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第 06 正多边形和圆
知识点1：正多边形的有关概念
知识点2：圆内正多边形的有关计算
1、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
4、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
【题型1求正多边形的中心角】
【典例1】正六边形的中心角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形的中心角，注意准确掌握定义是关键．
据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角．
【详解】解：正六边形的中心角的度数是360°÷6=60°，
故选：C．
【变式1】如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的
度数是（ ）A．60° B．36° C．76° D．72°
【答案】D
【分析】本题考查求正多边形的中心角的度数，根据中心角的计算公式进行计算即可．
360°
【详解】解：∠COD= =72°；
5
故选D．
【变式2】如图，点O是正六边形ABCDEF的中心点，连接OB、OF，则∠BOF的度
数为 ．
【答案】120°
【分析】本题考查正多边形的中心角，连接OA，根据中心角的计算方法，求出
∠FOA,∠AOB的度数，进而求出∠BOF的度数即可．
【详解】解：连接OA，
∵点O是正六边形ABCDEF的中心点，
360°
∴∠FOA=∠AOB= =60°，
6∴∠BOF=∠FOA+∠AOB=120°；
故答案为：120°
【题型2已知正多边形的中心角求边数】
【典例2】如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若∠BOC是正n边形的一个中心角，
则n的值为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，
360°
熟练掌握正n边形的每个中心角都等于 是解题的关键．
n
连接OA，由正六边形与正方形可得∠AOB=60°，∠AOC=90°，进而可得
360°
∠BOC=∠AOC−∠AOB=30°，再由“正n边形的每个中心角都等于 ”即可
n
得出答案．
【详解】解：如图，连接OA，
∵
正六边形与正方形，
360° 360°
∴∠AOB= =60°，∠AOC= =90°，
6 4
∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=90°−60°=30°，
∵∠BOC是正n边形的一个中心角，
360°
∵n= =12，
30°
故选：B．【变式1】若一个正多边形的中心角为45°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．七 B．八 C．九 D．十
【答案】B
【分析】本题主要考查了正多边形的性质，掌握正多边形的中心角相等以及计算公式成
为解题的关键．
根据正多边形的中心角计算公式为：中心角=360°÷边数，求解即可．
【详解】解：设正多边形的边数为n．
由题意可得：45°n=360°，解得：n=8．
故选B．
【变式2】一个正多边形的中心角为60°，则该正多边形的边数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】本题考查正多边形中心角度数，掌握正多边形中心角度数计算公式是解题的关
360°❑
键．根据正多边形中心角的计算公式，中心角的度数为 ，其中n为边数．将已知
n
中心角代入公式即可求解．
【详解】解：设正多边形的边数为n，
360°
由正多边形中心角的性质可得： =60°
n
解得：n=6
因此，该正多边形的边数为6．
故选：A．
【变式3】如图，是正多边形的一部分，若∠ACB=18°，则该正多边形的边数为 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了正多边形中心角问题、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知
识是解题关键．连接OA，OB，易知点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=36°，再根据正多边形中
心角计算方法即可得到答案．
【详解】解：连接OA，OB，如下图，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ACB=18°
∴∠AOB=2∠ACB=36°，
360°
∴这个正多边形的边数= =10．
36°
故答案为：10．
（1）正三角形
在⊙ 中△ 是正三角形，有关计算在 中进行： ；
C
B C
O O
O
A E D B
B A A
D
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在 中进行， ：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在 中进行， .【题型3正多边形和圆的综合】
【典例3】大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而
且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢
房的横截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为4mm，则这个正六边形的面积是
（ ）
A．18mm2 B．12❑√3 mm2 C．24❑√3 mm2 D．48mm2
【答案】C
【分析】本题可先将正六边形分割成六个全等的正三角形，然后求出一个正三角形的面
积，最后乘以6得到正六边形的面积．本题主要考查了正六边形的性质以及正三角形面
积的计算，熟练掌握正六边形可以分割成六个全等的正三角形是解题的关键．
【详解】解：∵正六边形的半径为4mm
∴正六边形可分成六个边长为4mm的正三角形
令其中一个正三角形为△ABC，过A作AD⊥BC于点D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=4mm,
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=2mm,
∴
AD= ❑√42−22=2❑√3 mm
2❑√3
∴一个正三角形的面积为 ×4=4❑√3mm2
2
∴正六边形的面积为6×4❑√3=24❑√3mm2故选：C．
【变式1】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径等于3，则正六边形的边
长BC的长为（ ）
A．❑√3 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，连接OB、OC，由题
意证明△BOC为等边三角形，得出BC=3，即可得解．
【详解】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BOC=360°÷6=60°，OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，
∵⊙O的半径等于3，即OB=3，
∴BC=OB=3，即正六边形的边长为3，
故选：B．
【变式2】如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（ ）
A．❑√3 B．6 C．24❑√3 D．12❑√3
【答案】C
【分析】此题主要考查正多边形的计算问题，解题的关键是正确的构造直角三角形△AOG，然后求出OG长，然后求出面积即可．
1
【详解】解：设正六边形的中心是O，一边是AB，则∠AOB= ×360°=60°，
6
OA=OB，过O作OG⊥AB于G，
如图，在Rt△AOG中，AB=4，∠AOG=30°，
∴AG=BG=2，AO=2AG=4，
∴ ．
OG=❑√OA2−AG2=2❑√3
1
这个正六边形的面积= ×4×2❑√3×6=24❑√3．
2
故选：C．
【变式3】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点C作⊙O的切线CF，连接CE．则
∠ECF的度数为 ．
【答案】72°
【分析】本题考查了正多边形和圆．连接OC，OD，OE，先求得∠COE=144°，
利用等边对等角求得∠OCE=18°，利用切线的性质求得∠OCF=90°，据此求解
即可．
【详解】解：连接OC，OD，OE，∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
360°
∴∠EOD=∠COD= =72°，
5
∴∠COE=2×72°=144°，
∵OC=OE，
1
∴∠OCE=∠OEC= (180°−144°)=18°，
2
∵CF是⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∴∠OCF=90°，
∴∠ECF=90°−18°=72°，
故答案为：72°．
一、单选题
1．已知正多边形的中心角是30度，则这个正多边形的边数是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】A
【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是
360°
解题的关键．根据正多边形的中心角的计算公式计算即可，中心角等于 （n为边
n
数）．
360
【详解】解：由题意得，这个正多边形的边数是 =12，
30
故选：A．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．等边三角形 B．平行四边形
C．正五边形 D．正八边形
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别；
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做
轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图
形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；据此逐项判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
3．如图，点O为正五边形ABCDE的中心，连接OA,OE，则∠AOE的度数为（ ）
A．72° B．54° C．60° D．36°
【答案】A
360°
【分析】根据正n边形的中心角的度数为 ，进行求解即可．
n
360°
【详解】解：由题意，得：∠AOE的度数为 =72°；
5
故选A．
4．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若正方形ABCD的边长为4，则正方形的半径
是（ ）
A．4 B．2 C．2❑√2 D．4❑√2【答案】C
【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理求得AC，根据正多边形的外接圆的半
径叫做正多边形的半径，即可求解．
【详解】解：连接AC，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，正方形ABCD的边长为4，
∴AC=4❑√2
∴正方形的半径是2❑√2
故选：C．
5．已知，正六边形ABCDEF的面积为6❑√3，则正六边形的边长为（ ）
A．1 B．❑√3 C．2 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，连接
OA、OB，过点O作OM⊥AB，垂足为M，证明△AOB为等边三角形，得出
1 ❑√3
OA=OB=AB，设AB=x，则OA=OB=x，求出AM=BM= x，OM= x，再
2 2
1 ❑√3
由正六边形ABCDEF的面积为6❑√3，得出 x× x×6=6❑√3，求解即可，熟练掌
2 2
握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接OA、OB，过点O作OM⊥AB，垂足为M，
，
∵正六边形ABCDEF，
∴∠AOB=360°÷6=60°，∵OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA=OB=AB，
设AB=x，则OA=OB=x，
∵OM⊥AB，
1 ❑√3
∴AM=BM= x，OM=❑√AO2−AM2= x，
2 2
∵正六边形ABCDEF的面积为6❑√3，
1 ❑√3
∴ x× x×6=6❑√3，
2 2
解得x=2或x=−2（不符合题意，舍去），
∴正六边形的边长为2，
故选：C．
6．如图，平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的顶点D，E在x轴上，顶点F在y轴上，
若正六边形的中心点 的坐标为 则点 的坐标为 （ ）
P (2,❑√3), B
A． B． C． D．
(2,2❑√3) (2❑√3,3) (2❑√3,2) (3,2❑√3)
【答案】D
【分析】过点P作PK⊥AB与点K，延长BA交y轴与点N，连接BP，AP，FP，先
证明四边形NFPK是矩形，再根据矩形的性质得出FP=AK=2，由含30度直角三角
形的性质得出
1
AK= AP=1，由等腰三角形的性质得出KB=1，由勾股定理求出KP，求出点K的
2
坐标即可得出点B的坐标．
【详解】解：过点P作PK⊥AB与点K，延长BA交y轴与点N，连接BP，AP，FP，则∠KNF=90°，∠PKN=90°，
∵ABCDEF是正六边形，且中心角为360°÷6=60°，
则∠APF=∠APB=60°，AP=BP=FP，
∴∠APK=30°，AK=KB，
∴∠KPF=90°，
∴四边形NFPK是矩形，
∵正六边形的中心点 的坐标为
P (2,❑√3),
∴FP=AK=2，
1
∴AK= AP=1，
2
∴ ，
KB=1 KP=❑√AP2−AK2=❑√3
∴点K的坐标为： ，
(2，2❑√3)
∴B点的坐标为 ，
(3,2❑√3)
故选：D．
【点睛】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，写出直角坐标
系中点的坐标，等腰直角三角形的判定和性质等知识，掌握正多边形的性质是解题的
关键．
二、填空题
7．如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB=18°，则n=
．【答案】10
【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，由圆周角定理得
∠AOB=2∠ACB=36°，由正多边形与圆关系，即可求解．
【详解】解：∵A´B=A´B，
∴∠AOB=2∠ACB=36°，
360°
∴n= =10，
36°
故答案为：10．
8．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若正方形ABCD的边长为4，则圆的半径是
．
【答案】2❑√2
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、圆的相关概念，连接AC，由题意并
结合勾股定理可得AC=4❑√2，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解
此题的关键．
【详解】解：如图，连接AC，
，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，正方形ABCD的边长为4，
∴ ，
AC=❑√42+42=4❑√2∴圆的半径是2❑√2，
故答案为：2❑√2．
9．如图，BE为正六边形ABCDEF的一条对角线，FH⊥BE于点H，连接AH，若正六
边形的边长为2，则AH的长为 ．
【答案】❑√7
【分析】本题主要考查正多边形，根据正六边形是轴对称图形可求出∠FEB=60°，
1
由FH⊥BE可得∠HFE=30°，∠AFH=90°,得HE= EF=1，由勾股定理可求
2
出HF=❑√3，AH=❑√7．
【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
(6−2)×180°
∴EF=AF=2,∠AFE=∠≝= =120°,
6
∵六边形ABCDEF是轴对称图形，
∴BE是它的一条对称轴，
1
∴∠FEB=∠DEB= ∠≝=60°,
2
∵FH⊥BE，即∠FHE=90°,
∴∠EFH=30°,
∴∠AFH=120°−30°=90°，
在Rt△FHE中，FE=2,∠EFH=30°,
1
∴EH= EF=1,
2
由勾股定理得，
FH=❑√FE2−EH2=❑√22−12=❑√3,
在 中，由勾股定理得 ，
Rt△FHA AH=❑√AF2+FH2=❑√22+(❑√3) 2=❑√7
故答案为：❑√7．10．如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，正六边形的中心与坐标原点重合，若点A
的坐标为(−1,0)，则点C的坐标为
【答案】(1 ❑√3)
,−
2 2
【分析】本题考查了正多边形的中心角，正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对
的边等于斜边的一半，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设BC
与y轴交于点G，连接OC，根据正六边形的对称性可知OA=OD=OC=1，
∠OGC=90°，∠COD=60°，然后利用直角三角形的性质和勾股定理，即可求
OG、GC，得到C的坐标．
【详解】解：设BC与y轴交于点G，连接OC，如图，
∵点A的坐标为(−1,0)，
∴OA=1，
∵正六边形的中心与坐标原点重合，由正六边形的性质可知：
1
OA=OD=OC=1，∠OGC=90°，∠COD= ×360°=60°，
6
∴∠GOC=∠GOD−∠COD=90°−60°=30°，
在Rt△OCG中，∠GOC=30°，OC=1，
1 1 1
∴GC= OC= ×1= ，
2 2 2∴
OG=❑√OC2−GC2=❑
√
12−
(1) 2
=
❑√3，
2 2
∴ (1 ❑√3)．
C ,−
2 2
故答案为：(1 ❑√3)．
,−
2 2
