第 05 讲 二次函数与一元二次方程
【知识点1：二次函数与一元二次方程的关系】
【知识点2：利用二次函数求一元二次方程的近似解】
【知识点3：抛物线与不等式关系】
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数 (a≠0)的图象与 x 轴的交点坐标，就是令 y＝0，求
中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方
程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
一元二次方程
判别式
二次函数
图象 与x轴的交点坐标 根的情况
抛物线 与 x 一元二次方程
轴交于 ， 两
△＞0 有两个不相等的实数根
点，且 ，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
抛物线 与 x
△＝0 有两个相等的实数根
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与x轴相切一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0
轴无交点，此时称抛物线与x轴相
在实数范围内无解（或
离
称无实数根）
注意：
二次函数图象与x轴的交点的个数由 的值来确定的.
(1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时， ，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时， ，方程有两个相等的
实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时， ，方程没有实根.．
【题型1：求抛物线与x轴交点坐标】
【典例1】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数y=−x2+2x+3的图象与x轴交
点的坐标是（ ）
A．(−1,0)，(3,0) B．(1,0)，(−3,0) C．(−1,0)，(−3,0) D．(1,0)，(3,0)
【变式1】（24-25九年级上·北京·期中）抛物线y=x2−4x−5与x轴的交点坐标为 ．
【变式2】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）抛物线y=2x2−4x+c与x轴的一个交
点坐标为(3,0)，则c= ．
【变式3】（24-25九年级上·广东汕头·期末）二次函数y=x2−2x−3的图象与x轴的交点
坐标是 ．
【题型2：求抛物线与y轴交点坐标】
【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线 与 轴的交点坐标是（ ）
y=(x−2) 2+1 yA．(0,2) B．(−2,0) C．(0,5) D．(0,1)
【变式是1】（2025·广东清远·一模）抛物线y=(x+4)(x−2)与y轴相交的坐标为（ ）
A．(0,8) B．(0,−8) C．(8,0) D．(−8,0)
【变式2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点(3,0)，顶点坐标为(1,3)，
抛物线与y轴交于一点，则该点坐标是 ．
【题型3：求抛物线与x轴交点问题】
【典例3】（24-25八年级下·福建福州·期末）关于二次函数y=x2−3x−5的图象与x轴交
点个数的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断
【变式1】（2025·宁夏银川·三模）若二次函数y=x2−4x+c的图象与x轴只有一个交点，
则实数c的值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
【变式2】（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+4x+c（c是常
数）与x轴有两个交点，则c的取值范围是 ．
【变式3】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）关于x的二次函数y=x2−3x+k的图象与x
轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ）
9 9 9 9
A．k≥ B．k≤ C．k> D．k<
4 4 4 4
用图象法解一元二次方程 的步骤：1.作二次函数 的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程 的根的取值范围．即确定抛物线
与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大
依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程 的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的
x值即是一元二次方 的近似根．
注意：
求一元二次方程 的近似解的方法（图象法）：
(1)直接作出函数 的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程
的根；
(2)先将方程变为 再在同一坐标系中画出抛物线 和直线
图象交点的横坐标就是方程的根；
(3)将方程化为 ，移项后得 ，设 和 ，
在同一坐标系中画出抛物线 和直线 的图象，图象交点的横坐标即为
方程 的根.【题型4:图像法确定一元二次方程的根】
【典例4】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，以(2,5)为顶点的二次函数
y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解
的范围是（ ）
A．2<x<3 B．1<x<2 C．4<x<5 D．5<x<6
【变式1】（2025·河南周口·一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一元
二次方程ax2+bx+c=5的根为（ ）
A．0，4 B．2，9 C．0 D．4
【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线y=x2+bx+3的图象与x轴的
一个交点为(1,0)，对称轴为直线x=2，则一元二次方程x2+bx+3=0的实数根是
．
【变式3】（24-25九年级上·陕西延安·期末）函数y=7x2−14x−105与x轴的交点如图所
示，则方程7x2−14x−105=0的实数根x = ，x = ．
1 2二 次 函 数 (a≠ 0) 与 一 元 二 次 不 等 式 (a≠ 0) 及
(a≠0)之间的关系如下 ：
【题型5：利用图像法求一元二次不等式】
【典例5】（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点
A(0,3),B(1,0)．(1)求这个二次函数的解析式；
(2)画出这个函数的图象；
(3)写出当−1<x<3时，函数值y的取值范围．
1
【变式1】（24-25九年级上·浙江·期末）如图，已知抛物线y= x2+mx+n经过点
2
A(−5，1)，B(3,1)．
(1)求抛物线的表达式．
(2)利用函数图象，求当0<x≤3时，y的取值范围．
【题型6：利用不等式求自变量或函数值的范围】
【典例6】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数y=x2，当1≤ y≤9时，自变量
x的取值范围是（ ）
A．1≤x≤3 B．−3≤x≤3
C．−3≤x≤−1或1≤x≤3 D．−3≤x<0或0<x≤3
【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知y=x2，当−1≤x≤2时，y的取值范
围是（ ）
A．−1≤ y≤4 B．0≤ y≤1C．0≤ y≤4 D．1≤ y≤4
【变式2】（24-25九年级上·甘肃武威·期中）已知二次函数 ，当
y=−2(x+1) 2+3
−2<x<3时，函数值y的取值范围 ．
【变式3】（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数y=−x2+4x−3．
（1）若−3≤x≤3，则y的取值范围为 ；
（2）若−8≤ y≤−3，则x的取值范围为 ．
【题型7：根据交点确定不等式的解集】
【典例7】（2025·山东滨州·二模）抛物线 与直线 相交于点 和
y =x2+mx y =−x+b A(2,0)
1 2
点B.则当y <y 时，x的取值范围是（ ）
1 2
A．x<−1 B．−1<x<2
C．x>2 D．x<−1或x>2
【变式1】（2025·广东广州·一模）如图，抛物线y 与直线y 相交于点A和点B，点A，B
1 2
的横坐标分别为−2和4，则当y >y 时x的取值范围为（ ）
1 2
A．x<−2 B．x>4
C．−2<x<4 D．x<−2或x>4
【变式2】（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，直线y =kx+ ℎ与抛物线
1
交于点 ， ，则不等式 的解集为
y
2
=ax2+bx+c A(m,n) B(p,q) ax2+bx+c<kx+
ℎ（ ）
A．x<m或x>P B．m<x<p C．m≤x≤p D．x≤m或x≥p
【变式3】（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+ ℎ相交
于(−2,m),(2,n)两点，则不等式ax2+bx−ℎ >kx−c成立时，x的取值范围是 ．
一、单选题
1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）抛物线y=2x2−4与y轴的交点坐标是（ ）
A．(0,−4) B．(−4,0) C．(0,4) D．(4,0)
2．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵
坐标y的对应值如下表：
x ．．． −2.6 −2.5 −2.4 −2.3 −2.2 ．．．
y ．．． 0.56 0.25 −0.04 −0.31 −0.56 ．．．
则根据以上信息可判断，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x 的取值范围
1
是（ ）
A．−2.6<x <−2.5 B．−2.5<x <−2.4
1 1
C．−2.4<x <−2.3 D．−2.3<x <−2.2
1 1
3．（23-24八年级下·云南昆明·期末）已知抛物线y=x2−2x−1与x轴的一个交点为(m,0)，
则代数式m2−2m+2024的值为（ ）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
4．（23-24九年级上·广东中山·期中）抛物线y=x2−mx−2的图象与x轴的交点个数是
（ ）
A．无交点 B．一个交点 C．两个交点 D．三个交点
5．（24-25九年级上·广西南宁·期中）若二次函数y=5x2+x−4m的图象与x轴有两个交点，
则关于x的一元二次方程5x2+x=4m的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
6．（2025·河北保定·二模）已知抛物线y=x2+2x−4与x轴交于点A(a,0)和B(b,0)，则
(a+1)(b+1)的值为（ ）
A．－5 B．－1 C．3 D．7
二、填空题
7．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图抛物线 与直线 交于点
y =ax2+c y =kx+b
1 2
A(−4,p)，B(2,q)，则关于x的不等式ax2+c+kx−b<0的解集是 ．
8．（2025·山东滨州·一模）将抛物线 向右平移3个单位长度，所得抛物线与
y=(x+1) 2−2
y轴的交点的坐标是 ．
9．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）已知二次函数y=x2+2x+c的图象与坐标轴恰
有两个交点，则c= ．
10．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）已知抛物线y=x2−4x−5与x轴交于A，B两点，
若A的坐标是(−1,0)，则B的坐标是 ．
11．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，直线 和抛物线 都经
y =kx+2 y =x2+bx+c
1 2
过点A(2,0)和点B(0,2)，当y <y 时，x的取值范围是 ．
1 2三、解答题
12．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A(−1,0)，
B(3,0)两点．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
(2)当−3≤x≤2时，求y的取值范围．
13．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知抛物线y=x2−4x+c的顶点A在直线
y=−4x−1上 ，
(1)抛物线的顶点坐标．
(2)B，C是抛物线与x轴的两个交点（点B在点C的左侧），求△ABC的面积．
