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专题 23.1 旋转
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求旋转角......................................................................................................................................................1
求长度...........................................................................................................................................................2
求相关角度..................................................................................................................................................3
综合运用......................................................................................................................................................4
求最值...........................................................................................................................................................5
旋转的变化过程........................................................................................................................................6
确定旋转中心.............................................................................................................................................6
判断中心对称图形....................................................................................................................................8
中心对称与坐标........................................................................................................................................9
作图题...........................................................................................................................................................9
网格中的作图题......................................................................................................................................10
综合运用....................................................................................................................................................11
求旋转角
在平面内，将一个图形绕一个点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋
转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
【例1】如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD（点C落在△AOB外），若
∠AOB＝30°，∠BOC＝10°，则旋转角度是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【变式训练1】如图，将△ABD绕顶点B顺时针旋转40°得到△CBE，且点C刚好落在线段
AD上，若∠CBD＝32°，则∠E的度数是（ ）A．32° B．34° C．36° D．38°
【变式训练2】如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得△COD，若∠AOB＝45°，∠AOD
＝110°，则旋转角度数是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．110°
【变式训练3】如图，已知△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝25°，△ABD
经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
求长度
对应点到旋转中心的距离相等，对应点到旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转
前后的两个图形全等。
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，AB＝12，将△ABC绕点A顺时针旋转
90°得到△AB'C'，连接CC'，则CC'的长为（ ）A．13 B．13√2 C．2√13 D．√26
【变式训练1】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋
转得△A′BC'，若点C′在AB上，则AA′的长为（ ）
A．√13 B．4 C．2√5 D．5
3
【变式训练2】如图，在△AOB中，AO=1，BO=AB= ．将△AOB绕点O逆时针方向
2
旋转90°，得到△A'OB'，连接AA'，BB'，则BB'﹣AA'＝（ ）
√2 3 3
A．1 B． C． D． √2
2 2 2
【变式训练3】如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB＝3cm，则BE等
于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
求相关角度
【例3】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线
上，则∠B的大小是（ ）A．45° B．50° C．60° D．100°
【变式训练1】如图，将△ABC绕顶点C顺时针旋转35°得到△DEC，点A、B的对应点分
别是点D和点E．设边ED，AC相交于点F．若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（ ）
A．60° B．65° C．72.5° D．115°
【变式训练2】如图，将△ABC绕着点 A逆时针旋转 65°，得到△AED，若∠E＝35°，
AD∥BC，则∠EAC的度数为（ ）
A．35° B．25° C．15° D．5°
【变式训练3】如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB'C'，若点B'在线
段BC的延长线上，则∠BB'C'的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．100°
综合运用
【例4】如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，0B＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：
①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；
②点O与O′的距离为4；
③∠AOB＝150°；
④S四边形AOBO′ ＝6+3√3；
⑤S△AOC +﹣S△AOB ＝6+√3．
其中结论正确的是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
【变式训练1】如图，点D为等边三角形ABC内的一点，DA＝10，DB＝8，DC＝6，将线
段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD'，下列结论：①点D与点D'的距离
为10；②△ACD'绕点A顺时针旋转60°会和△ABD重合；③CD⊥CD'；④S四边形ADCD′
＝24+25√3，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
求最值
【例5】如图，在三角形ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB＝2，AC＝4，以
BC为边在BC的下方作等边三角形PBC，则AP的最大值是 ．【变式训练1】如图，△ABC是等边三角形，且AB＝4，点D在边BC上，连接AD，将线
段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE，BE．则△BED的周长最小值是
．
旋转的变化过程
【例6】有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【变式训练1】如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的
角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（ ）
A．60° B．72° C．75° D．90°
【变式训练2】下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，逆时针旋转
∠ ，要使这个∠ 最小时，旋转后的图形也能与原图形完全重合，则这个图形是（ ）
α α
A． B． C． D．
【变式训练3】一个正三角形绕其中心至少旋转 度，才能与自身重合．
确定旋转中心
旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点
【例7】如图，在正方形网格中，点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（4，3），线段
AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合（C、D均为格点），若点A的对应点是点C，则它的旋转中心的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（3，1） D．（5，4）
【变式训练1】如图，在正方形网格中，△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ．则旋
转中心可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【变式训练2】如图，若正方形ABCD绕图中某点逆时针旋转90°得到正方形EFGH，则旋
转中心应是（ ）
A．H点 B．N点 C．C点 D．M点
【变式训练3】如图，在 6×6 的正方形网格中，△ABC 绕某点旋转一定的角度，得到
△ABC，则旋转中心是点（ ）A．O B．P C．Q D．M
判断中心对称图形
如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成
中心对称图形。中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形
重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。
【例8】下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1】民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，是轴对称图形但不是中心
对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2】下列图形中，是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．
【变式训练3】下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
中心对称与坐标
点P（x，y)关于原点对称点的坐标是（－x，－y)
【例9】若P（x，3）与点Q（4，y）关于原点对称，则xy的值是（ ）
A．12 B．﹣12 C．64 D．﹣64
故选：A．
【变式训练1】已知点P（m﹣3，m﹣1）关于原点的对称点P′在第四象限，则m的取值
范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2】已知点A（a+b，4）与点B（﹣2，a﹣b）关于原点对称，则a与b的值分别
为（ ）
A．﹣3；1 B．﹣1；3 C．1；﹣3 D．3；﹣1
【变式训练3】已知点M（a，b）在第二象限内，且|a|＝1，|b|＝2，则该点关于原点对称点
的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）
作图题
【例10】在4×4的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对
称性，按要求回答．（1）请在六个图案中，选出三个具有相同对称性的图案．
选出的三个图案是 （填写序号）；
它们都是 图形（填写“中心对称”或“轴对称”）；
（2）请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个4×4的方格也具有（1）中所选图案
相同的对称性．
【变式训练1】如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个
四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
网格中的作图题
【例11】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣2），点P是x轴上的一个动点．
（1）A ，A 分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A ，A 的
1 2 1 2
坐标，并在图中描出点A ，A
1
（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2），
B（4，﹣1），C（3，﹣3）（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．
（1）若△A B C 与△ABC关于原点O成中心对称，则点A 的坐标为 ；
1 1 1 1
（2）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A B C ，则点A 的
2 2 2 2
坐标为 ；
（3）求出（2）中线段AC扫过的面积．
综合运用
【例12】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AO⊥BC于点O，在△ABC的外部以
AB为边作等边△ABD，点E是线段AO上一动点（点E不与点A重合），将线段BE绕点B
顺时针方向旋转60°得到线段BF．
（1）若BF＝2√3，求证：C，E，F三点共线；
（2）连结DF，若△BDF的面积为3，求BF的长．【变式训练1】如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A逆时针
旋转一定角度 （45°＜ ≤90°）得到△ADE，点B、C的对应点分别是D、E．连结BD、
CE交于点F，连α 结AD、αCE交于点G．
（1）用含 的代数式表示∠AGC的度数；
（2）当AEα∥BD时，求CF的长．
【变式训练2】如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转
90°，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M．过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于
点G．
（1）求证：BE＝FG；
（2）如果AB⋅DM＝EC⋅AE，联结AM、DE，求证：AM垂直平分DE．
【变式训练3】如图，矩形ABCD绕B点旋转，使C点落到AD上的E处，AB＝AE，连接
AF，AG．
（1）求证：AF＝AG；
（2）求∠GAF的度数．一．选择题（共8小题）
1．小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图
形可以是轴对称图形．如图所示，现在他将正方形 从当前位置开始进行一次平移操
作，平移后的正方形的顶点仍在图中格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形
的平移方向有
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．观察下列图案，其中旋转角最大的是
A． B． C． D．
3．下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是
A． B．C． D．
4．如图， 中， ，将 绕点 旋转，得到 ，点 的
对应点 在 的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为
A．逆时针， B．逆时针， C．顺时针， D．顺时针，
5．如图所示的正六边形花环绕中必至少旋转 度能与自身重合，则 为
A．30 B．60 C．120 D．180
6．如图， 的顶点坐标 、 、 ，若 绕点 按逆时针方向旋转
，再向右平移2个单位，得到△ ，则点 的对应点 的坐标是A． B． C． D．
7．如图，点 为矩形 的两对角线交点，动点 从点 出发沿 边向点 运动，
同时动点 从点 出发以相同的速度沿 边向点 运动，作直线 ，下列说法错误的
是
A．直线 平分矩形 的周长
B．直线 必平分矩形 的面积
C．直线 必过点
D．直线 不能将矩形 分成两个正方形
8．最近北京2022年冬奥会的吉祥物“冰墩墩”成为了互联网的“顶流”，他呆萌的形象
受到了人们的青睐，结合你所学知识，从下列四个选项中选出能够和如图的图片成中心对
称的是A． B． C． D．
二．填空题（共4小题）
9．如图是 的正方形网格，要在图中再涂黑一个小正方形，使得图中黑色的部分成为
轴对称图形，这样的小正方形有 个．
10．如图，一个小孩坐在秋千上，秋千绕点 旋转了 ，小孩的位置也从 点运动到了
点，则 度．
11．小明对小亮说：“你将这4张扑克牌任意抽取一张，将其旋转 后放回原处，我能
猜出你旋转的那一张”，小亮在小明不看的情况下，抽取一张旋转后放回原处．小明很快
猜出了被旋转的那张扑克牌．
小亮旋转的那张扑克牌的牌面数字是 ．
12．如图，点 为定角 的平分线上的一个定点，且 与 互补，若
在绕点 旋转的过程中，其两边分别与 、 相交于点 、 ，则以下结论：
① 恒成立；② 的值不变；③ 的周长不变；④四边形 的
面积不变，其中正确的序号为 ．三．解答题（共3小题）
13．在 的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，
使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形．
14．如图，矩形 中， ，将矩形 绕点 顺时针旋转得到矩形 ．
当点 恰好落在边 上时，旋转角为 ，连接 ．若 ，求旋转角 及
的长．
15．（1）计算： ；
（2）一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第 10个图案是
；在前16个图案中有 个 ；第2008个图案是 ．
