详解】解：如图，设直线 与x、y轴交点分别为E、F，过A作 轴交直线 于P，设点
A关于直线 对称点为点B，连接 ，
对于 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，∴ ， ， ，
∴
∴ ，又 ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴由对称性质得 ， ，
∴ ，
∴即 轴，
∴点B的坐标为 ，
故答案为： ．
20．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知点 ， 为函数 图象上两点，下列结
论：
①函数的最小值为0；
②当 时， ；
③若 ，则 ；
④若方程 有两个解，且都满足 ，则k的取值范围是 ；
其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】①③④
【难度】0.65
【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数的规律探究问题、绝对值的其他应用
【分析】本题主要考查了一次函数的性质、绝对值等知识点，熟练掌握绝对值的性质以及一次函数的性质
是解题的关键．
根据绝对值的性质可判断①选项，根据 取绝对值，可得一次函数，然后根据一次函数的性质即可
判定②；先说明该函数图像为 ，然后根据对称性即可判定③；将方程 转化为，将所求问题转化为函数 与函数 在 有两个解，易得函
数 的图象必过 ；然后求得三个临界点k的值，然后结合函数图象即可解答．
【详解】解：①∵ ，
∴该函数的最小值为0，故①正确；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴y随x的增大而减小，
∴ ，即②错误；
③由题可知：函数图象对称轴为直线 ，
∵ ，
∴A、B关于 对称，即 ，故③正确；
④将方程 转化为 ，
∵方程 有两个解，且都满足 ，
∴函数 与函数 在 有两个解，
∵ ，∴函数 的图象必过 ，
∵ ，
当 时，直线 与 的交点为A，即 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，即 ；
当 时，直线 与 的交点为B，即 ，
∴ ，
∴ ，解得： ；
当 时，直线 与 的交点为C，即 ，
∴ ，
∴ ，解得： ；
由函数图象可得：方程 有两个解，且都满足 ，则k的取值范围是 ，即
③正确．
故答案为∶①③④．
题型八 直线围成的图形面积
21.如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 与两坐标轴分别相交于A、B两点，直线 与 相交
于点 ．
(1)直接写出A、B两点的坐标；(2)若直线 将 的面积分成 的两部分，求直线 的函数关系式．
【答案】(1) ；
(2) 或
【难度】0.65
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、求直线围成的图形面积
【分析】本题考查了两条直线相交问题，三角形的面积问题，待定系数法求一次函数的解析式，注意
（2）中C的坐标是两种情况．
（1）分别令 和 ，可求得A、B的坐标；
（2）设C点的坐标为 ，然后分两种情况求得C的坐标，进而利用待定系数法即可求得直线
的解析式．
【详解】（1）解：在 中，令 ，得 ，
令 ，得 ，解得 ，
， ；
（2）解： ， ，
， ，
，
设C点的坐标为 ，
，
将 的面积分成 的两部分，
或 ，
或 ，
解得： 或4，或 ，
设直线 的解析式为 ，
或 ，
解得 或
直线 的解析式为 或 ．
22．如图，直线 ： 交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 在线段 上（不与点 ， 重合），
．
(1)求点 、 的坐标；
(2)设 的面积为 ，点 的横坐标为 ，写出 与 之间的函数关系式，并求出 的取值范围；
(3)当 的面积为 时， 点的坐标；
(4) 的面积能达到1吗？请说明理由．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)
(4)不能，理由见解析
【难度】0.65【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、函数解析式、求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及直线与坐标轴的交点问题，已知函数值求自变量的值，函
数关系式等知识点．
（1）分别令 ，即可求解直线与坐标轴的交点；
（2）由题意得 ，则由 即可建立函数关系式，根据点 的运动范围可求解 取值
范围；
（3）将 代入函数解析式，求出 ，即可求解 的坐标；
（4）将 代入函数解析式，求出 ，与 取值范围比较即可．
【详解】（1）解：对于直线 ，
当 ，
当 ， ，
解得： ，
∴ ， ；
（2）解：由题意得 ，
∴ ，
∴ 与 之间的函数关系式为： ，
的取值范围为： ；
（3）解：由题意得，当 时， ，
解得： ，
∴ ；
（4）解：不能，理由如下：当 时， ，
解得： ，不在 范围内，
故不能．
题型一 一次函数的规律探究
1.正方形 按如图的方式放置，点 和点 分别在直线
和 轴上，其面积分别记为 ，则 （ ）
参考公式： ．
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】数字类规律探索、一次函数的规律探究问题
【分析】本题考查一次函数找规律问题，找到题中的规律是解题的关键，根据一次函数解析式求出 ，
的坐标，从而找到规律，从而得到 ，再根据提示即可求
得答案．【详解】解：∵点 和点 分别在直线 和 轴上，
∴ ， ，
∴ ，
∴将 代入 得，
∴ ，
∴ ，
以此类推可得： ，
，
∴
．
故选：A．
2．（24-25八年级下·河南开封·期中）在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴，y轴相交于点A，
B．以点A为圆心、 长为半径画弧交x轴于点 ，再过点 作x轴的垂线交直线于点 ，以点A为圆心，
长为半径画弧交x轴于点 ．按此做法进行下去，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.65
【知识点】一次函数的规律探究问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意，利用勾股定理求出 ， ， 的长，
得到各点坐标，找到规律即可解答．
【详解】解：如图，
当 时， ；
当 时， ；
可得 ， ，
；
；
；
即 ， ， ；
，
可得 ．
故选：D．
3.如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ．以点O为圆心，以 长为半径画弧，交直线
于点B，过 点作 轴，交直线 于点 ，以点O为圆心．以 长为半径画弧，交直线
1于点 ，过点 作 轴，交直线 于点 ，以点O为圆心、以 长为半径画弧，交
直线 于点 ；过 点作 轴，交直线 于点 ，以点O为圆心、以 长为半径画弧，
交直线 于点 ；…按照如此规律进行下去，点 的坐标为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】一次函数的规律探究问题、点坐标规律探索
【分析】本题考查了图形的规律，由 ， ，设 ，可求得 为 ，同理可得
， ，找出规律，即可求得 的坐标．
【详解】解：∵点 在直线 上，
∴设 的坐标为 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ， （舍去），
∴ 的坐标为 ，同理可得： 的坐标为 ， 的坐标为 ，
的坐标为 ， 的坐标为 ，
…
的坐标为 ， 的坐标为 ，
故答案为： ．
4．（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，直线 与 轴相交于点 ，过点 作x轴的平行线交
直线 于点 ，过点 作y轴的平行线交直线 于点 ，再过点 作x轴的平行线交直线
于点 ，过点 作y轴的平行线交直线 于点 ，…，依此类推，得到直线 上的
点 、 ， ，…，与直线 上的点 ， ， ，…，则 的长为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】一次函数的规律探究问题
【分析】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出 的
长的规律，对于直线 ，令 求出 的值，确定出 纵坐标，即为 的纵坐标，代入直线
中求出 的横坐标，即可求出 的长，由 与 的横坐标相等得出 的横坐标，代入
求出纵坐标，即为 的纵坐标，代入直线 中求出 的横坐标，即可求出 的长，同理求出 ， ， ，归纳总结即可得到 的长．
【详解】解：对于直线 ，令 ，求出 ，即 ，
轴，
的纵坐标为 ，
将 代入 中得： ，即 ，
，
轴，
的横坐标为 ，
将 代入直线 中得： ，即 ，
与 的纵坐标为 ，
将 代入 中得： ，即 ，
，
同理 ， ， ，
则 的长为 ．
故答案为： ．
题型二 一次函数与坐标图形变化
5.已知函数 是关于 的一次函数．(1) ________；
(2)图象与 轴的交点坐标是________，与 轴的交点坐标是________；
(3)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数图象，并写出该函数的两条性质；
(4)若该函数图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
①过点 作直线 与 轴交于点 ，且 ，求 的面积；
②已知直线 与该一次函数图象交于点 是 轴上一动点，连接 ，求 的最小值．
【答案】(1)1
(2) ，
(3)图见解析，① 的值随 的值的增大而减小；②函数图象不经过第三象限（答案不唯一）
(4)① 的面积为 或 ；② 的最小值为
【难度】0.4
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知两点坐标求两点距离、
根据一次函数的定义求参数
【分析】本题考查勾股定理，一次函数的定义，一次函数的图象与性质；
（1）由一次函数定义可得 且 ，解得 ；
（2）由（1）知函数 ，当 时， ，当 时， ，即可求出与坐标轴的交点；
（3）画出的函数图象，由函数图象分析性质即可；
（4）①由 ， ，得到 ， ， ，再根据点 在 右边或左边分情况讨论，求出 ，最后根据 计算即可；
②先求出直线 与该一次函数图象交于点 ，再取点 ，则 与 关于 轴
对称， ，连接 ，则 ， ，当 在
上时 为最小值．
【详解】（1）解：∵函数 是关于 的一次函数，
∴ 且 ，
解得 ，
故答案为：1；
（2）解：由（1）知函数 ，
当 时， ，
解得 ，
当 时， ，
∴函数图象与 轴的交点坐标是 ，与 轴的交点坐标是 ；
故答案为： ， ；
（3）解：画出的函数图象如图所示：
由函数图象知：① 的值随 的值的增大而减小；②函数图象不经过第三象限；
（4）解：①∵该函数图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴当点 在 右边时， ， ；
当点 在 左边时， ， ；
∴ 的面积为 或 ；
②联立 ，解得 ，
∴直线 与该一次函数图象交于点 ，
如图，取点 ，连接 ， ，
则 与 关于 轴对称， ，
∴ ，
∴ ，
当 在 上时 为最小值．
题型三 探究新函数的图象性质
6.学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行探究，并解决相关问题．
(1)函数 中自变量 的取值范围是___________；
(2)如表是 与 的几组对应值．
．．． 0 1 2 3 4 5 6 ．．．
．．． 4 2 1 2 3 4 ．．．
直接写出表格中 的值是___________；
(3)在平面直角坐标系 中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；
(4)结合函数图象，解决问题：
①方程 有___________个解；
②当 时， 的取值范围是___________；
(5)进一步研究：若点 是函数 图象上的任意两点，若对于
，都有 ，则 的取值范围是___________．
【答案】(1)一切实数
(2)
(3)见解析
(4)2；
(5)
【难度】0.4【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信息、用描点法画函数图
象
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、一次函数的性质，解题时要熟
练掌握并能灵活运用是关键．
（1）根据二次根式有意义条件得 ，求解即可；
（2）把 代入 中，求出 值即为 值；
（3）用描点法作出函数图象即可；
（4）①根据函数 的图象与直线 有两个交点，可得方程 有2个解，；
②根据函数图象可得，当 时，y的取值范围是 ；
（5）由题意，结合（2）可得，分析函数 的性质，得到 在左侧， 在右侧， 的中点
一定在对称轴直线 的右侧，从而可求出 的范围．
【详解】（1）解：由二次根式有意义条件，得 ，
解得： 为一切实数，
∴函数 中自变量 的取值范围是一切实数．
故答案为：一切实数；
（2）解：把 代入 中得： ，
∴ ，
故答案为： ．
（3）解：函数的图象如图所示：（4）解：如图，
∵函数 的图象与直线 有两个交点，
∴方程 有2个解，
故答案为： ；
由图可得：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴根据函数图象可得，当 时，y的取值范围是 ．
故答案为：2； ；
（5）解：对于函数 的图象的对称轴是直线 ，当 时， 随 的增大而减小，而
时， 随 的增大而增大；函数图象上的点离对称轴直线 越近，函数值越小．
∵对于 ，都有 ，
∴ ， 在左侧， 在右侧， 的中点一定在对称轴直线 的右侧，
∴ 恒成立，
∴ ．
故答案为： ．
题型四 动点问题与函数图象7.如图，矩形 中， ，点F是线段 的中点，动点P从点A出发，沿射线 方向以
每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点B出发沿折线B→C→F方向以每秒1个单位长度的速度运
动．当点Q到达点F时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒， 的面积为y．
(1)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）；
(2)在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图像，在 范围内， 与函数有2个交点，直接写出t的求值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【难度】0.4
【知识点】从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象、动点问题的函数图象
【分析】（1）分两种情况：当点 在线段 上，点 在 上时，当点 在射线 上时，点 在 上
时，分别根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案；
（2）先列表，再描点连线即可得到函数图象，由函数图象即可得出函数的性质；
（3）根据函数图象即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
当点 在线段 上，点 在 上时，
此时： ， ， ，
，；
当点 在射线 上时，点 在 上时，
此时： ， ，
，
；
综上所述： ，
（2）解：列表：
0 1 2 3 4
0 1 0 2 4
函数图像如图：
由函数图象可得：
函数的性质：
①当 或 时， 随 增大而增大，当 时， 随 增大而减小；
②当 时，函数 有最大值4；（回答一个即可）
（3）解：由函数图象可得：
在 时，
要使 与该抛物线有2 个交点，则
【点睛】本题考查了动点问题、求函数解析式、画函数图象、从函数图象中获取信息，理解题意，正确取
出函数解析式，采用分类讨论与数形结合的思想解题，是解此题的关键．
