文档内容
第二十四章 圆
专题17 圆周角重难点题型专训（八大题型）
【题型目录】
题型一 圆周角的概念辨析
题型二 圆周角定理
题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等问题
题型四 半圆所对的圆周角是直角问题
题型五 90°的圆周角所对的弦是直径问题
题型六 已知圆内接四边形求角度
题型七 求四边形外接圆的直径
题型八 圆周角综合问题
【知识梳理】
知识点一、圆周角
1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径。
（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）
2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
相等，所对的弦的弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们
所对应的其余各组量分别相等．3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。
【经典例题一 圆周角的概念辨析】
1．（2020秋·浙江宁波·九年级校考期中）下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直
角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内
接四边形的对角互补．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可．
【详解】解：（1）任意三点确定一个圆；错误，应该是不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
（2）直径所对的圆周角是直角；正确；
（3）平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，直径与直径互相平分，但不一定互相垂直；
（4）相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；
（5）圆内接四边形对角互补；正确；
故选：B．
【点睛】本题考查确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解
题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于
点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是( )A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC
【答案】C
【分析】直接运用圆周角的定义进行判断即可.
【详解】解：弧AE所对的圆周角是：∠ABE或∠ACE
故选：C
【点睛】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键.
3．（2023·湖南娄底·校考一模）已知点 、 、 、 在圆 上，且 切圆 于点 ， 于点 ，
对于下列说法：①圆上 是优弧；②圆上 是优弧；③线段 是弦；④ 和 都是圆周角；
⑤ 是圆心角，其中正确的说法是 ．
【答案】①②③⑤
【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可
【详解】解： ， 都是大于半圆的弧，故①②正确，
在圆上，则线段 是弦；故③正确；
都在圆上，
是圆周角
而 点不在圆上，则 不是圆周角
故④不正确；
是圆心， 在圆上
是圆心角
故⑤正确
故正确的有：①②③⑤
故答案为：①②③⑤
【点睛】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优
弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线 经过 的圆心 ，且与 交于 两点，点 在
上，且 ，点 是直线 上的一个动点 (与圆心 不重合)， 直线 与 相交于另一点
，如果 ，则 .
【答案】40°、20°、100°
【分析】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段 上，点P在 延
长线上，点P在 的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．
【详解】解：①根据题意，画出图1，
在 中， ，
∴ ，
在 中，
∴
又∵
∴在 中，
即
整理得，
∴ ．
②当P在线段 的延长线上，如图2
在 中，
把①②代入③得 则
∴
③当P在线段 的反向延长线上，如图3，①②③④联立得
故答案为：40°、20°、100°．
【点睛】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，画出图形，进行分类讨论是解题的关
键．
5．（2023·甘肃酒泉·统考三模）把下面的语句还原成图形：
作图区域：
(1) 的半径为1cm， 是 的一条弦（ 不经过M）， 、 分别是劣弧 所对应的
圆心角和圆周角；
(2) 是 中的一条弧，且 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）画非直径的弦 ，在优弧 上取点C，连接 ， ，即可解答；
（2）在 上取一点D，以 为半径画弧，交 于点E，即可．
【详解】（1）解：如图， 和 为所作；
作图区域：（2）解：如图，在 上取一点D，以 为半径画弧，交 于点E，根据等弦对等弧，可得 ，
即为所作，
作图区域：
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解
乘基本作图，逐步操作即可．
6．（2023秋·河南信阳·九年级统考期末）（1）【学习心得】
小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以
使问题变得非常容易．
例如：如图1，在 ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是 ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．
若以点A为圆心，△AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙△A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆
周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝27°，求∠BAC的数．
（3）【问题拓展】
如图3，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG
于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 ．【答案】（1）45；（2）27°；（3）2 ﹣2
【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC=∠BAC，
（3）根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明
ABE和 DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明 ADG和 CDG全等，
△根据全等△三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°△，取AB的△中点O，连接
OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH= AB=2，利用勾股定理列式求出OD，
然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
【详解】解：（1）如图1，
∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝ ∠BAC＝45°，
故答案是：45；
（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝27°，
∴∠BAC＝27°，
（3）如图3，
在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在 ABE和 DCF中，
△ △
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在 ADG和 CDG中，
△ △
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝ AB＝2，
在Rt AOD中，OD＝ ＝ ＝2 ，
△
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝2 ﹣2．
故答案为：2 ﹣2．
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，
熟练掌握圆的性质及正方形的性质是解题的关键．
【经典例题二 圆周角定理】
1．（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图，点A，B，C，D在 上， ，B是弧 的
中点，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，如图，利用圆心角、弧、弦的关系，然后根据圆周角定理求解．
【详解】解：连接 ，如图所示，∵B是弧 的中点，
即 ，
∴ ，
∵ 和 都对 ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：熟练掌握圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理是解决问题的关键．
2．（2023春·陕西榆林·九年级校考期中）如图， 是 的外接圆，且 是 的直径，点D在
上，连接 、 ，且 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 得出 ，根据 是 的直径，得出 ，最后根据
直角三角形两锐角互余，即可解答．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的直径，∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角
的一半，直径所对的圆周角是直角．
3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图， 是 的一条弦， ，垂足为点C，
交 于点D，点E在 上， ， ，则弦 的长是 ．
【答案】
【分析】根据垂径定理得到 ，结合 得到 ，结合三角函数直接求解即可得
到答案；
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理及勾股定理，解题的关键是得到 ．4．（2023秋·九年级课时练习）如图，已知 是半圆 上的三等分点，连接 和
相交于点 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④四边形 是菱形．其中
正确的有 （填序号）．
【答案】①②③④
【分析】①首先根据点C，D是半圆 上的三等分，求出 的度数；然后根据圆周角定理，求出
的度数即可；②根据三角形的内角和定理，求出 ，即可判断出 ；③根据垂径
定理判断出E是 的中点，然后得到 是 的中位线，即可判断出 ，④先证明 ，
再证明 是等边三角形，得到 ，根据菱形的判定方法可判断四边形 是菱形.
【详解】解：连接 ，
∵已知 是半圆 上的三等分点，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∴ ，
∴ ，故②正确；
∴ ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，故③正确；
∵ 是半圆O的直径，
∴ ，又 ，∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，又 ，
∴四边形 是菱形．故④正确，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦三者的关系，菱形的判定和性质，等边
三角形的判定，三角形的内角和定义及中位线性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属
于中考常考题型．
5．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图1，已知 为 的直径，C为 上一点， 于E，D
为弧 的中点，连接 ，分别交 于点F和点G．
(1)求证： ；
(2)如图2，若 ，连接 ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接 ，根据直径所对的圆周角是直角可得 ，从而可得∠CAG+∠AGC＝90°，
根据垂直定义可得 ，从而可得 ，然后根据已知可得 ，从而可得
，进而可得 ，最后根据对顶角相等可得 ，从而可得
进而根据等角对等边即可解答；
（2）连接 ，利用（1）的结论，再根据等角的补角相等可得 ，然后根据 证明
，从而可得 ，进而可得 ，最后根据等弧所对的圆周角相等可得，从而可得 ，进而利用等腰三角形的三线合一性质即可解答．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵D为弧 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅
助线是解题的关键．
6．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图， 是 的一条弦， ，垂足为点 ，交
于点 ，点 在 上．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2) 的长为
【分析】（1）根据垂径定理的推论可得 ，再根据同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半求
解即可；
（2）利用勾股定理列式求出 ，根据垂径定理的推论可得 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵ 是 的一条弦， ，∴ ，
又∵ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ 是 的一条弦， ，
∴ ，
则 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，解题的关键是明确在同圆或等圆中，同弧或等弧所对
的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【经典例题三 同弧或等弧所对的圆周角相等问题】
1．（2021春·福建南平·九年级统考阶段练习）如图， 是 的内接三角形， ，连接 并
延长交 于点B，连接 ，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先证明 ，可得 ，证明 ，再利用
三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ；
故选A．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，熟记圆周角定理是解本题的关键．
2．（2022·北京西城·校考模拟预测）如图， 内接于 ， 是 的直径，若 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同弧所对圆周角相等得到 ，根据直径所对的圆周角是直角得到 ，
根据直角三角形两锐角互余，得到 ．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理及推论．熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，直角三角形两锐角互余，是解决问题的关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 内接于 ， 是 的直径，点D是 上一点，
，则 °．
【答案】35【分析】根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解： 是 的直径，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了考查了圆周角定理、三角形的外接圆与外心，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
4．（2023·云南德宏·统考一模）已知：如图， 是 的直径， 垂直弦 于点 ，则在不添加辅助
线的情况下，图中与 相等的角是 （写出一个即可）．
【答案】 或 或
【分析】利用垂径定理和圆周角定理即可求解．
【详解】∵ ， 是 直径，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】此题考查了垂径定理和圆周角定理，解题的关键是熟练掌握以上定理的应用．
5．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，四边形 内接于 ， ．
求证：
(1) ；
(2) 是 的直径．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接 ，根据圆周角定理得 ，再由 可计算出 ，则
，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到 ；
（2）根据三角形内角和定理可计算出 ，则根据圆周角的推理即可得到 为
的直径．
【详解】（1）证明：连接 ，如图，
，
而 ，
，
，
，
；
（2） ， ，
，
为 的直径．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径．
6．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）已知： 的两条弦 ， 相交于点M，且 ．(1)如图1，连接 .求证： ．
(2)如图2.若 ．在 上取一点E，使 ， 交 于点F，连接 、 ．判断 与
是否相等，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2) 与 相等．理由见解析
【分析】（1）根据 得 ，即 ， ，得 ，即可得；
（2）连接 ，根据 得 ，根据 得 ，即 ，根据
，即可得．
【详解】（1）证明： ，
即 ，
，
，
．
（2） 与 相等．理由如下：
解：连接 ，如图，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握圆周角定理，垂经定理，角、弧、弦的关系．
【经典例题四 半圆所对的圆周角是直角问题】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ， 是 的外接圆， 是
的直径，点 在 上，连接 交 于点 ，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 ，根据等腰三角形的性质得到 ，根据平角的定义得到
，根据圆周角定理得到 ，求得 ，根据圆周角定理得到
，根据三角形内角和定理即可得到结论．
【详解】解：连接 ，， ，
， ，
是 的直径，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是
解题的关键．
2．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，点A，B，C在 上， ，连接 并延长，交 于
点 ，连接 ， 若 ，下列结论不正确的是（ ）
A． B．直线 垂直平分 C． D．
【答案】D
【分析】根据圆周角定理可得 ，从而根据三角形内角和求出 ，A选项即可判断；根据平行
的性质及圆周角定理设 ，则 ，根据三角形内角和即可求出 的值，从而求出
， ， ，从而可判断C、D选项；延长 交 于点 ，根据对顶角相等可得到 ，从而求出 ，再结合垂径定理可判断出 与 的关系，即可判断出选项B．
【详解】解：如图，延长 交 于点 ，
是 的直径，
，
，
故A选项正确，不符合题意；
，
设 ，则 ，
，
，
故D选项不正确，符合题意；
，
；
故C选项正确，不符合题意；
根据对顶角相等可得： ，
，
，
是圆心，
，
直线 垂直平分 ；
故B选项正确，不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理及垂径定理，涉及到垂直平分线的定义、三角形内角和等，解题关键是熟练运用圆周角定理和垂径定理．
3．（2023·江苏·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 的内接三角形．若 ，
，则 的直径 ．
【答案】
【分析】连接 ， ，根据在同圆中直径所对的圆周角是 可得 ，根据圆周角定理可得
，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得 ，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接 ， ，如图：
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 中， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是 ，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股
定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，已知 的直径 ， 为 上一点（不与 、重合），连接 、 ．弦 平分 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，
连接 ，若 ，则 的度数为 ．
【答案】67.5
【分析】 交 于 ，如图，根据圆周角定理得到 ，则 ，再证明 ，
，则可判断 ，所以 ，接着证明 ，则根据垂
径定理得到 ，然后根据圆周角定理得到 ，最后利用互余可计算出 的度数．
【详解】解： 交 于 ，如图，
的直径 ，
，
弦 平分 ，
，
，
，
， ，
在 和 中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：67.5．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
5．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知：如图，点E是边长为2的正方形 中 边上一
点（不与A、B重合），以 为直径的 分别交 和 于点F、M， 于点H．
(1)求证：
(2)猜想 与 的大小关系，并说明理由．
(3)当 时，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
(3)
【分析】（1）连接 ，根据正方形性质得出 ，根据直径所对圆周角为直角得出，证明四边形 为矩形，即可求证 ；
（2）根据题意可得 ， ，在 中， ，则 ，根据勾股
定理得出 ， ，得出 ，则 ；
（3）连接 ，证明 ，得出 ，则 ，根据三线合一得出
，即可用勾股定理求出 ，根据 ，求出
，在 中，用勾股定理求出 ，最后根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：连接 ，
∵四边形 为正方形，，
∴ ，
∵ 为 直径，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ；
（2）解： ，理由如下，
∵四边形 是正方形， ，
∴ ， ，
∵在 中， ，
∴ ，在 中，根据勾股定理可得： ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
∴ ，即 ；
（3）解：连接 ，
∵ 为 直径，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
则 ，
由（1）可得 ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
则 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
在 中， ，
∴ ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等
三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，并熟练运用，正确作出辅助线，构造矩形和
全等三角形．
6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点B，C为 上两定点，点A为 上一动点，过点B作
，交 于点E，点D为射线 上一动点，且 平分 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ，试判断四边形 的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形 是矩形，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义，可得 ，再根据圆周角定理可得 ，再根据
平行线的性质可得 ，进而得到 ，最后再根据内错角相等两直线平行，即可证明
结论；
（2）由角平分线的定义，可得 ，再根据等腰三角形三线合一的性质，可得
，即 ，进而得到 ，再根据矩形的判定定理，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：四边形 是矩形，理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 为 的直径．
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、矩形的判定定理，灵活运
用相关知识是解答本题的关键．
【经典例题五 90°的圆周角所对的弦是直径问题】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图， 是等边三角形， ，点 是 内一点，且
，连接 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质得到 ， ，继而推出 ，可得点P在以
为直径的圆上，得知当C，D，P三点共线时， 最小，再利用等边三角形的性质和勾股定理求解即
可．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
整理得： ，
则 ，
∴点P在以 为直径的圆上，
如图，设 的中点为D，连接 ，即 长度不变，
∴ ，
∴当C，D，P三点共线时， 最小，此时 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ 的最小值为 ，
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系的应用，解题的关键是
根据已知条件推出 ，得到点P在以 为直径的圆上．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形 中， ，点 为边 上一个动点，连接，点 为 上一点，且 ，在 上截取点 使 ，交 于点 ，连接 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图所示，过点 作 于 ，当点 运动时，点 在以 为直径的半圆上，即点 在圆
心为 的半圆上运动，当点 运动到 连线上时， 的值最小，根据题意可证
，由此可证 是直角三角形，可得点 在以 为直径的半圆上运动，可求
出半圆的半径，在 中，可求出 的长，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于 ，连接 ，如图所示：
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，则 ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 是直角三角形，
∴当点P运动时，点 在以 为直径的半圆上运动，设圆心为 ，当点M运动到 连线上时， 的
值最小，
∵ ，
∴ ，则半圆的半径 ，
在 中， ，
当点 运动到 连线上时， 的值最小，
∴ 的最小值为 ，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查正方形与圆的结合求最值，理解动点的运动规律，正方形的性质，全等三角形的判
定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．
3．（2023·重庆·九年级统考学业考试）如图，四边形 是矩形， ，点 是平面内的一
个动点，连接 ，在运动的过程中， 始终垂直于 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连
接 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】先通过 ，则可判断点 在 为直径的圆上运动，将 绕点 顺时针旋转 至 ，
设 的中点为 ，则点 在 为直径的圆上运动，当点 ， ， 三点共线时， 有最大值，最
后利用勾股定理即可求解．【详解】如图，
∵ ，
∴ ，
∴点 在 为直径的圆上运动，
将 绕点 顺时针旋转 至 ，设 的中点为 ，
又∵ ，
∴由题意可知点 在 为直径的圆上运动，
当点 ， ， 三点共线时， 有最大值，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ， 为 中点，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ 的最大值为： ．
【点睛】此题考查了旋转变换和圆有关的概念，解题的关键是正确理解点 ， 的运动路径是圆．
4．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形 中， ，
点E在线段 上运动，点F在线段 上， ，则线段 的最小值为 ．【答案】 /
【分析】设 的中点为O，以 为直径画圆，连接 ，设 与 的交点为点 ，证明 ，
可知点F在以 为直径的半圆上运动，当点F运动到 与 的交点 时，线段 有最小值，据此求
解即可．
【详解】解：设 的中点为O，以 为直径画圆，连接 ，设 与 的交点为点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点F在以 为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到 与 的交点 时，线段 有最小值，
∵ ，
∴ ，，
∴ ，的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动
轨迹是解题的关键．
5．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）正方形 边长为4，点E为平面内一点，以 为腰作等腰
直角 ，其中 ， 可绕点C旋转．
(1)如图1，连接 ， ．
①求证： ；
②判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)设直线 ， 交于点P，连接 ，求 的最大值．
【答案】(1)①证明见解析，② ，理由见解析
(2)
【分析】（1）①由正方形的性质得出 ， ，证出 ，可证明
；
②延长 交 于点 ，交 于点 ，由全等三角形的性质可得出结论；
（2）连接 ，由勾股定理求出 ，取 中点 ，连接 ，由直角三角形的性质得出
，则点 在以 为直径的 上，可得出 ．
【详解】（1）①证明： 四边形 为正方形，
， ，
为等腰直角三角形，
， ，，
即 ，
在 和 中，
，
；
②解： ，理由如下：
延长 交 于点 ，交 于点 ，
，
，
在 中， ，
在 中， ，
又 ，
，
，
；
（2）解：连接 ，
在 中， ，
由（1）得 ，
取 中点 ，连接 ，则有 ，
点 在以 为直径的 上，
，
∵正方形 ，
∴ ，
∴点A在以 为直径的 上，点 在以 为直径的 上，
∴当 在同一直线上时， 有最大值，
的最大值为 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定
理，正方形的性质，灵活应用这些性质是解决问题的关键．
6．（2023·北京·统考中考真题）如图，圆内接四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分
， ．
(1)求证 平分 ，并求 的大小；
(2)过点 作 交 的延长线于点 ．若 ， ，求此圆半径的长．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】（1）根据已知得出 ，则 ，即可证明 平分 ，进而根据 平分，得出 ，推出 ，得出 是直径，进而可得 ；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出， ， 是等边三角形，进而得出
，由 是直径，根据含 度角的直角三角形的性质可得 ，在
中，根据含 度角的直角三角形的性质求得 的长，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
∴ ，即 平分 ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是直径，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，则 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，则 ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ 是直径，
∴ ，则 ．
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，则 ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是直径，
∴此圆半径的长为 ．
【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含 度角的
直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【经典例题六 已知圆内接四边形求角度】
【例6】（2023·湖北黄冈·校考二模）如图，四边形 内接于 ，连接 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圆内接四边形的性质得到 ，由圆周角定理得到
，再利用等腰三角形的判定和性质即可得到答案．
【详解】解：∵四边形 内接于 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，故选：B
【点睛】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周
角定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）如图， 内接于 ， ，点D是 上一点，连接OA，
AD，BD，若 ，则 的度数为（ ）
A．110° B．140° C．120° D．130°
【答案】A
【分析】延长OA交于 点 ，由 ，OA过圆心得 ，从而得到
，再根据圆内接四边形的性质即可得到 的度数．
【详解】解：延长OA交于 点 ，
，OA过圆心
∵
∴
∵
∴四边形 是 的内接四边形，
∵∴ ．
∴故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆的内接四边形的性质，熟练掌握垂径定理，圆的内接四边形的性质是解
题的关键．
2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，E为正方形 的边 上一点（不与 重合），将
沿直线 翻折到 ，延长 交 于点G，点O是过B、E、G三点的圆劣弧 上一点，则
．
【答案】135
【分析】连接 ，由折叠的性质得出 ， ， ，由正方形的性质得出
， ，证明 ，证出 ，求出
，则可得出答案．
【详解】解：连接 ，
∵将 沿直线 翻折到 ，
∴ ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为圆内接四边形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练
掌握以上知识点是解题的关键．
3．（2023·江苏南京·校考三模）如图，四边形 内接于 ，它的3个外角 的
度数之比为1∶2∶4，则
【答案】 / 度
【分析】设 的度数为 ，根据多边形外角和为 可得 的外角为
，由圆内接四边形的性质可得 ，得到 ，求得
，即可得到答案．
【详解】解：∵3个外角 的度数之比为1∶2∶4，
∴可设 的度数为 ，
则 的外角为 ，
∵四边形 内接于 ，
∴
∵ ，
∴ ，∴ ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、多边形的外角和定理、解一元一次方程等知识，熟练掌握圆内
接四边形对角互补是解题的关键．
4．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在 中，点D为 边上的一个动点，以 为直径的 交
于点E，过点C作 ，交 于点F．连接 ，若 是 的切线．
(1)求证： ；
(2)若 ，求直径 的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据平行线的性质、直径所对圆周角等于直角即可证明结论；
（2）如图：连接 ，并延长和 相交于G，由全等三角形的性质及勾股定理即可解答．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：如图：连接 ，并延长和 相交于G，
∵ ，
∴ ，∵四边形 为圆内接四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、平
行线的性质、圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性
质是解题的关键．
5．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，四边形 内接于 ，点C是弧 的中点，延长 到点E，
使得 ，连结 ．(1)求证： ．
(2)若 ， ， ，求 的长
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到 ，根据全等三角形的性质得到 ；
（2）过点C作 ，根据已知条件得到 ，求得 ，根
据直角三角形的性质得到结论．
【详解】（1）证明： ，
，
四边形 内接于 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解：过点C作 ，由（1）得
，
由（1）得
∴ 为等腰三角形
∵
∴
∴
∵
，
∴
有勾股定理可得：
解得：
在 中
∴
【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确地找出等量
关系是解题的关键．【经典例题七 求四边形外接圆的直径】
【例7】．（2021·广西贺州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于 ， ，
点C为 的中点，延长AB、DC交于点E，且 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及
三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为 的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝
30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论；
【详解】解：连接BD，
∵ABCD是 O的内接四边形，
∴∠CBE＝⊙∠ADC，∠BCE＝∠A
∵
∴
∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120°
∵
∴△CBE为等边三角形
∴∠BCE＝∠A=60°，
∵点C为 的中点，
∴∠CDB＝∠DBC=30°
∴∠ABD=90°，∠ADB=30°∴AD为直径
∵AB=2
∴AD=2AB=4
∴ 的面积是=
故答案选：D
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，
掌握相关性质及公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·四川德阳·统考一模）如图， 半径为 ，正方形 内接于 ，点E在 上运动，
连接 作 ，垂足为F，连接 ．则 长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】取 的中点K，连接 ，根据 即可解决问题．
【详解】解：如图，连接 ，取 的中点K，连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵正方形 的外接圆的半径为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴CF的最小值为 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段
最短确定 的最小值是解决本题的关键．
2．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）在菱形 中， ， ， 的两边分别
交边 、 于点E、F，且 ，记 的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为
．【答案】1
【分析】连接 ，则： ，得到当 三点共线时，P、C两点间的距离最小，根
据菱形的性质，求出 长，证明 四点共圆，得到 为 的直径，即可得解．
【详解】解：连接 ，
则： ，
∴当 三点共线时，P、C两点间的距离最小，
∵菱形 中， ， ，
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 四点共圆，
∵ 的外心为点P， 三点共线，
∴ 为 的直径，
∴ ，
∴P、C两点间的最小距离为1；
故答案为：1．【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，四点共圆．解题的关键是证明 为 的直
径．
3．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，线段 的两个端点分别在x轴和直线l上滑动（均不与
原点O重合）， ， ，作 轴， ，交点为P，设P的坐标为 ，则
．
【答案】
【分析】首先根据题意得到 四点共圆，且 为直径，然后设圆心为D，分别连接 ， ，过
点D作 于点E， ，然后根据勾股定理列方程求出 ，进而可得出 的
值．
【详解】∵
∴
∴ 四点共圆，且 为直径，
如图所示，设圆心为D，分别连接 ， ，过点D作 于点E，
则∵
∵ ，
∴
在 中，由勾股定理得， ，
即 ，解得
∴ ，
∵点P的坐标为 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了勾股定理，圆内接四边形，垂径定理，30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是
根据题意正确作出辅助线．
4．（2023·福建龙岩·统考一模）已知菱形 中， ，点 分别在 ， 上，
， 与 交于点 ．
(1)求证： ；
(2)当 ， 时，求 的长？
(3)当 时，求 的最大值？
【答案】(1)证明见解析
(2)6
(3)4
【分析】（1）如图所示，连接 ，先证明 是等边三角形，得到 ，再证明 得到 ，由此即可证明结论；
（2）延长 到M使得 ，证明 ，得到 ，进而证明
是等边三角形，则 ；
（3）先证明 四点共圆，则当 为直径时， 最大，设圆心为O，连接 ，过点O
作 于M，在 中求出 的长即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图所示，连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：延长 到M使得 ，
由（1）可得 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 四点共圆，
∴当 为直径时， 最大，
设圆心为O，连接 ，过点O作 于M，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，四点共圆，
圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
5．（2023秋·江苏连云港·九年级统考期中）定义：能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小
覆盖圆．
(1)如图①，线段 ，则线段 的最小覆盖圆的半径为_________；
(2)如图②， 中， ， ， ，请用尺规作图，作出 的最小覆盖圆
（保留作图痕迹，不写作法）．此最小覆盖圆的半径为_________；
(3)如图③，矩形 中， ， ，则矩形 的最小覆盖圆的半径为_________；若用两个等
圆完全覆盖该矩形 ，那么这两个等圆的最小半径为_________．
【答案】(1)
(2)作图见解析，
(3) ，
【分析】（1）根据最小覆盖圆的定义可知，当 为圆的直径时，此圆即为最小覆盖圆；
（2）根据最小覆盖圆的定义可知，直角三角形的最小覆盖圆即为该直角三角形的外接圆，据此求解即可；
（3）根据最小覆盖圆的定义可知，矩形 的外接圆即为最小覆盖圆，如图③所示，连接 交
于O，则点O即为矩形 的外接圆圆心，利用勾股定理求出 的长即可得到答案；如图④所示，分别取 的中点G，H，连接 交于E，连接 交于F，连接 ，则四边形 ，
四边形 都是矩形，同理可得圆E和圆F分别是四边形 ，四边形 的最小覆盖圆，同理
求出 即可．
【详解】（1）解：如图所示，∵ ，
∴ （O为AB中点，），
∴，当 为圆的直径时，此圆即为最小覆盖圆，
∴线段 的最小覆盖圆的半径为 ，
故答案为： ；
（2）解：由题意可知 的最小覆盖圆即为 的外接圆，
作线段 的垂直平分线交 于D，点D即为最小覆盖圆圆心，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 最小覆盖圆的半径为 ，
故答案为： ；（3）解：由题意得，矩形 的外接圆即为最小覆盖圆，
如图③所示，连接 交于O，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴点O即为矩形 的外接圆圆心，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 的最小覆盖圆半径为 ；
如图④所示，分别取 的中点G，H，连接 交于E，连接 交于F，连接 ，则四
边形 ，四边形 都是矩形，
同理可得圆E和圆F分别是四边形 ，四边形 的最小覆盖圆，
在 中， ，
∴ ，∴ ，
∴这两个等圆的最小半径为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角形外接圆以及四边形的外接圆的相关知识，矩形的性质，勾股定理，正确理
解最小覆盖圆的定义是解题的关键．
【经典例题八 圆周角综合问题】
【例8】（2023春·重庆开州·八年级统考期末）如图，以直角三角形 的斜边 为边在三角形 的
同侧作正方形 ，正方形的对角线 ， 相交于点 ，连接 ，如果 ， ，则正
方形 的面积为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
【答案】D
【分析】将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，过点A作 于点F，证明是等腰直角三角形，求出 ， ，证明点A、C、O、B四点共圆，得出
，证明 ，得出点 、 、 三点共线，根据勾股
定理求出 ，根据等腰直角三角形的性质得出正方形的边长为
，最后求出正方形的面积即可．
【详解】解：将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，过点A作 于点F，如图
所示：
∴ ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵正方形的对角线 ， 相交于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴点A、C、O、B四点共圆，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点 、 、 三点共线，
∵ ， 是等腰直角三角形，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴正方形 的边长为 ，
∴正方形 的面积为 ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，四点共圆，圆周角定理，解
题的关键是作出辅助线，熟练掌握正方形的性质．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形 中， ，点 为边 上一个动点，连接
，点 为 上一点，且 ，在 上截取点 使 ，交 于点 ，连接 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图所示，过点 作 于 ，当点 运动时，点 在以 为直径的半圆上，即点 在圆
心为 的半圆上运动，当点 运动到 连线上时， 的值最小，根据题意可证
，由此可证 是直角三角形，可得点 在以 为直径的半圆上运动，可求
出半圆的半径，在 中，可求出 的长，由此即可求解．【详解】解：如图所示，过点 作 于 ，连接 ，如图所示：
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，则 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 是直角三角形，
∴当点P运动时，点 在以 为直径的半圆上运动，设圆心为 ，当点M运动到 连线上时， 的
值最小，
∵ ，
∴ ，则半圆的半径 ，
在 中， ，
当点 运动到 连线上时， 的值最小，
∴ 的最小值为 ，故A正确．故选： ．
【点睛】本题主要考查正方形与圆的结合求最值，理解动点的运动规律，正方形的性质，全等三角形的判
定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．
2．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，点B的坐标为 ，过点B分别
作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线 与 交于点D．与y轴交于点E．动点M
在线段 上，动点N在直线 上，若 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的
坐标为
【答案】 或
【分析】如图，由 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得 在以 为直径的圆 上，
，可得 是圆 与直线 的交点，当 重合时，符合题意，可得 ，当N在
的上方时，如图，过 作 轴于 ，延长 交 于 ，则 ， ，
证明 ，设 ，可得 ， ，而
，则 ，再解方程可得答案．
【详解】解：如图，∵ 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ 在以 为直径的圆 上， ，
∴ 是圆 与直线 的交点，当 重合时，
∵ ，则 ，
∴ ，符合题意，
∴ ，
当N在 的上方时，如图，过 作 轴于 ，延长 交 于 ，则 ，
，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，设 ，
∴ ， ，
而 ，
∴ ，
解得： ，则 ，
∴ ，
∴ ；
综上： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定
与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．3．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知点 和直线m的函数表达
式为 ，动点 在A点的右边，过点B作x轴的垂线交直线m于点C，过点B作直线m的平行线
交y轴于点D，当 时，则x的值为 ．
【答案】 或
【分析】先根据题意画出图形，分两种情况：①当点B在原点右边时，证明A、C、B、D四点共圆，再根
据同弧或等弧所对的圆周角相等从而得到 是直角三角形，分别在 和 中用x表示
出 ，构造方程求解x值；②如图2，当B点在A点右边，O点左边时，可得A、C、O、D四点共圆，根
据同弧或等弧所对的圆周角相等从而得到 ，分别在 和 中用x表示出 ，构
造方程求解x值．
【详解】解：分两种情况：
①如图，当点B在原点右边时， 中 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴在 中，根据勾股定理得 ．
∵ ， ，∴ ．
∴A、C、B、D四点共圆．
连接 ，则 ，又 ，
∴ ．
在 中，利用勾股定理可得 ，
∴在 中， ，
∴ ，
解得 ．
如图，当B点在A点右边，O点左边时，此时 ．
同理可得A、C、O、D四点共圆， ，
在 中， ，
在 中，
∴在 中， ．
∴ ，解得 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象和性质、勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，已知圆内接四
边形求角度，对点 的位置分类讨论是解题的关键．
4．（2023·北京·统考中考真题）如图，圆内接四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分
， ．(1)求证 平分 ，并求 的大小；
(2)过点 作 交 的延长线于点 ．若 ， ，求此圆半径的长．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】（1）根据已知得出 ，则 ，即可证明 平分 ，进而根据 平分
，得出 ，推出 ，得出 是直径，进而可得 ；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出， ， 是等边三角形，进而得出
，由 是直径，根据含 度角的直角三角形的性质可得 ，在
中，根据含 度角的直角三角形的性质求得 的长，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
∴ ，即 平分 ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是直径，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，∴ ，则 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，则 ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ 是直径，
∴ ，则 ．
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是直径，
∴此圆半径的长为 ．
【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含 度角的
直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）如图， 内接于 ，连接 ，
．(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，点 在 上，连接 ，点 是 上一点，连接 ，若 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长 交 于点 ，连接 ，若 ， ， ，
求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）过点 作 ，如图所示，由垂径定理可知： ，再由
得到 ，即可得证；
（2）延长 交 于 ，如图所示，由（1）知 ，从而由等腰三角形“三线合一”得到
，且 ，从而得到 ，即可有
，由内错角相等两直线平行得到 ，进而 ，即 ；
（3）连接 ，延长 交 于点 ，证明 ，利用勾股定理即可解答．
【详解】（1）证明：过点 作 ，如图所示：由垂径定理可知， ，
在 和 中，
，
，
，
；
（2）证明：延长 交 于 ，如图所示：
由（1）知 ，
根据 ，从而由等腰三角形“三线合一”得到 ，且 ，
，
，
，
，
，，
，
，即 ；
（3）解：如图，连接 ，延长 交 于点 ，
根据（2）中可得 ，
，
，
，
，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
，，
，
，
，
，且 为直径，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确作出辅
助线是解题的关键．
