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第 24 章 圆过关测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1． 的半径为 ，若点P到圆心的距离为 ，点P在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题关键是掌握点与圆的位置关系．
根据点与圆的位置关系的意义，先找出点到圆心的距离与半径的关系，再作判断．
【详解】解：∵点P到圆心的距离为 ，
而O的半径为 ，
∴点P到圆心的距离等于圆的半径，
∴点P在圆上，
故选：B．
2．下列图形中的线段 是圆的直径的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆周角定理推论： 度的圆周角所对的弦是直径，据此逐项
分析即可得出答案
【详解】解：A．图中直角 不是圆周角，所以线段 不是圆的直径，故选项不
符合题意；
B．图中直角 不是圆周角，所以线段 不是圆的直径，故选项不符合题意；
C．图中直角 是圆周角，所以线段 是圆的直径，故选项符合题意；
D．图中直角 是圆周角，但是点A不在圆上，所以线段 不是圆的直径，故选
项不符合题意；
故选：C．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦B．长度相等的弧是等弧
C．平面上的三个点可以确定一个圆
D．三角形的内心是三角形三条角平分线的交点
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂径定理，等弧，内心，确定圆的条件，
根据定义和性质逐项判断解答即可.
【详解】解：因为平分弦的直径不一定垂直于弦，如：两条直径互相平分，但是不一定
垂直，所以A不正确；
因为在不同的圆中长度相等的弧不是等弧，所以B不正确；
因为平面上不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，所以C不正确；
因为三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以D正确.
故选：D.
4．如图，点A，B，C均在 上，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，由 ，
根据圆周角定理即可求得 的度数．
【详解】解： ，
．
故选：D．
5．如图，已知 、 为 的切线， 、 为切点，若 ， ，则
的切线 （ ） ．A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，圆的切线的性质，熟练掌握圆的切
线的性质是解题关键．
根据题意，证得 ，利用全等三角形的性质即可求解．
【详解】解： 、 为 的切线， 、 为切点，
， ， ，
，
在 和 中，
，
，
．
故选：A．
6．一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该扇形的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，掌握圆锥的侧面积公式为 （ 为底
面半径， 为母线长）成为解题的关键．直接运用圆锥的侧面积公式求解即可．
【详解】解：该扇形的面积是为 ．
故选C．
7．如图，点 、 、 、 在同一条直线上，点 在直线 外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握经过不在同一直线上的三点可作圆是解题关键．
由点 、 、 、 在同一条直线上，点 在直线 外，即可求解
【详解】解：根据题意可知，点 、 、 、 在同一条直线上，不能确定圆，
点 在直线 外，则点 ；点 ；点 ；点 ；点
；点 ；不在同一直线上，可以画圆，
即能画圆的个数是6个
故选：D．
8．如图，正方形 是 的内接正方形，点P是劣弧 上不同于点C的任意一点，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方形的性质，同弧所对的圆周角相等，连接 ，根据正方
形的性质得到 ，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴故选：D．
9．如图所示， 分别与 相切于 两点，点 为 上一点，连接 ，
若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、四边形的内角和，熟练掌握相关知识点
是解题的关键．连接 ， ，根据切线的性质得到 ，根据四边
形的内角和求出 的度数，再利用圆周角定理即可求出 的度数．
【详解】解：如图，连接 ， ，
∵ 分别与 相切于 两点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
10．在 中， ， ， ， 是以点 为圆心，2为半径的圆
上一点，连接 ， 为 的中点，则线段 长度的最大值为（ ）A．5 B．3.5 C．4.5 D．4
【答案】B
【分析】取 的中点 ，连接 ， ， 根据三角形中位线的性质和直角三角
形斜边中线等于斜边一半求出 和 长，再根据三角形的三边关系确定 长度的
范围，从而确定 的最小值．
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ， ，
∵ 是 的中点， 是 的中点， ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
在 中， ， ，
由勾股定理得，
∵ 为 斜边的中线，
∴ ，
在 中， ，即 ，
∴ 的最大值为3.5．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的性质，直角三角形的性质及中位线的性质，利用三角形三边关系确定线段的最值问题，构造一个以 为边，另两边为定值的三角形是解答此题
的关键．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
11．若 的半径为 ，点P到圆心的距离为 ，则点P与 的位置关系是 ．
【答案】P在 内
【分析】本题考查点与圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，利用点和圆的位
置关系的相关知识解答．根据题意可知，点到圆心的距离小于半径，然后即可得到点
P与 的位置关系．
【详解】解：∵ 的半径为 ，点P到圆心的距离为 ， ，
∴点P与 的位置关系是点P在 内，
故答案为：P在 内．
12．如图，四边形 内接于 ， ．则 的度数是
【答案】 / 度
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题
的关键．
先根据圆内接四边形的性质 ，再根据 进行求解即可．
【详解】解：∵四边形 内接于 ，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为 ．
13．如图， 、 分别切 于A、B两点，并与 的另一条切线分别相交于C、D两
点，已知 ，则 的周长为 ．【答案】
【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
由切线长定理可得 ， ， ，进而可求得 的周长．
【详解】解：如图，设 与 切于点 ，
， ， 分别切⊙ 于点 ， ， ，
， ， ，
的周长
，
故答案为： ．
14．如图所示，扇形 从图 无滑动绕着点 旋转到图 ( )的位置，再
由图 紧贴直线运动到图 ，已知 ， ．由图 到图 点 所运动
的路径长是______(结果保留 )．【答案】
【分析】本题主要考查了弧长公式，旋转的性质，解题的关键是正确运用弧长公式进
行计算．
由图 到图 ，点 所运动的路径是以 为圆心， 为半径，圆心角为 的弧长，
利用弧长公式求解即可．
【详解】解：由图 到图 ，点 所运动的路径是以 为圆心， 为半径，圆心角
为 的弧长，
根据弧长公式 （其中 为圆心角度数， 为半径） ，
可得路径长： ，
故答案为： ．
三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，
OC，BC．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）若 ，求⊙O的半径的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰
三角形，即可求证．（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．
【详解】（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
= ．
∴∠A=∠2．
又∵OA=OC，
∴∠1=∠A．
∴∠1＝∠2．
（2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6
∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3．
设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2
∵在Rt△OEC中，
解得：
∴⊙O的半径是 ．
【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆
周角的性质进行推理证明和计算．
16．（8分）如图，点A，B，C在⊙O上，AB∥OC．(1)求证：∠ACB+∠BOC＝90°；
(2)若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长度．
【答案】(1)证明见解析；(2)BC＝6．
【分析】(1)根据圆周角定理求出∠AOB＝2∠ACB，根据平行线的性质和等腰三角形的
性质得出∠ABO＝∠BAO，∠ABO＝∠BOC，∠BAO+∠AOC＝180°，即可得出答案；
(2)求出 BOC≌△DOC ，根据全等三角形的性质得出BC＝CD，根据勾股定理求出CD即
可． △
【详解】(1)证明：∵圆弧AB对的圆周角是∠ACB，对的圆心角是∠AOB，
∴∠AOB＝2∠ACB，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO，
∵AB∥OC，
∴∠ABO＝∠BOC，∠BAO+∠AOC＝180°，
∴∠BAO+∠AOB+∠BOC＝180°，
即2∠ACB+2∠BOC＝180°，
∴∠ACB+∠BOC＝90°；
(2)延长AO交⊙O于D，连接CD，
则∠ACD＝90°，
由勾股定理得：CD＝ ＝ ＝6，
∵OC∥AB，
∴∠BOC＝∠ABO，∠COD＝∠BAO，
∵∠BAO＝∠ABO，
∴∠BOC＝∠COD，
在 BOC和 DOC中
△ △∴△BOC≌△DOC(SAS)，
∴BC＝CD，
∵CD＝6，
∴BC＝6．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形
的性质，圆周角定理，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．
17．（8分）一个圆锥的侧面展开图是半径为 ，圆心角为120°的扇形，求：
（1）圆锥的底面半径；
（2）圆锥的全面积.
【答案】（1）圆锥的底面半径为 ；（2）
【分析】（1）扇形的弧长公式= ，利用展开后扇形的弧长即为展开前圆锥底面圆
的周长求出半径；
（2）S = ，（r =扇形半径即圆锥母线长，r =底面圆半径）将已知条件代
圆锥 1 2
入即可.
【详解】解：（1）设圆锥的底面半径为 ，
扇形的弧长 ，
∴
解得， ，即圆锥的底面半径为 ；（2）圆锥的全面积
【点睛】本题考查圆锥相关的计算，要求掌握圆锥侧面积与底面积的计算公式，侧面
展开图扇形相关的面积和弧长的求算，注意求圆锥面积时母线与底面圆半径的区分.
18．（8分）要把残破的图形模具修复完整，已知弧上三点 .
（1）找出模具的圆心；
（2）若 是等腰三角形，底边 ，腰 ，求模具的半径 .
【答案】（1）如图所示见解析；（2）R= .
【分析】（1）作线段AB与线段AC的垂直平分线，其交点即为圆心O；
（2）连接OA交BC于D，在Rt BDO中，解直角三角形即可解决问题．
【详解】解：（1）如图所示，△点O即为所求；
（2）连结OB、 ，则 于 ，
，
∴ ，则
设半径为 ，在Rt BDO中，由勾股定理得
△
∴R= .
故答案为（1）如图所示见解析；（2）R= .
【点睛】本题综合考查垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图，要注意作图和解题中垂径定理的应用．
19．（8分）晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直
径．以下是他的测量方案和相关数据：
测量主
测量碗口的直径
题
测量工 一张矩形纸条和刻度尺
具
测量方 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于 ， ， ， 四
案 点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度
实物图
及测量
示意图
测量说 CD为纸条上沿与碗口相交的线段， 为纸条下沿与碗口相交的线段，测量
明 时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动
测量数 ， ，纸条宽度 ．
据
请你根据上述方案和数据计算出碗口直径．
【答案】直径为
【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是
解题的关键．先过O点作 交 于点E，延长 交 于点F．结合垂径定
理得 ， ，再根据勾股定理列式 ，
因为半径相等得 ，解得 ，即可作答．
【详解】解：如图所示，假设O点为圆心所在位置．
过O点作 交 于点E，延长 交 于点F．连接由矩形纸条可得 ，
∵
∴ ，即E，O，F三点共线,
∵纸条宽度 ．
∴
∵ ， ， ，
∴ ，
设 ，
则 ，
则
∵半径相等，
∴
∴
解得 ，
∴ ,
答：碗口直径为
20．（8分）已知 是 的直径，点 是 延长线上一点， ， 是 的
弦， ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ，垂足为 的半径为 ，求 的长．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，由圆周角定理可求得
，则 ，可证明直线 是 的
切线；
（2）若 于点 ，根据垂径定理可证明 ，在 中，
， ，则 ，已知 的半径 ，则
，根据勾股定理可以求出 的长，进而求出 的长．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，且 ，
∴直线 是 的切线．
（2）解：∵ 是 的直径，且 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】此题考查圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形
中 角所对的直角边等于斜边的一半等知识，此题综合性较强，难度较大．
21．（10分）数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究
活动：
(1)如图1，点A、B、C在 上，点D在 外，线段 与 交于点E、F，
试猜想 _____ （请填“>”、“<”或“=”），并证明你的猜想；
(2)如图2，点A、B、C在 上，点D在 内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？
若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明；
(3)如图3，四边形 是 的内接四边形， ， ， ，
，求 的长度．
【答案】(1)＜；证明见解析
(2)不成立； ；证明见解析
(3)
【分析】（1）四边形 为圆O的内接四边形，则 ，在
中， ，即可求解；
（2）延长 交圆O于点E，则 ，在 中， ，即可
求解；
（3）延长 交于E，求得 ，在 和 中，利用直角三
角形的性质结合勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：连接 ，∵四边形 为圆O的内接四边形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：（1）的结论不成立， ，理由：
延长 交圆O于点E，连接 ，
则 ，
在 中， ，
∴ ，
即 ；
（3）解：延长 交于E，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆的有关知识，直角三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形的
对角互补等知识，理解准圆内接四边形的定义是本题的关键，添加恰当辅助线是本题
的难点．
