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1.2 一定是直角三角形么（勾股定理逆向运用）
题型一 勾股数的判断与直角三角形的判断
1．下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（ ）
A．3，4，5 B．0.6，0.8，1 C．9，12，16 D．5，12，13
2．（2025·山东淄博·二模）下列长度的三条线段，能组成钝角三角形的是（ ）
A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7
3．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）欲检验一矩形画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为 和
，对角线为 ，则该画框 （填“合格”或“不合格”）．
4．（22-23八年级上·宁夏中卫·期中）在 中，若 ，则 度．
5．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知三角形三边长分别是8，15和17，则三角形的面积是 ．
6．（23-24八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，分别以 的三边为直径向三角形外作半圆，图中有
阴影的三个半圆的面积 的关系为 ，则 是 三角形．题型二 勾股数与整式化简
7．已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，求m的值．
题型三 证明直角三角形
8．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方．那么
以这三个正整数为边长的三角形是直角三角形．若连续的两个整数为 、 ，请证明结论．
9．（2025·河北唐山·三模）已知：整式 ，且整式 ． 、 、 的值均为正
数，则以整式 、 、 为边长的三角形是什么形状的三角形？并说明理由．
题型四 在网格中判断直角三角形
10．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，
点 ， ， 都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． 的面积为10 D．点 到直线 的距离是2
11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连
接 、 ，则 的度数为 ．12．（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，每个小正方形的
顶点称为格点， 的顶点均在网格的格点上． 为 中 边上的高线．
(1)求证： ；
(2)求 的长．
题型五 与勾股数有关的简单规律探究
13．（24-25八年级上·四川成都·期中）我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和
“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边．
观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事
实上，勾是3时，股和弦的算式分别是 ， ；勾是5时，股和弦的算式分别是 ，
．根据你发现的规律：
（1）当勾是十一时，则股和弦分别为： ；（直接写出结果）
（2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有
间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且 ）的代数式来表示所有这些勾股数的股为 ．
14．（2024·四川德阳·二模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．
观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为
1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的
勾为 （ ，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）．
题型六 勾股定理逆向运用与三角形的面积
15．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知： 米， 米， 米， 米，且 ．则这块草坪的面积是
（ ）
A． B． C． D．
16．如图所示的一块地， ， ， ， ， ，求这块地的面积．
17．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，求四边形 的面
积．
题型一 勾股定理与解三角形
1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图， 是 的高．
(1)若 ，则 的长为_______， 的长为_______；
(2)若 ，且 ，求证： 是直角三角形．2．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在 中， 于点D．
(1)已知 ， ， ，求证： ；
(2)已知 ．
①若 ， ，求 2；
②若设 ， ， ，则m，n，k的数量关系为__________．
题型二 新定义问题
3．（2024八年级上·全国·专题练习）定义：如图，点 、 把线段 分割成 、 、 ，若以
、 、 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 、 是线段 的勾股分割点．
(1)已知 、 把线段 分割成 、 、 ，若 ， ， ，则点 、 是线
段 的勾股分割点吗？请说明理由．
(2)已知点 、 是线段 的勾股分割点，且 为直角边，若 ， ，求 的长．
题型三 与勾股数有关的规律探究问题（含分类讨论思想）
4．（2025·湖南·模拟预测）三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；
7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（ ）．
A． B． C． D．
5．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）勾股定理 本身就是一个关于 ， ， 的方程，满足这个
方程的正整数解 通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式
可以构造出如下勾股数组： ．分析上面勾股数组可以发现，
，分析上面规律，第9个勾股数组为 ．6．（23-24八年级下·福建厦门·期中）将一些“勾股数”整理并填入下表，观察表格并回答问题：
3 8 15 24 35 48 …
4 6 8 10 12 14 …
5 10 17 26 37 50 …
(1)当 时，直接写出 的值；
(2)是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理
由；
(3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的
另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．
1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在 的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端
点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b， 恰好能作为直角三角形三边，则满足条件
的格点Q有（ ）
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）【知识回顾】
（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两
直角边长分别为 ， ，斜边长为 ．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了
勾股定理 ．请写出证明过程．
【类比迁移】
（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若 ， ，则空白部分的面积为
___________．【能力提升】
（3）如图3，在 中， 是 边上的高， ， ， ，设 的长为 ，请求出
的值．3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数 ，称
为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这
组数的整数倍，如 等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如
等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数 才能满足关系式 ．设
为一组勾股数，观察下表回答问题：
表1 表2
a b c a b c
3 4 5 6 8 10
5 12 13 8 15 17
7 24 25 10 24 26
9 40 41 12 35 37
(1)根据表1的规律写出勾股数（11，________，________）；
观察可得：表1中b、c与 之间的关系是________；（填勾股定理不得分）
(2)根据表2的规律写出勾股数（16，________，________）；
观察可得：表2中b、c与 之间的关系是________；（填勾股定理不得分）
(3)老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？
（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如 ）4．数学探究课上李老师出这样一道题：“等边 中有一点 ，且 ， ， ，试求
的度数．”小明和小军一起讨论时发现了一种求 度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，
请按照下列思路要求画图或判断．
(1)在图中画出 绕点A顺时针旋转 后的 (尺规作图)；
(2)试判断 的形状，并说明理由；
(3)试判断 的形状，并说明理由；
(4)由（2）（3）两问可知， _________．
