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第 05 直线和圆的位置关系
知识点1:直线和圆的位置关系
知识点2：切线的性质与判定定理
知识点3：三角形的外接圆与外心
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
r d d=r r d
【题型1判定制断直线和圆的位置】
【典例1】⊙O的半径是6cm，圆心O到直线a的距离为8cm，直线a与⊙O的位置关系
是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交
【变式1】⊙O的半径是3cm，圆心O到直线a的距离为5cm，则直线a与⊙O的公共点个
数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【变式2】已知圆的半径为6.5cm，如果这个圆的圆心到直线l的距离为9cm，那么直线l
和这个圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【变式3】在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为(3,4)，半径为5，那么y轴与⊙P的位置关系是 ．
【题型2已知直线和圆的位置关系求半径的取值】
【典例2】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以点C为圆心，r为半径作圆，
若与直线AB相离，则r的取值范围为（ ）
A．0<r<4.4 B．0<r≤4.4 C．0<r<4.8 D．0<r≤4.8
【变式1】如果一圆的半径为R，圆心到直线的距离为5，且这个圆与这条直线有公共点，
那么下列结论正确的是（ ）
A．R>5 B．R≥5 C．0<R<5 D．0<R≤5
【变式2】在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=5,BC=12，以C为圆心，R为半径画圆，
若⊙C与边AB有两个公共点，则R的取值范围是 ．
【变式3】已知⊙O的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个
数为2个，则d可取（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
【题型3已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】
【典例3】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以点C为圆心，r为半
径作圆，若与直线AB相切，则r的值为（ ）
A．2cm B．2.2cm C．2.4cm D．2.6cm
【变式1】已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为d．若直线l与⊙O相切，则d
的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】已知⊙O和直线l相交，圆心到直线l的距离为4cm，则⊙O的直径可能为（
）
A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm
【变式3】平面内，⊙O的半径为5，若直线l与⊙O相离，则圆心O到直线l的距离可能是
（ ）
A．6 B．5 C．4 D．31、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵ 且 过半径 外端
O
∴ 是⊙ 的切线
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 M A N
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一
个。
【题型4证明某直线是圆的切线】
【典例4】如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的
一点，AD=CD，∠A=30°．
求证：直线AC是⊙O的切线．
【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC延长线上，且∠CED=∠BAC，求证：DE是⊙O的切线．
【变式2】如图：等腰△ABC，以腰AB为直径作⊙O交底边BC于P，PE⊥AC，垂足
为E．求证：PE是⊙O的切线．
【变式3】如图，已知AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，AD垂直于过点C的直线，交
⊙O于点E，垂足为点D，AC平分∠BAD．求证：CD是⊙O的切线．
【题型5切线的性质定理】
【典例5】如图，直线EF与⊙O相切于点C，直线EO与⊙O相交于点D．连接CD．若∠≝=3∠D，则∠DCF的度数为（ ）．
A．36° B．72° C．90° D．36°或72°
【变式1】如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，
连结CD，∠OCD=25°，则∠A的度数为（ ）
A．25° B．35° C．40° D．45°
【变式2】如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB=25°，过点C作
⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【变式3】如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若
∠P=96°，则∠ACB= °．
【题型6切线的性质和判定的综合应用】
【典例56】如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠ABO=30°，C为OB边的中点，⊙O经过点C，BD与⊙O相切于点D．
(1)求证：AB与⊙O相切；
(2)若AB=2，求AD的长．
【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，O在AB上．以O为圆心，OB为半径的圆与
AC相切于点F，交BC于点D，交AB于点G，过D作DE⊥AC，垂足为E．
(1)DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
(2)若⊙O的半径长为6，AF=8，求CE的长．
【变式2】如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且
A´E=D´E，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．(1)求证：GF是⊙O的切线；
(2)若AG=6，¿=6❑√2，求△GOE的面积．
【变式3】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC的中点，过C作⊙O的切
线交OD的延长线于E，交AB的延长线于F，连EA．
(1)求证：EA与⊙O相切；
(2)若CE=3，CF=2，求⊙O的半径．
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两
条切线的夹角。即：∵ 、 是的两条切线
B
∴ ； 平分
O
P
A
【题型7切线长定理】
【典例7】如图，P为⊙O外一点，PA，PB，MN分别切⊙O于A，B，C三点，且切
线MN分别交PA，PB于点M，N．若PA=12，则△PMN的周长为（ ）
A．12 B．13 C．16 D．24
【变式1】如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别
为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．8
【变式2】如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，并与⊙O的切线分别相交于C、D，已知
PA=12cm，则△PCD的周长等于 ．
【变式3】如图，AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若AB=5，AC=3，则BD的长是 ．
1、三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
注意：内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
a+b−c
2
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。
1
r(a+b+c)
2
（3）S = ，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
△ABC
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。
A D
O
B
【题型8三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
【典例8】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，其内切圆分别与AC、AB、BC相切于点
D、E、F，若AC=3，BC=4，则△ABC内切圆的半径长度为 ．【变式1】如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠C=60°，
∠DIF=140°，则∠B为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【变式2】如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）
A．2❑√3 B．3 C．1 D．2
【变式3】如图，若Rt△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点
D，E，F，且∠A=90°，AB=5，AC=12，则⊙O的半径OD= ．
一、单选题
1．⊙O半径的为2，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
2．已知⊙O的半径为10，直线l与⊙O相切于点P，则PO=（ ）A．1 B．5 C．8 D．10
3．直线和圆相交，圆的半径为r，且圆心到直线的距离为5，则有（ ）
A．r<5 B．r>5 C．r=5 D．r≥5
4．如图描绘的是“日头欲出未出时，雾失江城雨脚微”这一美景，图中的江面和太阳可看
成直线和圆，则它们的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．平行
5．如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA=3，∠P=60°，则AB的长为（ ）
A．2 B．3 C．2❑√3 D．3❑√3
6．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，连结AC，BC，若∠BCD=50°，则
∠B的 度 数 为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
7．如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交BA的延长线于点D，若
∠B=30°，AD=3，则线段AB的长是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
8．三角形的内心是三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点
9．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E是切点，CD分别交PA、PB于
C、D两点，若∠COD=65°，则∠APB的度数为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．70°
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，⊙O是Rt△ABC的内切圆，
则⊙O的半径为（ ）
A．1 B．❑√3 C．2 D．2❑√3
二、填空题
11．如图，PA,PB分别切⊙O于A，B两点，∠P=40°，点C是劣弧AB上一点，则
∠ACB的度数为 ．
12．小明同学用一把直尺和一个直角三角板（有一个锐角为60°）测量一张光盘的直径，
他把直尺、三角板和光盘按如图的方式放置，点A是60°角的顶点，B是光盘与直尺
的公共点，测得AB=3，则此光盘的直径为 ．13．如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB=6cm，
PB=8cm，则BC= .
三、解答题
14．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，
∠AEC=30°．
(1)求证：直线AD是⊙O的切线；
(2)若AE⊥BC，垂足为M、⊙O的半径为10，求AE的长．
15．如图，已知AE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB=AC，连接BC与⊙O相交于
点D，连接AD,DE，AD=CD．(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若AE=10,AD=8，求AC的长．
