文档内容
专题 24.7 正多边形和圆
目 录
一． 知识梳理与题型分类精析.............................................................................................................1
【知识点一】正多边形的概念.............................................................................................................1
【知识点二】正多边形的重要元素.....................................................................................................1
【题型1】正多边形的中心角..............................................................................................................2
【题型2】正多边形的边数..................................................................................................................4
【知识点三】正多边形的画法 边形是圆的外切正多边形................................................................6
【题型3】画正多边形并求值证明.......................................................................................................6
【知识点四】正多边形的性质...........................................................................................................10
【题型4】正多边形和圆综合............................................................................................................10
二. 同步练习.................................................................................................................................13
【基础巩固（16题）】......................................................................................................................13
【能力提升（16题）】......................................................................................................................25
一．知识梳理与题型分类精析
【知识点一】正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
【要点提示】判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相
等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形（正方形是正多
边形）.
【知识点二】正多边形的重要元素
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正
多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算
（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；
（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；
（3）正ｎ边形每个外角的度数是.
【题型1】正多边形的中心角
【例题1】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种
仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心
为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，
则该正八边形的中心角为 度．
【答案】45
【分析】本题主要考查了正多边形的中心角，解题的关键是掌握中心角公式．
根据正多边形的中心角公式进行求解即可．
解：根据题意得，
，
∴正八边形的中心角为 ，
故答案为： ．
【变式1】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）正 边形的边数变为原来的 倍时，它的
每个内角增加 ，每个中心角减少 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形外角、内角及中心角的计算方法，关键是知识的熟练应用．
分别计算出两个正多边形每个内角及中心角的度数，然后作差即可求得.
解：∵正 边形的每个外角为 ，
∴每个内角为 ，∵正 边形的每个外角为 ，
∴正 边形的每个内角为 ，
∴
∵正 边形的每个中心角为 ，
正 边形的每个中心角为 ，
∴
故答案是： ， ．
【变式2】（2025·安徽合肥·三模）如图， 是 的内接正三角形，五边形 是 的
内接正五边形，若线段 恰好是 的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形与圆，连接 、 、 、 ，由题意可得 ，
， ，由圆周角定理计算得出 ，即可得解，熟练掌握
以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：如图：连接 、 、 、 ，由题意可得： ， ， ，
∴ ，
∴若线段 恰好是 的一个内接正n边形的一条边，则n的值为 ，
故选：A．
【题型2】正多边形的边数
【例题2】（福建省福州市九校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）如果一个正
多边形的中心角为 ，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆；正多边形的中心角等于360°除以边数，因此已知中心角可求边
数．
解： 中心角 ，且中心角 ，
，
．
因此，边数为 ，对应选项D．
故选：D．
【变式1】（2025·山东聊城·三模）如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，
若 ，则该正多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．11
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理．连接 ，根据圆周角定理得到 ，于是
得到结论．解：如图，连接 ，
，
，
该正多边形的边数为 ，
故选C．
【变式2】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正n边形 中， ，
则 的值是 ．
【答案】12
【分析】本题考查正多边形和圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，即可求出n的值．
解：设点O为正n边形 外接圆的圆心，连接 ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
故答案为：12．
【知识点四】正多边形的画法
边形是圆的外切正多边形.
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角（即等分顶点在圆心的
周角）可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形。
在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再
逐次平分各边所对的弧（即作∠AOB的平分线交于 E） 就可作出正八边形、正十六边形等，边数
逐次倍增的正多边形。
②正六、三、十二边形的作法。
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，
分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D
是⊙O的6等分点。
显然，A、E、F（或C、B、D）是⊙O的3等分点。
同样，在图（3）中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。
要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
【题型3】画正多边形并求值证明
【例题3】（2025·山西运城·模拟预测）阅读与思考下面是一个同学的数学学习笔记，请仔细阅读
并完成相应的任务.
六等分圆原理
六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决使用直尺和圆规
将一个圆分成六等份的问题.这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述.例：如图，在
平面直角坐标系中，点 与原点 重合，点 在 轴的正半轴上且坐标为
操作步骤：
分别以点 ， 为圆心， 的长为半径作弧，两弧 轴上方部分 交于点 ；以点 为圆心， 的长为半径作圆；
以 的长为半径，在 上顺次截取 ；
顺次连接 ， ， ， ， ，得到正六边形
任务；
（1）根据材料，请你用无刻度的直尺和圆规，在图中完成作图过程（ 保留作图痕迹，不写作法），
（2）将正六边形 绕点 顺时针旋转 ，直接写出此时点 所在位置的坐标．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】本题考查作图-旋转变换，正多边形与圆，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
（1）根据题目要求作出图形即可；
（2）由作图可知 ，可知 ，利用勾股定理可求 ，根据正六边形的
性质可知 是等边三角形，并且 ，所以可得点 坐标为 ．
解：（1）解：如图，正六边形 即为所求；
（2）将正六边形 绕点 顺时针旋转 ，如下图所示，连接 ，由作图可知 ，
则 ，
，
点 的坐标为 ，
六边形 是正六边形，
，
是等边三角形， ，
，
正六边形 绕点 顺时针旋转 ，此时点 坐标为 ．
【变式1】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）按如下步骤作四边形 ：
（1）画 ；
（2）以点 为圆心， 个单位长度为半径画弧，分别交 、 于点 、 ；
（3）分别以点 和点 为圆心， 个单位长度为半径画弧，两弧交于点 ；
（4）连接 、 、 ；
（5）以点 为圆心， 长为半径画弧交 于点 ：
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的
关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形 是正方形， ，得到 ，
，再根据三角形的外角性质可得 ，最后根据平行线的性质即可
求解．
解：由作图可得， ， ， ，
四边形 是正方形， ，
， ，，
，
，
，
故选：A．
【变式2】（2024九年级·河北·专题练习）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边
形ABCDE的部分尺规作图步骤如下：
①作出半径OF的中点H．
②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G．
③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E．
已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH= ，由勾股定理得AH＝
，可求OG＝ ﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（ ﹣1）2＝10﹣2
即可．
解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点，
∴OH= ，
在Rt△OAH中，由勾股定理
∴AH＝ ，∵AH＝HG＝ ，
∴OG＝GH﹣OH＝ ﹣1，
在Rt△AOG中，由勾股定理得，
∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（ ﹣1）2＝10﹣2 ．
故答案为：10﹣2 ．
【点拨】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌
握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键．
【知识点四】正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中
心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比
等于相似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
【要点提示】（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多
边形是圆的外切正多边形.【题型4】正多边形和圆综合
【例题4】（25-26九年级上·江苏南通·期中）历史上，对于圆周率 的研究是古代数学一个经久不
衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，
可见正多边形与圆联系非常紧密！
（1）如图，请在 中，作一个圆内接正六边形 ．（要求：尺规作图，不写作法，没有
作图痕迹不给分）
（2）若正六边形边长为 ，求该正六边形的边心距．
【答案】（1）见分析；（2） ．
【分析】本题考查作图 复杂作图正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解
题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）在 上任意取一点 ，以 为圆心， 为半径把 六等分可得正六边形 ；
（2）连接 ， ，过点 作 于点 证明 是等边三角形，进而求出 ，根
据勾股定理即可求出 ，问题得解．
解：（1）解：如图，六边形 即为所求；
证明：由作图可得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴六边形 是圆内接正六边形；
（2）解：连接 ， ，过点 作 于点 ．∵六边形 是圆内接正六边形，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即正六边形的边心距为 ．
【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正八边形 的两条对角线 、
相交于点 ， 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查正多边形的内角问题，三角形的内角和定理，等边对等角，熟练掌握相关知识点，
是解题的关键．根据正多边形的一个内角的度数的计算方法，求出 的度数，等边对等角，
求出 的度数，根据三角形的内角和定理结合对顶角相等，即可得出结果．
解：∵正八边形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
【变式2】（2025·安徽淮南·二模）已知O为边长为2的正六边形 的中心，P为正六边形
内一点，且 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． 或 C． D． 或【答案】B
【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，
圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
根据 ，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，连接 ，连接 ，交
于点G，证明直线 是线段 的垂直平分线， ， 都是等边三角形，延长 交小圆
于点P，连接 ，易证 ，得到 ，此时， ；延长 交小圆于
点P，同理可得．
解：根据 ，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，
连接 ，连接 ，交 于点G，
∵O为边长为2的正六边形 的中心，
∴ ，
∴直线 是线段 的垂直平分线， ， 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
延长 交小圆于点P，连接 ，则 ，
在 和 中，
∴
∴ ，即 ，
此时， ；
延长 交小圆于点P，连接 ，同理可得，
此时， ；
故选：B．二. 同步练习
【基础巩固（16题）】
一、单选题
1．（24-25九年级上·全国·期末）若一个圆的内接正多边形的中心角为 ，则该正多边形的边数是
（ ）
A．14 B．18 C．16 D．20
【答案】D
【分析】本题主要考查正多边形和圆的有关知识．根据正多边形的中心角为 计算即可．
解：∵内接正多边形的中心角为 ，且 ，
∴该正多边形的边数是20．
故选：D．
2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正六边形 内接于 ， ，则
的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质，由正六边形 内接于 ，
则 ，从而证明 是等边三角形，然后根据等边三角形性质即可求解，
掌握知识点的应用是解题的关键．
解：∵正六边形 内接于 ，
∴ ，∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
故选： ．
3．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知正六边形的半径为4，则它的面积是（ ）
A． B．12 C． D．24
【答案】C
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形面积的计算，解决此题的关键把正六边形分成
六个全等的等边三角形；根据正六边形的性质把六边形分成6个等边三角形，进而得到答案；
解：如图所示；正六边形 ，其中心为G，连接点G与各顶点，过G作 于F，
由正六边形的性质可知：正六边形分成6个全等的等边三角形，
∵ ，
∴ ，
根据勾股定理可知： ，
∴
∴ ，
故选：C．
4．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点 、 、 、 为一个正多边形的顶点，点 为正
多边形的中心，若 ，则这个正多边形的边数为（ ）A．9 B．10 C．18 D．20
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．根据圆周角定理
得到 ，即可得到结论．
解： 、 、 、 为一个正多边形的顶点， 为正多边形的中心，
点 、 、 、 在以点 为圆心， 为半径的同一个圆上，
，
，
这个正多边形的边数 ，
故选：A．
5．（2025·山东济宁·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是
现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点 ，根据八个方位将圆形八等分
（图2中的点 ，连结 ， 并延长交于点 ．则点 位于点 的北偏东的角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆是解题的关键；连接 ，由题意易
得正八边形每段弧所对的圆心角为 ， ，然后问题可求解．
解：连接 ，如图所示：根据八个方位将圆形八等分（图2中的点 ，可知：正八边形每段弧所对的圆心角为
，
∴ ，
∴点 位于点 的北偏东的角度是 ；
故选：C．
6．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）苯（分子式为 ）的环状结构是由德国化学家凯库
勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，
其示意图如图2，点O 为正六边形 的中心．若 ，则正六边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
根据正六边形的性质和等边三角形的判定和性质即可得到结论．
解： 点O 为正六边形 的 中心，
，
，
为等边三角形，
，
过点 作 ，，
，
，
．
故选 ．
二、填空题
7．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）已知正六边形的外接圆半径为3，则它的边长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了正多边形和圆的综合，由题意得正六边形的外接圆半径与边长构成等边三角形，
据此即可求解．
解：如图所示：
∵正六边形的中心角为 ，即 ；
∵ ，
∴外接圆半径与边长构成等边三角形 ，
∴正六边形的边长为3．
故答案为：3
8．（24-25八年级下·上海·期末）如果一个正多边形的内角和是 ，那么它的中心角是 度．
【答案】72
【分析】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握正多边形中心角的求法是解题的关键．
根据正多边形的内角和求出其边数，即可求出这个正多边形的中心角的度数．
解：设这个正多边形的边数为n，则 ，解得 ，
所以正五边形的中心角是 ．
故答案为：72．
9．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）圆内接正三角形的边心距与半径的比是 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆内接正多边形，含 的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关
键是掌握圆内接正多边形的相关性质；先求出中心角，再根据等腰三角形的性质求出
，再根据含 的直角三角形的性质求解即可．
解：如图， 为 的内接正三角形，
过O作 ，连接 ，则 ，
为圆内接正三角形，
，
，
，
，即 ，
边心距与半径的比是 ，
故答案为： ．
10．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图， 是正五边形 的外接圆，则 ．
【答案】 / 度【分析】本题考查圆周角定理和正五边形的性质．由正五边形的性质得出 ，然
后根据圆周角定理即可求出答案．
解：连接 ，
∵ 是正五边形，
∴ ，
∴
故答案为： ．
11．（24-25九年级下·山东德州·阶段练习）如图，已知五边形 为正五边形，以点A为圆心、
以 的长为半径画弧，分别交 、 的延长线于点F、G．连接 、 ，则 等于
．
【答案】 /18度
【分析】本题考查圆周角的性质，正多边形的性质以及等腰三角形的性质．连接 ，根据正
五边形的性质可得 ， ，从而得到 ，
然后根据圆周角定理解答即可．
解：如图，连接 ，
∵五边形 为正五边形，∴ ， ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
12．（24-25九年级下·浙江湖州·月考）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的
“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率
的方法．刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失
矣”．例如， 的半径为2，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计 的面积，
，所以 的面积近似为 ，由此可得 的估计值为 ，若用圆内接
正十二边形估计 的面积，可得 的估计值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，直角三角形的性质，
先画出图形，并作 ，可求出中心角 ，再根据“含 直角三角形的性
质”得 ，然后求出 ，即可得正十二边形的面积，最后根据圆的面积公式得出答
案.
解： 是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，设 的半径是2，
过点A作 于点M，
在正十二边形中， ，
在 中， ，∴ ，
∴正十二边形的面积为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的近似值为3.
故答案为：3.
三、解答题
13．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）一个多边形的所有内角与它的外角和的和是 ．
（1）求该多边形的边数；
（2）若该多边形为正多边形，求中心角的度数．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，中心角的含义．
（1）设该多边形的边数为 ，根据多边形的内角和 与外角和 可得方程，解之即可.
（2）利用（1）的结论，可得该多边形是正七边形，然后利用中心角的含义：正 边形的每个中心
角都等于 ,进行计算即可解答．
解：（1）解：设该多边形的边数为 ，
由题意可得： ，
解得： ，
∴该多边形的边数为7.
（2）解：由（1）可得该多边形是正七边形，
中心角的度数 ．
14．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知正方形 ，以边 为直径作 ，点E是边
上一点（不与B，C重合），将正方形沿 折叠，使得点C恰好落在 上．（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若正方形的边长为2，求线段 的长．
【答案】（1） 为 的切线．理由见分析；（2）线段 的长为
【分析】（1）先根据正方形的性质得到 ，再根据
折叠的性质得到 ，所以 ，于是可判断
，所以 ，然后根据切线的判定方法可判断 为 的切
线；
（2）先由 得到点O、 、E共线，设 ，则 ，所以 ,
然后利用勾股定理得到 ，从而可解方程即可．
解：（1）解： 与 相切．
理由如下：
四边形 为正方形，
，
正方形沿 折叠，使得点 恰好落在 上，
，
，
在 和 中，
，
，
，
为 的半径，为 的切线：
（2）由（1）得 ，
，
点O、 、E共线，
设 ，则 ，
，
为 的直径，
，
，
在 中， ，
解得
即线段 的长为 ．
【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系：过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查
了正方形的性质、全等三角形的判定与性质和折叠的性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
15．（17-18九年级下·全国·课后作业）如图，正方形 的外接圆为 ，点P在劣弧 上
（不与点C重合）．
（1）求 的度数；
（2）若 的半径为8，求正方形 的边长．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理：
（1）连接 ，根据中心角的计算公式求出 的度数，圆周角定理，求出 的度数
即可；
（2）勾股定理求出 的长即可．解：（1）解：连接 ，
由题意得： ，
∴ ；
（2）由（1）知： ，
又∵ ，
∴ ，
即正方形的边长为： ．
16．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，正方形 内接于 ，E是 的中点，连
接 ．
（1）求∠E的度数．
（2）求证： ．
（3）若 ，则点E到 的距离为 ．
【答案】（1） ；（2）见分析；（3）
【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识．
（1）利用正方形和圆的关系，求得中心角 的度数，再利用圆周角定理即可求解；
（2）要证明 ，只要证明 即可；
（3）连接 并延长交 于点F，证明 是线段 的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解．解：（1）解：如图，连接 ， ，
∴
∵正方形 内接于 ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ．
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：连接 并延长交 于点F，
∵ ， ，∴ 是线段 的垂直平分线，
∵ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，即点E到 的距离为 ，
故答案为： ．
【能力提升（16题）】
一、单选题
1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢
结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边
形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为 ，则这个正六边形的面积
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题可先将正六边形分割成六个全等的正三角形，然后求出一个正三角形的面积，最后乘
以 得到正六边形的面积．本题主要考查了正六边形的性质以及正三角形面积的计算，熟练掌握正
六边形可以分割成六个全等的正三角形是解题的关键．
解：∵正六边形的半径为
∴正六边形可分成六个边长为 的正三角形
令其中一个正三角形为 ，过 作 于点 ，
∵ 是等边三角形，
∴
∵ ，∴
∴
∴一个正三角形的面积为
∴正六边形的面积为
故选：C．
2．（25-26九年级上·江西宜春·开学考试）如图，边长为1的正六边形 放置于平面直角坐
标系中，边 在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形 绕坐标原点O逆时
针旋转，每次旋转 ，那么经过2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形和圆，规律型，点的坐标，坐标与图形变化-旋转，根据正六边形的
性质及它在坐标系中的位置，求出点D的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出旋转2025
次后顶点D的坐标即可．
解：边长为1的正六边形 放置于平面直角坐标系中，连接 ，如图，
∴ ， ，∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由 中，由勾股定理得： ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点D的坐标为 ，
∵将正六边形 绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转 ，
∴4次一个循环，
∵ ，
∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标与第一次旋转后得到的 的坐标相同，
∵过点 作 轴于P，
∴ ，
由旋转可知 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点 在第二象限，
∴点 的坐标为 ，∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标为 ，
故选：D．
3．（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分
别为 ， ，公共边为 ，其中一个正六边形的外接圆与 交于点A，若 ，则四边形
的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理和菱形面积的计算，连接
，令 与 交于点 ，则 ， ， ，
，有 为等边三角形，即可求得 ， 和 ，
结合面积公式即可求得四边形 的面积．
解：如图，连接 ，令 与 交于点 ，
则 ， ， ， ，∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则四边形 为菱形，
∴四边形 的面积是 ，
故选：D．
4．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，正六边形 中，点 ， 分别为边 ， 上的
动点，若正六边形的面积为 ，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正六边形的性质，平行线间的距离相等．解题的关键在于正确作出辅助线确定
阴影部分面积．
如图，连接 ， ， ，交点为 ，设 与 的距离为 ，根据正六边形的性质以及平行线
间距离相等可得则 ，进而可求 ，同理可求 的值，计算求解
即可．
解：如图，连接 ， ， ，交点为 ，由正六边形 可得， 即 ， ，
设 与 的距离为 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴空白部分的面积为 ，
故选：B．
5．（2025·江苏镇江·一模）如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的
两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们
用 个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则 的取值可以是（ ）
A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．根据题意分三种情况
讨论，先求出正九边形的一个内角的度数为 ，再根据圆周角与 是否成整数倍来判断，即
可得边数．解：如图，
∵ ，
∴正九边形 的每一个内角都为 ，每一个内角都为 ，
当以 为重合边时，延长 交于点O，
则 ，
∴ ，
∵ ，不是整数倍，
∴不能形成一个圆环状；
当以 为重合边时，延长 交于点 ，
同理得到 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，是整数倍，
∴能形成一个圆环状，此时， ；
当以 为重合边时，延长 交于点 ，延长 交 延长线于点N，
同理得到 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，是整数倍，∴能形成一个圆环状，此时， ；
综上， 的取值可以是 ， ，
故选：B．
6．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）按如下步骤作四边形 ：
（1）画 ；
（2）以点 为圆心， 个单位长度为半径画弧，分别交 、 于点 、 ；
（3）分别以点 和点 为圆心， 个单位长度为半径画弧，两弧交于点 ；
（4）连接 、 、 ；
（5）以点 为圆心， 长为半径画弧交 于点 ：
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的
关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形 是正方形， ，得到 ，
，再根据三角形的外角性质可得 ，最后根据平行线的性质即可
求解．
解：由作图可得， ， ， ，
四边形 是正方形， ，
， ，
，
，
，
，
故选：A．
二、填空题
7．（21-22九年级上·江苏苏州·阶段练习）圆的内接正方形边长为2，则该圆的内接正八边形的面
积为 ．【答案】
【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，中心角等知识点，熟练掌握圆与正多边形相关性质
是解题的关键．
连接 ， 交 于点 ，先求出 ， ，
设 ，则 为等腰直角三角形，由勾股定理可求 ，由
求出 的面积，再乘以8即为圆的内接正八边形的面积．
解：如图，连接 ， 交 于点 ，
由题意得 ， ，
∵ ，
∴ ， ，
设 ，
在 中，由勾股定理得 ，
解得： （舍负），
∴ ，
∴圆的内接正八边形的面积为 ，
故答案为： ．
8．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）正多边形的一部分如图所示，点 为正多边形中心，若
，则该正多边形的边数为 ．【答案】9
【分析】本题考查了圆周角定理、圆与正多边形，熟练掌握圆与正多边形的性质是解题关键．连接
，先得出 是这个正多边形的外接圆，再根据圆周角定理可得 ，
由此即可得．
解：如图，连接 ，
∵点 为正多边形的中心，
∴ 是这个正多边形的外接圆，
由圆周角定理得： ，
∴该正多边形的边数为 ，
故答案为：9．
9．（2025·陕西西安·模拟预测）如图是一个正八边形，连接 ，则 的度数为 ．
【答案】 /45度
【分析】本题考查了正多边形与圆及圆周角性质，熟练掌握正多边形与圆及圆周角性质是解题的关
键．作正八边形的外接圆 ，连接 ，先求出正八边形每条边所对的圆心角度数为
，可得 ，再由圆周角性质可得出答案．
解：如图，作正八边形的外接圆 ，连接 ，∵正八边形每条边所对的圆心角度数为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
10．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图将 的圆周6等分，则圆内接六边形 的面积
与内接四边形 的面积比值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形与圆，矩形的判定与性质等知识，连接 、 、 、 、 ，
先判断六边形 是 的内接正六边形，则 ，根据中心角定义求出
，则可求出 ，故A、O、E三点共线，即 是 的直
径，同理可得 是 的直径，根据直径所对的圆周角是直角以及矩形的判定可得出四边形
是矩形，根据矩形的性质得出 ，即可求解．
解：连接 、 、 、 、 ，如图所示：
由题意知：A、B、C、E、F、G把 分成六等分，
∴六边形 是 的内接正六边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴A、O、E三点共线，即 是 的直径，
∴ ，同理 是 的直径，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴
∴圆内接六边形 的面积与内接四边形 的面积比值为 ，
故答案为： ．
11．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 正五边形 内接 ，点F是 的中点，
连接 ， 交于点G， 则 的度数是 ．
【答案】 /126度
【分析】此题考查了圆周角定理，正多边形和圆的性质，三角形内角和等知识，解题的关键是掌握
以上知识点．
如图所示，连接 ， ， ， ， ，首先根据多边形和圆的性质得到
，然后根据圆周角定理得到 ，
，最后利用三角形内角和定理求解即可．
解：如图所示，连接 ， ， ， ，
∵正五边形 内接 ，
∴∵点F是 的中点
∴
∴
∵
∴ ．
故答案为： ．
12．（2024·广东·模拟预测）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、
实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的
横截面为正六边形 ，如图所示，若边心距 则这个正六边形的边长是
．
【答案】2
【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明
确正六边形的特点．
连接 ， ，证明 为等边三角形，得出 ，根据勾股定理求出
，得出 即可．
解：连接 ， ，如图所示：六边形 是正六边形，
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，负值舍去，
∴ ，
∴这个正六边形的边长是 ，
故答案为：2．
三、解答题
13．（2023·山西太原·二模）如图，正方形 内接于 ，连接 ，点F是 的中点，过点
D作 的切线与 的延长线相交于点G．
（1）试判断 与 的位置关系，并说明理由．
（2）求 的度数．
【答案】（1） ,理由见分析；（2）
【分析】（1）连接 ，可得 ，根据切线的定义可得 ，即可得出结论
．
（2）根据正方形的性质可得， ， ，则 ．根据点F是 的中点，
可得 ．最后根据平行线的性质可得 ．
解：（1）解： ．理由：如图，连接 ，
∵正方形 内接于 ，
∴ ．
∵ 与 相切于点D，
∴ ，即 ．
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ．
∵点F是 的中点，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了圆的内接正多边形，平行线的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是掌
握圆内接正多边形的中心角 ，同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
以及平行线的判定和性质．
14．（23-24九年级上·吉林·期末）如图， 是 的直径， ， 是 的弦，
，延长 到 ，连接 ， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求以 为边的圆内接正多边形的周长．【答案】（1）见分析；（2）
【分析】（1）连接 ，根据等边对等角可得 ， ，根据
三角形的内角和定理求得 ，即可证明；
（2）根据 ，推得以 为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，根据直角三角形中，
所对的边是斜边的一半求得 ，即可求解．
解：（1）证明：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
又∵ 是半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ， ，
∴以 为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴以 为边的圆内接正六边形的周长为 ．
【点拨】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，圆内接正六边形的性质，含 角的直角三角形的性质，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键．
15．（2025·江西·模拟预测）如图，多边形 是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作
图（保留作图痕迹）．
（1）如图1，作一个以 为腰，顶角为 的等腰三角形；
（2）如图2，作一个底角为 的等腰三角形．
【答案】（1）画图见分析；（2）画图见分析
【分析】（1）连接 ， ，交于点 ，则 即为所求作的三角形；
（2）连接 ， ，交于点 ，连接 并延长交 于 ，则 或 即为所求；
解：（1）解：如图，连接 ， ，交于点 ，则 即为所求作的三角形；
理由：∵多边形 是正五边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 即为所求作的三角形；
（2）解：如图，连接 ， ，交于点 ，连接 并延长交 于 ，则 或 即为
所求；理由：由（1）可得： ， ，
∴ ，
∴ ，
同理： ，
∴ ， ，
∴ 是正五边形 的对称轴，
同理： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 即为所求作的等腰三角形，
同理可得： 即为所求作的等腰三角形．
【点拨】本题考查的是正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，
全等三角形的判定与性质，熟练的画图是解本题的关键．
16．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）综合与实践
某数学小组，在计算当周长为固定值时，围成正三角形、正方形、正六边形、圆的面积．
【探究发现】
当周长为 时，计算回答下列问题：
（1）正方形的面积为________ ．（2）如图，正 ，该正三角形的面积为多少？请写出计算过程．
（3）直接写出该周长下，正六边形和圆的面积．比较在同一周长下， 、 、 、
的大小关系．（参考数据： ， ）
【应用结论】
张强同学假期看望爷爷奶奶，发现爷爷准备在空地上围一个简易羊圈，用来给怀胎和产仔的的母羊
单独喂食．爷爷买了 的护栏网，若不计损耗，围成的简易羊圈场地面积，是否能达到 ，
若能，该如何围？若不能，说明理由．
【答案】[探究发现]（1） ；（2） 或 （3） ；[应用结
论]能，理由见分析
【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理的应用；
【探究发现】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解；
（2）根据等边三角形的性质，勾股定理求得高，进而根据面积公式，即可求解;
（3）根据圆的面积公式，以及正六边形的性质分别求解，进而比较大小，即可求解；
【应用结论】根据【探究发现】可得圆面积最大，进而计算周长为 的圆的面积，即可求解．
解：（1）∵正方形的周长为 ，
∴正方形的边长为 ，
∴正方形的面积为 ，
故答案为： ．
（2）解：作 于点 ，
是等边三角形，周长为 ，则 ，，
在 中，由勾股定理得： ，
；
（3）∵ 的周长为 ，
∴半径为 ，
∴面积为 ；
∵正六边形的周长为 ，则边长为 ，
∴正六边形的面积为 ；
∵ 、 、 、 ，
∴ ，
【应用结论】解：能，护栏网围成圆时，面积能达到 ；
根据【探究发现】可知，围成圆时，面积最大，
∵ 的周长为 ，∴半径为 ，
∴面积为 ；
∴尽量围成圆时，简易羊圈场地面积能达到 ．
