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专题 24.2 圆-垂径定理（五大题型）
【题型1利用垂径定理求值】..............................................................................................1
【题型2利用垂径定理求平行弦问题】.................................................................................3
【题型3利用垂径定理求同心圆问
题】...................................................................................3
【题型4利用垂径定理求解其他问题】..................................................................................5
【题型5垂径定理的实际应用】..............................................................................................7
【题型1利用垂径定理求值】
1．如图，四边形ACBD是⊙O的内接四边形，连接对角线AB，CD交于点E，且
AB⊥CD，AB为⊙O的直径，若AB=12，BE=3，则CD的长为（ ）
A．3❑√3 B．9 C．6❑√3 D．6❑√5
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD．若OE=3，CD=8，则AE
的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．83．如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，AB=4，OC=1，则⊙O最长的弦长是（ ）
A．2❑√3 B．❑√10 C．❑√17 D．2❑√5
4．如图半径为6的⊙O中，弦AB=8，则圆心O到AB的距离为 ．
5．如图，在⊙O中，弦AB的长为4，OC=2，则∠AOC的度数为 ．
6．如图，已知CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，且CD⊥AB．若CD=10，AB=8，
则CE的长是 ．
7．如图，在⊙O中，弦AB的长为8，OE⊥AB于点E，且OE=3．弦CD⊥AB于点F，
如果EF=2，则CD的长为【题型2利用垂径定理求平行弦问题】
1．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为
6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
2．已知⊙O的直径为26cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=24cm，
CD=10cm，则AB、CD之间的距离为 cm．
3．半径为10的⊙O中，两条平行弦AB、CD的长分别为12和16，则AB与CD距离为
．
4．⊙O半径为5，弦AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD．则AB与CD之间的距离 ．
5.已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，
则AB与CD之间的距离为 cm．
【题型3利用垂径定理求同心圆问题】
1．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底
面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底
有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6 B．4❑√2 C．4❑√3 D．4❑√5
2．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，
AO=8cm，则OC长为（ ）cmA．5 B．4 C．2❑√5 D．2❑√7
3．如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：AC=BD；
(2)若AC=3，BC=5，大圆的半径R=5，求小圆的半径r的值．
4．综合与实践
【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安
的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如
图2，我们称这种图形为“环花”．
【实践探究】设直线l与“环花”从左到右依次交于点A，B，C，D．
(1)如图2，当直线l经过中心O时，请直接写出线段AB与CD的数量关系；
(2)如图3，当直线l不经过中心O时，请证明（1）中的结论仍然成立；
【问题深化】
(3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点O是这两个菱
形对角线的公共交点，AB∥EF且F，B，D，H四点均在对角线FH上），类似地
形成了“方花”，直线l不经中心O时，与“方花”从左到右依次交于点M，N，P，
MN
Q，求 的值．
PQ【题型4利用垂径定理求解其他问题】
1．下列命题正确的是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）
A．CM=DM B．AD=2BD C．AC=AD D．
∠BCD=∠BDC
3．垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，
同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问题的图
形是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是
（ ）A．A´C=A´D B．B´C=B´D C．OE=BE D．CE=DE
5．如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠A´C后，恰好经过点O，则∠AOC等
于（ ）
A．120° B．125° C．130° D．145°
6．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），下列
符合条件的OP的值是（ ）
A．6.5 B．5.5 C．3. D．2.5
7．如图，点C是AE的中点，在AE同侧分别以AC、CE为直径作半⊙B、半⊙D．直
线l∥AE，与两个半圆依次相交于F、M、N、G不同的四点．若AE=10，
FG=x,MN= y，则y与x之间的函数表达式为 ．
8．如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若
OA=7，则BC的长为 ．
9．如图，已知AD是⊙O的直径，B，C是AD两侧圆上的动点，且AB=AC，过点C作
CF∥BD，交直径AD于点F，连结CD，BF．(1)求证：BE=CE；
(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
(3)若AD=10，OF=1，求BC的长．
10．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的点，且OD⊥AC于点E，连接BE，BC，若
AC=8，DE=2．
（1）求半圆的半径长；
（2）求BE的长．
【题型5垂径定理的实际应用】
1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧A´B，点O是这段圆弧所在圆的圆心，
∠AOB=60°，点C是A´B的中点，D为AB的中点,且CD=5m，则这段弯路所在圆的
半径为（）
A． B． C． D．
(20−10❑√3)m 20m 30m (20+10❑√3)m
2．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”转化为现在的数学语言就
是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，则
⊙O半径的长度为（ ）寸．
A．5 B．8 C．12 D．13
3．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——
筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面的
上方，⊙O被水面截得的弦AB长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，点 C 到弦
AB 的距离为 2 米，则 ⊙O的半径长为（ ）
A．4 米 B．5 米 C．6 米 D．8 米
4．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度
CD=7cm，则截面圆中弦AB的长为（ ）
A．4cm B．4❑√6cm C．2❑√21cm D．2❑√29cm
5．如图，《九章算术》记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长
一尺．问径几何？如图，其大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，
用锯子去锯这根木材，锯口深CD为1寸，锯道AB长1尺（1尺=10寸），问圆形木
材的直径是（ ）A．26寸 B．13寸 C．12寸 D．5寸
6．排水管的截面如图，水面宽AB＝8dm，圆心O到水面的距离OC＝3dm，则排水管的半
径等于 dm．
7．石拱桥采用圆弧形的设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工
匠对力学原理的深刻理解和应用．如图，石拱桥桥拱的半径OA=5m，拱高CD=2m，
则石拱桥的跨度AB= m．
8．只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小
组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交
于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为7cm,AB=6cm,CD=8cm．
请你帮忙计算纸杯杯口的直径d．
9．如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器−−蒸馏瓶，它的下半部分是圆球
形，其截面是圆，且当截面圆中弦AB的长为16cm时，瓶内液体最大深度CD为4cm．(1)求截面圆的半径；
(2)当瓶内液体减少时，若瓶内液体的最大深度CD降低1cm，那么截面圆中的弦AB减
少了 cm．
10．一座半圆形拱桥的截面图如图1，测得桥下水面的宽AB=16m，拱顶到水面的距离
CD=4m．
(1)求拱桥的半径；
(2)如图2，一艘宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m的货船，能否顺利通过这座拱
桥，请说明理由．
1．如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E，若AB=4，则⊙O的半径是（ ）
A．2❑√2 B．2 C．3 D．4❑√2
2.如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆
O，AB=26cm，MN为水面截线，MN=24cm，GH为桌面截线，
AB∥MN∥GH，如果将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了
7cm，则此时水面截线EF为（ ）
A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm
3．如图是一个汽油桶的截面图，其上方有一个进油孔，该汽油桶的截面直径为50dm，此
时汽油桶内液面宽度AB=40dm，现在从进油孔处倒油，当液面AB=48dm时，液面
上升了 dm．
4．一辆高为2.5m，宽为1.6m的卡车，要经过如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥
洞，已知半圆直径为2m，长方形另一边长为2.3m.（1）此卡车能否通过桥洞？请说明理由；
（2）如图，若想把桥洞改为双行道且使宽1.2m，高2.8m的卡车安全通过，那么此桥
洞的宽至少应增加到多少米？
5．问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光
启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的
情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O，如图②，OM始终垂直于水平面，设
筒车半径为2米，当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过
95秒后该盛水筒运动到点B处．问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
(2)求筒车水面AC的宽度；
(3)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据
❑√2≈1.414，❑√3≈1.732）
