文档内容
4.3 全等三角形
全等三角形的性质
知识点一
全等三角形的对应边相等，对应角相等
全等三角形的判定
知识点二
1.三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”.
2.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.
3.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.
4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.
5.直角边和斜边相等分别的两个直角三角形全等，简写成“HL”
题型一 全等三角形的性质
【例题 1】（2022秋•固始县期末）如图， 与 交于 ， ，添加一个条件，仍不能使
的是A． B． C． D．
解题技巧提炼
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有： ，
， ， ， ．添加时注意： ， 不能判定两个三角形全等，
不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
【变式1-1】（2022秋•代县期末）在 与 中， ， ，要使这两个三角形全等，
还需具备的条件是
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022秋•周口期中）如图，点 ， 分别在 的两边上，点 在 的角平分线
上，连接 ， ，下列不能保证 的条件是
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022秋•无棣县期中）如图， ，只添加一个条件，使 ．下列条件中正确的是
① ；② ；③ ；④ ．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
题型二 全等三角形的判定——SSS
【例题2】工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB
上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即
是∠AOB的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是
．
解题技巧提炼
本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用
数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．
【变式2-1】如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木
桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由．【变式2-2】如图△ABC中，点D在AC上，E在AB上，且AB＝AC，BC＝DC，AD＝DE＝BE．
（1）求证：△BCE≌△DCE；
（2）求∠EDC的度数．
【变式2-3】如图，AB＝AC，AD＝AE，CD＝BE．求证：∠DAB＝∠EAC．
题型三 全等三角形的判定——SAS
【例题3】在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在
AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝ 度；
（2）设∠BAC＝ ，∠DCE＝ ．
①如图2，当点Dα在线段CB上β ，∠BAC≠90°时，请你探究 与 之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请α 将图β 3补充完整，写出此时 与 之间的
数量关系并证明． α β解题技巧提炼
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中
求证△BAD≌△CAE是解题的关键．
【变式3-1】如图，在△ABC中，AD，CE分别是BC、AB边上的高，AD与CE交于点F，连接BF，延
长AD到点G，使得AG＝BC，连接BG，若CF＝AB．
（1）求证：△ABG≌△CFB；
（2）在完成（1）的证明后，爱思考的琪琪想：BF与BG之间有怎样的数量关系呢？它们之间又有怎
样的位置关系？请你帮琪琪解答这一问题，并说明理由．
【变式3-2】（1）如图1，已知在△ABC中，AD为中线，求证AB+AC＞2AD．
（2）如图2，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．
求证：BE+CF＞EF．【变式3-3】如图所示，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子
不够长，请你利用三角形全等的相关知识带他设计一种方案测量出 A、B间的距离，写出具体的方案，
并解释其中的道理．
题型四 全等三角形的判定——ASA
【例题4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．
（1）求证：△ABD≌△ECB．
（2）若∠BDC＝70°．求∠ADB的度数．
解题技巧提炼
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，还考查学生运用定理进行
推理的能力，题目比较典型，难度适中．
【变式4-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，连接AE，AF，∠BAF＝∠CAE，延长
AF至点D，使AD＝AC，连接CD．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，求∠ADC的度数．【变式4-2】如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．
（1）求∠APC的度数；
（2）若AE＝4，CD＝4，求线段AC的长．
【变式4-3】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的任意点，D为线段BE的中点，AB＝AE，
EF⊥AE，AF∥BC．
（1）求证：∠DAE＝∠C；
（2）求证：AF＝BC．
题型五 全等三角形的判定——AAS
【例题5】如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，
（1）求证：△ABC≌△ADE；
1
（2）若AE∥BC，且∠E= ∠CAD，求∠C的度数．
3解题技巧提炼
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段或角相等
的重要方式，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
【变式5-1】如图，若AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC＝
70°，∠BAD＝60°，则∠BAE的度数是 ．
【变式5-2】如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点
F，且AB＝DE．若BD＝8cm，则AC的长为 ．
【变式5-3】如图，把一个长为10m的梯子AB斜靠在墙上，测得BM＝6m，梯子沿墙下滑到CD位置，
测得∠ABM＝∠DCM，DM＝8m，求梯子下滑的高度．题型六 全等三角形的判定——HL
【例题6】如图， ， 分别是 的高，且 ，求证： ．
解题技巧提炼
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此
题的关键．
【变式6-1】如图， 于点 ， 于点 ，且 ．求证： ．
【变式6-2】如图， ， ，点 是 上一点， 于 ， 于
， ，求证： ．
【变式6-3】已知：如图，点 、 在线段 上， ， ， ， ，求证：．
