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专题 24.6 正多边形和圆（三大题型）
【题型1求正多边形的中心角】............................................................................................1
【题型2已知正多边形的中心角求边
数】................................................................................6
【题型3正多边形和圆的综合】............................................................................................11
【题型1求正多边形的中心角】
1．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧AE上．若∠FCD=70°，则∠FDC
度数为（ ）
A．64° B．72° C．74° D．80°
【答案】C
【分析】本题考查正五边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，解题的关键是
正确作出辅助线．
连接OC，OD，由正五边形的性质可得∠COD的度数，根据圆周角定理可得∠CFD
的度数，由三角形的内角和定理计算即可．
【详解】解：如图，连接OC，OD，∵五边形ABCDE是正五边形，
360°
∴∠COD= =72°，
5
1
∴∠CFD= ∠COD=36°，
2
∵∠FCD=70°，
∴∠FDC=180°−∠CFD−∠FCD=180°−36°−70°=74°．
故选：C．
2．青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重
檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点O为正八边形的中
心，则∠AOB的度数为（ ）
A．60° B．54° C．45° D．30°
【答案】C
【分析】本题考查求正多边形中心角度数，掌握正n边形中心角的计算公式360°÷n是
解题的关键．
用360°除以正多边形的边数，计算即可．
【详解】解：∠AOB=360°÷8=45°
故选：C．
3．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是⊙O上不同于点B、C的任
意一点，则∠BPC的度数是（ ）A．45°或135° B．60°或120° C．75°或105° D．45°
【答案】A
【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知
识点，运用分类讨论思想是解题的关键．
分两种情况讨论：①当点P在优弧B´C上时（记为点P）；②当点P在劣弧B´C上时（记
为点P′）；分别利用圆周角定理和圆内接四边形的性质定理即可求解．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当点P在优弧B´C上时（记为点P），
如图，连接OB、OC，
∵ ABCD ⊙O
四边形 是 的内接正方形，
∴∠BOC=90°，
根据圆周角定理，可得：
1 1
∠BPC= ∠BOC= ×90°=45°，
2 2
②当点P在劣弧B´C上时（记为点P′），
如图，则∠BP′C=180°−∠BPC=180°−45°=135°，
∴∠BPC的度数是45°或135°，
故选：A．
4．如图，将该五角星图案绕着它的中心旋转．若旋转后的五角星能与自身重合，则旋转角
至少为（ ）
A．30° B．36° C．60° D．72°
【答案】D
【分析】本题考查旋转对称图形，根据正五边形的中心角为72°，得到当旋转角度为
72°的倍数时，五角星能与自身重合，判断即可．
【详解】解：∵五角星为正五边形，
360°
∴中心角的度数为： =72°，
5
∴当旋转角度为72°的倍数时，五角星能与自身重合，
故旋转角至少为72°；
故选D．
5．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接OC，OF⊥CD于点F，则∠COF的度
数为 °．【答案】36
【分析】本题考查了正多边形和圆的位置关系，等腰三角形的性质，正确的添加辅助
线以及记熟正多边形的有关性质是解题关键，根据题意，可得OC=OD，根据正多边
形的性质，求出∠COD，根据三角形的内角和，求出
1
∠OCD=∠ODC=(180°−72°)× =54°，再根据三角形的内角和，即可．
2
【详解】解：连接OD，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵点O是正五边形ABCDE的中心，
1
∴∠COD= ×360°=72°，
5
1
∴∠OCD=∠ODC=(180°−72°)× =54°，
2
∵OF⊥CD，
∴∠OFC=90°，
∴∠COF=36°，
故答案为：36．
6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是C´D上的任意一点，则∠APB的大小
是 ．【答案】30°/30度
【分析】本题考查正多边形和圆，熟练掌握求正多边形的中心角和圆赒角定理是解题
的关键.
连接OA、OB，先求出∠AOB=60°，再根据圆周角定理求解即可.
【详解】解：连接OA、OB，如图，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
1 1
∴∠APB= ∠AOB= ×60°=30°，
2 2
故答案为：30°.
7．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠COD= .
【答案】72°/72度
1
【分析】本题考查的是正多边形和圆；根据正五边形的性质可得∠COD= ×360°，
5
即可求解．【详解】∵五边形ABCDE为正五边形，
1
∴∠COD= ×360°=72°，
5
故答案为：72°．
【题型2已知正多边形的中心角求边数】
1．如图，AC是⊙O内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O内接正八边形
的一边．此时AB是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】D
【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分
别求出∠AOC，∠BOC的度数，则∠AOB=15°，则边数n=360°÷中心角，据此
求解即可．
【详解】解：连接OB，
∵AC是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOC=360°÷6=60°
∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴∠BOC=360°÷8=45°
∴∠AOB=∠AOC−∠BOC=60°−45°=15°
∴n=360°÷15°=24
故选：D．2．正多边形的中心角为45°，则正多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】本题考查正多边形与圆，根据中心角的度数等于360°除以边数，进行求解即
可．
【详解】∵正多边形的中心角为45°，
∴这个多边形的边数是360°÷45°=8，
∴正多边形的边数是8．
故选：C．
3．如图，AC圆O内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是圆O内接正八边形的一
边．此时AB是圆O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】D
【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分
别求出∠AOC，∠BOC的度数，则∠AOB=15°，则边数n=360°÷中心角，据此
求解即可．
【详解】解：连接OA，OB，OC
∵AC是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOC=360°÷6=60°
∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴∠BOC=360°÷8=45°∴∠AOB=∠AOC−∠BOC=60°−45°=15°
∴n=360°÷15°=24 ．
故选：D．
4．如图，正 n 边形A A A …A 的两条对角线A A 、A A 的延长线交于点 P，若
1 2 3 n 1 7 4 6
∠P=24°，则n的值是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．24
【答案】B
【分析】连接A A ，A A ，根据正n边形的性质知A A ∥A A ，得
2 6 2 4 1 7 2 6
∠P=∠A A A =24°，则正n边形中心角为24°，即可解决问题．本题主要考查了
2 6 4
正n边形和圆的知识，熟练掌握正n边形的性质是解题的关键．
【详解】解：连接A A ，A A ，
2 6 2 4
∵ n
多边形是正 边形，
∴A A ∥A A ，
1 7 2 6
∴∠P=∠A A A =24°，
2 6 4
∴正n边形中心角为24°，
∴n=360°÷24°=15，
故选：B．
5．如果正多边形的中心角是36∘，那么这个正多边形的边数是 ．
【答案】10
【分析】本题考查了正多边形的计算，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角
的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．
【详解】解：由题意可得：边数为360°÷36°=10，
则它的边数是10．
故答案为：10．
6．如果将一个正多边形绕它的中心旋转30°后，才与原正多边形第一次重合，那么这个正
多边形的边数是 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了正多边形中心角与其边数的关系，正多边形的中心角等于
360度除以其边数，根据题意可得该正多边形的中心角为30°，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，该正多边形的中心角为30°，
360°
∴这个正多边形的边数为 =12，
30°
故答案为：12．
7．正多边形的一部分如图所示，点O为正多边形中心，若∠BAC=20°，则该正多边形
的边数为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了圆周角定理、圆与正多边形，熟练掌握圆与正多边形的性质是解
题关键．连接OB,OC，先得出⊙O是这个正多边形的外接圆，再根据圆周角定理可
得∠BOC=2∠BAC=40°，由此即可得．
【详解】解：如图，连接OB,OC，
∵点O为正多边形的中心，
∴⊙O是这个正多边形的外接圆，
由圆周角定理得：∠BOC=2∠BAC=40°，∴该正多边形的边数为360°÷40°=9，
故答案为：9．
8．一个正n边形绕其中心至少旋转45°角可与自身重合，则n的值为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了旋转对称图形，任何一个正n边形都是旋转对称图形，只需
绕它的中心旋转360÷n度便可与自身重合．
由360°÷45°，及旋转的定义即可解答．
【详解】解：∵一个正n边形绕其中心至少旋转45°角可与自身重合，
∴n=360°÷45°=8，
故答案为8．
9．若正多边形的半径与边心距的夹角为20°，则该正多边形的边数为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了正多边形与圆．根据正多边形的半径与边心距的夹角为20°，求
得正多边形的中心角为40°，于是得到结论．
【详解】解：∵正多边形的半径与边心距的夹角为20°，
∴正多边形的中心角为40°，
360°
∴该正多边形的边数为 =9，
40°
故答案为：9．
【题型3正多边形和圆的综合】
1．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OA，AC，则∠OAC的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】C
【分析】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，连接
OC，OB，根据中心角的定义求出∠AOB=∠BOC=60°，进而求出∠AOC=120°，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解∶连接OC，OB，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
360°
∴∠AOB=∠BOC= =60°，
6
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°，
又OA=OC，
180°−∠AOC
∴∠OAC=∠OCA= =30°，
2
故选∶C．
2．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似
计算圆的面积．如图，若用圆内接正十二边形的面积S 来近似估计⊙O的面积S，设
1
⊙O的半径为1，则S−S =（ ）
1
A．π−3 B．π−1 C．π−2 D．2π−3
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形和圆，正确求出正十二边形的面积是解题的关键，根据
圆的面积公式得到⊙O的面积S=π，求得圆的内接正十二边形的面积S =3，即可得
1
出结论．
【详解】解：∵ ⊙O的半径为1，
∴ ⊙O的面积S=π，
如图，设AB是⊙O内接正十二边形的一条边，连接OA，OB，∴OA=OB=1，
360°
∵圆的内接正十二边形的中心角为 =30°，
12
∴∠AOB=30°
过点A作AC⊥OB于点C，
1 1
∴AC= OA= ，
2 2
1 1 1
∴圆的内接正十二边形的面积S =12S =12× OB⋅AC=12× ×1× =3，
1 △AOB 2 2 2
∴S−S =π−3．
1
故选：A．
3．正四边形的边心距与边长之比为（ ）
A．1:2 B．❑√2:2 C．❑√3:1 D．❑√3:2
【答案】A
【分析】本题考查的是正多边形与圆，设正四边形的边长是a，根据正四边形的边心
1 1
距的含义可得边心距OE= BC= a，从而可得答案.
2 2
【详解】解：如图：OE为正四边形的边心距，则OE⊥BC，
设正四边形的边长是a，
∴AB=BC=a，OA=OB=OC=OD，AC⊥BD，
1 1
∴OE= BC= a，
2 21
a
∴正四边形的边心距与边长之比为：2 1 ．
= =1:2
a 2
故选A．
4．正六边形的周长为6，则它的面积为（ ）
3
A．9❑√3 B． ❑√3 C．❑√3 D．3❑√3
2
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形的性质，涉及了勾股定理、等边三角形的性质、直角三
角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．
❑√3 ❑√3 1 ❑√3
先求出OC=❑√OB2−BC2= ，再求出△OAB的面积为 ×1× = ，进而即
2 2 2 4
可求解正六边形面积．
【详解】解：如图，设正六边形的一边为AB，外接圆的圆心为O，作OC⊥AB，垂
足为C，
∵正六边形的周长为6，
∴△OAB是等边三角形，OA=AB=OB=1，
1
∴∠COB= ∠AOB=30°，
2
1
∴BC= ，
2
❑√3
∴OC=❑√OB2−BC2=
，
2
❑√3 1 ❑√3
∴△OAB的面积为 ×1× = ，
2 2 4
❑√3 3❑√3
∴正六边形的面积为 ×6= ，
4 2
故选：B．
5．正三角形的边心距、半径和高之比为（ ）
A．1:2:3 B．1:❑√2:❑√3 C．1:❑√2:3 D．1:2:❑√3【答案】A
【分析】本题主要考查圆与正多边形．根据题意可以表示正三角形的边心距、半径和
高，从而求得它们的比值．
【详解】解：连接AO并延长交BC于点D，连接OB，则AD⊥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
则OA，OB平分∠BAC和∠ABC，
∴∠BAD=∠ABO=∠OBD=30°，
∴AO=OB=2OD，
∴AD=OA+OD=3OD，
∴OD:OB:AD=1:2:3，
故选：A．
6．蜂巢（图1）是很多个正六边形组合而成的，正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用
材最少、空间最大、也最为坚固．如图2，由7个形状、大小完全相同的边长为1cm的
正六边形组成的一部分蜂巢巢房，则AB的长为（ ）
A．3❑√3cm B．4❑√3cm C．2❑√5cm D．2❑√7cm
【答案】D
【分析】根据正多边形每个内角都相等，确定正六边形的每一个内角，连接AC，BC，
过点D作DE⊥BC，根据正六边形的性质得到AC=5cm，再根据等腰三角形的性质得到∠DBC，推出AC⊥BC，进而求出BC，由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接AC,BC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，
如图，正六边形的中心到每个顶点的距离相等，即
OF=OG=OH=OI=OJ=OK，
360°
∵∠FOG=∠GOH=∠HOI=∠IOJ=∠JOK=∠KOF= =60°，
6
∴△FOG,△GOH,△HOI,△IOJ,△JOK,△KOF都是等边三角形，
∵正六边形的边长为1cm，
∴ OF=OG=OH=OI=OJ=OK=1cm，
∴AC=5cm，
∵ BD=CD，∠BDC=360°−120°−120°=120°，
∴ ∠DBC=∠DCB=30°，
∴AC⊥BC，
∵ DE⊥BC，
❑√3
∴BE=BD⋅cos∠DBC= cm，
2
∴ BC=❑√3cm，
∴AB=❑√BC2+AC2=2❑√7cm，
故选：C ．【点睛】本题考查多边形的内角和及对角线，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾
股定理等知识，解答本题的关键是明确正六边形的特点，利用正六边形的性质求解．
7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O．若AB=4，则⊙O的直径为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】A
【分析】本题考查正多边形与圆，正确得出△ABO是等边三角形是解题关键．
直接利用等边三角形的判定与性质进而分析得出答案．
【详解】解：连接AO,BO，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O
∴∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∵AB=4，
∴OA=OB=AB=4
∴⊙O的直径为8．
故选：A．
8．如图，在正五边形ABCDE中，经过C，D两点的⊙O分别与AB，AE相切于点M，
N，连接CM，CN，则∠MCN=（ ）A．18° B．36° C．48° D．54°
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质是解题关键．
根据切线性质求出∠OMA=∠ONA=90°，再求出五边形内角∠A，根据四边形内
角和360°，即可求出∠O，再根据圆周角定理求出∠MCN即可解答．
【详解】解：如图，连接OM、ON，
∵AB AE ⊙O
、 与 相切，
∴∠OMA=∠ONA=90°，
∵五边形ABCDE是正五边形，
(5−2)×180°
∴∠A= =108°，
5
∴∠MON=72°，
1
∴∠MCN= ∠MON=36°，
2
故选：B．
9．如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为 ．
【答案】❑√3【分析】本题考查正多边形和圆，连接OA,OB，作OM⊥AB，易得△AOB为等边
三角形，三线合一，结合勾股定理，求出OM的长，即可．
【详解】解：连接OA,OB，作OM⊥AB，
∵边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，
360°
∴∠AOB= =60°，OA=OB，
6
∴△AOB为等边三角形，
1
∴OA=AB=2,AM= AB=1，
2
∴OM=❑√OA2−AM2=❑√3；
∴它的内切圆半径为❑√3；
故答案为：❑√3
10．如图，在正十八边形中，∠1= ．
【答案】20°/20度
【分析】本题主要考查了正多边形与圆的综合，圆周角定理等知识，先求出正十八边
形的圆心角，再得出正十八边形的外接圆与∠1相对的圆心角，最后根据圆周角定理
求解即可．
360°
【详解】解：正十八边形的圆心角为： =20°，
18
则正十八边形的外接圆与∠1相对的圆心角为：20°×2=40°
1
∠1= ×40°=20°，
2
∴
故答案为：20°11．如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以A为圆心，得EC，连接AC，则图中阴影部
分的面积为 ．
【答案】8π
【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是
关键．
根据正多边形的内角和定理及性质得到∠CAE=60°，如图所示，过点B作
BG⊥AC于点G，AC=AE=4❑√3，由此扇形面积公式即可求解．
【详解】解：∵图形ABCDEF是边长为4的正六边形，
180°×(6−2)
∴AB=BC=CD=DE=EF=AF=4，每个内角的度数= =120°，
6
∴∠AFE=∠ABC=∠BAF=120°，
1 1
∴∠FAE=∠FEA= (180°−∠AFE)= ×(180°−120°)=30°，
2 2
同理，∠BAC=30°，
∴∠CAE=∠BAF−∠FAE−∠BAC=120°−30°−30°=60°，
如图所示，过点B作BG⊥AC于点G，
1
∴BG= AB=2，AG=❑√AB2−BG2=❑√42−22=2❑√3，
2
∴AC=AE=4❑√3，
60°π×(4❑√3) 2
∴S = =8π，
阴影 360°故答案为： 8π．
1．如图，正十二边形的四个顶点分别落在正方形四条边的中点处，若正十二边形的面积等
于3，则图中阴影部分的面积为（ ）
1 3 3 π 3
A． B． − C． − D．1
4 π 4 3 4
【答案】A
【分析】此题考查了正多边形和圆、含30°角的直角三角形的性质、正方形的判定和
性质等知识，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．
设点O为正十二边形的中心，点E、F分别为正方形的边AD和CD的中点，连接
OF,OE，点G为正十二边形的一个顶点，连接OG，作GF⊥OE于点H，则
∠OHG=90°，设正方形的边长为2a，则DF=DE=a，证明四边形OFDE是正方形，
1 1
则OE=OF=DF=DE=a，得到S =a2 ，S = OE⋅GH= a2 ，由正
正方形OFDE △OEG 2 4
1
十二边形的面积= a2×12=3a2 得到a2=1，由S −3S 即可得到图中阴
4 正方形OFDE △OEG
影部分的面积．
【详解】解：如图，设点O为正十二边形的中心，点E、F分别为正方形的边AD和
CD的中点，连接OF,OE，点G为正十二边形的一个顶点，连接OG，作GH⊥OE
于点H，则∠OHG=90°，设正方形的边长为2a，则DF=DE=a，
由题意可得，∠OED=∠OFD=∠D=90°
∴四边形OFDE是正方形，
∴OE=OF=DF=DE=a，
∴S =a2 ，
正方形OFDE
360°
∵∠HOG= =30°，OG=OE=OF=a
12
1 1
∴GH= OG= a，
2 2
1 1
∴S = OE⋅GH= a2
△OEG 2 4
1
∴正十二边形的面积= a2×12=3a2 ，
4
∴3a2=3，
∴a2=1，
1 1 1
∴图中阴影部分的面积为S −3S =a2−3× a2= a2= ，
正方形OFDE △OEG 4 4 4
故选：A
2．正多边形的一部分如图所示，若∠ACB=18°，则该正多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理；连接OA,OB，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=36°，即可得到结论．
【详解】解：连接OA,OB，
∵∠ACB=18°
，
∴∠AOB=2∠ACB=36°，
360°
∴这个正多边形的边数为 =10，
36°
故选：D．
3．平遥推光漆器是山西著名的工艺品，以手掌推出光泽而得名．如图①是平遥推光漆器的
一个饰品盒盖，图②是其几何示意图(阴影部分为花朵图案)．已知正六边形ABCDEF
的边长为2，分别以正六边形每个顶点为圆心，其边长为半径画弧，构成花朵图案，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8π−18 B．8π−12❑√3 C．4π−3❑√3 D．4π−6❑√3
【答案】B
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，设正
六边形的中心为O，连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于H，可证明△AOB是等
1
边三角形，得到OB=AB=2，BH= AB=1，则OH=❑√OB2−BH2=❑√3，根据
2
S =12(S −S )计算求解即可．
阴影 扇形ABO △ABO
【详解】解；如图所示，设正六边形的中心为O，连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于H，
360°
∴∠AOB= =60°，
6
又∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
1
∴OB=AB=2，BH= AB=1，
2
∴OH=❑√OB2−BH2=❑√3，
∵BA=BO，
∴点O在以B为圆心，AB的长为半径的圆上，
(60π×22 1 )
∴S =12(S −S )=12× − ×2×❑√3 =8π−12❑√3，
阴影 扇形ABO △ABO 360 2
故选：B．
4．如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与
⊙O的切点，则∠ANF的度数为（ ）
A．125° B．108° C．90° D．144°
【答案】B
【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，切线的性质，连接OM，ON．求出
∠MON，再利用圆周角定理求出∠MFN=36°，连接AF，可得
∠AFN=∠AFM=18°，由ON=OF得∠ONF=18°，求解即可．【详解】解：连接OM，ON，如图，
∵M，N，F分别是AE，AB，CD与⊙O的切点，
∴OM⊥AE，ON⊥AB，AM=AN，
∴∠OMA=∠ONA=90°，
∵正五边形ABCDE中，∠A=108°，
∴∠MON=180°−108°=72°，
1
∴∠MFN= ∠MON=36°，
2
连接AF，由对称性可得A,O,F三点在同一条直线上，
在△ANO和△AMO中，
{AM=AN
)
OM=ON ,
AO=AO
∴△ANO≌△AMO(SSS)，
∴∠NAO=∠MAO，
在△ANF和△AMF中，
{
AN=AM
)
∠NAF=∠MAF ，
AF=AF
∴△ANF≌△AMF(SAS)，
∴∠NFA=∠MFA=18°，
∵ON=OF，
∴∠ONF=∠OFN=18°，
∴∠ANF=∠ANO+∠ONF=90°+18°=108°．
故选：B．
5．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，
AB∥x轴，交y轴于点P．将ΔOAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2024次
旋转结束时，点A的坐标为（ ）A．(❑√3,−1) B．(−1,−❑√3) C．(−❑√3,−1) D．(1,❑√3)
【答案】D
【分析】本题主要考查了正多边形和圆、勾股定理；正确掌握正多边形的性质是解题
关键，利用正多边形的性质结合勾股定理计算，找到规律即可得解．
1
【详解】解：在RtΔAOP中，OA=AB=2，PA= AB=1，
2
∴ OP=❑√OA2−PA2=❑√3，
∴点A的坐标为(1,❑√3)，
第1次顺时针旋转90°，点A的对应点A 第四象限，其A 坐标为(❑√3,−1)，
1 1
第2次顺时针旋转90°，点A的对应点A 第三象限，其A 坐标为(−1,−❑√3)，
2 2
第3次顺时针旋转90°，点A的对应点A 第二象限，其A 坐标为(−❑√3,1)，
3 3
第4次顺时针旋转90°，点A的对应点A 第一象限，其A 坐标为(1,❑√3)，
4 4
第5次顺时针旋转90°，点A的对应点A 第四象限，其A 坐标为(❑√3,−1)，
5 5
……
每4个一循环，则2024÷4=506，
第2024次顺时针旋转90°，点A的对应点A 第二象限，其A坐标为(1,❑√3)，
2024
故选：D．
EF
6．如图，⊙O既是等边△ABC的内切圆又是等边△≝¿的外接圆，则 =（ ）
BC1 1 2 3
A． B． C． D．
3 2 3 4
【答案】B
【分析】本题考查了内切圆和外接圆，等边三角形的性质，勾股定理，垂径定理，掌
握知识点的应用是解题的关键．
设⊙O与BC边相切于点M，连接OM，过O作ON⊥DF交于N点，则
1 1
DN=NF= DF，BM=CM= BC，然后由等边三角形的性质可得DF=EF，
2 2
∠DFE=∠ACB=60°，再根据⊙O既是等边△ABC的内切圆又是等边△≝¿的外
ON OM 1
接圆，得∠OFN=∠OCM=30°，则 = = ，设OM=OF=a，再由勾股
OF OC 2
定理即可求解．
【详解】解：如图，设⊙O与BC边相切于点M，连接OM，过O作ON⊥DF交于N
点，
1 1
∴DN=NF= DF，BM=CM= BC，
2 2
又∵△ABC与△≝¿都是等边三角形，
∴DF=EF，∠DFE=∠ACB=60°，
∵⊙O既是等边△ABC的内切圆又是等边△≝¿的外接圆，
∴∠OFN=∠OCM=30°，
ON OM 1
∴ = = ，
OF OC 2
∵设OM=OF=a，
1
∴OC=2a，ON= a，
2
由勾股定理得： NF=❑√OF2−ON2=❑ √ a2− (1 a ) 2 = ❑√3 a ，
2 2，
CM=❑√OC2−OM2=❑√(2a) 2−a2=❑√3a
∴EF=DF=❑√3a，BC=2❑√3a，
EF ❑√3a 1
∴ = = ，
BC 2❑√3a 2
故选：B．
7．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A，B在x轴上，顶
点F在y轴上．把正六边形ABCDEF绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，当连续旋转
2025次后，顶点D的对应点D′的坐标是 ．
【答案】(−3,−2❑√3)
【分析】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化—旋转，学会探究规
律方法是解题的关键．连接AD、BD，首先确定点D的坐标，再根据6次一个循环，
由2025÷6=337……3，推出经过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转得
到的D 的坐标相同即可解答．
3
【详解】解：如图，连接AD，BD．
在正六边形ABCDEF中，AB=2，AD=4，∠ABD=90°，
∴BD=2，
在Rt△AOF中，AF=2，∠OAF=60°，
∴∠OFA=30°，
1
∴ OA= AF=1，
2
∴OB=OA+AB=3，∴ D(3,2❑√3)，
∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，6次一个循环，
∵2025÷6=337⋯3
，
∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第3次旋转得到的D 的坐标相同，
3
∵D与D 关于原点对称，
3
∴ D (−3,−2❑√3)，
3
∴经过第2025次旋转后，顶点D的对应点D′的坐标是(−3,−2❑√3)，
故答案为：(−3,−2❑√3)．
8．若⊙O的半径为5．则其内接正六边形的周长等于
【答案】30
【分析】本题考查了正六边形的性质，根据正六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边
形，可知△OAB是等边三角形，从而可知正六边形的边长为5，所以正六边形的周长
为6×5=30．
【详解】解：如下图所示，正六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
1
∴OA=OB=5，∠AOB= ×360°=60°，
6
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=5，
∴AB=BC=CD=DE=EF=AF=5，
∴正六边形ABCDEF的周长为6×5=30．故答案为：30 ．
9．如图，已知点P是正六边形ABCDEF内一点，连结PE，PF，PB，PC．若
S =3❑√3，S =5❑√3，则AB的长为 ．
△PEF △PBC
【答案】4
【分析】本题考查了正六边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，过
点P作MN⊥BC，交BC,EF分别为N,M，连接EC，过点D作DG⊥EC于点G，
1
设正六边形ABCDEF的边长为a，根据已知得出 a×❑√3a=8❑√3，即可求解．
2
【详解】解：如图，过点P作MN⊥BC，交BC,EF分别为N,M，连接EC，过点D
作DG⊥EC于点G，设正六边形ABCDEF的边长为a
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴BC∥EF，EC⊥EF，EC⊥BC
∴MN⊥EF，
∴四边形EMNC是矩形，
∴MN∥EC，MN=EC
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴∠EDC=120°,ED=DC
∵DG⊥EC
1
∴∠DEG=30°，则DG= DE，
2∴EC=2EG=2❑√ED2−DG2=2❑√3DG=❑√3a
∵S =3❑√3，S =5❑√3
△PEF △PBC
1 1 1 1 1
∴ EF×MP+ BC×PN= a×MN= a×EC= a×❑√3a=8❑√3
2 2 2 2 2
1
即 a×❑√3a=8❑√3
2
解得：a=4
即AB=4，
故答案为：4．
AG
10．如图，AG,DH是正八边形ABCDEFGH的两条对角线，则 的值为 ．
DH
❑√2 1
【答案】 / ❑√2
2 2
【分析】此题考查了正八边形与圆，正多边形的性质应用是解题的关键．设正八边形
ABCDEFGH中心为点O，连接OF,OD，求出中心角∠DOF=90°，设
OA=OG=a，得到DH=2a,AG=❑√2a，即可得到答案．
【详解】解：设正八边形ABCDEFGH中心为点O，连接OA,OG，如图，
∵多边形为正八边形，
2
∴中心角∠AOG=360°× =90°，
8设OA=OG=a，
∴DH=2a,AG=❑√2a
AG ❑√2a ❑√2
∴ = = ，
DH 2a 2
❑√2
故答案为： ．
2
11．如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与
⊙O的切点，则∠MFN的度数为 °．
【答案】36
【分析】本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟
练掌握基本知识，如图，连接OM，ON．求出∠MON，再利用圆周角定理求解即
可．
【详解】解：如图，连接OM，ON．
∵M N F AE AB CD ⊙O
， ， 分别是 ， ， 与 的切点，
∴OM⊥AE，ON⊥AB，
∴∠OMA=∠ONA=90°，
∵∠A=108°，
∴∠MON=180°−108°=72°，
1
∴∠MFN= ∠MON=36°，
2
故答案为：36．
