文档内容
1.2 一定是直角三角形吗（勾股定理的逆定理） 教学设计
1.教学内容
本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》八年级上册（以下统称“教材”）第一章“勾股定
理”1.2 一定是直角三角形么（勾股定理逆定理），内容包括：①探索并理解“如果三角形的三边长a, b,
c满足 a²+ b²= c²，那么这个三角形是直角三角形”。②运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为
直角三角形。
③理解勾股定理与其逆定理的区别与联系。
2.内容解析
本节课的核心是直角三角形的判定定理（勾股定理逆定理）：①揭示了由三角形三边长的数量关系判
定其形状（是否为直角三角形）的充分条件；②是勾股定理知识的深化和应用拓展，是三角形判定体系的
重要补充（判定直角三角形的方法）；③架起了数与形之间的另一座桥梁，即通过代数计算（验证三边平
方关系）解决几何问题（判断三角形形状）。
3.数学思想方法
本节课蕴含了“猜想-验证-证明”的数学探究方法，体现了“数形结合”思想（由数定形）和“逆命
题”思想。理解逆定理需要逻辑推理能力。
根据以上分析，确定本节课的教学重点：直角三角形的判定定理（勾股定理的逆定理）的理解与应用。
1.教学目标
（1）经历探索勾股定理逆定理的过程，理解并掌握直角三角形的判定定理（勾股定理逆定理）；能
够运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形；能区分勾股定理及其逆定理的条件和结论，
体会数学知识之间的内在联系（勾股定理与逆定理的互逆关系）。
（2）通过动手操作（画图、测量、计算）、观察、猜想、验证、证明等活动，发展合情推理能力和
初步的演绎推理能力。
（3）经历“提出问题-实验探究-形成猜想-推理论证-得出结论”的完整数学探究过程，体会“由数到
形”的转化思想（数形结合）．
（4）在探究活动中感受数学定理的和谐美、严谨美及其应用价值，提高数学应用意识．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 12.目标解析
（1）学生能准确叙述逆定理的内容（条件：a²+ b²= c²；结论：直角三角形）；面对给定三边长的
三角形，能正确计算边长平方，判断是否满足a²+ b²= c²（注意识别最长边c），并据此得出结论；能清
晰说明两个定理的条件和结论正好相反。
（2）学生能主动参与到画图、测量、计算、比较的活动中，发现满足平方关系的三边能构成直角三
角形这一现象；能在教师引导下理解证明思路（构造已知直角三角形并利用SSS全等）。
（3）能意识到代数计算（验证平方关系）是解决特定几何问题（判定直角）的有效工具，感知到其
中的数形结合思想。
（4）学生在小组合作和探究过程中表现出积极性和专注度，并认识到逆定理在解决实际问题（如木
工验方、工程测量）中的作用，提高勾股定理的应用意识。
·知识与能力基础：学生已经熟练掌握勾股定理的内容及其简单应用，具备计算平方、平方根的能力，了解
三角形全等的判定方法（特别是SSS），知道直角三角形的定义。
·认知特点：八年级学生具备一定的观察、操作、归纳和推理能力，但演绎推理（尤其是构造性证明）的能
力尚在发展中，逻辑严密性有待提高；对互逆命题的概念可能不够清晰。
·潜在困难与教学策略
结合学生的认知特点分析分析在教学过程中学生会遇到以下困难：①从对“逆定理”概念的理解存在
障碍，容易混淆勾股定理与其逆定理；②在验证平方关系时，容易忽略“最长边作为斜边 c”这一关键点；
③理解逆定理的证明（构造法）需要一定的空间想象力和逻辑跳跃，是难点；④应用时，可能对非整数的
边长计算感到困难或易错。
根据以上分析确定下面的教学策略：①采用“问题情境→活动探究→猜想验证→应用深化”的模式；
②通过丰富的实例（包括反例）操作、对比辨析、小组合作探究、教师引导启发突破难点，强化重点；③
利用直观教具辅助理解。
基于以上分析，确定本节课的教学难点：理解直角三角形的判定定理的证明思路和方法.
1.情景引入
播放：“埃及人用打结的绳子构造直角”的故事视频。（1.5分钟）
提问：绳子上打结将绳子分成3:4:5的三段，拉直后围成的三角形为什么是直角三角形呢？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2（设计意图：利用历史故事和生活实例激发学习兴趣和探究欲望，体会数学的应用价值。)
（教学建议：让学生观看情境，产生兴趣和疑问。）
2.复习提问
回顾勾股定理：在Rt△ABC中，∠C=90°，则 a²+b²=c²（c为斜边）。
提问：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，反过来，如果一个三角形的三边长a, b,
c满足a²+b²=c²，那么这个三角形一定是直角三角形吗？
我们一起进入本节课的学习：《一定是直角三角形吗？》
（设计意图：①复习旧知，建立新旧知识联系；②提出核心问题，引发认知冲突，明确本节课要解决的核
心疑问。）
（教学建议：由教师引导学生回忆并回答勾股定理内容；最后思考教师提出的核心问题，明确本节课的学
习目标。）
3.学习目标
（1）理解“直角三角形的判定定理”，能区分勾股定理及直角三角形的判定定理的条件和结论，体会数
学知识之间的内在联系（勾股定理与直角三角形的判定定理的互逆关系）；
（2）会根据三角形的边长判断一个三角形是否为直角三角形；
（3）理解直角三角形的判定定理的证明思路和方法，提高演绎推理能力；
（4）应用勾股定理及其逆定理，在会判定直角三角形的条件下，解决和直角三角形有关的实际问题，提
高勾股定理的应用意识并形成直角三角形的模型观念
（设计意图：北师版在勾股定理这一章没有直接给出逆定理的概念，考虑学生的现有认知，在学习目标中
我们用直角三角形的判定定理来代替勾股定理逆定理的说法，再次强调了本节课的重点是判断一个三角形
是否为直角三角形）
（教学建议：在本节课教学开始可以弱化关于逆定理这一说法，在定理学习之后可以根据具体学情给出勾
股定理的逆定理的概念；也可以直接使用勾股定理的逆定理来命名，后面都用勾股定理逆定理来表述）
（一）实验操作，初步感知
教师活动 学生活动
下面每组数分别是三角形的三边长a、b、c： 动手操作(直尺、圆规、量角器)：
① 3, 4, 5； ② 5, 12, 13； ③ 8, 15, 17； ④ 7, 24, 25；⑤ 2, 3, (1)小组合作，按要求选择两组数
4）。 据画图：①先用有刻度的直尺作
出三条符合数据的线段长；②再
问题1.计算三角形三边长的平方，判断是否满足a²+b²=c²？
用尺规作三角形。
问题2.分别以每组数为边长画出三角形，并判断它们是直角三角形
(2)认真测量最大角。
么？要求：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3(1) 每组选择2组数据，用尺规在纸上尝试画出相应的三角形。 (3)精确计算各边平方并进行比较
(①3²+4²=25=5²；
(2) 用量角器测量所画三角形中最大边所对的角。
⑤2²+3²=13≠16=4²)
(3) 计算每组数据中，两条较短边的平方和与最长边的平方，比较它
们的关系。（教师巡视，关注学生操作规范性和计算准确性）
设计意图 经历探究过程：通过动手画图、测量、计算，亲身经历从具体数据中发现规律的过程，积
累活动经验，培养操作能力和观察能力。
（二）观察比较，提出猜想
教师活动 学生活动
组织学生汇报操作结果（画图情况、角 交流汇报：
度测量结果、平方计算及比较结果），
（1）展示画图结果（成功/失败）。
引导学生观察数据并回答问题：
问题1.哪些组能画出三角形？画出的三
角形中，最大角是直角吗？此时三边平
方有什么关系？
① ② ③
问题2.哪些组画出的三角形最大角不是
直角？此时三边平方有什么关系？
④ ⑤
（2）汇报测量角度（最大角为90°：①②③④）
问题3.满足a²+b²= c²（c最长）的几
组数据（①②③④），它们都能画出直 （3）汇报计算比较结果：①3²+4²=25=5²；
角三角形，由此你能得出什么结论？ ②5²+12²=169=13²；③8²+15²=289=17²；
④7²+24²=625=25²；⑤2²+3²=13≠16=4²
（4）观察、对比各组数据结果，发现规律并猜想：如果三角形
的三边长a, b, c满足 a²+ b²= c²（其中c是最长边），那么
这个三角形是直角三角形。
设计意图 发展合情推理：通过对多组数据（正例与反例）的观察、比较、归纳，提出合理的猜想，
发展归纳推理能力。
教学建议 建议在探究环节使用几何画板动态演示画图和验证过程，提高效率和直观性；也可用于证
明环节的辅助演示。
（三）推理论证，形成定理
教师活动 学生活动
问题1.我们的猜想（实验结论）一定正确吗？如何证明？（分层教 完成/理解证明：
学）
（1）倾听教师提出的证明需求。
（引导分析）已知：在△ABC中，AB=c, AC=b, BC=a, 且 a²+ b²=
极少部分学生在问题1之后独立完
c² (假设c是最长边)。
成证明；较少部分学生在问题2之
求证：△ABC是直角三角形（即 ∠C = 90°）。 后能完成证明；大多数同学跟随教
师的思路理解证明过程。
问题2.（启发构造）能否构造一个已知的直角三角形，使其与原三角
形三边对应相等？ （2）理解构造Rt△A'B'C'的目的。
演示/讲解证明过程： （3）思考证明的每一步推理依据
（勾股定理、SSS全等、全等性
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4质）。
（4）理解证明的严谨性，确认猜
想的正确性。
（5）识记定理的完整表述，明确
条件（a²+b²=c²）和结论
(1) 画Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b；
（Rt△）
(2) 根据勾股定理，A'B'²= B'C'²+ A'C'²= a²+ b²；
（6）思考并理解：
(3) 已知 a²+ b²= c²，所以 A'B'²= c²，因此 A'B' = c (取正值)；
判定时只需验证“任意两边平方和
(4) 在△ABC和△A'B'C'中，BC=B'C'=a, AC=A'C'=b, AB= A'B'= c。 等于第三边（且该边最长）的平
方”即可，直角在最长边对角。
(5) ∴ △ABC≌△A'B'C' (SSS)， ∴ ∠C = ∠C' = 90°，
即△ABC是直角三角形。
形成定理：（1）如果三角形的三边长a, b, c满足a²+ b²= c²，那
么这个三角形是直角三角形。并指出其中 c 是斜边（最长边）
（2）满足a²+ b²= c²的三个正整数a、b、c，称为勾股数。
强调：斜边是直角三角形中的最长边，在未判断出直角三角形前，不
能用斜边的概念，只能使用最长边。
设计意图 ①培养演绎推理：在教师引导下理解定理的证明过程（构造法），体会数学的严谨性，发
展初步的演绎推理能力。突破教学难点。
②明确定理内涵：通过证明确认猜想的正确性，深刻理解勾股定理逆定理的内容、条件和
结论。强调了“c是最长边”这一隐含条件的重要性。
教学建议 ①对逆定理的证明，采用教师引导分析、学生理解为主的方式，强调构造法的思路和SSS
全等的关键作用（构造一个已知的直角三角形“Rt△A'B'C'”）；②注重双基与能力：
在掌握基础知识和基本技能（应用步骤）的同时，强调过程与方法（探究、推理、数形结
合），关注情感态度（兴趣、信心、严谨）。
例1.“埃及三角形”揭秘：①三边比为3:4:5，确定最长边为5，两直角边为3、4；
②计算与比较：∵3²+4²=9+16=25=5²，∴3²+4²=5²满足逆定理，它一定是直角三角形。
（设计意图：①运用逆定理解释埃及人拉绳成直角的原理；②首尾呼应：解决导入时提出的实际问题，体
会数学知识的应用价值，提升学习成就感。）
（教学建议：示范应用，通过典型例题，清晰展示运用勾股定理逆定理判定直角三角形的基本步骤和方
法）
例2（课本P10例题）.一个零件的形状如图1-14所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工
人师傅量得这个零件各边尺寸如图1-15所示，这个零件符合要求吗?
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5解题关键：在△ABD中BD是最长边，在△BCD中CD是最长边。
解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16= 25= BD2”，所以△ABD是直角三角形，边BD的对角∠A是直角。
在△BCD中，BD2+ BC2=25+144=169=CD2，所以△BCD是直角三角形，边CD的对角∠DBC是直角。
因此，这个零件符合要求。
强调步骤：
(1) 确定最长边（c）。
(2) 计算：两条较短边的平方和（a²+ b²）与最长边的平方（c²）。
(3) 比较：若 a²+ b²= c²，则是Rt△，最长边c所对的角是直角。若不等，则不是。
（设计意图：①辨析概念，通过对比分析，帮助学生清晰区分勾股定理及其逆定理的条件和结论，理解它
们的互逆关系，突破易混淆点；②深化定理认识，明确逆定理的实质是“两边平方和等于最长边的平方”，
直角在最长边对角，完善认知结构）
（教学建议： ①先让学生对比勾股定理和逆定理的内容，找出条件和结论；②再让学生多读几遍两个定理
通过定理内容的表述，理解两个定理是互逆关系，这里可以举其他例子让学生理解互逆关系；③教师最后
可以根据学情，举例说明，让学生明确区分两个定理的应用场景，避免混淆。）
题型一.判断是否为直角三角形
1.（课本P11随堂练习1）下列几组数能否作为直角三角形的三边长?说说你的理由。
（1） 9，12，15；（2）12，18，22；（3）12，35，36；（4） 15，36，39。
解：（1）最长边c=15， ∵a²+b²=6²+ 8²=36+64=100=10²= c²， ∴ 9、12、15可以作为直角三角
形三边长，且边长为15所对的角是直角；
（2）最长边c=22，∵a²+b²=12²+ 18²=144+324=468，22²= 484，∴468≠484，∴不可以；
（3）最长边c=36，∵a²+b²=12²+ 35²=144+1225=1369，36²= 1296，∴1369≠1269，∴不可以；
（4）最长边c=39，∵a²+b²=15²+ 36²=225+1269=1521，39²= 1521，∴1521=1521，∴15、36、39
可以作为直角三角形三边长，且边长为39所对的角是直角。
（教学建议：让学生们独立完成练习，对于一部分学困生来说可以让学生们严格按照步骤（找最长边、算
平方和、比较）进行计算和判断，确保正确率。在教学评价过程中注重规范解题， 强调解题步骤（找最长
边、算平方、比大小、下结论）。）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 62.（课本P11随堂练习2）如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形?你是
如何判断的?与同伴进行交流。
解：观察所得直角三角形：Rt△ABE、Rt△DEF、Rt△CBF，
判断△BEF：
①最长边BF，直角边BE、EF
②计算：DE=4-AE=2，BE2=AB2+AE2=42+22=20，EF2=ED2+DF2=22+12=5，
CF=4-DF=3，BF2=BC2+CF2=42+32=25
③比较：BE2+EF2=20+5=25=BF2，∴△CBF是Rt△，∠BEF是直角。
3.如图，四边形 是舞蹈训练场地，要在场地上铺上地胶．经过测量得知： ， ，
， ， ．判断 是不是直角，并说明理由．
分析问题：①辅助线：连接AC，构造三角形ADC；②最长边：在△ADC中，AC为最长边；③计算：求
AC2、AD2和CD2；④比较：AC2和AD2+CD2。
解：∠D是直角，理由如下：
连接AC，如图所示：
在Rt△ABC中，∠B=90°，
由勾股定理得：AC2=72+242=625=252，
在△ADC中，AD2+DC2=625，AC2=625，
∴AD2+DC2=AC2，
∴△ADC是直角三角形，∠D=90°．
（设计意图：①通过不同层次的练习，及时巩固当堂所学知识（逆定理的应用步骤）；②及时反馈，基础
题1、2确保全体达标，提高题3满足学有余力学生的需求。）
（教学建议：①通过1、2的练习，加深对定理应用条件的理解（必须验证平方和等于最长边平方）；②突
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7破易错点，强调计算准确性，以及必须找准最长边；③教师可巡视了解学生掌握情况，发现问题及时纠正
（如找错最长边、计算错误）。）
题型二. 应用勾股定理及其逆定理求四边形面积
4．如图，在四边形 中， ，求这个四边形的面积．
分析问题：①勾股定理求CB的长；②判断△ADC的形状；③分别求两个三角形的面积。
解：∵∠A=90°，AB=4，AC=3，
∴BC2=AC2+AB2=25，
∵CD=13，BD=12，
∴BC2+BD2=52+122=169=CD2，
∴∠CBD=90°，
∴ ．
5.如图，每个小正方形的边长为1，四边形 是一个凹四边形，连接 ， 是直角吗？ 求出凹
四边形 的面积．
分析问题：先求出AC2，CD2，AD2，再利用勾股定理的逆定理验证，再根据凹四边形ABCD的面积等于丙
个三角形的面积差求解．
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角，
∴凹四边形 的面积等于
．
（设计意图：拓展思维，提升综合应用能力（结合勾股定理））
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 81.思考与讨论：
·辨析定理：
勾股定理：已知是Rt△（∠C=90°）→ 得到a²+b²=c²
勾股定理逆定理：已知 a²+b²=c²（c最长）→ 得到是Rt△（∠C=90°）
问题1.它们的条件和结论分别是什么？有什么关系？
答：勾股定理的条件是直角三角形，结论是三边满足 a²+b²=c²，勾股定理逆定理的条件是三边满足
a²+b²=c²，结论是Rt△。（属于互逆命题）
·深化理解：
问题2.三角形的三边a、b、c满足 a²+c²= b² (b最长) 或 b²+c²=a² (a最长) 时，是否还是直角三角
形？
答：是直角三角形， 满足a²+c²=b²时b为斜边，满足b²+c²=a²时a为斜边。
结论：只要有两边的平方和等于第三边（且该边是最长边）的平方，就可以判定是直角三角形，且直角就
是最长边所对的角。
（设计意图：①辨析概念，通过对比分析，帮助学生清晰区分勾股定理及其逆定理的条件和结论，理解它
们的互逆关系，突破易混淆点；②深化定理认识，明确逆定理的实质是“两边平方和等于最长边的平方”，
直角在最长边对角，完善认知结构）
（教学建议： ①先让学生对比勾股定理和逆定理的内容，找出条件和结论；②再让学生多读几遍两个定理
通过定理内容的表述，理解两个定理是互逆关系，这里可以举其他例子让学生理解互逆关系；③教师最后
可以根据学情，举例说明，让学生明确区分两个定理的应用场景，避免混淆。）
2.勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数
， ，当 为偶数， ，则 ， ， 为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的
为偶数，且其中一个数为 ，则 对应的数为 （写出一个符合题意的数即可）．
解：当 时， ，解得： ，
∴ ， ， 是勾股数，符合题意；
当 时， ，则 ，
∴ ， ， 是勾股数，符合题意；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 9当 时， ，则 ，
∴ ，
此时， 不是正整数，不符合题意；
综上所述： 对应的数为 或 ，故答案为： （答案不唯一）．
1.本节课我们学习了什么重要定理？ (勾股定理的逆定理)
答：如果三角形的三边长a, b, c满足a²+ b²= c²，那么这个三角形是直角三角形。其中 c 是斜边（最长
边）
（强调条件a²+b²=c²且c最长，结论是Rt△)
2.如何运用这个定理判断一个三角形是否为直角三角形？
答：找最长边c→算a²+b²和c²→比较→下结论
3.勾股定理和它的逆定理有什么区别和联系？
答：条件结论互换，互为逆定理；应用场景不同（勾股定理在直角三角形中使用，用来求直角三角形的第
三边；勾股定理逆定理用来判定一个三角形是否为直角三角形）
4.探究过程中我们用了哪些方法？
答：数形结合、转化的数学思想，
（ 设计意图： ①梳理知识，帮助学生系统回顾本节课的核心知识、方法技能和应用要点，形成清晰的知
识网络；②提炼方法，强调探究过程和判定步骤，提炼数学思想方法；③强化重点难点，再次强调定理内
容、应用步骤及与勾股定理的辨析。）
·基础必做题：教材P11，习题§1.2 第1、2题；
补充练习：如图，每个小正方形的边长都为1， 的顶点均在格点上．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 10(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)求 边上的高h．
（1）解： 是直角三角形，
理由： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
（2）解： ，
∴
∴ ，
∴ ．
·能力提升题（选做）：
1.探究：三边长为连续整数的三角形一定是直角三角形吗？（如 3,4,5是；但1,2,3构不成；2,3,4不
是）如果不是，什么时候是？
2.阅读材料：勾股定理 本身就是一个关于 、 、 的方程，我们知道这个方程有无数组解，满
足该方程的正整数解 通常叫做勾股数组，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的
“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学刘老师给出下面的两个表格．
（以下 ， ， 为 的三边，且 ）
表1 表2
a b c a b c
3 4 5 6 8 10
5 12 13 8 15 17
7 24 25 10 24 26
(1)请你根据上述表格的规律写出勾股数：11、________、________；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 11(2)当 （ 为奇数，且 ）时，若 ________， ________时可以构造出勾股数（用含 的
代数式表示）；并证明你的猜想；
(3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当 或 时， ________．（写出所有满足条件的 ）．
【答案】(1) ， ；(2) ， ，证明见解析；(3) ， ，
【详解】（1）解：∵
∴勾股数： ， ，
（2）解：根据表 ， ， ， ，……
∴ ，且 ，
∴当 时， 又 ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
证明：∵ ， ，
∴
∴
∴ ；
（3）解：当 时，∵ ，
∵ ，
∴ ， ， ， ，……
∴ ， ， ， （舍去），
当 时，
同理可得 ， ， ，
故答案为： ， ， ．
3. 开放实践题：寻找生活中应用勾股定理逆定理的例子。
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 121.2一定是直角三角形吗
一、定理内容
导入：
定理：如果三角形的三边长a,b,c 满足a²+b²=c²， 埃及绳结 3:4:5 → 问题：一定是直角？
那么这个三角形是直角三角形。 复习： 勾股定理：
a²+b²=c²(c最长) → Rt△ Rt△(∠C=90°) → a²+b²=c²(c斜边)
强调：其中c是斜边（最长边），直角所对的边是斜边c。
几何语言：在△ABC中，∵ a²+b²=c² (c为最长边) 练习:
∴ △ABC是Rt△，且∠C=90°。 (1) 6,8,10：
二、应用步骤（判Rt△） c=10, 6²+8²=36+64=100, 10²=100
①找最长边 (设为 c) ∴ 是Rt△ (∠对10)
②算平方： (2) 5,6,9：
较短边平方和（a²+b²）最长边平方（c²） c=9, 5²+6²=25+36=61≠81=9² ∴ 不是
③比大小：
若a²+b²=c² → 是Rt△(直角对c) 辨析：
若a²+b²≠c² → 不是Rt△ 勾股定理：形→数 (直角→得平方关系)
逆定理：数→形 (平方关系→得直角)
④下结论
(互逆！)
三、思想方法：数形结合、转化、数学模型
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