文档内容
专题 24.7 正多边形和圆
目 录
一． 知识梳理与题型分类精析.............................................................................................................1
【知识点一】正多边形的概念.............................................................................................................1
【知识点二】正多边形的重要元素.....................................................................................................1
【题型1】正多边形的中心角..............................................................................................................2
【题型2】正多边形的边数..................................................................................................................2
【知识点三】正多边形的画法 边形是圆的外切正多边形................................................................3
【题型3】画正多边形并求值证明.......................................................................................................4
【知识点四】正多边形的性质.............................................................................................................5
【题型4】正多边形和圆综合..............................................................................................................6
二. 同步练习...................................................................................................................................6
【基础巩固（16题）】........................................................................................................................6
【能力提升（16题）】......................................................................................................................10
一．知识梳理与题型分类精析
【知识点一】正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
【要点提示】判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相
等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形（正方形是正多
边形）.
【知识点二】正多边形的重要元素
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正
多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算
（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；
（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；
（3）正ｎ边形每个外角的度数是.
【题型1】正多边形的中心角
【例题1】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种
仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心
为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，
则该正八边形的中心角为 度．
【变式1】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）正 边形的边数变为原来的 倍时，它的
每个内角增加 ，每个中心角减少 ．
【变式2】（2025·安徽合肥·三模）如图， 是 的内接正三角形，五边形 是 的
内接正五边形，若线段 恰好是 的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【题型2】正多边形的边数
【例题2】（福建省福州市九校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）如果一个正
多边形的中心角为 ，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1】（2025·山东聊城·三模）如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若 ，则该正多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．11
【变式2】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正n边形 中， ，
则 的值是 ．
【知识点三】正多边形的画法
边形是圆的外切正多边形.
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角（即等分顶点在圆心的
周角）可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形。
在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再
逐次平分各边所对的弧（即作∠AOB的平分线交于 E） 就可作出正八边形、正十六边形等，边数
逐次倍增的正多边形。
②正六、三、十二边形的作法。
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，
分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D
是⊙O的6等分点。
显然，A、E、F（或C、B、D）是⊙O的3等分点。同样，在图（3）中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。
要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
【题型3】画正多边形并求值证明
【例题3】（2025·山西运城·模拟预测）阅读与思考下面是一个同学的数学学习笔记，请仔细阅读
并完成相应的任务.
六等分圆原理
六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决使用直尺和圆规
将一个圆分成六等份的问题.这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述.例：如图，在
平面直角坐标系中，点 与原点 重合，点 在 轴的正半轴上且坐标为
操作步骤：
分别以点 ， 为圆心， 的长为半径作弧，两弧 轴上方部分 交于点 ；
以点 为圆心， 的长为半径作圆；
以 的长为半径，在 上顺次截取 ；
顺次连接 ， ， ， ， ，得到正六边形
任务；
（1）根据材料，请你用无刻度的直尺和圆规，在图中完成作图过程（ 保留作图痕迹，不写作法），
（2）将正六边形 绕点 顺时针旋转 ，直接写出此时点 所在位置的坐标．
【变式1】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）按如下步骤作四边形 ：
（1）画 ；
（2）以点 为圆心， 个单位长度为半径画弧，分别交 、 于点 、 ；
（3）分别以点 和点 为圆心， 个单位长度为半径画弧，两弧交于点 ；
（4）连接 、 、 ；
（5）以点 为圆心， 长为半径画弧交 于点 ：
则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【变式2】（2024九年级·河北·专题练习）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边
形ABCDE的部分尺规作图步骤如下：
①作出半径OF的中点H．
②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G．
③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E．
已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号）
【知识点四】正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中
心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比
等于相似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆【要点提示】（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多
边形是圆的外切正多边形.
【题型4】正多边形和圆综合
【例题4】（25-26九年级上·江苏南通·期中）历史上，对于圆周率 的研究是古代数学一个经久不
衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，
可见正多边形与圆联系非常紧密！
（1）如图，请在 中，作一个圆内接正六边形 ．（要求：尺规作图，不写作法，没有
作图痕迹不给分）
（2）若正六边形边长为 ，求该正六边形的边心距．
【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正八边形 的两条对角线 、
相交于点 ， 的度数为 ．
【变式2】（2025·安徽淮南·二模）已知O为边长为2的正六边形 的中心，P为正六边形
内一点，且 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
二. 同步练习
【基础巩固（16题）】
一、单选题
1．（24-25九年级上·全国·期末）若一个圆的内接正多边形的中心角为 ，则该正多边形的边数是
（ ）A．14 B．18 C．16 D．20
2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正六边形 内接于 ， ，则
的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知正六边形的半径为4，则它的面积是（ ）
A． B．12 C． D．24
4．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点 、 、 、 为一个正多边形的顶点，点 为正
多边形的中心，若 ，则这个正多边形的边数为（ ）
A．9 B．10 C．18 D．20
5．（2025·山东济宁·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是
现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点 ，根据八个方位将圆形八等分
（图2中的点 ，连结 ， 并延长交于点 ．则点 位于点 的北偏东的角度是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）苯（分子式为 ）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，
其示意图如图2，点O 为正六边形 的中心．若 ，则正六边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）已知正六边形的外接圆半径为3，则它的边长为 ．
8．（24-25八年级下·上海·期末）如果一个正多边形的内角和是 ，那么它的中心角是 度．
9．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）圆内接正三角形的边心距与半径的比是 ．
10．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图， 是正五边形 的外接圆，则 ．
11．（24-25九年级下·山东德州·阶段练习）如图，已知五边形 为正五边形，以点A为圆心、
以 的长为半径画弧，分别交 、 的延长线于点F、G．连接 、 ，则 等于
．
12．（24-25九年级下·浙江湖州·月考）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的
“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率
的方法．刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失
矣”．例如， 的半径为2，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计 的面积，，所以 的面积近似为 ，由此可得 的估计值为 ，若用圆内接
正十二边形估计 的面积，可得 的估计值为 ．
三、解答题
13．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）一个多边形的所有内角与它的外角和的和是 ．
（1）求该多边形的边数；
（2）若该多边形为正多边形，求中心角的度数．
14．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知正方形 ，以边 为直径作 ，点E是边
上一点（不与B，C重合），将正方形沿 折叠，使得点C恰好落在 上．
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若正方形的边长为2，求线段 的长．
15．（17-18九年级下·全国·课后作业）如图，正方形 的外接圆为 ，点P在劣弧 上
（不与点C重合）．
（1）求 的度数；
（2）若 的半径为8，求正方形 的边长．
16．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，正方形 内接于 ，E是 的中点，连
接 ．（1）求∠E的度数．
（2）求证： ．
（3）若 ，则点E到 的距离为 ．
【能力提升（16题）】
一、单选题
1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢
结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边
形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为 ，则这个正六边形的面积
是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·江西宜春·开学考试）如图，边长为1的正六边形 放置于平面直角坐
标系中，边 在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形 绕坐标原点O逆时
针旋转，每次旋转 ，那么经过2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）A． B． C． D．
3．（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分
别为 ， ，公共边为 ，其中一个正六边形的外接圆与 交于点A，若 ，则四边形
的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
4．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，正六边形 中，点 ， 分别为边 ， 上的
动点，若正六边形的面积为 ，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·江苏镇江·一模）如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的
两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们
用 个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则 的取值可以是（ ）A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18
6．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）按如下步骤作四边形 ：
（1）画 ；
（2）以点 为圆心， 个单位长度为半径画弧，分别交 、 于点 、 ；
（3）分别以点 和点 为圆心， 个单位长度为半径画弧，两弧交于点 ；
（4）连接 、 、 ；
（5）以点 为圆心， 长为半径画弧交 于点 ：
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（21-22九年级上·江苏苏州·阶段练习）圆的内接正方形边长为2，则该圆的内接正八边形的面
积为 ．
8．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）正多边形的一部分如图所示，点 为正多边形中心，若
，则该正多边形的边数为 ．
9．（2025·陕西西安·模拟预测）如图是一个正八边形，连接 ，则 的度数为 ．
10．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图将 的圆周6等分，则圆内接六边形 的面积
与内接四边形 的面积比值为 ．11．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 正五边形 内接 ，点F是 的中点，
连接 ， 交于点G， 则 的度数是 ．
12．（2024·广东·模拟预测）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、
实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的
横截面为正六边形 ，如图所示，若边心距 则这个正六边形的边长是
．
三、解答题
13．（2023·山西太原·二模）如图，正方形 内接于 ，连接 ，点F是 的中点，过点
D作 的切线与 的延长线相交于点G．
（1）试判断 与 的位置关系，并说明理由．
（2）求 的度数．
14．（23-24九年级上·吉林·期末）如图， 是 的直径， ， 是 的弦，，延长 到 ，连接 ， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求以 为边的圆内接正多边形的周长．
15．（2025·江西·模拟预测）如图，多边形 是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作
图（保留作图痕迹）．
（1）如图1，作一个以 为腰，顶角为 的等腰三角形；
（2）如图2，作一个底角为 的等腰三角形．
16．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）综合与实践
某数学小组，在计算当周长为固定值时，围成正三角形、正方形、正六边形、圆的面积．
【探究发现】
当周长为 时，计算回答下列问题：
（1）正方形的面积为________ ．
（2）如图，正 ，该正三角形的面积为多少？请写出计算过程．
（3）直接写出该周长下，正六边形和圆的面积．比较在同一周长下， 、 、 、
的大小关系．（参考数据： ， ）【应用结论】
张强同学假期看望爷爷奶奶，发现爷爷准备在空地上围一个简易羊圈，用来给怀胎和产仔的的母羊
单独喂食．爷爷买了 的护栏网，若不计损耗，围成的简易羊圈场地面积，是否能达到 ，
若能，该如何围？若不能，说明理由．
