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专题 24.7 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积（十一大题
型）
【题型1求弧长】...................................................................................................................1
【题型2求扇形半径】.............................................................................................................2
【题型3求圆心角】...............................................................................................................3
【题型4求某点的弧形运动路径长
度】.....................................................................................4
【题型5求扇形面积】..........................................................................................................5
【题型6求图形旋转后扫过的面积】.....................................................................................6
【题型7求弓形面积】..........................................................................................................8
【题型8求圆锥侧面积】........................................................................................................9
【题型9求圆锥底面半径】.................................................................................................10
【题型10求圆锥侧面展开图的圆心
角】................................................................................11
【题型11圆锥侧面上最短路径问
题】.....................................................................................12
【题型1求弧长】
1．如图，正六边形ABCDEF的边心距为❑√3，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则B´F
的长为（ ）2π 4
A． B． π C．2π D．3π
3 3
2．如图，点B、C、D在⊙O上，∠ADB=30°，A是B´C的中点，若OB=2，则B´C的
长是（ ）
2 4 16
A． π B． π C． π D．2π
3 3 3
3．如图，在Rt△ABC中，∠A=35°,CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长
为半径作弧，与AB的另一个交点为点E．若AB=2，则D´E的长为（ ）
1 2 11 7
A． π B． π C． π D． π
9 9 36 18
4．如图，在扇形纸扇中，若∠AOB=150°，OA=24，则A´B的长为 ．
5．无论是“轻罗小扇”，还是“羽扇纶巾”，当古诗词遇上扇子，更显古朴韵味，扇面书
画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物．如下图，当折扇所在扇形的圆心角为120°时，折
扇的外观看上去是比较美观的，若此扇形的半径OA=20cm，则此时折扇所在扇形的
弧长AB为 cm．（结果保留π）【题型2求扇形半径】
1．已知扇形的面积为2π，扇形的弧长是π，则该扇形半径为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．4π
2．如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半
径r=2，扇形的圆心角等于90°，则围成的圆锥的母线长R的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
3．在“制作几何体模型”的数学活动课上，小徐用圆心角为120°，面积为12π的扇形制
作几何体模型，则该扇形的半径是 ．
4．如图所示，综合实践课上，聪聪用圆心角为120°的扇形纸板，制作了一个底面半径是
3cm圆锥形的生日帽．在不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径是 cm．
【题型3求圆心角】
1．如图，⊙O与正八边形ABCDEFGH相切于点A，E，则A´E的度数为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°2．如图，一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升了2πcm，假设绳索与滑轮之间没有滑
动，则滑轮上某一点P旋转了 度．
3．一个扇形的弧长是13πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是 度．
4．一个扇形的弧长是6πcm，面积是15πcm2，则此扇形的圆心角为 度．
5．如图，传送带的一个转动轮的半径为18cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送
12πcm，则n= ．
【题型4求某点的弧形运动路径长度】
1．如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，△ABC绕点A顺时针方向旋转90∘后得到
，则点 运动的路径 的长为（ ）
△AB′C′ B B ´ B′
5π
A．2π B． C．4π D．5π
2
2．如图，小明为节省搬运力气，把一个棱长为1m的正方体木箱在地面上由起始位置沿直
线l不滑行地翻滚，翻滚一周后，原来与地面接触的面又落回到地面，则点A 所走路
1
径的长度为 ．3．时钟的时针长9cm，从上午8:00到中午12:00，这个时针的针尖经过的路程为 cm．
4．如图，已知三角板ABC,∠ACB=90°,∠A=60°, AC=2，将三角板绕直角顶点C
逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则B点转过的
路径长为 ．（结果保留π）
5．如图，△OAB在平面直角坐标系中，其中O为坐标原点，A(−1,3)、B(−3,2)．将
△OAB绕着原点O顺时针方向旋转90°、得到△OA B （点A、B的对应点分别为
1 1
A 、B ）．
1 1
(1)画出△OA B 并写出点A 坐标；
1 1 1
(2)求点B在旋转过程中经过的路径长（结果保留π或根号）．
【题型5求扇形面积】
1．如图，在△ABC中，∠BAC=70°，BC=6，以AB为直径的半圆O交AC于点D，
交BC于点E，连接OE，若D是A´E的中点，则阴影部分的面积为（ ）π 5π 10π 5π
A． B． C． D．
3 6 9 2
2．如图，已知圆的内接正六边形的半径为2，则扇形AOB的面积是（ ）
1 2 1
A． π B． π C． π D．π
3 3 2
3．若扇形半径为4，圆心角为120°，则该扇形的面积为 ．
4．如图1是精美的红木木雕算盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部
分为算盘）．通过测量得到扇形AOB的圆心角为60°，OA=70cm,AC=20cm，则
算盘的面积为 cm2．（结果保留π）
【题型6求图形旋转后扫过的面积】
1．在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点A(−2,2)，B(4,2)，将线段AB绕点O旋
转一周，则线段AB扫过的面积为（ ）
A．8π B．12π C．16π D．20π2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=❑√2，将△ABC绕点B顺时针旋转
90°得到△DBE，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留π）
3．如图，直角△ABC的直角顶点为B，且AB=8，BC=15，AC=17，将此三角形绕着
顶点A逆时针旋转72度到直角AB′C′的位置，在旋转过程中，线段BC扫过的面积是
．（结果保留π）
4．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△ABC的顶点A(−2,1)、B(−4,5)、
C(−5,2)．将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′（B′,C′分别与B,C对应）．(1)在图中画出旋转后的图形△AB′C′；
(2)在旋转过程中，求AC所扫过的图形的面积．（结果保留π）
5．如图，△ABC的顶点均在边长为1的小正方形组成的8×8的网格的格点上．
(1)画出将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的对应图形△AB C ；
1 1
(2)△ABC旋转过程中边AB“扫过”的面积为 ．
【题型7求弓形面积】
1．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=30∘，在直径AB上截取AD=AC，延
长CD交⊙O于点E，若CE=2，则图中阴影部分的面积为（ ）π π
A．❑√2 B． −1 C．π−2 D．
2 2
2．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接
AD，若AB=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
π
A．π−2 B．π−4 C．4π−8 D． −2
2
3．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于
点D，连接OD、AD，则图中阴影部分的面积为 ．
4．如图，有一个半径为6cm的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的
位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 结果保留 ．
cm2 ( π)
【题型8求圆锥侧面积】
1．若圆锥的底面半径长为6cm，母线长为8cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2
2．某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．如图，扇形OAB是圆锥的侧
面展开图，点O，A，B在格点上．若每个小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的侧
面积是（ ）A．12π B．9π C．3π D．6π
3．如图，圆锥的底面半径OB=5，高OA=12，该圆锥的侧面积是（ ）
A．60π B．85π C．65π D．90π
4．已知圆锥的底面半径为3，母线长为15，则该圆锥的侧面积为 ．
5．若圆锥的底面半径是5cm，母线长6cm，则圆锥的侧面积是 cm2．
【题型9求圆锥底面半径】
1．若将半径为12cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是
cm．
2．如图，如果将半径为9cm的圆形纸片剪去一个圆心角120°的扇形，用剩下的扇形围成
一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为 cm．
3．如图，将一个扇形围成圆锥的侧面，已知扇形面积为8π，扇形半径R=4，则圆锥的底
面圆半径r= ．4．如图，小张同学用半径BC=24cm，∠BCD=90°的扇形包装纸恰好能设计成一个圆
锥状冰淇淋的侧面外包装，则这个圆锥状冰淇淋的底面半径OB= cm．
5．如图，正五边形ABCDE的边长为10，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，若图中阴
影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ．
6．如图，从一块直径为6的圆形铁皮上剪出一个圆周角为60°的扇形，并将剪下来的扇形
围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ．
【题型10求圆锥侧面展开图的圆心角】
1．如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥的母线长与底面圆半径的比为3:1，将该帽
子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为（ ）．A．60° B．80° C．100° D．120°
2．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（ ）
A．90° B．120° C．150° D．180°
3．如图，圆锥底面圆的半径OB的长为5cm，母线AB的长为12cm，则圆锥侧面展开图的
扇形的圆心角是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
4．如图，圆锥的高为4❑√2cm，母线的长为6cm，则该圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心
角为 ．
5．已知圆锥底面圆的周长为12πcm，母线长是20cm，它的侧面展开图的圆心角
°．
6．如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤
纸底面半径为2cm，母线长为6cm，则需要的扇形纸片的圆心角为 度．【题型11圆锥侧面上最短路径问题】
1．如图，圆锥底面圆直径BC长是6cm，母线AC长是6cm，一只蚂蚁在圆锥表面从B点
爬到AC的中点D，最短路径长是 cm．
2．如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母
线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若∠AOA′=120°，OA=❑√3，则蚂蚁爬行的最
短距离是 ．
3．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬
行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为 ．
4．如图，圆锥母线的长l等于底面半径r的4倍，（1）求它的侧面展开图的圆心角．
（2）当圆锥的底面半径r＝4cm时，求从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短
路径的长
5．综合与实践
【主题】制作圆锥形生日帽
【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带．
【实践操作】
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角
为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．
【实践探索】在制作好的生日帽中，AB=8cm，l=8cm，C是PB的中点，现要从点
A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．1．如图，扇形ABC的半径长为2，∠ABC=90°，以AB为直径画半圆，取弧AB的中点
D，连接CD，则阴影部分面积为（ ）
5π 1 5π 5π 3 5π 1
A． − B． −1 C． − D． +
4 2 2 4 2 4 2
2．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AB=2，点D为AB的中点，
以点D为圆心作圆心角为90°的扇形EDF．若点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分
的面积为（ ）
1 π 1 π 1 π 1
A．π− B． − C． + D． +
4 4 2 4 2 2 2
3．7个半径均为r的硬币两两外切，如图所示，若将左边第一个硬币沿着剩下硬币的圆周
滚动一圈回到原来的位置（其余6个硬币固定不动），那么这个硬币在滚动时圆心移
动的路径长为（ ）
16 32
A． πr B．10πr C． πr D．12πr
3 3
1
4．如图，四边形ABCD是边长为 的正方形，曲线DA B C D A ⋅⋅⋅是由多段90°的
2 1 1 1 1 2圆心角所对的弧组成的．其中， 的圆心为A，半径为 ； 的圆心为B，半
D´A AD A´B
1 1 1
径为 ； 的圆心为C，半径为 ； 的圆心为D，半径为 ，…，按
BA B´C CB C ´D DC
1 1 1 1 1 1 1
规律循环延伸曲线， 则的长是（ ）
A ´B
2024 2024
4047π 2025π
A． B．2024π C． D．2023π
2 2
5．如图，在边长为1的正方形中，以各顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内
画弧，则图中阴影部分的面积为（ ）
1 4 π π
A．2− π B． π C． −1 D．1−
2 3 2 4
