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专题 24.5 直线和圆的位置关系（九大题型）
【题型1判定制断直线和圆的位置】......................................................................................1
【题型2已知直线和圆的位置关系求半径的取值】................................................................2
【题型3已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距
离】.....................................................3
【题型5证明某直线是圆的切线】..........................................................................................3
【题型6切线的性质定理】.....................................................................................................5
【题型7切线的性质和判定的综合应用】..............................................................................6
【题型8切线长定理】.............................................................................................................8
【题型9三角形周长、面积与内切圆半径的关系】................................................................9
【题型1判定制断直线和圆的位置】
1．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（
）
A．无法确定 B．相切 C． 相交 D．相离
2．已知圆的半径为6.5cm，如果圆心到直线的距离为5.5cm，那么这条直线和这个圆的位
置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相离
3．三个半径均为6的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P
到直线l的距离为8，则这个圆只能是（ ）
A．⊙O B．⊙O C．⊙O 或⊙O D．⊙O 或⊙O
2 3 2 3 1 2
4．在平面直角坐标系xOy中，以点(3,4)为圆心，4为半径的圆（ ）A．与x轴相交，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离
5．“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可
看成圆与直线，它们的位置关系是 ．
6．平面内，⊙O与四条直线l ，l ，l ，l 的位置关系如图所示，若⊙O的半径为2cm，
1 2 3 4
且点O到其中一条直线的距离为2.2cm，则这条直线是 ．
【题型2已知直线和圆的位置关系求半径的取值】
1．如图，已知点O到直线l的距离为5，如果在以点O为圆心的圆上有且只有两个点到直线
l的距离为2，那么这个圆的半径长r的取值范围是（ ）
A．2<r<5 B．3≤r<5 C．2<r≤7 D．3<r<7
2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心作⊙C，半径为r，
已知边AB和⊙C有交点，则r的取值范围为（ ）
A．r>3 B．2.4≤r≤4 C．r<4 D．r≥2.4
3．在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,BC=4，若⊙C与AB相离，则半径为r满足（
）A．r>2 B．r=2 C．0<r<2 D．0<r<2❑√3
4．已知Rt△ABC中，AC=6，BC=8，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段
AB只有一个交点，则r的取值范围为 ．
5．如图，∠AOB=30°，OP=8，若⊙P与射线OA只有一个交点，则⊙P半径r的取
值范围是 ．
6．在同一平面内，半径为4的⊙P与直线AB相离，则圆心P到直线AB的距离d需满足
的条件是 ．
【题型3已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】
1．已知⊙O的半径是5，直线l与⊙O相交，则圆心O到直线l的距离可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．5
【题型5证明某直线是圆的切线】
1．如图，AB是⊙O的直径，点C是弧BD的中点，过点C作CE⊥AD于点E，连接CD．
判断EC与⊙O的位置关系，并证明．2．如图，已知AB是⊙O的直径，D是B´C的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E．求
证：DE是⊙O的切线．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是BC边上一点，以点O为圆心，OB为半
径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD=AC．求证：CD是⊙O的切线．
4．如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，点D为OB上一点，过点D作DE⊥AB于
点D，交AC的延长线于点E，点F为线段DE上一点，且CF=EF．求证：CF是
⊙O的切线；5．如图，在▱ABCD中，AB=AC，⊙O外接于△ABC．求证：AD是⊙O的切线
6．如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接
DC，∠DCB=∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E．求证：CD是
⊙O的切线．
【题型6切线的性质定理】
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心
的半圆与AC相切，连接OC，与半圆相交于点D，则CD的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．如图，⊙O与△OAB的边AB相切于点C，与边OB相交于点D．点E为优弧CD上的
点，连接CE,DE．若∠B=40°，则∠E的度数为（ ）
A．20° B．25° C．35° D．40°3．如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=20°，过点C作圆O的切
线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是 ．
4．如图，点A在⊙O上，射线CB与⊙O相切于点C，若∠ACB=20°，则∠A= °．
5．如图，经过A，B两点的⊙O与AC相切于点A，与边BC相交于点E，AD为⊙O的直
径，AB=AC，连结DE，若∠C=36°，则∠BED的度数为 ．
【题型7切线的性质和判定的综合应用】
1．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，PD交AB的延长线于点D，
DE⊥PO交PO的延长线于点E，∠EPD=∠EDO
(1)判断直线PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若PA=5，AD=12，求⊙O的半径．2．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，
OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF；
(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由．
(2)若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．
3．如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE．
(1)求证：OB与⊙D相切；
(2)若OE=4，⊙D的半径为3，求CE的长．
4．如图，点O是菱形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相
切于点M．
(1)求证：CD与⊙O相切；
(2)若∠B=60°，⊙O的半径为3，求菱形的边长．5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆O，交AC于点D，E为
BC的中点，连接DE．
(1)求证：DE是半圆O的切线．
(2)若∠ACB=60°，DE=2，求AD的长．
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为
半径的⊙O经过点D，交AB于点E，连接OD．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BE=4，BD=8，求AB的长．
【题型8切线长定理】
1．如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，
若△ABC的周长为21，BC边的长为6，则△ADE的周长为（ ）A．15 B．9 C．7.5 D．7
2．如图，⊙O为△ABC的内切圆，AB=6，AC=9，BC=10，点D、E分别为BC，
AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
3．如图，AD,AE分别是⊙O的切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交AD，AE于点
B，C．若AD=6，则△ABC的周长是（ ）
A．6 B．12 C．8 D．16
4．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D
两点，则△PCD的周长是 ．
【题型9三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
1．如图，点O，I分别是△ABC的外心和内心，连接OB，IA．若∠OBC=20°，则
∠IAB=（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°2．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，
BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．9cm
3．如图，在一张三角形ABC纸片中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，⊙O是它的内
切圆，小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长是
（ ）
A．17 B．19 C．20 D．22
4．如图，正方形ABCD的边长是6cm，E是CD边的中点．将该正方形沿BE折叠，点C
落在点C′处．⊙O分别与AB、AD、 BC′相切，切点分别为F、G、H，则⊙O的
半径为（ ）cm
A．1.5 B．2 C．3 D．2.5
5．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=5cm，
BC=7cm，CA=6cm．
(1)求AF的长．
(2)已知
S =6❑√6cm2
，求
OD
的长．
△ABC6．如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H，点D,E分别为BC,AC上
的点，且DE为⊙O的切线．
(1)若∠C=40°，求∠AOB的度数；
(2)若AC=8,AB=6,BC=9，求△CDE的周长．
7．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公
式—海伦公式S （其中a，b，c是三角形的三边长，p
=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)
a+b+c
= ，S为三角形的面积），并给出了证明
2
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5
a+b+c
∴p= =6
2
∴S 6
=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)=❑√6×3×2×1=
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家
秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．3
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两
4
点，点P在线段AO上，⊙P与x轴交于M、O两点，当⊙P与该一次函数的图象相切
时，AM的长度是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．6
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(−4,0)、B(0,4)，⊙O的半径为1
（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则
切线长PQ的最小值为（ ）
A．❑√6 B．❑√7 C．2❑√2 D．3
3．如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(3,0)，
点P是Rt△OAB内切圆的圆心，将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的
三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P ，第二次滚动后圆心为P ,⋅⋅⋅，依此
1 2规律，则 的坐标是 ；第2024次滚动后， 内切圆的圆心 的坐
P Rt△OAB P
1 2024
标是 ．
1
4．如图，已知⊙P的半径为3，圆心P始终在抛物线y= x2−3上运动，当⊙P与x轴相
2
切时，圆心P的坐标为 ．
5．以点P(1,2)为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则r的值为
．
6．直线y=kx+6k交x轴于点A，交y轴于点B，以原点O为圆心，3为半径的⊙O与l相交，
则k的取值范围为 ．
7．已知四边形ABCD内接于⊙O，D为A´C的中点，过点B作⊙O的切线，与AC的延长
线相交于点E．
(1)如图①，若AB经过点O，∠E=52°，求∠DAC的大小；
(2)如图②，若AC经过点O，AB=BE=❑√3，求AD的长．
