文档内容
专题 24.7 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积（十一大题
型）
【题型1求弧长】...................................................................................................................1
【题型2求扇形半径】.............................................................................................................4
【题型3求圆心角】...............................................................................................................7
【题型4求某点的弧形运动路径长
度】.....................................................................................9
【题型5求扇形面积】..........................................................................................................13
【题型6求图形旋转后扫过的面
积】.....................................................................................15
【题型7求弓形面积】..........................................................................................................20
【题型8求圆锥侧面
积】........................................................................................................24
【题型9求圆锥底面半径】.................................................................................................27
【题型10求圆锥侧面展开图的圆心
角】................................................................................30
【题型11圆锥侧面上最短路径问
题】.....................................................................................34
【题型1求弧长】
1．如图，正六边形ABCDEF的边心距为❑√3，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则B´F
的长为（ ）2π 4
A． B． π C．2π D．3π
3 3
【答案】B
【分析】首先根据正六边形的边心距求出边长，正六边形的边心距，指的是从正六边形
的中心到任意一条边的垂直距离．再利用圆心角的度数和弧长公式求出弧长．
【详解】解：连接对角线，交点为O，作OH⊥AF,垂足为点H,则OH=❑√3,
ABCDEF
∵ 是正六边形，
∴ΔAOF是等边三角形，
∴∠FAO=60°，
∵正六边形ABCDEF的边心距OH=❑√3，
❑√3
∴圆的半径AB=OA= =2，
sin60°
120π×2 4π
∴ ⏜ 的长为 = ．
BF
180 3
故选：B．
【点睛】本题考查了正六边形的性质以及弧长公式计算，解题关键是明确正多边形的性
质和熟记弧长公式．
2．如图，点B、C、D在⊙O上，∠ADB=30°，A是B´C的中点，若OB=2，则B´C的
长是（ ）2 4 16
A． π B． π C． π D．2π
3 3 3
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，弧，圆心角，弦之间的关系，弧长公式．连接OA，
根据圆周角定理得出∠AOB=60°，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得出
∠AOB=∠AOC=60°，求得∠BOC=120°，，再利用弧长公式解答即可．
【详解】解：连接OA，如图：
∵ A ⌢ B=A ⌢ B ，∠ADB=30°，
∴∠AOB=2∠ADB=60°，
⏜
∵A是 的中点，
BC
∴∠AOB=∠AOC=60°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=120°，
∵OB=2，
120×π×2 4
故B´C的长是 = π．
180 3
故选：B．
3．如图，在Rt△ABC中，∠A=35°,CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长
为半径作弧，与AB的另一个交点为点E．若AB=2，则D´E的长为（ ）
1 2 11 7
A． π B． π C． π D． π
9 9 36 18
【答案】B
【分析】本题考查求弧长，斜边上的中线，根据斜边上的中线求出得到1
CD= AB=AD，进而得到∠DAC=∠ACD，三角形的外角得到∠CDE的度数，
2
作图可知CD=CE，等边对等角求出∠DCE的度数，再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：∵Rt△ABC，CD是斜边AB上的中线，AB=2，
1
∴CD= AB=AD=1，
2
∴∠DAC=∠ACD=35°，
∴∠CDE=∠DAC+∠ACD=70°，
由作图可知CD=CE，
∴∠CDE=∠CED=70°，
∴∠DCE=180°−2×70°=40°，
40π 2π
∴D´E的长为 ×1= ；
180 9
故选B．
4．如图，在扇形纸扇中，若∠AOB=150°，OA=24，则A´B的长为 ．
【答案】20π
【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键．
nπr
利用弧长公式 （n为圆心角度数，r为半径）直接计算即可求解．
180°
150°×24π
【详解】解：A´B的长为 =20π ．
180°
故答案为：20π ．
5．无论是“轻罗小扇”，还是“羽扇纶巾”，当古诗词遇上扇子，更显古朴韵味，扇面书
画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物．如下图，当折扇所在扇形的圆心角为120°时，折
扇的外观看上去是比较美观的，若此扇形的半径OA=20cm，则此时折扇所在扇形的
弧长AB为 cm．（结果保留π）40 40π
【答案】 π /
3 3
nπr
【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．弧长公式：l= （弧长为
180°
l，圆心角度数为n，圆的半径为r），由此即可计算．
120°π×20 40
【详解】解：根据题意得：弧AB的长= = π(cm)．
180° 3
40
故答案为： π．
3
【题型2求扇形半径】
1．已知扇形的面积为2π，扇形的弧长是π，则该扇形半径为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．4π
【答案】B
【分析】本题考查了扇形面积与弧长公式的应用，解答本题的关键是掌握扇形面积的计
1
算公式．根据扇形的面积公式S= lr（其中S为面积，l为弧长，r为半径），结合已知
2
的弧长和面积，直接解方程即可求得半径．
【详解】设扇形的半径为r，
1 1
根据扇形的面积公式S= lr= πr=2π，
2 2
解得r=4．
故选：B．
2．如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半
径r=2，扇形的圆心角等于90°，则围成的圆锥的母线长R的值为（ ）A．2 B．4 C．8 D．10
【答案】C
【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
【详解】解：∵圆的半径r=2，
∴圆的周长=4π，
∴这个圆锥侧面展开的扇形的弧长是4π，
∵扇形的圆心角等于90°，
90πR
∴4π= ，
180
∴这个扇形的半径是R=8．
故选：C．
【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧
抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
3．在“制作几何体模型”的数学活动课上，小徐用圆心角为120°，面积为12π的扇形制
作几何体模型，则该扇形的半径是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了扇形的半径，掌握扇形面积公式是关键，根据扇形面积公式即可
求解．
120°×πr2
【详解】解：根据题意得到，S = =12π，
扇形 360°
解得，r=±6（负值舍去），
∴扇形的半径为6，
故答案为：6 ．
4．如图所示，综合实践课上，聪聪用圆心角为120°的扇形纸板，制作了一个底面半径是
3cm圆锥形的生日帽．在不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径是 cm．【答案】9
【分析】本题考查圆锥与扇形的计算，掌握相关计算公式是解题的关键．设圆锥的底
面半径为r，扇形的半径为R，扇形的弧长为l，根据扇形的弧长=圆锥底面圆周长构建
方程求解即可．
【详解】解：设圆锥的底面半径为r，扇形的半径为R，扇形的弧长为l，
∵圆锥的底面半径是3cm，
∴扇形的弧长l=2πr=6πcm，
nπR
∵扇形纸板的圆心角为120°，l= ，
180°
120°πR
∴ 6π= ，
180°
解得：R=9，
故答案为：9．
【题型3求圆心角】
1．如图，⊙O与正八边形ABCDEFGH相切于点A，E，则A´E的度数为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【答案】D
【分析】连接OA、OE，由切线的性质及正多边形的性质得
∠OAH=∠OEF=90°,∠H=∠G=∠F，由多边形的内角和即可求解；
【详解】解：如图，连接OA、OE，∵⊙O与正八边形ABCDEFGH相切于点A,E，
∴∠OAH=∠OEF=90°，∠H=∠G=∠F，
∵六边形AHGFEO的内角和为(6−2)×180°=720°，
∠H=∠G=∠F =(8−2)×180÷8=135°，
∴∠AOE=720°−90°×2−135°×3=135°，
∴A´E的度数为135°，
故选：D．
【点睛】本题考查了弧的度数，切线的性质，正多边形的性质，多边形的内角和；掌握
切线的性质，正多边形的性质，会求弧的度数是解题的关键．
2．如图，一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升了2πcm，假设绳索与滑轮之间没有滑
动，则滑轮上某一点P旋转了 度．
【答案】36
【分析】本题考查弧长公式，熟练掌握弧长公式并理解题意是解题的关键．先根据题
意得出点P旋转的弧长为2πcm，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：由题意得滑轮上某一点P运动的路程为2πcm，
即点P旋转的弧长为2πcm，
设点P旋转的角度为n度，
nπ×10
则2π= ，
180
解得：n=36，
故答案为：36．
3．一个扇形的弧长是13πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是 度．【答案】130
【分析】本题考查的是弧长的计算，设扇形的圆心角为n°，根据弧长公式列式计算即
可．
【详解】解：设扇形的圆心角为n°，
nπ×18
由题意得： =13π，
180
解得：n=130，
故答案为：130．
4．一个扇形的弧长是6πcm，面积是15πcm2，则此扇形的圆心角为 度．
【答案】216
【分析】根据扇形面积公式求出圆的半径，再根据弧长公式求出圆心角度数即可．
【详解】解：∵一个扇形的弧长是6πcm，面积是15πcm2，
1
∴ ×6πr=15π，解得，r=5，
2
nπr
∴ =6π，
180
5nπ
∴ =6π，解得，n=216，
180
故答案为：216．
【点睛】本题考查了扇形面积和弧长的计算，解题关键是熟记扇形面积公式和弧长公
式．
5．如图，传送带的一个转动轮的半径为18cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送
12πcm，则n= ．
【答案】120
【分析】根据物品A被传送的距离等于转动了n°的弧长，代入弧长公式计算即可．
【详解】解：∵物品A被传送的距离等于转动了n°的弧长，
nπ×18
∴ =12π，
180°解得n=120°，
故答案为：120．
【点睛】本题考查弧长公式，理解传送距离和弧长之间的关系是解题的关键．
【题型4求某点的弧形运动路径长度】
1．如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，△ABC绕点A顺时针方向旋转90∘后得到
△AB′C′，则点B运动的路径B ´ B′的长为（ ）
5π
A．2π B． C．4π D．5π
2
【答案】B
【分析】本题考查弧长的计算，旋转的性质，勾股定理，能得到点B运动的路径是圆心
角为90°，半径为5的扇形的弧长是解题的关键．
根据题意和图形，可以得到∠BAB′=90°，然后根据勾股定理可以得到AB的长，再
根据弧长公式计算即可得到B ´ B′的长．
【详解】解：由图可得，AB=❑√32+42=5，
由旋转可得∠BAB′=90°，
90π×5 5π
∴ B ´ B′的长为： = ，
180 2
故选：B．
2．如图，小明为节省搬运力气，把一个棱长为1m的正方体木箱在地面上由起始位置沿直
线l不滑行地翻滚，翻滚一周后，原来与地面接触的面又落回到地面，则点A 所走路
1
径的长度为 ．( ❑√2)
【答案】 1+ πm
2
【分析】本题考查了弧长公式．解题的关键在于明确旋转路径．分别计算每次旋转的
路径，求和计算即可．
【详解】解：第一次是以B为旋转中心，BA 长❑√2m为半径旋转90°，
1
90π×❑√2 ❑√2π
此次点A 走过的路径是 = m．
1 180 2
第二次是以B 为旋转中心，B A 长1m为半径旋转90°，
1 1 1
π
此次走过的路径是 m．
2
第三次是以A为旋转中心，A A 长1m为半径旋转90°，
1
π
此次走过的路径是 m．
2
❑√2π π π ( ❑√2π)
点A 从起始位置翻滚一周后所经过的长度 + + = π+ m ．
1 2 2 2 2
∴
( ❑√2)
故答案为： 1+ πm．
2
3．时钟的时针长9cm，从上午8:00到中午12:00，这个时针的针尖经过的路程为 cm．
【答案】6π
【分析】本题考查了弧长的计算公式．先根据题意得到时针转过的角度为120°，再根
nπr
据弧长公式l= 进行计算即可求解．
180
【详解】解：时钟从上午8:00到中午12:00，转过的角度为30°×4=120°，
因为时钟的时针长9cm，
120π×9
所以时针的针尖经过的路程为 =6πcm．
180故答案为：6π
4．如图，已知三角板ABC,∠ACB=90°,∠A=60°, AC=2，将三角板绕直角顶点C
逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则B点转过的
路径长为 ．（结果保留π）
2❑√3
【答案】 π
3
【分析】本题考查了轨迹，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，弧长公式等
知识点，首先利用已知求出∠ABC=30°，解直角三角形求出BC，求出旋转角
∠BCB′=∠AC A′=60°，再根据弧长公式求出答案即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=2，∠A=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AB=2AC=4，
∴BC=❑√AB2−AC2=2❑√3，
∵将三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时
即停止转动，
∴CA=C A′，
∵∠A=60°，
∴△AC A′为等边三角形，
∴旋转角∠AC A′=60°，
即∠BCB′=∠AC A′=60°，
60π×2❑√3 2❑√3
∴B点转过的路径长为 = π，
180 3
2❑√3
故答案为： π．
3
5．如图，△OAB在平面直角坐标系中，其中O为坐标原点，A(−1,3)、B(−3,2)．将
△OAB绕着原点O顺时针方向旋转90°、得到△OA B （点A、B的对应点分别为
1 1A 、B ）．
1 1
(1)画出△OA B 并写出点A 坐标；
1 1 1
(2)求点B在旋转过程中经过的路径长（结果保留π或根号）．
【答案】(1)见解析，A (3,1)；
1
❑√13
(2) π．
2
【分析】本题考查了画旋转图形，根据坐标系写出点的坐标，求弧长，理解题意掌握
旋转的性质是解题的关键．
（1）根据题意找到A， B绕点O顺时针方向旋转90°的对应点A ,B ，顺次连接
1 1
O,A ,B ,△OA B 为所求作，根据坐标系写出点A 的坐标即可；
1 1 1 1 1
（2）勾股定理求得OB的长，进而根据弧长公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，△OA B 为所求作；A (3,1)．
1 1 1
（2）解：由勾股定理得：OB=❑√32+22=❑√13，
90×π×❑√13 ❑√13
∴点B在旋转过程中经过的路径长为： = π．
180 2
【题型5求扇形面积】1．如图，在△ABC中，∠BAC=70°，BC=6，以AB为直径的半圆O交AC于点D，
交BC于点E，连接OE，若D是A´E的中点，则阴影部分的面积为（ ）
π 5π 10π 5π
A． B． C． D．
3 6 9 2
【答案】D
【分析】本题考查了扇形的面积公式、等边对等角、三角形内角和定理，关键是求出扇
形BOE的圆心角和半径．
连接OD，由等边对等角可得∠ODA=∠A=70°，求出∠AOD=40°，再由D是
A´E的中点可得∠AOD=∠DOE=40°，从而得出∠BOE=100°，再根据OE=OB，
得出∠B=40°，从而得出∠C=70°，得出AB=BC，从而求出OB=3，再由扇形面
积公式计算即可得解．
【详解】解：如图：连接OD，
∵OA=OD，∠BAC=70°
，
∴∠ODA=∠OAD=70°，
∴∠AOD=180°−70°−70°=40°，
∵D是A´E的中点，
∴∠DOE=∠AOD=40°，
∴∠EOB=180°−40°−40°=100°，
∵OE=OB，
180°−100°
∴∠OBE=∠OEB= =40°，
2
∴∠C=180°−40°−70°=70°，
∴AB=BC=6，
∴OB=OA=3，100π×32 5π
∴S = = ．
扇形OBE 360 2
故选：D．
2．如图，已知圆的内接正六边形的半径为2，则扇形AOB的面积是（ ）
1 2 1
A． π B． π C． π D．π
3 3 2
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆与正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、扇形的面积
公式等知识点，灵活运用所学知识求解是解题的关键．
如图：连接OA，OB，根据圆与正多边形的性质可知△OAB是等边三角形，则
OA=OB=AB=2，∠AOB=60°，然后再运用扇形面积公式求解即可．
【详解】解：如图：连接OA，OB，
由题意得圆的内接正六边形的半径为2，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，∠AOB=60°，
60°×π×22 2
∴S = = π．
扇形AOB 360° 3
故选B．
3．若扇形半径为4，圆心角为120°，则该扇形的面积为 ．
16
【答案】 π
3nπr2
【分析】本题考查扇形面积公式，直接根据扇形面积公式S= 求解即可．
360
120π×42 16
【详解】解：由题意，该扇形的面积为 = π，
360 3
16
故答案为： π．
3
4．如图1是精美的红木木雕算盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部
分为算盘）．通过测量得到扇形AOB的圆心角为60°，OA=70cm,AC=20cm，则
算盘的面积为 cm2．（结果保留π）
【答案】400π
【分析】本题主要考查了扇形面积公式，掌握扇形面积公式是解题的关键．根据
S =S −S ，结合扇形面积公式求解即可．
阴影 扇形OAB 扇形OCD
【详解】解：∵OA=70cm,AC=20cm，
∴OC=OA−AC=50cm，
60π×702 60π×502 π
∴S =S −S = − = ×(702−502)=400πcm2 .
阴影 扇形OAB 扇形OCD 360 360 6
故答案为：400π．
【题型6求图形旋转后扫过的面积】
1．在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点A(−2,2)，B(4,2)，将线段AB绕点O旋
转一周，则线段AB扫过的面积为（ ）A．8π B．12π C．16π D．20π
【答案】C
【分析】本题考查圆环的面积，明确扫出的图形是圆环是解题的关键．
线段AB扫过的轨迹为圆环，求出OB、O到线段AB的距离，根据圆环的面积等于大圆
面积减去小圆面积即可求解．
【详解】解：如图，线段AB扫过的轨迹为圆环，其中大圆是以O为圆心、OB为半径
的圆，小圆是以O为圆心、OC为半径的圆；
连接OB，
∵B(4,2)，
∴大圆的半径R= OB=❑√42+22=2❑√5，
小圆的半径r即O到线段AB的距离OC，即r=2，
∴圆环的面积为π⋅R2−π⋅r2=π⋅(2❑√5) 2 −π⋅22=16π，
即线段AB扫过的面积为16π．
故选C．2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=❑√2，将△ABC绕点B顺时针旋转
90°得到△DBE，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留π）
π 1
【答案】 / π
2 2
【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理以及扇形的面积．根据“阴影部分的面积=扇
形ADB的面积-扇形CEB的面积”进行计算即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=❑√2，
∴AB=❑√(❑√2) 2+(❑√2) 2=2，
由图可知：阴影部分的面积=扇形ADB的面积+Rt△BDE的面积-扇形CEB的面积
−Rt△ABC的面积，
∵△ABC绕A点逆时针旋转90°后得到△DBE，
∴△ABC的面积=△DBE的面积，
∴阴影部分的面积=扇形ADB的面积-扇形CEB的面积
90 90
= π×22− π×(❑√2) 2
360 360
π
= ；
2
π
故答案为： ．
2
3．如图，直角△ABC的直角顶点为B，且AB=8，BC=15，AC=17，将此三角形绕着
顶点A逆时针旋转72度到直角AB′C′的位置，在旋转过程中，线段BC扫过的面积是
．（结果保留π）【答案】45π
【分析】本题考查扇形的面积，旋转变换，推出扫过的面积等于两个扇形的面积的差
是解题的关键．
线段BC所扫过的面积 =S +S −S −S =S −S ．
扇形BAB′ △AB′C′ 扇形CAC′ △ABC 扇形BAB′ 扇形CAC
【详解】解：线段BC所扫过的面积
=S +S −S −S
扇形BAB′ △AB′C′ 扇形CAC′ △ABC
=S −S
扇形BAB′ 扇形CAC
72⋅π⋅172 72⋅π⋅82
= −
360 360
=45π．
故答案为45π．
4．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△ABC的顶点A(−2,1)、B(−4,5)、
C(−5,2)．将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′（B′,C′分别与B,C对应）．(1)在图中画出旋转后的图形△AB′C′；
(2)在旋转过程中，求AC所扫过的图形的面积．（结果保留π）
【答案】(1)见解析；
5π
(2) ．
2
【分析】（1）根据旋转的性质，确定旋转后对应点的位置，从而画出旋转后的图形．
（2）先求出AC的长度，再根据扇形面积公式计算AC所扫过图形的面积．
本题主要考查了图形的旋转以及扇形面积的计算，熟练掌握旋转的性质和扇形面积公
式是解题的关键．
【详解】（1）解：分别作出点B、C绕点A顺时针旋转90°后的对应点B′、C′，连接
AB′、AC′、B′C′，△AB′C′即为所求．
如图，△AB′C′即为所求；
（2）解：∵A(−2,1)，C(−5,2)，
∴AC=❑√(−2+5) 2+(1−2) 2=❑√9+1=❑√10．
∵△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，
∴AC所扫过的图形是扇形，圆心角为90°，半径为AC的长度．
nπr2
∵扇形面积公式为 （n为圆心角度数，r为半径），
36090π×(❑√10) 2 90π×10 5π
∴AC所扫过图形的面积为 = = ．
360 360 2
5．如图，△ABC的顶点均在边长为1的小正方形组成的8×8的网格的格点上．
(1)画出将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的对应图形△AB C ；
1 1
(2)△ABC旋转过程中边AB“扫过”的面积为 ．
【答案】(1)见解析
13
(2) π
4
【分析】本题主要考查了旋转作图、勾股定理、扇形面积等知识点，理解旋转的性质、
扇形的面积公式成为解题的关键．
（1）先作出点B、C绕点顺时针旋转90度的对应点B 、C ，然后顺次连接即可解答；
1 1
（2）先根据小正方形的特点用勾股定理求出AB边长，再根据旋转的性质以及扇形的
面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图：△AB C 即为所求．
1 1
（2）解：由题意可得：AB=❑√32+22=❑√13，∠BAB =90°，
1
90°πAB2 90°π(❑√13) 2 13
所以△ABC旋转过程中边AB“扫过”的面积为 = = π．
360° 360° 4
13
故答案为： π．
4【题型7求弓形面积】
1．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=30∘，在直径AB上截取AD=AC，延
长CD交⊙O于点E，若CE=2，则图中阴影部分的面积为（ ）
π π
A．❑√2 B． −1 C．π−2 D．
2 2
【答案】B
【分析】如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，求出
∠ADC=∠ACD=75°，由圆周角定理得∠AOE=150°，得∠EOD=30°，由三
角形外角的性质得∠OEC=45°,∠FOC=90°，由垂径定理得EF=1，根据勾股定
理得OE=❑√2，根据S =S −S 求解即可．
阴影 扇形EOF △EOF
【详解】解：如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，
1 1
则EF= CE= ×2=1，
2 2
∵AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD，
∵∠A=30°，
1
∴∠ADC=∠ACD= ×(180°−30°)=75°，
2
∴∠AOE=2∠ACD=150°，
∴∠EOD=30°，又∠OED+∠EOD=∠ODC=75°，
∴∠OED=75°−∠EOD=75°−30°=45°，
∴∠EOF=∠OEF=45°，
∴OF=EF=1，
∴OE=❑√OF2+EF2=❑√22+22=❑√2，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OFE=45°，
∴∠EOC=90°，
90⋅π(❑√2) 2 1 π
∴S =S −S = − ×2×1= −1．
阴影 扇形EOF △EOF 360 2 2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面
积等知识，求出扇形的半径和圆心角是解答本题的关键．
2．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接
AD，若AB=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
π
A．π−2 B．π−4 C．4π−8 D． −2
2
【答案】A
【分析】连接OD，求得∠ACD=45°，得到∠AOD=90°，因为
1
OA=OD= AB=2，根据S =S −S ，于是得到问题的答案．
2 阴影 扇形AOD △AOD
【详解】解：连接OD，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD平分∠ACB，
1
∴∠ACD= ∠ACB=45°，
2
∴∠AOD=2∠ACD=90°，
∵AB=4，
1
∴OA=OD= AB=2，
2
90×π×22 1
∴S =S −S = − ×2×2=π−2，
阴影 扇形AOD △AOD 360 2
故选：A．
【点睛】此题重点考查圆周角定理、扇形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化
思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
3．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于
点D，连接OD、AD，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】4π−8
【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，熟练掌握圆的性
质，扇形面积公式是解题的关键．根据圆周角定理可得
1
BD=DC,∠ADB=90°,OD=OA=OB= AB=4，再根据三角形中位线定理可得
2
OD∥AC，从而得到∠AOD=180°−∠BAC=90°，即可求解．
【详解】解：∵AB=AC=8，∠BAC=90°，AB为⊙O的直径．1
∴BD=DC,∠ADB=90°,OD=OA=OB= AB=4，
2
∴OD∥AC，
∴∠AOD=180°−∠BAC=90°，
90°×π×42 1
∴阴影部分的面积为 − ×4×4=4π−8．
360° 2
故答案为：4π−8
4．如图，有一个半径为6cm的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的
位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 cm2 (结果保留π)．
【答案】(6π−9❑√3)/(−9❑√3+6π)
【分析】连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为
等边三角形，再根据扇形面积公式求出S =6π，再根据三角形面积公式求出
扇形AOB
S =9❑√3，进而求出阴影部分的面积．
△AOB
【详解】解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB于点C，
由题意可知：∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=AO=BO=6，60π×62
∴S = =6π，
扇形AOB 360
∵OC⊥AB，
∴∠OCA=90°，AC=3，
∴OC=3❑√3，
1 1
∴S = AB⋅OC= ×6×3❑√3=9❑√3(cm2)，
△AOB 2 2
∴阴影部分的面积为：(6π−9❑√3)cm2．
故答案为：(6π−9❑√3)．
【点睛】本题考查的是扇形的面积，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．
【题型8求圆锥侧面积】
1．若圆锥的底面半径长为6cm，母线长为8cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2
【答案】B
【分析】本题考查圆锥的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径长为6cm，母线长为8cm，
∴圆锥的侧面积是πrl=π×6×8=48π(cm2)，
故选：B．
2．某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．如图，扇形OAB是圆锥的侧
面展开图，点O，A，B在格点上．若每个小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的侧
面积是（ ）
A．12π B．9π C．3π D．6π
【答案】D
【分析】本题考查了圆锥的计算，根据勾股定理得OA=OB=2❑√2，根据勾股定理逆定理得出∠AOB=90°，再求出扇形面积即可．
【详解】解：由勾股定理得OA=OB=2❑√2，AB=4，
∴OA2+OB2=8+8=16，AB2=16，
∴OA2+ OB2=AB2，
∴∠AOB=90°，
270π×(2❑√2) 2
∴这个圆锥的侧面积是 =6π．
360
故选：D．
3．如图，圆锥的底面半径OB=5，高OA=12，该圆锥的侧面积是（ ）
A．60π B．85π C．65π D．90π
【答案】C
【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧
长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．先利用勾股定理计算出母线
长，然后利用扇形的面积计算它的侧面积即可．
【详解】解：圆锥的母线AC的长=❑√52+122=13，
1
∴这个圆锥的侧面积= ×2π×5×13=65π，
2
故选：C．
4．已知圆锥的底面半径为3，母线长为15，则该圆锥的侧面积为 ．
【答案】45π
【分析】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于
圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等
1
于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到 ×2πrl，然后代入计算即可．
2【详解】解：如图所示，
1
∴S= ×2πrl=π×3×15=45π．
2
故答案为：45π．
5．若圆锥的底面半径是5cm，母线长6cm，则圆锥的侧面积是 cm2．
【答案】30π
【分析】本题考查计算圆锥侧面积，因圆锥侧面展开图是扇形，掌握扇形面积计算方
法是关键．根据圆锥侧面积公式计算即可．
1
【详解】解：圆锥侧面积为：
×2π×5×6=30π(cm2
)，
2
故答案为：30π．
【题型9求圆锥底面半径】
1．若将半径为12cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是
cm．
【答案】6
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于
圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
设这个圆锥的底面圆半径是rcm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长
等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到
180×π×12
2πr= ，然后解方程即可．
180
【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径是rcm，
180×π×12
根据题意得2πr= ，
180
解得r=6，即这个圆锥的底面圆半径是6cm．
故答案为：6．
2．如图，如果将半径为9cm的圆形纸片剪去一个圆心角120°的扇形，用剩下的扇形围成
一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为 cm．
【答案】3
【分析】本题考查了圆锥的有关计算，弧长公式，解题的关键在于掌握圆锥的侧面展
开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
设这个圆锥的底面圆半径为xcm，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长
等于圆锥底面的周长建立方程，然后解方程即可．
【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为xcm，
(360−120)π×9
则有2πx=
360
2πx=6π
解得x=3，
那么这个圆锥的底面圆半径为3cm；
故答案为：3．
3．如图，将一个扇形围成圆锥的侧面，已知扇形面积为8π，扇形半径R=4，则圆锥的底
面圆半径r= ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，圆锥的侧面积等于母线长乘以圆周率乘
以底面圆半径，据此建立方程求解即可．【详解】解；由题意得，πr⋅4=8π，
解得r=2，
故答案为：2．
4．如图，小张同学用半径BC=24cm，∠BCD=90°的扇形包装纸恰好能设计成一个圆
锥状冰淇淋的侧面外包装，则这个圆锥状冰淇淋的底面半径OB= cm．
【答案】6
【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．根据圆锥的底面周长等于侧面展
开图的扇形弧长列出方程求解是解题的关键．
【详解】解：解：设圆锥底面圆的半径为rcm，
90π×24
则：2πr= ，
180
解得：r=6，
故答案为：6．
5．如图，正五边形ABCDE的边长为10，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，若图中阴
影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，正多边形内角，熟知圆锥底面圆的周长
即为其展开图中扇形的弧长是解题的关键．
先利用正多边形内角和定理求出∠BAE的度数，再根据圆锥底面圆的周长即为其展开
图中扇形的弧长进行求解即可．
【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径是r，180°×(5−2)
由题意得，∠BAE= =108°，
5
108×π×10
∴2πr= ，
180
∴r=3，
故答案为：3．
6．如图，从一块直径为6的圆形铁皮上剪出一个圆周角为60°的扇形，并将剪下来的扇形
围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ．
❑√3
【答案】
2
【分析】本题考查的是圆锥的计算，连接OA，过点O作OD⊥AC于D，根据垂径定
理得到AD=DC，求出AD，进而求出AC，再根据扇形弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接OA，过点O作OD⊥AC于D，
则AD=DC，
∵∠BAC=60°，
∴∠OAD=30°，
又OA=3，
3
∴OD= ，
2
3❑√3
∴AD=❑√OA2−OD2=
，
2
∴AC=3❑√3，
设圆锥的底面圆的半径为r，60π×3❑√3
则2πr= ，
180
❑√3
解得：r= ，
2
❑√3
故答案为： ．
2
【题型10求圆锥侧面展开图的圆心角】
1．如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥的母线长与底面圆半径的比为3:1，将该帽
子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为（ ）．
A．60° B．80° C．100° D．120°
【答案】D
【分析】本题考查的是求解圆锥展开图的扇形圆心角，设其侧面展开扇形的圆心角为
n度，底面半径为r，则母线长为3r，再利用底面圆周长等于展开图的弧长可得答案.
【详解】解：设其侧面展开扇形的圆心角为n度，底面半径为r，则母线长为3r，
nπ×3r
由题知，2πr= ，
180
解得n=120，
∴其侧面展开扇形的圆心角为120°．
故选：D
2．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（ ）
A．90° B．120° C．150° D．180°
【答案】D
【分析】本题考查求圆锥展开图的圆心角的度数，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
侧面展开图的扇形圆心角为n°．根据题意，圆锥的侧面积是底面积的2倍，可建立方
程求出母线长l．再利用扇形弧长等于底面周长，即可求出圆心角．
【详解】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，侧面展开图的扇形圆心角为n°，由题意，得：πrl=2⋅πr2
∴l=2r．
n
又∵ ⋅2πl=2πr，将l=2r代入得：
360
n
⋅2π⋅2r=2πr
360
∴n=180；
故选D．
3．如图，圆锥底面圆的半径OB的长为5cm，母线AB的长为12cm，则圆锥侧面展开图的
扇形的圆心角是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】D
【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于
圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角
是n°，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形
n×π×12
的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2π×5= ，然后解方程即可．
180
【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是n°，
n×π×12
根据题意得2π×5= ，
180
解得n=150，
即圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是150°．
故选：D．
4．如图，圆锥的高为4❑√2cm，母线的长为6cm，则该圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心
角为 ．【答案】120°/120度
【分析】本题考查圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图的弧长
等于圆锥的底面周长是解题的关键．先根据勾股定理求出圆锥的底面圆的半径，再根
据弧长公式即可得出答案．
【详解】解：∵圆锥的高为4❑√2cm，母线长为6cm，
∴圆锥的底面圆的半径r=❑√62−(4❑√2) 2=2(cm)，
nπ⋅R
由2πr= （r为圆锥底面半径，R为圆锥的母线长，n为圆锥侧面展开图对应
180
的扇形的圆心角）
nπ×6
得2π×2= ，
180
∴ n=120°，
故答案为：120°．
5．已知圆锥底面圆的周长为12πcm，母线长是20cm，它的侧面展开图的圆心角
°．
【答案】108
【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图得到的扇形圆心角度数，根据圆锥的底面
圆周长是其侧面展开图得到是的扇形弧长建立方程求解即可．
【详解】解；设它的侧面展开图的圆心角度数为n°，
20πn
由题意得， =12π，
180
∴n=108，
∴它的侧面展开图的圆心角度数为108°，
故答案为：108．
6．如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤
纸底面半径为2cm，母线长为6cm，则需要的扇形纸片的圆心角为 度．【答案】120
【分析】本题主要考查了弧长计算公式，圆锥侧面展开图，圆锥的母线长等于侧面展
开图的扇形半径，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，据此利用弧长公式建
立方程求解即可．
【详解】解：设需要的扇形纸片的圆心角为n°，
π⋅n⋅6
由题意得， =2×2π，
180
解得n=120，
∴需要的扇形纸片的圆心角为120度，
故答案为：120．
【题型11圆锥侧面上最短路径问题】
1．如图，圆锥底面圆直径BC长是6cm，母线AC长是6cm，一只蚂蚁在圆锥表面从B点
爬到AC的中点D，最短路径长是 cm．
【答案】3❑√5
【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求
出圆锥的侧展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧展开图的圆心角
大小，再结合勾股定理求解即可．
【详解】解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为n，
nπ×6
根据题意有： =π×6，
180
解得：n=180°，如图，∴AB⊥AC，且BD为最短路径．
1
∵AB=6cm，AD= AC=3cm，
2
∴BD=❑√62+32=3❑√5cm，
故最短路径长是3❑√5cm．
故答案为：3❑√5．
2．如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母
线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若∠AOA′=120°，OA=❑√3，则蚂蚁爬行的最
短距离是 ．
【答案】3
【分析】连接AA′，作OB⊥AA′于点B，根据题意，结合两点之间线段最短，得出
AA′即为蚂蚁爬行的最短距离，再根据三角形的内角和定理得出∠OAB=30°，再根
❑√3
据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半，得出OB= ，再根据勾股定理，
2
3
得出AB= ，再根据三线合一的性质，得出AB=A′B，再根据线段之间的数量关系，
2
得出AA′=3即可解答．
【详解】解：如图，连接AA′，作OB⊥AA′于点B，
∴AA′即为蚂蚁爬行的最短距离，
∵OA=OA′，∠AOA′=120°，∴∠OAB=30°，
在△OAB中，OB⊥AA′，∠OAB=30°，
1 1 ❑√3
∴OB= OA= ×❑√3= ，
2 2 2
∴AB=❑√OA2−OB2=❑
√
(❑√3) 2 −
(❑√3) 2
=
3
，
2 2
在△AOA′中，OA=OA′，OB⊥AA′，
∴AB=A′B，
3
∴AA′=2AB=2× =3．
2
∴蚂蚁爬行的最短距离为3．
故答案为：3
【点睛】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的
特征、勾股定理、三线合一的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形和直
角三角形是解题的关键．
3．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬
行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为 ．
【答案】2❑√5
【分析】将圆锥的侧面展开，是一个扇形，AC就是小虫爬行的最短路程，利用弧长与nπR
圆心角的公式，求展开图的圆心角l= ，R=4，l=2πr=2π,可求出n的大小，由于
180
n=90º，利用勾股定理可求AC的长即可．
【详解】把圆锥的侧面展开，弧长是2πr=2π，母线AS=4，
nπR 4πn
侧面展开的圆心角l= = =2π，n=90º即∠ASC=90º，
180 180
C为SD的中点SD=4，
线段AC是小虫爬行的最短距离，
在Rt△SAC中，由勾股定理的AC=❑√AS2+CS2=❑√42+22=2❑√5，
故答案为：2❑√5．
【点睛】本题考查圆锥侧面的最短路径问题，掌握弧长公式，会利用弧长与圆锥底面
圆的关系确定侧面展开图的圆心角，会用勾股定理求出最短路径是解题关键．
4．如图，圆锥母线的长l等于底面半径r的4倍，
（1）求它的侧面展开图的圆心角．
（2）当圆锥的底面半径r＝4cm时，求从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短
路径的长
【答案】（1）它的侧面展开图的圆心角为90°；（2）BB′＝8❑√2．
【分析】（1）设它的侧面展开图的圆心角为n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到
nπl
2πr＝ ，然后求出n的值即可；
180
（2）连接BB′，如图，根据两点之间线段对短得到BB′为从B点出发沿圆锥侧面绕一圈
回到B点的最短路径，然后利用△ABB′为等腰直角三角形得到BB′的长．
【详解】解：（1）设它的侧面展开图的圆心角为n°，
nπl
根据题意得2πr＝ ，
180
而l＝2r，
nπ⋅2r
所以2πr＝ ，解得n＝90，
180
所以它的侧面展开图的圆心角为90°；
（2）连接BB′，如图，
此时BB′为从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径，
∵r＝4，
∴l＝2r＝8，
∵∠BAB′＝90°，
∴△ABB′为等腰直角三角形，
∴BB′＝❑√2AB＝8❑√2．
【点睛】本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角和在圆
锥侧面求最短路径问题，解答关键是根据公式计算求出圆心角和将立体问题转化为平
面问题加以解决．
5．综合与实践
【主题】制作圆锥形生日帽
【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带．
【实践操作】步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角
为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．
【实践探索】在制作好的生日帽中，AB=8cm，l=8cm，C是PB的中点，现要从点
A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．
【答案】8❑√5cm
【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以
上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°，
进而根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵AB=8cm，
∴r=4cm．
1 nπl2
∵ ×2πr×l= ，
2 360
360r 360×4
∴n= = =180．
l 8
∴将圆锥侧面展开后得到圆心角为180∘的扇形，如下图所示：
1
由图可知，∠A′PC= ×180∘=90∘
．
2∵PA′=PB=8cm，
1
∴PC= PB=4cm．
2
在Rt△A′PC中，由勾股定理，得A′C= ❑√PA'2+PC2=❑√82+42=4❑√5(cm)．
∴彩带长度的最小值为2A′C=8❑√5cm．
1．如图，扇形ABC的半径长为2，∠ABC=90°，以AB为直径画半圆，取弧AB的中点
D，连接CD，则阴影部分面积为（ ）
5π 1 5π 5π 3 5π 1
A． − B． −1 C． − D． +
4 2 2 4 2 4 2
【答案】A
【分析】本题考查了扇形面积，过点D作DE⊥BC将CB的延长线于点E，由已知可
1
推出阴影部分面积等于扇形ABC面积加 个半圆ADB的面积，加以DE为边长的小正
2
nπr2
方形的面积，再减去△DCE面积，最后根据扇形面积公式S= 代入数据即可求
360
出阴影部分的面积．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC将CB的延长线于点E，取AB中点O，连接
OD，则∠E=90°，∵扇形ABC的半径长为2，
∴AB=BC=2，
又∵∠ABC=90°，点D为弧AB的中点，
∴OD=OB=1，∠DOB=∠ABC=90°，
∴四边形ODEB是正方形，
∴EB=OD=OB=DE=1，
∴EC=1+2=3，
1
∵阴影部分面积等于扇形ABC面积，加 个半圆ADB的面积，加正方形ODEB的面
2
积，再减去△DCE面积，
1
∴S =S + S +1×1−S
阴影 扇形ABC 2 扇形ADB △DCE
90°×π×22 1 180°×π×12 1
= + × +1− ×1×3
360° 2 360° 2
1 3
=π+ π+1−
4 2
5 1
= π− ．
4 2
故选：A．
2．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AB=2，点D为AB的中点，
以点D为圆心作圆心角为90°的扇形EDF．若点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分
的面积为（ ）1 π 1 π 1 π 1
A．π− B． − C． + D． +
4 4 2 4 2 2 2
【答案】B
【分析】连接DC，设DE、AC交于点H，DF、BC交于点G，利用ASA可证得
△BDG≌△CDH，从而这两个三角形面积相等，则四边形DHCG的面积等于
△BDC的面积，然后根据S =S −S 即可求解．
阴影 扇形DEF △BDC
【详解】解：如图，连接DC，设DE、AC交于点H，DF、BC交于点G，
∵△ABC是等腰三角形，且∠ACB=90°，CA=CB，AB=2，
1
∴∠A=∠B= (180°−∠ACB)=45°，
2
∵点D为AB的中点，CA=CB，
1
∴CD=DB= AB=1，∠CDB=∠CDA=90°，∠DCH=90°−∠A=45°，
2
∴∠B=∠DCH，
∵∠CDB=∠EDF=90°，
∴∠HDC+∠CDG=∠CDG+∠GDB=90°，
∴∠HDC=∠GDB，
在△BDG与△CDH中，
{
∠B=∠DCH
)
BD=CD ，
∠GDB=∠HDC
∴△BDG≌△CDH(ASA)，
∴S =S ，
△BDG △CDH
1 1
∴S =S +S =S +S =S = ×1×1= ，
四边形DHCG △CDH △CDG △BDG △CDG △BDC 2 2
90π×12 1 π 1
∴S =S −S =S −S = − = − ，
阴影 扇形DEF 四边形DHCG 扇形DEF △BDC 360 2 4 2
故选：B．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形的内角和定
理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，三线合一，直角三角形的两个锐角互余，
求扇形面积，求其他不规则图形的面积等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是
解题的关键．
3．7个半径均为r的硬币两两外切，如图所示，若将左边第一个硬币沿着剩下硬币的圆周
滚动一圈回到原来的位置（其余6个硬币固定不动），那么这个硬币在滚动时圆心移
动的路径长为（ ）
16 32
A． πr B．10πr C． πr D．12πr
3 3
【答案】C
【分析】本题主要考查了弧长的计算的应用等知识点，根据题意确定运动路径是由由
4个孤1与8个孤2组成，然后利用弧长公式计算即可得解，熟练掌握弧长的计算是解
决此题的关键．
【详解】如图，
该硬币圆心路径由4个孤1与8个孤2组成，
∴由圆半径相等得，AB=AC=BC=2r，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠CAB=60°，
∴∠DAC=120°，∠CBE=60°，
120 4 60 2
∴弧1的长= π×2r= πr，弧2的长= π×2r= πr，
180 3 180 3
4 2 32
∴总路径长= πr×4+ πr×8= πr，
3 3 3
故选：C．1
4．如图，四边形ABCD是边长为 的正方形，曲线DA B C D A ⋅⋅⋅是由多段90°的
2 1 1 1 1 2
圆心角所对的弧组成的．其中，D´A 的圆心为A，半径为AD；A´B 的圆心为B，半
1 1 1
径为BA ；B´C 的圆心为C，半径为CB ；C ´D 的圆心为D，半径为DC ，…，按
1 1 1 1 1 1 1
规律循环延伸曲线，A ´B 则的长是（ ）
2024 2024
4047π 2025π
A． B．2024π C． D．2023π
2 2
【答案】A
【分析】本题主要考查了图形类规律探索，弧长的计算，找到的圆心角所对的弧的半
径变化规律是解本题的关键．观察图形知曲线DA B C D A …是由多段90°的圆心
1 1 1 1 2
1
角所对的弧组成的．并且每一段弧的半径每次比前一段弧半径+ ，得出半径规律，再
2
计算弧长即可，
1
【详解】∵四边形ABCD是边长为 的正方形
2
3
由已知可得；A´B 的半径为1；B´C 的半径为 ，C ´D 的半径为2；D´A 的半径为
1 1 1 1 2 1 1 1 2
5
，A´B 的半径为3，⋯，
2 2 2
1
∴每一段弧的半径每次比前一段90°的圆心角所对的弧半径大 ， 360°半径增加2，
2
∴ A´B 的半径为3；A´B 的半径为5， A´B 的半径为7⋯；
2 2 3 3 4 4∴ A ´B 的半径为2×2024−1=4047，
2024 2024
90 4047π
∴ A ´B 的长是 ×2π×4047= ．
2024 2024 360 2
故选：A．
5．如图，在边长为1的正方形中，以各顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内
画弧，则图中阴影部分的面积为（ ）
1 4 π π
A．2− π B． π C． −1 D．1−
2 3 2 4
【答案】A
【分析】本题考查了扇形面积以及图形面积之间的转化．
图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图中阴影部分的面积=四个相同的图形1的
面积之和，图形1的面积=四边形的面积−两个全等的弓形面积，由此可计算出阴影部
分的面积．
【详解】解：图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图形1如下图所示：
图中阴影部分的面积=四个相同的图形1的面积之和，
图形1的面积=四边形的面积−两个全等的弓形面积，四边形和弓形如下图所示：1 1 ( ❑√3) 2−❑√2
四边形的面积=2× × × 1− = ，
2 2 2 2
弓形的面积=扇形的面积−三角形的面积，扇形和三角形如下图所示：
1 1 π ❑√2 ❑√2 π
扇形的面积= ×LR= × × × = ，
2 2 4 2 2 16
1 1 ❑√2 ❑√2
三角形面积= × × = ，
2 2 2 8
π ❑√2
弓形的面积= − ，
16 8
1 π
图形1的面积= − ，
2 8
1
图中阴影部分的面积=4×图形1的面积=2− π．
2
故选：A．
