文档内容
专题 24.2 圆-垂径定理（五大题型）
【题型1利用垂径定理求值】..............................................................................................1
【题型2利用垂径定理求平行弦问题】.................................................................................7
【题型3利用垂径定理求同心圆问
题】...................................................................................12
【题型4利用垂径定理求解其他问
题】..................................................................................17
【题型5垂径定理的实际应
用】..............................................................................................25
【题型1利用垂径定理求值】
1．如图，四边形ACBD是⊙O的内接四边形，连接对角线AB，CD交于点E，且
AB⊥CD，AB为⊙O的直径，若AB=12，BE=3，则CD的长为（ ）
A．3❑√3 B．9 C．6❑√3 D．6❑√5
【答案】C
【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，理解垂直于弦的直径平分这条弦，并且平
分弦所对的两条弧是解答关键．
连接OC，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理得到CE=ED，得到答案．
【详解】解：如图，连接OC，∵AB=12 BE=3
， ，
∴OC=6，OE=OB−BE=6−3=3．
∵AB⊥CD，
∴CE=ED，∠OEC=90°，
∴CE=❑√OC2−OE2=❑√62−32=3❑√3，
∴CD=2CE=6❑√3．
故选：C．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD．若OE=3，CD=8，则AE
的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理．连接OC，根
1
据垂径定理可得CE= CD=4，再根据勾股定理求出OC=5，则OA=OC=5，最后根
2
据AE=OA+OE，即可求解．
【详解】解：如图，连接OC，∵ AB ⊙O CD⊥AB E
是 的直径，弦 于点 ，
1
∴ CE= CD=4，
2
在Rt△OCE中，OE=3，
∴ OC=❑√OE2+CE2=❑√32+42=5，
∴ OA=OC=5，
∴ AE=OA+OE=5+3=8．
故选：D．
3．如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，AB=4，OC=1，则⊙O最长的弦长是（ ）
A．2❑√3 B．❑√10 C．❑√17 D．2❑√5
【答案】D
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，先利用垂径定理和勾股定理求出OB的长，再
求圆的直径即可．
【详解】在⊙O中，OC⊥AB，
1
∴AC=BC= AB=2，
2
在Rt△OCB中，OB=❑√OC2+BC2=❑√5，
∴⊙O的直径为2OB=2❑√5，
即⊙O最长的弦长是2❑√5．
故选：D．
4．如图半径为6的⊙O中，弦AB=8，则圆心O到AB的距离为 ．【答案】2❑√5
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形
是解答此题的关键．
过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，根据垂径定理求出AD的长，再由勾股定理即
可得出OD的长．
【详解】解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵AB=8
，
1
∴AD= AB=4，
2
∵OA=6，
∴OD=❑√62−42=2❑√5，
故答案为：2❑√5．
5．如图，在⊙O中，弦AB的长为4，OC=2，则∠AOC的度数为 ．
【答案】45°/45度
【分析】本题主要考查了垂径定理和等腰直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解
答此题的关键．
1 1
利用垂径定理可得AC=BC= AB= ×4=2，由OC=2可得△AOC为等腰直角三
2 2
角形，即可得结果．【详解】解：∵OC⊥AB，
1 1
∴AC=BC= AB= ×4=2，
2 2
∵OC=2，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠AOC=45°，
故答案为：45°．
6．如图，已知CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，且CD⊥AB．若CD=10，AB=8，
则CE的长是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出AE的长是解此题的
关键．根据垂径定理即可求得AE的长，然后利用勾股定理即可求得OE的长，即可得
出答案．
1
【详解】解：∵OC= CD=5，
2
∵CD⊥AB
1
∴AE= AB=4，
2
在Rt△OAE中，OE=❑√OA2−AE2=❑√52−42=3，
∴CE=OC−OE=5−3=2，
故答案为：2．
7．如图，在⊙O中，弦AB的长为8，OE⊥AB于点E，且OE=3．弦CD⊥AB于点F，
如果EF=2，则CD的长为【答案】2❑√21
【分析】该题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的性质和判定，连接AO,CO，过点
O作OH⊥CD，结合弦CD⊥AB OE⊥AB，证出四边形OEFH是矩形，得出
1
EF=OH=2，垂径定理得出AE=BE= AB=4，勾股定理求出AO=5，得出
2
CO=AO=5，勾股定理求出CH=❑√21，垂径定理得出CD=2CH=2❑√21．
【详解】解：连接AO,CO，过点O作OH⊥CD，
∵CD⊥AB OE⊥AB，
∴四边形OEFH是矩形，
∴EF=OH=2，
∵AB的长为8，OE⊥AB于点E，
1
∴AE=BE= AB=4，
2
∵OE=3，
∴AO=❑√AE2+OE2=❑√42+32=5，
∴CO=AO=5，
∴CH=❑√CO2−OH2=❑√52−22=❑√21，
∴CD=2CH=2❑√21，故答案为：2❑√21．
【题型2利用垂径定理求平行弦问题】
1．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为
6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【答案】D
【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面CD，作ON⊥AB与
1
CD、AB的交点为M、N，可知OM⊥CD，CM=MD= CD=4cm，
2
1
AN=BN= AB=3cm，在Rt△BON中，由勾股定理得ON=❑√OB2−BN2，解得
2
ON的值，在Rt△DOM中，由勾股定理得OM=❑√OD2−DM2，解得OM的值，计
算ON−OM即可；②如图2，宽度为8cm的油面EF，作PN⊥EF与AB、EF的交点
1
为N、P，连接OB，由题意知PN⊥AB，EP=PF= EF=4cm，
2
1
AN=BN= AB=3cm，在Rt△BON中，由勾股定理得ON=❑√OB2−BN2，在
2
Rt△EPO中，由勾股定理得OP=❑√OE2−EP2，计算NP=ON+OP即可．
【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面CD，作ON⊥AB与
CD、AB的交点为M、N1 1
由题意知OM⊥CD，CM=MD= CD=4cm，AN=BN= AB=3cm
2 2
在Rt△BON中，由勾股定理得ON=❑√OB2−BN2=4cm
在Rt△DOM中，由勾股定理得OM=❑√OD2−DM2=3cm
∴MN=ON−OM=1cm
②如图2，宽度为8cm的油面EF，作PN⊥EF与AB、EF的交点为N、P，连接
OB
1 1
由题意知PN⊥AB，EP=PF= EF=4cm，AN=BN= AB=3cm
2 2
在Rt△BON中，由勾股定理得ON=❑√OB2−BN2=4cm
在Rt△EPO中，由勾股定理得OP=❑√OE2−EP2=3cm
∴NP=ON+OP=7cm
∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；
故选D．
【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑．
2．已知⊙O的直径为26cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=24cm，
CD=10cm，则AB、CD之间的距离为 cm．【答案】7或17/17或7
【分析】首先分先AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，画出图形，过圆心O
作两弦的垂线，利用垂径定理可分别求出圆心到两弦的距离，从而可求出两弦间的距
离．
【详解】①当弦AB、CD在圆心的同侧时，如图1
过点O作OF⊥CD交AB于点E，连接OA，OC
∵AB//CD
∴OE⊥AB
∵AB=24，CD=10
∴AE=12，CF=5
又∵⊙O的直径为26
∴OA=OC=13
∴OE=❑√OA2+AE2=5，OF=❑√OC2+CF2=12
∴EF=OF-OE=7
②当弦AB、CD在圆心的异侧时，如图2
过点O作OF⊥CD，延长FO交AB于点E，连接OA，OC
∵AB//CD
∴OE⊥AB
∵AB=24，CD=10
∴AE=12，CF=5
又∵⊙O的直径为26
∴OA=OC=13
∴OE=❑√OA2+AE2=5，OF=❑√OC2+CF2=12
∴EF=OF+OE=17
故答案为：7或17．【点睛】本题主要考查了垂径定理，解题是要注意分AB、CD在圆心的同侧和异侧两
种情况讨论．
3．半径为10的⊙O中，两条平行弦AB、CD的长分别为12和16，则AB与CD距离为
．
【答案】2或14/14或2
【分析】过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性
1 1
质得OF⊥CD，则根据垂径定理得到AE＝BE＝ AB＝6，CF＝DF＝ CD＝8，再利用
2 2
勾股定理计算出OE＝8，OF＝6，然后分类讨论：当点O在AB和CD之间时，EF＝
OE＋OF＝14，当点O不在AB和CD之间时，EF＝OE−OF＝2．
【详解】解：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
1 1
∴AE＝BE＝ AB＝6，CF＝DF＝ CD＝8，
2 2
在Rt△AOE中，OE＝❑√102−62＝8，
在Rt△OCF中，OF＝❑√102−82=6，
当点O在AB和CD之间时，EF＝OE＋OF＝8＋6＝14，
当点O不在AB和CD之间时，EF＝OE−OF＝8−6＝2，
∴AB、CD之间的距离为2或14．
故答案为：2或14．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条
弧．注意分类讨论思想的应用．
4．⊙O半径为5，弦AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD．则AB与CD之间的距离 ．【答案】1cm或7cm．
【分析】先作出圆心与两弦的垂直距离，作图后很容易可以用勾股定理算出AB弦与圆
心的距离为3cm，CD弦与圆心的距离为4cm，若AB、CD位于圆心异侧，则两平行弦
的距离为3＋4＝7cm，AB、CD位于圆心同侧4−3＝1cm．
【详解】解：如图：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵OE过圆心，OE⊥AB，
1
∴EB＝ AB＝3cm，
2
∵OB＝5cm，
∴EO＝4cm，
同理，OF＝3cm，
∴EF＝4-3=1cm，
当AB、CD位于圆心两旁时EF＝4+3=7cm，
∴EF＝1cm或EF＝7cm．
故答案为：1cm或7cm．
【点睛】本题结合勾股定理考查了垂径定理，解决与弦有关的问题，往往要作弦的弦
心距，构造以弦心距、半径、弦长的一半为三边的直角三角形，利用勾股定理解答问
题．关键是能正确求出符合条件的两种情况．
5.已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，
则AB与CD之间的距离为 cm．
【答案】7或1．
【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧
时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案．
【详解】解：分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA，
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，
∴E、F分别为CD、AB的中点，
1 1
∴CE=DE= CD=3cm，AF=BF= AB=4cm，
2 2
在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，
根据勾股定理得：OF=3cm，
在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，
根据勾股定理得：OE═4cm，
则EF=OE−OF=4cm−3cm=1cm；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，
同理可得EF=4cm+3cm=7cm，
综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．
故答案为：7或1．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定
理是解本题的关键．
【题型3利用垂径定理求同心圆问题】
1．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底
面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底
有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6 B．4❑√2 C．4❑√3 D．4❑√5【答案】C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则
OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=❑√OA2−OC2=2❑√3，
∴AB=2AC=4❑√3.
故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是
解答本题的关键.
2．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，
AO=8cm，则OC长为（ ）cm
A．5 B．4 C．2❑√5 D．2❑√7
【答案】D
【详解】解：∵ O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点，
1
∴ C点是AB的中点，即AC=BC= AB=6；
2
并且OC⊥AB，在RtΔAOC中，
由勾股定理得AO2=AC2+OC2，
所以OC2=AO2−AC2；AO=8cm，所以OC2=82−62=28，
所以OC=2❑√7
故选：D
【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟
悉勾股定理的内容.
3．如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：AC=BD；
(2)若AC=3，BC=5，大圆的半径R=5，求小圆的半径r的值．
【答案】(1)见解析
(2)❑√10
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股
定理求解是解题的关键．
（1）过O作OE⊥AB于点E，由垂径定理可得AE=BE，CE=DE，再用等式的性
质即可得证；
（2）连接OC、OA，利用垂径定理求出AE，在Rt△AOE中，由勾股定理求出OE2，
然后在Rt△COE中，利用勾股定理即可求出OC．
【详解】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，如图，
由垂径定理可得AE=BE，CE=DE，
∴AE−CE=BE−DE，
∴AC=BD；
（2）解：连接OC、OA，如图，∵AC=3，BC=5，
∴AB=3+5=8，
∴AE=4，
∴CE=AE−AC=4−3=1，
∴在Rt△AOE中，OE2=OA2−AE2=52−42=9，
∴在Rt△COE中，OC2=CE2+OE2=12+9=10，
∴OC= ❑√10，即小圆的半径r为❑√10
4．综合与实践
【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安
的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如
图2，我们称这种图形为“环花”．
【实践探究】设直线l与“环花”从左到右依次交于点A，B，C，D．
(1)如图2，当直线l经过中心O时，请直接写出线段AB与CD的数量关系；
(2)如图3，当直线l不经过中心O时，请证明（1）中的结论仍然成立；
【问题深化】
(3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点O是这两个菱
形对角线的公共交点，AB∥EF且F，B，D，H四点均在对角线FH上），类似地
形成了“方花”，直线l不经中心O时，与“方花”从左到右依次交于点M，N，P，
MN
Q，求 的值．
PQ
【答案】(1)AB=CD
(2)见解析
(3)1
【分析】（1）根据OA=OD，OB=OC，再利用线段的和差即可求解；
（2）过点O作OE⊥l于点E，利用垂径定理得到AE=DE，BE=CE，再利用线段的
和差即可证明；（3）连接FH，过点N作NR∥FH交EF于点R，过点P作PT∥FH交GH于点T，
利用平行四边形的判定得到NRFB是平行四边形，得出NR=FB，∠NRM=∠BFR，
同理可得PT=DH，∠DHT=∠PTQ，再利用菱形的性质证明
△MNR≌△QPT，推出MN=PQ，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵OA=OD，OB=OC，
∴OA−OB=OD−OC，
∴AB=CD．
（2）证明：如图，过点O作OE⊥l于点E，
∵OE⊥l，
∴AE=DE，BE=CE，
∴AE−BE=DE−CE，
∴AB=CD．
（3）解：如图，连接FH，过点N作NR∥FH交EF于点R，过点P作PT∥FH交
GH于点T，
∵AB∥EF，NR∥FH，
∴四边形NRFB是平行四边形，
∴NR=FB，∠NRM=∠BFR，
同理可得，PT=DH，∠DHT=∠PTQ，
∵四边形ABCD与四边形EFGH均为菱形，O为它们的中心，
∴OF=OH，OB=OD，GH∥EF，
∴FB=DH，∠PQT=∠NMR，∠DHT=∠BFR，
∴NR=PT，∠NRM=∠PTQ，∴△MNR≌△QPT(AAS)，
∴MN=PQ，
MN
∴ =1．
PQ
【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的性质、相似图形的性质、平行四边形的性质与
判定、全等三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关
键．
【题型4利用垂径定理求解其他问题】
1．下列命题正确的是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
【答案】D
【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两
条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意；
B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意；
C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意；
D、平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）
A．CM=DM B．AD=2BD C．AC=AD D．
∠BCD=∠BDC
【答案】B
【分析】通过审题， 根据AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，依据垂径定理即可解答问题．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
由垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧知，
∴CM=DM，故A正确；B´C=B´D，
∴∠BCD=∠BDC，故D正确；
∵CD⊥AB，CM=DM，
∴AC=AD，故C正确；
故选：B．
【点睛】题主要考查了垂径定理的简单应用,解题的关键是掌握垂径定理的内容，灵活
应用．
3．垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，
同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问题的图
形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过圆心作弦的垂线，则可运用垂径定理解决问题，从而对各选项进行判断．
【详解】
解：可以运用垂径定理解决问题的图形是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟记垂径定理：垂直于弦的直径平分这条
弦，并且平分弦所对的两条弧．
4．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是
（ ）A．A´C=A´D B．B´C=B´D C．OE=BE D．CE=DE
【答案】C
【分析】根据垂径定理可得：B´C=B´D，DE=CE，进而得到A´C=A´D，无法得到
OE=BE，即可得到答案．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，
∴B´C=B´D，DE=CE，
∴B、D选项结论成立，不符合题意；
∵A´B=A´C+B´C=A´D+B´D，
∴A´C=A´D，
∴A选项结论成立，不符合题意；
∵OE=BE无法判断，
∴C选项结论不成立，符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟练掌握垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对
的弧是解题关键．
5．如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠A´C后，恰好经过点O，则∠AOC等
于（ ）
A．120° B．125° C．130° D．145°
【答案】A
【分析】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD=1 1
OE，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据三角形的中位线的性质得到OD= BC，
2 2
求得∠COB=60°，得到∠AOC=120°，于是得到结论．
【详解】解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，
∵把半圆沿弦AC折叠，A´C恰好经过点O，
1
∴OD= OE，OD⊥AC
2
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴OD∥BC，
∵OA=OB，
1
∴OD= BC，
2
∴BC=OE=OB=OC，
∴△OCB是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠AOC=120°，
【点睛】本题考查了折叠的性质，垂径定理，中位线的性质，等边三角形的性质与判
定，正确的添加辅助线是解题的关键．
6．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），下列
符合条件的OP的值是（ ）
A．6.5 B．5.5 C．3. D．2.5
【答案】C
【分析】过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝4，再利用勾股定理计算出OH＝3，从而得到OP的范围为3≤OP≤5，然后对各选项进行判
断．
1
【详解】解：过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，则AH＝BH＝ AB＝4，
2
在Rt△OAH中，OH＝❑√OA2−AH2=❑√52−42=3，
所以OP的范围为3≤OP≤5．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条
弧，解题关键是过圆心作弦的垂线，连接半径构造直角三角形．
7．如图，点C是AE的中点，在AE同侧分别以AC、CE为直径作半⊙B、半⊙D．直
线l∥AE，与两个半圆依次相交于F、M、N、G不同的四点．若AE=10，
FG=x,MN= y，则y与x之间的函数表达式为 ．
【答案】y=10−x
【分析】本题考查垂径定理，矩形的判定和性质，求函数表达式，过B点作
BQ⊥FM，过D点作DH⊥NG平H点，连接BF,DG，得到FQ=MQ,NH=GH，
1
四边形BQHD为矩形，进而得到QH=BD= AE=5，推出QM+NH=5−y，再根
2
据FG=FQ+QM+MN+NH+HG，进行求解即可．
【详解】解：过B点作BQ⊥FM，过D点作DH⊥NG平H点，连接BF,DG，如
图，则FQ=MQ,NH=GH，
∵l∥AE，∴BQ=DH，BQ⊥AE,DH⊥AE，
∴四边形BQHD为矩形，
1
∴QH=BD= AE=5，
2
∴QM+MN+NH=5，
∴QM+NH=5−y，
∴
FG=FQ+QM+MN+NH+HG=2QM+MN+2HN=2QM+2MN+2HN−MN=，2(5−y)+ y=10−y
即：x=10−y，
∴y=10−x；
故答案为：y=10−x．
8．如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若
OA=7，则BC的长为 ．
【答案】7
【分析】根据垂径定理可得OC垂直平分AB，根据题意可得AB平方OC，可得四边形
AOBC是菱形，进而根据菱形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接OB,CA，
∵ ⊙O OC⊥AB
A、B、C是 上的点， ，
∴AD=DB，
∵ D为OC的中点，
∴OD=DC，∴四边形AOBC是菱形，OA=7，
∴BC=AO=7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键．
9．如图，已知AD是⊙O的直径，B，C是AD两侧圆上的动点，且AB=AC，过点C作
CF∥BD，交直径AD于点F，连结CD，BF．
(1)求证：BE=CE；
(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
(3)若AD=10，OF=1，求BC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)四边形BFCD是菱形，详见解析
(3)2❑√21或8
【分析】本题是圆的综合题，考查了弧、弦、圆心角的关系，垂径定理推论，勾股定
理，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）由弧、弦、圆心角的关系和垂径定理推论可得出答案；
（2）证明△FCE≌△DBE，得出CF=BD，证出四边形BFCD是平行四边形，由
（1）得AD⊥BC，则可得出结论；
（3）分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴A´B=A´C，
∵AD是直径，
∴AD⊥BC，
∴BE=CE；
（2）解：四边形BFCD是菱形，理由如下：
∵CF∥BD，
∴∠FCE=∠DBE，又∵∠FEC=∠DEB，BE=CE，
∴△FCE≌△DBE(ASA)，
∴CF=BD，
∴四边形BFCD是平行四边形，
由（1）得AD⊥BC，
∴四边形BFCD是菱形；
（3）解：∵AD=10，∴OD=5，
①如图1，当点F在点O左侧时，
∴DF=OD+OF=6
，
1
∴DE= DF=3，
2
∴OE=OD−DE=2，
在Rt△OBE中，BE=❑√OB2−OE2=❑√21，
∴BC=2BE=2❑√21．
②如图2，当点F在点O右侧时，
∴DF=OD−OF=4
，
1
∴DE= DF=2，
2
∴OE=OD−DE=3，
在Rt△OBE中，BE=❑√OB2−OE2=4，∴BC=2BE=8．
10．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的点，且OD⊥AC于点E，连接BE，BC，若
AC=8，DE=2．
（1）求半圆的半径长；
（2）求BE的长．
【答案】（1）5；（2）2❑√13
【分析】（1）根据垂径的求得AE=4，设半径为r，则OE=r-2，根据勾股定理得到关于
r的方程，解方程即可求得半径；
（2）根据勾股定理求得BC，进而根据勾股定理求得BE．
【详解】解：（1）∵OD⊥AC于点E且AC=8
1
∴AE=EC= AC=4，
2
设半径为r，则OE=r−2
在RtΔAOE中有
r2=42+(r−2) 2
解得：r=5
即半圆O的半径为5
（2）∵AB为半圆O的直径
∴∠C=90°,AB=10
则BC=❑√AB2−AC2=❑√102−82=6
在RtΔBCE中有
BE=❑√BC2+CE2=❑√62+42=2❑√13
【点睛】此题考查了垂径定理以及勾股定理．注意得到∠C=90°，应用垂径定理是关键．
【题型5垂径定理的实际应用】1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧A´B，点O是这段圆弧所在圆的圆心，
∠AOB=60°，点C是A´B的中点，D为AB的中点,且CD=5m，则这段弯路所在圆的
半径为（）
A．(20−10❑√3)m B．20m C．30m D．(20+10❑√3)m
【答案】D
【分析】连接OD,由于点C是A´B的中点、D为AB的中点,则O、D、C三点共线、
OD⊥AB，OA=OC=OB,设圆O的半径为r，运用勾股定理解答即可．
【详解】解：连接OD
∵点C是A´B的中点、D为AB的中点
∴O、D、C三点共线、OD⊥AB
设圆O的半径为r且r＞0,则OA=OC=OB=AB=r
r
在Rt△OBD中,OB=r,OD=r-5,BD=
2
∴(r−5) 2+
(r) 2
=r2
2
解得r=20+10❑√3或r=20−10❑√3（舍去）．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理的应用，根据勾股定理构建关于r的方程
是解答本题的关键．2．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，
不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”转化为现在的数学语言就
是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，则
⊙O半径的长度为（ ）寸．
A．5 B．8 C．12 D．13
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E
为AB的中点，由AB=10寸可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x寸，表示出OE的
长，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：连接OA，
∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，且AB=10寸，
1
∴AE=BE= AB=5寸，
2
设圆O的半径OA的长为x寸，则OC=OD =x寸，
∵CE=1寸，
∴OE=OC−CE=(x−1)寸，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：OA2=OE2+AE2
∴x2=(x−1) 2+52，
解得x=13，
∴则⊙O半径的长度为13寸，故选：D．
3．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——
筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面的
上方，⊙O被水面截得的弦AB长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，点 C 到弦
AB 的距离为 2 米，则 ⊙O的半径长为（ ）
A．4 米 B．5 米 C．6 米 D．8 米
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解
题的关键．连接OA、OC，交AB于点D，设⊙O的半径长为x，由垂径定理得
AD=BD=4（米），再由勾股定理列方程求出x的值即可．
【详解】解：如图，连接OA、OC，交AB于点D，设⊙O的半径长为x，
∵点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米，
∴OC⊥AB，OD=x−2，
1
∴AD=BD= AB=4，
2
在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2，
∴x2=42+(x−2) 2，
解得：x=5，
∴⊙O的半径长为5米．
故选：B．
4．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度
CD=7cm，则截面圆中弦AB的长为（ ）A．4cm B．4❑√6cm C．2❑√21cm D．2❑√29cm
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定
1
理是解题的关键．由垂径定理得AC=BC= AB，再由勾股定理得AC，进而完成解
2
答．
【详解】解：连接OA，
由题意得：OC⊥AB，
1
∴AC=BC= AB，∠OCA=90°，
2
∵OA=OD=5cm，CD=7cm，
∴OC=OD−CD=7−5=2(cm)，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：AC=❑√52−22=❑√21(cm)，
∴AB=2AC=2❑√21cm．
∴截面圆中弦AB的长为2❑√21cm．
故选：C．
5．如图，《九章算术》记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长
一尺．问径几何？如图，其大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，
用锯子去锯这根木材，锯口深CD为1寸，锯道AB长1尺（1尺=10寸），问圆形木
材的直径是（ ）A．26寸 B．13寸 C．12寸 D．5寸
【答案】A
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理的应用，过圆心O作OC⊥AB于点
1
C，延长OC交圆于点D，连接OA，则CD=1寸，AC=BC= AB=5，设圆的半径
2
为x寸，利用勾股定理在Rt△OAC中，列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．
【详解】解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，连接OA，如图
∵OC⊥AB，
1
∴AC=BC= AB，A´D=B´D，
2
1
则CD=1寸，AC=BC= AB=5（寸），
2
设圆的半径为x寸，则OC=(x−1)寸，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+(x−1) 2=x2，
解得：x=13，
∴圆材直径为2×13=26（寸）．
故选：A．
6．排水管的截面如图，水面宽AB＝8dm，圆心O到水面的距离OC＝3dm，则排水管的半
径等于 dm．【答案】5．
【分析】连接OA，先根据垂径定理求出AC的长，再由勾股定理求出OA的长即可．
【详解】
解：连接OA，
∵AB＝8，OC⊥AB，
1
∴AC＝ AB＝4．
2
∵OC＝3，
∴OA=❑√CO2+AC2=❑√32+42=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，
利用勾股定理求解是解决此题的关键．
7．石拱桥采用圆弧形的设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工
匠对力学原理的深刻理解和应用．如图，石拱桥桥拱的半径OA=5m，拱高CD=2m，
则石拱桥的跨度AB= m．
【答案】8
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用、 勾股定理等知识点，掌握垂径定理是解题
的关键．
1
根据垂径定理得到AD=BD= AB，再求得OD=OC−CD=OA−CD=3，在
2
Rt△ADO中，AO2−OD2=AD2，可求得AD，进而完成解答．
【详解】解：由题意可知，OC⊥AB，
∴AB=2AD，∵OA=5m，CD=2m，
∴OD=OC−CD=OA−CD=3，
在Rt△ADO中， AO2−OD2=AD2，
∴52−32=AD2，解得：AD=4，
∴AB=2AD=8m．
故答案为：8．
8．只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小
组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交
于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为7cm,AB=6cm,CD=8cm．
请你帮忙计算纸杯杯口的直径d．
【答案】10cm
【分析】本题考查垂径定理的应用，矩形的性质，勾股定理，掌握垂径定理是解题的
关键．
由垂径定理求出DM，AN的长，设ON=x，由勾股定理得到(7−x) 2+42=x2+32，
求出x的值，得到ON的长，由勾股定理求出OA长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，取点O为圆心，过点O作MN⊥AB于点N，交CD于点M，连接
OA，OD，
∴OA=OD，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∵纸条宽MN为7，AB=6，CD=8．
1 1
∴MN=7，AN= AB= ×6=3，
2 2
1 1
∴DM= CD= ×8=4，
2 2设ON=x，
∴OM=MN−ON=7−x，
∵OM2+DM2=OD2，ON2+AN2=OA2，
∴OM2+DM2=ON2+AN2，
∴(7−x) 2+42=x2+32，
解得：x=4，
∴ON=4，
∴OA=❑√ON2+AN2=❑√42+32=5，
∴d=2OA=2×5=10(cm)，
∴纸杯的直径长为10cm．
9．如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器−−蒸馏瓶，它的下半部分是圆球
形，其截面是圆，且当截面圆中弦AB的长为16cm时，瓶内液体最大深度CD为4cm．
(1)求截面圆的半径；
(2)当瓶内液体减少时，若瓶内液体的最大深度CD降低1cm，那么截面圆中的弦AB减
少了 cm．
【答案】(1)截面圆的半径为10cm；
(2)(16−2❑√51)
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用．
1
（1）由垂径定理得BC=AC= AB=8cm，设球形的半径OB=OD=r，则
2
OC=OD−CD=r−4，由勾股定理解Rt△OCB，即可得出结论；
（2）求得OC=10−3=7，在Rt△OCB中，利用勾股定理求得BC=❑√51，则
AB=2❑√51，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意知OD⊥AB，1
∴ BC=AC= AB=8cm，
2
设球形的半径OB=OD=r，则OC=OD−CD=r−4，
在Rt△OCB中，OC2+BC2=OB2，
∴ (r−4) 2+82=r2，
解得r=10，
∴截面圆的半径为10cm；
（2）解：由题意知CD=4−1=3(cm)，
∴ OC=10−3=7，
在Rt△OCB中，OC2+BC2=OB2，
∴ BC=❑√102−72=❑√51，
∴ AB=2❑√51，
∴截面圆中的弦AB减少了(16−2❑√51)cm；
故答案为：(16−2❑√51)
10．一座半圆形拱桥的截面图如图1，测得桥下水面的宽AB=16m，拱顶到水面的距离
CD=4m．
(1)求拱桥的半径；
(2)如图2，一艘宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m的货船，能否顺利通过这座拱
桥，请说明理由．
【答案】(1)10m
(2)不能，理由见解析
【分析】此题考查了勾股定理和垂径定理的应用．难度适中，注意掌握辅助线的作法，
注意数形结合思想与方程思想的应用．
（1）如图，设半径为r，连接OB，由垂径定理可得DB=8m，在Rt△OBD中，根据勾股定理列出方程求解即可；
（2）过O作OG⊥EF，交EF于点G，连接OF，由题得，OD=6m，OG=9m，在
Rt△OGF中根据勾股定理求出GF，再根据EF=2❑√19<12，即可解答．
【详解】（1）解：设半径为r，连接OB，
∵OC⊥AB OC
， 为半径，
1
∴DB= AB=8m，
2
∵CD=4，
∴OD=r−4，
在Rt△OBD中：82+(r−4) 2=r2，
解得：r=10，
答：拱桥的半径为10m．
（2）解：过O作OG⊥EF，交EF于点G，连接OF，
由题得，OD=10−4=6m，
∴OG=9m，
在Rt△OGF中：GF=❑√102−92=❑√19m，
∴EF=2❑√19<12，
答：不能顺利通过这座拱桥．1．如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂
足分别为D，E，若AB=4，则⊙O的半径是（ ）
A．2❑√2 B．2 C．3 D．4❑√2
【答案】A
【分析】根据垂径定理可知，AE=CE，AD=BD，易证四边形ODAE是正方形，即可求得．
【详解】如图，连接OA
∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC
∴四边形ODAE是矩形，AE=CE，AD=BD
又∵AB=AC=4，
∴AE=AD=2
∴四边形ODAE是正方形，且边长为2
∴⊙O的半径OA=2❑√2
故选A
【点睛】本题考查垂径定理，掌握垂径定理的条件和结论是解题的关键．
2.如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆
O，AB=26cm，MN为水面截线，MN=24cm，GH为桌面截线，
AB∥MN∥GH，如果将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了
7cm，则此时水面截线EF为（ ）A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，过O作OH⊥EF，由垂径定理得到
EF=2FH，由勾股定理求出FH=5cm，得到EF=10cm，即可得到答案．
【详解】解：过O作OH⊥EF，连接OF，
∴EF=2FH，
∵水面高度下降了7cm，
∴OH=5+7=12(cm)，
∵OF=AB=13cm,
∴FH=❑√OF2−OH2=5(cm)，
∴EF=10cm.
故选：B．
3．如图是一个汽油桶的截面图，其上方有一个进油孔，该汽油桶的截面直径为50dm，此
时汽油桶内液面宽度AB=40dm，现在从进油孔处倒油，当液面AB=48dm时，液面
上升了 dm．
【答案】8或22【分析】本题考查了垂径定理的应用以及分类讨论的数学思想．实质是求两条平行线
间的距离，根据勾股定理求弦心距，作差或作和分别求解即可．
1
【详解】连接OA．作OM⊥AB于M．则在直角△OAM中，AM= AB=20dm，
2
∵OA=25dm，根据勾股定理得到：OM=❑√OA2−AM2=15dm，
当油面宽AB为48dm时，连接OA．作ON⊥AB于N．
1
在直角△OAN中，AN= AB=24dm，
2
∵OA=25dm，根据勾股定理得到：ON=❑√OA2−AN2=7dm，即弦AB的弦心距是
7dm，
当油面没超过圆心O时，如图
15−7=8(dm)
∴油上升了8dm；
当油面超过圆心O时，如图
15+7=22(dm)
油上升了22dm．
因而油上升了8dm或22dm．
故答案为8或22．
4．一辆高为2.5m，宽为1.6m的卡车，要经过如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆直径为2m，长方形另一边长为2.3m.
（1）此卡车能否通过桥洞？请说明理由；
（2）如图，若想把桥洞改为双行道且使宽1.2m，高2.8m的卡车安全通过，那么此桥
洞的宽至少应增加到多少米？
【答案】（1）能通过；理由见解析；（2）2.6m.
【分析】对于（1），过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，
根据卡车的宽和半圆的直径和勾股定理求出OE的长，再根据长方形的一边长和卡车的
高即可得出答案；
对于（2），如图，根据已知条件求出BF的长，再根据勾股定理求出OA的长，从而得
出答案.
【详解】（1）如图，M，N为卡车的宽度，
过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，
CD=MN=1.6米，AB=2米，
由作法得，CE=DE=0.8米，
又∵OC=OA=1米，
在Rt△OCE中，OE=❑√OC2−CE2 ≈0.6（米），
∴CM=2.3+0.6=2.9＞2.5．
∴这辆卡车能通过．（2）如图：根据题意可知：CG=BE=2.8米，BG=OF=1.2米，EF=AD=2.3米，
∴BF=0.5米，
∴根据勾股定理有：OA❑ 2=OB❑ 2=BF❑ 2+OF❑ 2=0.5❑ 2+1.2❑ 2=1.69（米），
∴OA=1.3米，
∴桥洞的宽至少增加到1.3×2=2.6（米）.
【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是根据题意画出图形，把实际问
题转化为数学问题.
5．问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光
启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的
情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O，如图②，OM始终垂直于水平面，设
筒车半径为2米，当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过
95秒后该盛水筒运动到点B处．
问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
(2)求筒车水面AC的宽度；
(3)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据
❑√2≈1.414，❑√3≈1.732）
【答案】(1)45°(2)2米
(3)0.3米
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，等边三角形的判定和性质，直角三角形的
性质：
（1）根据题意可得每秒转过3°，即可求解；
（2）根据垂径定理可得∠AOC=60°，从而得到△AOC是等边三角形，即可求解；
（3）过点B、点A分别作OM的垂线，垂足分别为点E、D，根据直角三角形的性质
1
可得AD= OA=1米，从而得到OD=❑√3米，在Rt△BOE中，可得OE=BE，从而
2
得到OE=❑√2米，即可求解．
【详解】（1）解：∵筒车每旋转一周用时120秒．
∴每秒转过360°÷120=3°，
∴∠BOM=360°−3°×95−30°=45°；
（2）解：∵OM⊥AC,OA=OC，
∴∠AOM=∠COM，
∵∠AOM=30°，
∴∠AOM=∠COM=30°，
∴∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OA=2米．
（3）解：如图，过点B、点A分别作OM的垂线，垂足分别为点E、D，
在Rt△AOD中，∠AOD=30°,OA=2米，
1
∴AD= OA=1米，
2
∴OD=❑√OA2−AD2=❑√4−1=❑√3米，在Rt△BOE中，∠BOE=45°,OB=2米，
∴∠BOE=∠OBE=45°，
∴OE=BE，
∴OE2+BE2=OB2，
∴OE=❑√2米，
∴DE=OD−OE=❑√3−❑√2≈0.3米，
即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米．
