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专题 24.5 直线和圆的位置关系（九大题型）
【题型1判定制断直线和圆的位置】......................................................................................1
【题型2已知直线和圆的位置关系求半径的取值】................................................................4
【题型3已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距
离】.....................................................8
【题型5证明某直线是圆的切线】..........................................................................................9
【题型6切线的性质定理】...................................................................................................15
【题型7切线的性质和判定的综合应
用】..............................................................................19
【题型8切线长定理】..........................................................................................................28
【题型9三角形周长、面积与内切圆半径的关
系】................................................................32
【题型1判定制断直线和圆的位置】
1．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（
）
A．无法确定 B．相切 C． 相交 D．相离
【答案】C
【分析】本题主要考查了判断直线和圆的位置关系，熟练掌握判断直线和圆的位置关系
的方法是解题的关键．
按照判断直线和圆的位置关系的方法进行判断即可．
【详解】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，且2<3，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交，
故选：C．
2．已知圆的半径为6.5cm，如果圆心到直线的距离为5.5cm，那么这条直线和这个圆的位
置关系是（ ）A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相离
【答案】A
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆
相交；当圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线与圆相切；当圆心到直线的距离大于
圆的半径时，直线与圆相离．解决本题的关键是根据圆心到直线的距离与圆的半径之间
的大小关系判断直线与圆的位置关系．
【详解】解：∵圆的半径为6.5cm，圆心到直线的距离为5.5cm，
又∵5.5<6.5，
∴圆心到直线的距离小于圆的半径，
∴直线与圆相交．
故选：A．
3．三个半径均为6的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P
到直线l的距离为8，则这个圆只能是（ ）
A．⊙O B．⊙O C．⊙O 或⊙O D．⊙O 或⊙O
2 3 2 3 1 2
【答案】C
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，理解圆与直线的三种关系是解题关键．
根据图形，结合圆与直线的位置关系判断即可．
【详解】解：由题意可知，⊙O 、⊙O 、⊙O 的半径均为6，点P到直线l的距离
1 2 3
为8，
若点P在⊙O 上，则点P到直线l的距离不大于6，不符合题意；
1
若点P在⊙O 或⊙O 上，点P到直线l的距离可以为8，符合题意；
2 3
故选：C．
4．在平面直角坐标系xOy中，以点(3,4)为圆心，4为半径的圆（ ）
A．与x轴相交，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离【答案】C
【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，掌握直线与圆的位置关
系定是解此题的关键．根据点(3,4)为圆心，得到圆心到x轴的距离是4，到y轴的距离
是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．
【详解】解：圆心(3,4)到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，
∵ 4=4，3<4，
∴圆与x轴相切，与y轴相交，
故选：C．
5．“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可
看成圆与直线，它们的位置关系是 ．
【答案】相离
【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，根据直线和圆的位置关系，即可解答．
【详解】解：由题可知，太阳与海天边隙线可看成的圆和直线没有公共点，所以太阳
和海天边隙线看成的直线位置关系是相离．
故答案为：相离．
6．平面内，⊙O与四条直线l ，l ，l ，l 的位置关系如图所示，若⊙O的半径为2cm，
1 2 3 4
且点O到其中一条直线的距离为2.2cm，则这条直线是 ．
【答案】l
3
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，熟记圆心到直线的距离与半径关系是正确解
答此题关键． 根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：当d=r，则直线和圆相切；
当dr，则直线和圆相离，进行分析判断．
【详解】解：∵圆心O点到所求直线的距离2.2cm>半径2cm，
∴此直线和圆相离，观察图形发现：直线l 与⊙O相离，
3
∴这条直线是l ．
3
故答案为：l ．
3
【题型2已知直线和圆的位置关系求半径的取值】
1．如图，已知点O到直线l的距离为5，如果在以点O为圆心的圆上有且只有两个点到直线
l的距离为2，那么这个圆的半径长r的取值范围是（ ）
A．23 B．2.4≤r≤4 C．r<4 D．r≥2.4
【答案】B
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作CD⊥AB于D，由勾股定理
求出AB，由三角形的面积求出圆心C到AB的距离为2.4，可得以C为圆心，2.4为半径
所作的圆与斜边只有一个公共点，即可得直线AB和⊙C有交点，r的取值范围．
【详解】解：作CD⊥AB于D，如图所示：
∵∠ACB=90° AC=3 BC=4
， ， ，
∴ AB=❑√32+42=5，
1 1
∵△ABC的面积= AB⋅CD= AC⋅BC，
2 2
AC⋅BC 12
∴ CD= = =2.4，即圆心C到AB的距离d=2.4，
AB 5
∴以C为圆心的⊙C与边AB有交点，则r的取值范围是：2.4≤r≤4．
故选B．
3．在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,BC=4，若⊙C与AB相离，则半径为r满足（
）
A．r>2 B．r=2 C．0r，即可得解．【详解】解：∵∠C=90°,∠B=30°,BC=4，
∴AB=2AC，
∵AB2=BC2+AC2，
∴4AC2=16+AC2，
4
∴AC= ❑√3，
3
8
∴AB= ❑√3，
3
过C作CD⊥AB于D，
1 1
∵S = AB⋅CD= AC⋅BC，
△ABC 2 2
∴CD=2，
∵⊙C与AB相离，
∴半径r满足08
【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，含30°的直角三角形．熟练掌握圆与直线
的位置关系，含30°的直角三角形是解题的关键．
1
如图，作PQ⊥OA于Q，则PQ= OP=4，当r=4时，⊙P与射线OA相切，此时
2
只有一个交点；当r>8时，⊙P与射线OA只有一个交点；然后作答即可．
【详解】解：如图，作PQ⊥OA于Q，∵∠AOB=30°，
1
∴PQ= OP=4，
2
∴当r=4时，⊙P与射线OA相切，此时只有一个交点；
当r=OP=8时，⊙P与射线OA有两个交点；
∴当r>8时，⊙P与射线OA只有一个交点；
综上，当⊙P与射线OA只有一个交点时，⊙P半径r的取值范围是r=4或r>8，
故答案为：r=4或r>8．
6．在同一平面内，半径为4的⊙P与直线AB相离，则圆心P到直线AB的距离d需满足
的条件是 ．
【答案】d>4
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；熟记直线和圆的位置关系与数量之间的联
系是解决问题的关键．．
根据⊙P与直线AB相离，则圆心到直线的距离大于圆的半径即可得问题答案．
【详解】解：∵半径为4的⊙P与直线AB相离，
∴圆心到直线AB的距离大于圆的半径，
即d>4；
故答案为：d>4．
【题型3已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】
1．已知⊙O的半径是5，直线l与⊙O相交，则圆心O到直线l的距离可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线l和⊙O相交即dr．也考查了坐标与图形性质．
6．直线y=kx+6k交x轴于点A，交y轴于点B，以原点O为圆心，3为半径的⊙O与l相交，则k的取值范围为 ．
❑√3 ❑√3
【答案】− ＜k＜ ，且k≠0．
3 3
【分析】根据直线与圆相交确定k的取值，利用面积法求出相切时k的取值，再利用
相切与相交之间的关系得到k的取值范围.
【详解】∵y=kx+6k交x轴于点A，交y轴于点B，
当x=0,y=6k，故B的坐标为（0,6k）;
当y=0,x=−6，故A的坐标为（-6,0）;
当直线y=kx+6k与⊙O相交时, 设圆心到直线的距离为h,
1 1 |6k|
根据面积关系可得: ×6×|6k|= ×❑√(−6) 2+(6k) 2·ℎ 解得ℎ = ;
2 2 ❑√k2+1
|6k| ❑√3 ❑√3
∵直线与圆相交,即ℎ＜r,r=3 ,即 ＜3 解得− ＜k＜
❑√k2+1 3 3
且直线中k≠0,
❑√3 ❑√3
则k的取值范围为：− ＜k＜ ，且k≠0．
3 3
❑√3 ❑√3
故答案为：− ＜k＜ ，且k≠0．
3 3
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键在于根据相交确定圆的半径与
圆心到直线距离的大小关系.
7．已知四边形ABCD内接于⊙O，D为A´C的中点，过点B作⊙O的切线，与AC的延长
线相交于点E．
(1)如图①，若AB经过点O，∠E=52°，求∠DAC的大小；
(2)如图②，若AC经过点O，AB=BE=❑√3，求AD的长．
【答案】(1)26°(2)❑√2
【分析】（1）利用圆周角定理可得∠CBE=38°，进而由切线的性质得
∠ABC=52°，再根据圆内接四边形的性质可得∠D=128°，最后根据弧、圆心角、
弦的关系和等腰三角形的性质即可求解；
（2）连接OB，利用等腰三角形的性质和余角性质可得∠OAB=∠CBE=∠E，进
而可得∠OAB=30°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求出AC即可求解．
【详解】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°，
∴∠CBE=90°−∠E=90°−52°=38°，
∵BE是⊙O的切线，点B是切点，
∴AB⊥BE，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABC=90°−38°=52°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠D=180°，
∴∠D=180°−∠ABC=180°−52°=128°，
∵D为A´C的中点，
∴A´D=C´D，
∴AD=CD，
180°−128°
∴∠DAC=∠DCA= =26°；
2
（2）解：连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=∠D=90°，∴∠OBA+∠OBC=90°，
∵BE是⊙O的切线，点B是切点，
∴OB⊥BE，
∴∠OBE=90°，
∴∠CBE+∠OBC=90°，
∴∠OBA=∠CBE，
∵AB=BE，
∴∠OAB=∠E，
∴∠OAB=∠CBE=∠E，
∴∠ACB=∠CBE+∠E=2∠OAB，
∵∠OAB+∠ACB=90°，
∴3∠OAB=90°，
∴∠OAB=30°，
设BC=x，则AC=2x，
∵AB2+BC2=AC2，
∴(❑√3) 2+x2=(2x) 2，
解得x=1，
∴AC=2，
∵D为A´C的中点，
∴A´D=C´D，
∴AD=CD，
❑√2 ❑√2
∴AD= AC= ×2=❑√2．
2 2
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，圆内接四边形的
性质，弧圆心角弦的关系，直角三角形的性质，勾股定理等，掌握以上知识点是解题
的关键．
