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专题 25 概率的初步（八大题型）
【题型1事件类型】...........................................................1
【题型2可能性大小】.........................................................3
【题型3 概率的意义】.........................................................5
【题型4几何概
率】............................................................10
【题型5概率公
式】............................................................14
【 题 型 6 列 表 法 与 树 状 图
法】....................................................16
【 题 型 7 游 戏 的 公 平
性】........................................................25
【 题 型 8 用 频 率 估 计 概
率】......................................................31
【题型1事件类型】
1．有两个事件，事件A：3人中至少有2人性别相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝
上的面的点数为2的倍数．下列说法正确的是（ ）
A．事件A、B都是随机事件
B．事件A、B都是必然事件
C．事件A是随机事件，事件B是必然事件
D．事件A是必然事件，事件B是随机事件
【答案】D
【分析】本题考查主要事件的分类，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可
能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生
也可能不发生的事件．
先分别判定事件A、B的类型，然后结合选项即可解答．
【详解】解：对于事件A，由人的性别只有两种(男、女)，根据抽屉原理，3个人中至
少有2人的性别是相同的，所以事件A是必然事件；
对于事件B，抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能为1，2，3，4，5，6，点数为2的倍数的结果有3种，分别是2、4、6，但也有可能出现不为2的倍数的结果，如1、
3、5，所以事件B是随机事件．
综上，仅有D选项符合题意．
故选：D．
2．下列事件中属于随机事件的是（ ）
A．正数大于负数
B．三角形的内角和是180°
C．乘坐公共汽车恰好有座位
D．从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球
【答案】C
【分析】本题考查事件的分类．解题的关键是掌握必然事件是一定条件下，一定会发生
的事件，不可能事件是一定条件下，一定不会发生的事件，随机事件是一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件．根据事件的分类，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、正数大于负数是必然事件，不符合题意；
B、三角形的内角和是180°是必然事件，不符合题意；
C、乘坐公共汽车恰好有座位是随机事件，符合题意；
D、从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球是不可能事件，不符合题意；
故选C．
3．汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极
强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ）
A．瓮中捉鳖 B．拔苗助长 C．水中捞月 D．守株待兔
【答案】D
【分析】本题考查了事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件
是不可能事件，可能会发生的事件是随机事件，据此判定即可求解．
【详解】解：A、瓮中捉鳖是必然事件，A不符合题意；
B、拔苗助长是不可能事件，B不符合题意；
C、水中捞月是不可能事件，C不符合题意；
D、守株待兔是随机事件，D符合题意；
故选：D．
4．下列事件是必然事件的是（ ）
A．掷一枚硬币，正面向上 B．篮球运动员投篮一次，未投中C．任意画一个三角形，其内角和是180° D．经过有信号灯的路口，遇到绿灯
【答案】C
【分析】本题考查的是事件的分类，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可
能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件
下，可能发生也可能不发生的事件；根据事件发生的可能性大小判断，即可得解，熟练
掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意；
B、篮球运动员投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意；
D、经过有信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意；
故选：C．
【题型2可能性大小】
1．一个箱子里有红球3个，白球4个，蓝球5个，黑球6个，任意摸出一个球，最有可能
摸到的是（ ）
A．红球 B．白球 C．蓝球 D．黑球
【答案】D
【分析】本题考查可能性大小的知识点，在摸球的问题当中，某个颜色的球数量越多，
被摸到的可能性越大．本题中可能性的大小由各颜色球的数量决定，数量最多的球被摸
到的可能性最大．
【详解】箱子里红球3个，白球4个，蓝球5个，黑球6个．比较各颜色球的数量可知，
黑球数量最多（6个），因此任意摸出一个球，最有可能摸到黑球．
故选：D．
2．抛一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）
A．每抛2次，一定有一次反面朝上 B．可能有5次反面朝上
C．一定有5次反面朝上 D．不可能10次全是反面朝上
【答案】B
1
【分析】本题考查的是事件可能性的大小，每次抛硬币正反面朝上的概率均为 ，但实
2
际结果可能偏离理论值，逐一分析选项即可．
【详解】解：A、每抛2次不一定有一次反面，例如，两次均可能为正面，故“一定”不成立，故本选项不符合题意；
B、抛10次硬币，可能出现5次反面，属于可能事件，符合概率规律，故本选项符合题
意；
C、实际结果可能偏离5次反面，如出现4次或6次反面，故“一定有”不成立，故本
选项不符合题意；
D、虽然10次全为反面的概率极低，但并非不可能，故“不可能”错误，故本选项不符
合题意；
故选：B．
3．天气预报显示，某地下周一到周五的降水概率如图所示，则当地居民下周一到周五出门
时，最有可能带雨具的是（ ）
A．周一 B．周二 C．周四 D．周五
【答案】B
【分析】本题考查了随机事件可能性大小．比较每天的可能性大小作答即可．
【详解】解：∵10%<20%<25%<30%<70%，
∴当地居民下周一到周五出门时，最有可能带雨具的是周二．
故选：B．
4．在下面（ ）盒子中，摸到红球的可能性最大．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查可能性大小的判断，不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有
关，数量越多，可能性越大，反之则越小，数量相同，可能性也相同．理解不确定事件
发生的可能性的大小与事物的数量有关．
2
【详解】解：A选项，摸到红球的可能性 ；
34
B选项，摸到红球的可能性 ；
13
1
C选项，摸到红球的可能性 ；
2
D选项，摸到红球的可能性0；
根据上面的分析，在上面A盒子中，摸到红球的可能性最大．
故选：A．
5．某路口红绿灯的时间设置如下：直行绿灯40秒，左转绿灯20秒，红灯60秒，黄灯3秒．
出租车经过该路口，遇到哪一种灯的可能性最大（ ）
A．直行绿灯 B．左转绿灯 C．红灯 D．黄灯
【答案】C
【分析】本题考查了判断发生可能性的大小，根据题意可得红灯的时间最长，则遇到哪
一种灯的可能性最大，据此，即可求解．
【详解】解：依题意，红灯的时间最长，则遇到哪一种灯的可能性最大，
故选：C．
【题型3概率的意义】
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，前5次都正面朝上，第6次正面朝上的概率是（ ）
1 1 1
A．不能确定 B． C． D．
4 3 2
【答案】D
【分析】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键．
利用概率的意义直接得出答案．
【详解】解：某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币5次，结果都是正面朝上，
则他第6次抛掷这枚硬币，有两种等可能的结果：正面向上与反面向上．
1
正面朝上的概率为： ，
2
故选D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．“清明时节雨纷纷”所描述的事件，是随机事件
B．“若a是实数，则|a)≥0”是不可能事件
C．小明进行掷硬币试验，扔了10次，有3次正面朝上，所以硬币正面朝上的概率为0.3
1
D．若抽奖活动的中奖概率为 ，则抽奖40次必中奖1次
40
【答案】A
【分析】本题考查了事件的分类，概率的意义，根据事件的分类，概率的意义逐一分
析各选项即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：A、“清明时节雨纷纷”描述的是可能发生也可能不发生的天气现象，
属于随机事件，原选项正确，符合题意；
B、实数a的绝对值|a)≥0恒成立，是必然事件，而非不可能事件，原选项错误，不符
合题意；
C、概率是理论值，需通过大量试验趋近，10次试验仅为频率，不能直接作为概率，
原选项错误，不符合题意；
1
D、中奖概率为 ，仅表示每次抽奖的可能性，40次抽奖是独立事件，不保证必中奖，
40
原选项错误，不符合题意；
故选：A．
3．某社区开展“垃圾分类”知识竞赛，题库中环保类题目占60%，小明随机抽取一题，抽
到环保类题目的概率是（ ）．
A．0.4 B．0.6 C．1 D．0.5
【答案】B
【分析】本题可根据概率的意义，直接由环保类题目在题库中的占比得到抽到环保类
题目的概率．
【详解】解：∵题库中环保类题目占60%=0.6，
∴抽到环保类题目的概率是0.6，
故选：B ．
4．下列说法正确的是（ ）
A．“长沙市明天降雨的概率为75%”，意味着长沙市明天有75%的时间下雨
B．投掷一枚质地均匀的硬币10000次，出现正面朝上的次数不一定是5000次
C．“从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块9”是不可能事件
D．“某彩票中头奖的概率是0.0001”，表示买10000张这种彩票一定会有1张中头奖
【答案】B
【分析】本题考查了可能性的大小，根据事件的分类，概率值越大，表示事件发生的可能性越大，但不一定必然发生进行判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：A、“长沙市明天降雨的概率为75%”，即下雨的可能性较大，故该选
项不符合题意；
B、投掷一枚质地均匀的硬币10000次，出现正面朝上的次数不一定是5000次，故该
选项符合题意；
C、“从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块9”是随机事件，故该选项不
符合题意；
D、“某彩票中头奖的概率是0.0001”，表示买10000张这种彩票不一定会有1张中头
奖，故该选项不符合题意；
故选：B．
5．关于概率意义的理解，下列说法正确的是（ ）
A．一种彩票中奖概率是5%，因此买100张这种彩票，一定会有5张中奖
3
B．做抛图钉的试验5次，有3次钉尖着地，因此钉尖着地的概率为
5
C．掷一枚质地均匀的硬币3次，有2次正面朝上．若再掷一次，则正面朝上的概率仍
1
是
2
D．射击试验中，射击一次有“中靶”和“脱靶”两种结果，因此“中靶”与“脱
1
靶”的概率都是
2
【答案】C
【分析】本题考查了概率的意义，解决本题的关键是掌握概率的意义．
【详解】A．一种彩票中奖概率是5%，买100张这种彩票，只是说中奖的可能性较大，
但不是一定会有5张中奖．因为每次购买彩票都是独立的随机事件，有可能买100张
中奖张数不是5张，甚至可能一张都不中奖，该选项错误，故不符合题意；
3
B．做抛图钉的试验5次，3次钉尖着地， 只是这5次试验中钉尖着地的频率，而概
5
率是在大量重复试验下，某一事件发生的稳定值，仅5次试验次数太少，不能据此确
定钉尖着地的概率，该选项错误，故不符合题意；
C．掷一枚质地均匀的硬币，无论之前掷的结果如何，每次掷硬币正面朝上和反面朝上1
的概率都是 ，因为硬币质地均匀，这两种结果出现的可能性是相等的，该选项正确，
2
故符合题意；
1
D．射击试验中，“中靶”与“脱靶”的概率不一定都是 ．概率大小取决于射击者的
2
1
技术水平、射击环境等多种因素，不是简单的两种结果就各占 ，该选项错误，故不
2
符合题意；
故选：C．
6．下列说法正确的是（ ）
A．一种福利彩票中奖率是千分之一，则买这种彩票1000张，一定会中奖
B．天气预报“明天降水概率为10%”，是指明天有10%的时间会下雨
1
C．连续掷一枚均匀硬币，若4次都是正面朝上，则第五次正面朝上的概率为
2
D．投掷一个瓶盖，第101次投掷时盖口朝上的频率比第100次投掷时更接近盖口朝上
的概率
【答案】C
【分析】此题主要考查了概率的意义，正确掌握概率的实际意义是解题关键．
直接利用概率的意义逐项判断即可．
【详解】解：A、一种福利彩票中奖率是千分之一，但买这种彩票1000张，也不一定
会中奖，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、天气预报“明天降水概率10%”，是指明天下雨的可能性是10%，原说法错误，故
此选项不符合题意；
1
C、连续掷一枚均匀硬币，若4次都是正面朝上，则第5次的概率为 ，正确，故此选
2
项符合题意；
D、投掷一个瓶盖，第101次投掷时盖口朝上的频率比第100次投掷时不一定更接近盖
口朝上的概率，原说法错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
7．如图是小明2025年4月3日查看某地区连续6天的天气预报列表（6行3列），其中对
于第2行第2列位置中的数字“60%”表示的实际意义最可能是（ ）A．表示该地区可能有60%的地区会下小雨
B．表示可能有60%的小雨会下在该地区
C．表示该地区会下小雨的概率为60%
D．表示该地区的最低温度为13℃的概率为60%
【答案】C
【分析】本题考查了概率的意义掌握概率的定义是解题的关键．
根据概率的意义解答即可．
【详解】解：对于第2行第2列位置中的数字“60%”表示的实际意义最可能是表示
该地区会下小雨的概率为60%，
故选：C．
8．抛一枚质地均匀的六面体骰子，连续抛10次，落地时有4次6点朝上，如果第11次抛掷
这枚骰子，那么6点朝上的概率为（ ）
2 1 1 1
A． B． C． D．
5 6 3 2
【答案】B
【分析】此题考查了概率的意义以及概率公式，明确概率的意义以及概率的计算方法
是解答的关键．
直接利用概率的意义分析得出答案．
【详解】解：∵概率是频率（多个）的波动稳定值，在大量重复实验中，如果事件A
m
发生的频率 会稳定在某个常数P附近，那么这个常数P就叫做事件A的概率，
n
∴抛六面体骰子10次的结果不是概率，
∵抛六面体骰子有6种情况，1
∴ 6点朝上的概率为 ，
6
故选：B．
【题型4几何概率】
1．如图，在由4个边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，
若随机向此正方形网格中投针，则落在△ABC内部的概率是（ ）
1 3 3 3
A． B． C． D．
2 4 8 2
【答案】C
【分析】本题考查了概率公式，熟练运用概率公式是解题的关键．
先求出三角形ABC的面积，然后用概率公式计算．
【详解】解：正方形面积=2×2=4，
1 1 1 3
三角形ABC的面积=2×2− ×2×1− ×2×1− ×1×1= ，
2 2 2 2
3
则落在△ABC内部的概率是2 3．
=
4 8
故选：C．
2．已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，
其“落在海洋里”发生的可能性（ ）“落在陆地上”的可能性．
A．大于 B．等于 C．小于 D．三种情况都有可能
【答案】A
【分析】本题考查了几何概率的求法，理解题意是解题的关键．将地球总面积分为10
份，海洋占7份，分别求出落在海洋里的概率和陆地上的概率，从而得到答案．
【详解】解：已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7，即相当于将地球总面
7 3
积分为10份，海洋占7份，所以落在海洋里的概率是 ，落在陆地上的概率是 ，
10 10所以 “落在海洋里”的可能性更大．
故答案为：A．
3．随机转动如下图的游戏转盘，当转盘停止转动后，指针落在“D”所示区域内的概率是
（ ）
5 1 5 1
A． B． C． D．
6 3 12 12
【答案】C
【分析】先求出“D”区域所占圆心角的度数，再根据概率的计算公式求解即可．本题
主要考查了概率公式，正确理解几何概率的求法是解题关键．
【详解】解：“D”区域所占圆心角的度数为:360°−60°−120°−30°=150°，
150 5
∴指针落在“D”所示区域内的概率是 = ．
360 12
故选：C．
4．如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，B´D的半径为AB，圆心为点A．若在
△ABC内任取一点，则这个点恰好在图中的阴影部分的概率为（ ）
2 π 3 ❑√2π
A． B． C． D．
π 4 π 5
【答案】B
【分析】本题考查了几何概率，扇形的面积．先求得S 和S ，再利用概率
扇形ABD △ABC
公式求解即可．
【详解】解：∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠A=45°，
设BA=BC=a，1 45πa2 1
∴S = a2 ，S = = πa2，
△ABC 2 扇形ABD 360 8
1
πa2
8 π
∴这个点恰好在图中的阴影部分的概率为 = ，
1 4
a2
2
故选：B．
5．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”．如图，矩形ABCD是以斐波那契数为边长的
正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的
弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的
概率为（ ）
π π 1 3
A． B． C． D．
8 4 4 4
【答案】B
【分析】本题考查了几何概率，解题的关键是熟知概率公式的运用．利用扇形面积公
式求出阴影部分的面积，利用概率公式即可求解．
【详解】解：设最大正方形的边长为a，则正方形的面积S=a2，其内部扇形的面积
90×πa2 πa2
S'= = ，
360 4
S' π
其面积之比为 = ，
S 4
π
其它以下图形的面积之比同理可得也是 ，
4
由几何概型的概率求解公式可得，矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率
π
为 ．
4
故选：B．
6．如图，正方形ABCD的边长为2，分别以A、C为圆心，正方形的边长为半径画弧，在
正方形ABCD中随机抛掷一粒豆子，则豆子落在阴影区域内的概率为（ ）π−2 π−2 π−1 π−1
A． B． C． D．
2 4 2 4
【答案】A
【分析】考查了几何概率的求法，求扇形面积，解题的关键是求得阴影部分的面积．
用阴影部分的面积除以正方形的总面积即可求得概率．
90π×22 1
【详解】解：S =2S −S =2× −22= π×22−22=2(π−2)
阴影 扇形 正方形 360 2
2(π−2) π−2
所以在该正方形内随意抛一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率为 =
22 2
故选：A．
7．如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB=15，AC=9，
BC=12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带
上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
6 8 5 9
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形内切圆的性质、几何概率等知识
点，根据三角形内切圆的性质求出圆的半径是解题关键．
先根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积公式、三
角形内切圆的性质求出圆的半径，然后根据圆的面积公式求出阴影部分的面积，最后
利用概率公式计算即可．
【详解】解：∵AB=15，AC=9，BC=12，
∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，
如图，设内切圆的半径为r，则S =S +S +S ，
△ABC △AOC △BOC △AOB
1 1 1 1
∴ AC⋅BC= AC⋅r+ BC⋅r+ AB⋅r，
2 2 2 2
1 1 1 1
∴ ×9×12= ×9⋅r+ ×12⋅r+ ×15⋅r，解得：r=3，
2 2 2 2
1 1
∴△ABC的面积为 AC⋅BC= ×9×12=54，内切圆的面积为πr2=9π，
2 2
9π π
∴小鸟落在花圃上的概率为P= = ．
54 6
故选A．
【题型5概率公式】
1．从1，2，1.5，−4四个数中随机抽取1个数，这个数是负数的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 6
【答案】C
【分析】本题主要考查了求概率．直接利用概率公式解答即可．
【详解】解：1，2，1.5，−4四个数中有一个负数，
1
所以这个数是负数的概率是 ．
4
故选：C
2．分别写有数字0，−1，−2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一
张，那么抽到非负数的概率是（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】C
【分析】本题考查了概率公式，非负数概念，根据非负数的概念，判断题目中非负数的个数，再利用概率公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：数字0，−1，−2，1，3中，非负数为0，1，3，共3个，
3
∴抽到非负数的概率是 ，
5
故选：C．
3．在一个不透明的盒子中装有8个白球，4个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若
从中随机摸出一个球为白球的概率是（ ）
2 1 1 3
A． B． C． D．
3 3 2 4
【答案】A
【分析】本题考查了概率公式，掌握概率的定义是解题的关键．
根据概率的定义解答即可．
8 8 2
【详解】解：由题意可知，白球个数占球总数的 = = ，
4+8 12 3
2
故随机摸出一个球为白球的概率是 ．
3
故选：A．
4．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路
径，则它获得食物的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 6
【答案】C
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率．由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅
食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，观察图可得：它有6种路径，
且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会
随机地选择一条路径，
∴它有8种路径，∵获得食物的有2种路径，
2 1
∴获得食物的概率是： = ．
8 4
故选：C．
5．一学校共有200人，其中参加物理竞赛的有120人，参加化学竞赛的有80人，两种都
不参加的有20人，则在学校中随机抽取一人，两科竞赛都参加的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
10 15 9 20
【答案】A
【分析】本题主要考查了简单概率的计算，解题的关键是熟练掌握简单概率的计算公
式．
根据题意求出两科都参见的人数，再根据简单概率计算的公式进行求解即可．
【详解】解：根据两种都不参加的有20人得，至少参加一科的人数为200−20=180
（人），
∴两科都参见的是120+80−180=20（人），
20 1
∴两科竞赛都参加的概率为 = ，
200 10
故选：A．
6．在一副完好的扑克牌中随机抽取一张牌，恰好抽中的是“方片3”的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
4 10 13 54
【答案】D
【分析】此题考查了概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性
m
相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P(A)= ．
n
根据一副完整扑克牌的特点，得出扑克牌是“方片3”的张数，再根据概率公式即可得
出答案．
【详解】解：∵一副有 54 张的完整扑克牌中，扑克牌是 “方片3”的有1张，
1
∴从中随机抽取一张，抽得的扑克牌是“方片3”的概率是 ；
54
故选：D．
【题型6列表法与树状图法】1．不透明的袋子中装有2个红球和1个绿球，它们除颜色外无其他差别．从中随机摸出一
个小球，不放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸
到绿球的概率是（ ）
4 2 2 1
A． B． C． D．
9 9 3 3
【答案】D
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列
出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验
还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
画树状图得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，
即可确定出所求的概率．
【详解】解：画树状图如下：
所有等可能的情况有6种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有2种情况，所
2 1
以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为 = ，
6 3
故答案为：D．
2．某口袋里放有编号为1—4的4个球，先从中摸出一球，记下号码，将它放回口袋搅匀
后，再摸一次，两次摸到的球号码相同的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
16 12 4 8
【答案】C
【分析】本题考查列举法求概率，通过画树状图或列表的方式找出所有情况，以及两
次摸到的球号码相同的情况数，根据概率公式即可求解．
【详解】解：画树状图如下：
由图可得，共有16种等可能情况，其中两次摸到的球号码相同的情况共4种，故概率4 1
为 = ．
16 4
故选：C
3．随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）
1 1 1
A．1 B． C． D．
2 4 8
【答案】C
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；根据列举法可进行
求解．
【详解】解：随机掷一枚质地均匀的硬币两次，情况有（正，正），（正，反），
（反，正），（反，反）共4种情况，其中两次正面都朝上的有1种情况，所以两次
1
正面都朝上的概率是 ；
4
故选C．
4．如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入
口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从A口进入，从E口离开的概率是（
）
1 1 2 1
A． B． C． D．
6 3 3 2
【答案】A
【分析】本题主要考查了用列表法求概率，熟练掌握列表法列出所有等可能结果并结
合概率公式计算是解题的关键．通过列表法列出所有入口和出口的组合情况，再找出
从A口进入且从E口离开的情况数，最后根据概率公式计算概率．
【详解】解：列表
出口入口 B C E
A (A,B) (A,C) (A,E)D (D,B) (D,C) (D,E)
由列表可知，共有6种等可能的结果．
其中从A口进入，从E口离开的结果只有1种，即(A,E)．
1
所以P= ．
6
故选：A．
5．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》（如图），它是儒家思想
的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先
随机抽取一本．不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大
学》的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
12 6 4 3
【答案】B
【分析】此题考查了用树状图或列表法求概率，用树状图把所有情况列出来，即可求
解，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式．
【详解】解：画树状图如下，
∴一共有12种等可能结果，抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的有2种，
2 1
∴抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率 = ，
12 6
故选：B．
6．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚正面向上，另一枚反面向上的概率是（ ）1 1 1 3
A． B． C． D．
4 3 2 4
【答案】C
【分析】本题考查了画树状图或列表法求随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所
求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
画树状图，共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结
果，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图得：
由树状图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种
结果，
2 1
∴一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为 = ．
4 2
故选：C．
7．小明制作了3张卡片，分别涂上了红、黑、蓝三种颜色．从这三张卡片中一次随机抽取
两张，恰好是“红、蓝”的概率是（ ）
2 1 1 1
A． B． C． D．
3 2 3 6
【答案】C
【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式是解题的关键．先画
出树状图，列出所有等可能的出现结果，从而得出随机抽取两张恰好是“红、蓝”的
结果数，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，从这三张卡片中一次随机抽取两张恰好是“红、蓝”的结果有2个，
2 1
∴从这三张卡片中一次随机抽取两张，恰好是“红、蓝”的概率是 = ．
6 3
故选：C ．
8.一个不透明的袋子里装有2个白球，1个黑球，这些球除颜色不同外，其余都相同．
(1)从中任意摸出1个球是白球的概率；
(2)现从袋子中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个小球，记下颜色，
请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求摸到的两个球中恰好有一个球
是黑球的概率．
2
【答案】(1)
3
4
(2)
9
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计
算公式是解题的关键．
（1）用白球的个数除以球的总数即可得到答案；
（2）先列表得到所有的结果数，再找到摸到的两个球中有一个球是黑球的结果数，最
后根据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有3个球，其中白球有2个，且每个球被摸出的概率相同，
2
∴从中任意摸出1个球是白球的概率为 ；
3
（2）解：设两个白球分别用A、B表示，黑球用C表示，列表如下：
第一次第二次 A B C
A (A,A) (B,A) (C,A)
B (A,B) (B,B) (C,B)
C (A,C) (B,C) (C,C)
由表格可知，一共有9种等可能性的结果，其中摸到的两个球中恰好有一个球是黑球
的结果有4种，
4
∴摸到的两个球中恰好有一个球是黑球的概率为 ．
9
9．为提高学生的动手能力，师一学校引入了劳动课程，并从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A．优秀；B．良好；C．合格；
D．不合格．并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图如图所示．
根据上述信息，解答下列问题．
(1)本次抽样调查的学生人数为______，并补全条形统计图；
(2)求扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角的度数；
(3)在这次劳动课程中，九（1）班共有3名学生获得了优秀，3名学生中有1名男生和
2名女生，班主任决定从这3名学生中随机选出2名学生在班级做心得分享，请用列表
或画树状图的方法，求所选2名学生恰好是1男1女的概率．
【答案】(1)50人，图见解析
(2)等级C所对应扇形的圆心角的度数57.6°
2
(3)从这3人中随机所选2人中恰好是1男1女的概率为
3
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用、用树状图或表格求概率；
（1）先由成绩优秀的学生人数除以所占百分比求出一共随机抽取的学生人数，然后用
抽取学生总人数减去其余组的人数求出等级C人数，据此补全条形统计图
即可解决问题；
（2）根据等级C人数所占的百分比乘以360°，求出等级C所对应扇形的圆心角的度
数即可；
（3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中从这3人中随机所选2人恰好是一男一
女的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：本次抽样调查的学生人数为16÷32%=50人，
等级C人数是50−16−24−2=8人，
补全条形统计图如下：8
（2）解：等级C所对应扇形的圆心角的度数=360°× =57.6°；
50
（3）解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中从这3人中随机所选2人中恰好是1男1女的结果有4种，
4 2
∴从这3人中随机所选2人中恰好是1男1女的概率为 = ．
6 3
10．名著赏析课上，张老师要求每位同学讲述一个关于西游记的小故事，因此制作了一个
可以自由转动的转盘，将其分成四个完全相同的扇形，把西游记中的部分人物名称
（师父：唐僧，徒弟：孙悟空、猪八戒、沙悟净）分别写在每个扇形区域内（如图所
示）．每位同学转动一次转盘，转盘停止后，指针所指区域内的人物即为所要讲述小
故事的主角（若指针指向两个扇形的分界线，则不计次数，重新转动，直到指针指向
一个扇形区域为止）．
(1)求该班同学小明讲述的小故事的主角是徒弟的概率；
(2)请你用列表或画树状图的方法，求该班同学小美和小丽所讲述的小故事的两个主角
是师徒关系的概率．
3
【答案】(1) ；
43
(2) ．
8
【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式以及列表法求概率是解题的
关键．
（1）先确定总情况数和主角是徒弟的情况数，再根据概率公式计算．
（2）通过列表法列出所有可能的结果，再找出两个主角是师徒关系的结果数，最后用
概率公式计算．
【详解】（1）解：∵ 转盘被分成四个完全相同的扇形，分别写有唐僧、孙悟空、猪
八戒、沙悟净，其中徒弟有孙悟空、猪八戒、沙悟净，共3种情况，
3
P（主角是徒弟）= ；
4
∴
（2）解：设唐僧为A，孙悟空为B，猪八戒为C，沙悟净为D，列表如下：
小美 \ 小丽 A B C D
A (A,A)(A,B) (A,C)(A,D)
B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D)
C (C,A)(C,B) (C,C)(C,D)
D (D,A)(D,B)(D,C)(D,D)
共有16种等可能的结果，其中两个主角是师徒关系的有(A,B)、(A,C)、(A,D)、
(B,A)、(C,A)、(D,A)，共6种结果，
6 3
∴ P（两个主角是师徒关系）= = ．
16 8
11．某校成立志愿者服务队，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，
③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学
校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ．
(2)用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
1
【答案】(1)
4
1
(2)
4
【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，根据概率公式求概率，解题关键是正确列出表格或画出树状图．
（1）根据概率公式求解；
（2）先列出表格，得到等可能的结果总数，与符合条件的结果数，再求概率．
1
【详解】（1）解：李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ，
4
1
故答案为： ；
4
（2）所有可能出现的结果如下：
① ② ③ ④
① （①，①） （②，①） （③，①） （④，①）
② （①，②） （②，②） （③，②） （④，②）
③ （①，③） （②，③） （③，③） （④，③）
④ （①，④） （②，④） （③，④） （④，④）
共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，
4 1
所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率为 = ．
16 4
【题型7游戏的公平性】
1．如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、
3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有
人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下：
（1）同时转动转盘A与B．
（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，
直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那
么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理
由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由．
【答案】不公平，设计一个公平的规则见解析，理由见解析【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，
则可得用所指的两个数字作乘积的所有等可能的结果，再找出所得的积是偶数的结果、
所得的积是奇数的结果，然后利用概率公式求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得这样
的规则不公平．设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘A与B；（2）转盘停止后，
指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一
个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得
的和是奇数，那么乙胜．同样的方法求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得．
【详解】解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，用所指的两个数字作乘积，共有24种等可能的结果，其中，所得的积是偶
数的结果有18种，所得的积是奇数的结果有6种，
18 3 6 1
则甲胜的概率是P= = ，乙胜的概率是P= = ，
24 4 24 4
3 1
因为 ≠ ，
4 4
所以这样的规则不公平．
设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘A与B；（2）转盘停止后，指针各指向一
个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），
用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那
么乙胜．
这样的规则是公平的，理由如下：
由题意，画出树状图如下：
由图可知，用所指的两个数字求和，共有24种等可能的结果，其中，所得的和是偶数的结果有12种，所得的和是奇数的结果有12种，
12 1 12 1
则甲胜的概率是P= = ，乙胜的概率是P= = ，
24 2 24 2
1 1
因为 = ，
2 2
所以这样的规则公平．
2．某班有50名同学，其中男生24人，女生26人．
(1)若从50名同学中随机选取1人作为某次活动的记录员，求选到男生的概率；
(2)若只在甲、乙两人中选1人，准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将
四张牌面数字分别为1、2、3、4的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2
张，若牌面数字之和为奇数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请用树
状图说明理由；
(3)在（2）中，只将四张牌面数字分别为1、2、3、4的扑克牌中牌面数字为4的换
为5，其余都不变，请直接回答：这个游戏（填“公平”或“不公平”）．
12
【答案】(1)
25
(2)不公平，见解析
(3)公平
【分析】本题围绕概率计算与游戏公平性判断展开．
（1）先算从50名同学中选男生的概率，用男生人数除以总人数；
（2）用树状图法分析从1、2、3、4中取2张牌，按和的奇偶性决定甲乙参加，因
奇数概率大，游戏不公平；
（3）换牌为1、2、3、5，同样用树状图算出奇偶数概率相等，游戏公平；
【详解】（1）解：∵这个班有50名同学，其中男生24人，女生26人，
∴从50名同学中随机选取1人作为某次活动的记录员，
24 12
选到男生的概率是：P= = ；
50 25
（2）树状图如下：
1 2 3 4
由树状图可得：从 ， ， ， 四张扑克牌中任取2张，一共有12种等可能的结果，
其中牌面数字之和为奇数的结果有8种，牌面数字之和为偶数的结果有4种，
8 2
故牌面数字之和为奇数的概率是：P = = ，
1 12 3
4 1
牌面数字之和为偶数的概率是P = = ，
2 12 3
2 1
∵ > ，
3 3
∴甲能参加的概率大于乙能参加的概率 ，
∴这个游戏不公平；
（3）树状图如下：
1 2 3 5
由树状图可得：从 ， ， ， 四张扑克牌中任
取2张，一共有12种等可能的结果，
其中牌面数字之和为奇数的结果有6种，牌面数字之和为偶数的结果有6种，
6 1
故牌面数字之和为奇数的概率是：P = = ，
1 12 2
6 1
牌面数字之和为偶数的概率是：P = = ，
2 12 2
∴甲能参加的概率等于乙能参加的概率，
∴这个游戏公平；
3．今年10月，我市即将迎来第十五届省运会．此次省运会的吉祥物是阿福、阿仙．小明
和小颖只有一张省运会的门票，正商议着谁去观看．小明提议：我们分别在三张卡片
上写“阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取两张，能拼成阿福或
阿仙我获胜，否则你获胜．
(1)请写出小明、小颖获胜的概率
P（小明获胜）=_____，P（小颖获胜）=_____；
(2)小明的提议对小颖_____；（填“公平”或“不公平”）
(3)请你利用若干张卡片，设计一个对小明和小颖都公平的新方案．
2 1
【答案】(1) ， ；
3 3
(2)不公平；
(3)准备四张卡片，分别写“阿、阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机
抽取一张，抽到“阿”小明获胜，抽到“福”或“仙”小颖获胜．（答案不唯一）
m
【分析】本题主要考查了概率的计算与应用，熟练掌握概率公式P(A)= （其中n是
n
所有可能的结果数，m是事件A发生的结果数）是解题的关键．
（1）通过列举所有可能的抽取结果，确定小明和小颖获胜的情况数，再根据概率公式
计算概率．
（2）比较两人获胜的概率，判断是否公平．
（3）设计一个两人获胜概率相等的方案．
【详解】（1）解：从三张卡片“阿、福、仙”中随机抽取两张，所有可能的结果有：
（阿，福）、（阿，仙）、（福，仙），共3种．
能拼成“阿福”或“阿仙”的结果有2种，即（阿，福）、（阿，仙）．
2 1
所以P（小明获胜）= ，P（小颖获胜）= ，
3 3
2 1
故答案为： ， ；
3 3
2 1
（2）解：因为 ≠ ，
3 3
所以小明的提议对小颖不公平．
（3）解：示例：准备四张卡片，分别写“阿、阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一
起，从中随机抽取一张，抽到“阿”小明获胜，抽到“福”或“仙”小颖获胜．（答
案不唯一）
4．小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面
完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗
匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．若和为奇数，
则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．
(1)请你用画树状图或列表的方法，求出小明和小亮各自获胜的概率；(2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由．
4 5
【答案】(1)P = ,P =
(小明胜) 9 (小亮胜) 9
(2)不公平，见解析
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率（注意树状图与列表法可以不重不漏的
表示出所有等可能的情况）．解题的关键是理解概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）首先根据题意列表，然后分别求出和为奇数、和为偶数的概率，再利用概率公式
求解即可；
（2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性．
【详解】（1）解：根据题意，列出表格，如下：
2 3 4
2 4 5 6
3 5 6 7
4 6 7 8
总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，和为奇数有4种，和为偶数有5种，
4 5
所以P = ,P = ；
(小明胜) 9 (小亮胜) 9
（2）解：这个游戏规则对双方不公平，理由如下：
4 5
由（1）得两数之和为奇数的概率为 ，两数之和为偶数的概率为 ，
9 9
4 5
∵ ≠ ，
9 9
所以这个游戏规则对双方不公平．
5．某校举办艺术节，其中A班和B班的节目总成绩并列第一，学校决定从A、B两班中选
派一个班代表学校参加全省比赛，B班班长想法是：用八张扑克牌，将数字为1，2，
3，5的四张牌给A班班长，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏
规则进行：A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张
扑克牌数字相加，如果和为偶数，则A班去；如果和为奇数，则B班去．
(1)请用树状图或列表的方法求A班去参赛的概率；
(2)B班班长设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种
公平的游戏规则．3
【答案】(1) ；
8
(2)游戏不公平，游戏规则可改为：若和小于9则A班去参赛，若和大于9则B班去参
赛，若和等于9，则重新抽取．
【分析】（1）利用列表法得出所有可能结果，即可求出A班去参赛的概率；
（2）根据（1）中所求数据即可得出A班B班去参赛的概率，从而判断游戏是否公平，
将规则修改为两班被选中的概率相等即可．
本题考查概率的求法，掌握利用列表法或树状图求概率是解题的关键．
【详解】（1）所有可能的结果如下表：
BA 4 6 7 8
1 (1,4) (1,6) (1,7) (1,8)
2 (2,4) (2,6) (2,7) (2,8)
3 (3,4) (3,6) (3,7) (3,8)
5 (5,4) (5,6) (5,7) (5,8)
一共16种结果，每个结果出现的可能性相同，
6 3
和为偶数的概率= = ；
16 8
3
∴A班去参赛的概率为： ；
8
（2）游戏不公平．
3 5
由（1）列表的结果可知：A班去的概率为 ，B班去的概率为 ，
8 8
∴游戏不公平，对B班有利．
A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字
相加，则和可能为5,6,7,7,8,8,9,9,9,9,10,10,11,11,12,13，故游戏规则可改为：若和
小于9则A班去参赛，若和大于9则B班去参赛，若和等于9，则重新抽取．
【题型8用频率估计概率】
1．王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为9cm2，他在该二维码
纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在0.6左右，则据
此估计此二维码中黑色区域的面积为（ ）A．1.8cm2 B．4.5cm2 C．5.4cm2 D．9cm2
【答案】C
【分析】本题考查用频率估计概率，几何概率．根据该二维码的面积为9cm2，点落在
黑色区域的频率稳定在0.6左右，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵该二维码的面积为9cm2，点落在黑色区域的频率稳定在0.6左右，
∴9×0.6=5.4(cm2)，
故选：C．
2．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共10个，它们除颜色外其他完全相同．通过多
次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在40%附近，则口袋中红球可能有（ ）
A．1个 B．2个 C．4个 D．6个
【答案】C
【分析】本题考查了用频率估计概率，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳
定在40%=0.4附近，所以可以认为摸到红球的概率是0.4，用小球的总数乘以摸到红
球的概率即可求出袋中红球的个数．
【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在40%=0.4附近，
∴口袋中红球可能有10×0.4=4（个）．
故选：C．
3．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的
个数，小刚向其中放入6个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回
盒中，不断重复，共摸球400次，其中66次摸到黑球，估计盒中大约有白球 ．
【答案】30
【分析】本题主要考查利用频率估计概率、分式方程的应用等知识点，审清题意、列
出分式方程是解题的关键．
可根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数
=黑球个数+白球个数”，“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”，
据此列分式方程求解即可．【详解】解：设盒子里有白球x个，
6 66
得： = ，解得：x≈30．
6+x 400
经检验结果符合题意．
答：盒中大约有白球30个．
故答案为：30．
4．为了估计一个鱼池中鱼的条数，采用了如下方法：先从鱼池的不同地方捞出40条鱼，
给这些鱼做上记号后放回鱼池，过一段时间后，在同样的地方捞出200条鱼，其中有
记号的鱼有8条．请你估计鱼池中鱼的条数约为 条．
【答案】1000
【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，先计算出有记号鱼的频率，
再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数即可．
【详解】解：设鱼的总数为x条，
根据题意可知8:200=40:x，
解得x=1000．
故答案为：1000．
5．下面两个情境中我们都可以估计或计算各自的概率．
(1)在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝
上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率；
(2)图②是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅
读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率．
【答案】(1)0.4
1
(2)
4
【分析】本题主要考查了由频率估计概率，列表法或树状图求概率等知识点，熟练掌握各概率的求法是解题的关键．
（1）根据折线统计图，用频率估计概率即可；
（2）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，然后找出两名同学选
中同一名著的结果数，最后根据概率公式计算概率即可．
【详解】（1）解：由折线统计图可知，经过大量重复试验，频率在0.4上下波动，逐
渐稳定在0.4，
∴P(钉尖朝上)=0.4；
（2）解：记《西游记》为A，《红楼梦》为B，《水浒传》为C，《三国演义》为
D，
根据题意可列表如下：
A B C D
A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D)
B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D)
C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D)
D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D)
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两名同学选中同一名著的结果有4种，
4 1
∴P（选中同一名著）= = ．
16 4
6．在一个不透明的口袋里装有4个只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸
球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如
表是活动进行中的一组统计数据∶
摸球的
100 150 200 500 800 1000
次数
摸到白 73 117 152 370 604 751
球的次
数m
摸到白 0.73 0.78 0.76 0.74 0.755 0.751
球的频
m
率
n
(1)估计口袋中黑球有_____个，白球有____个；
(2)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌 均匀，再任意摸出一个球，请用列表或画树状图的方法 求两次摸到的球的颜色正好相同的概率．
【答案】(1)1，3
5
(2)
8
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，列表法与树状图法，解答本题的关键是
熟练掌握概率的求法．
（1）本题考查了由频率估计概率，随着n的增大，摸到白球的频率逐渐接近0.75，则
摸到白球的概率可看作0.75，根据概率乘以总数即可求得白球个数，用球的总数减去
白球个数即求得黑球个数；
（2）根据题意画出树状图，得到两次摸到的球的颜色正好相同的事件数，利用概率公
式计算即可解题．
【详解】（1）解：随着n的增大，摸到白球的频率逐渐接近0.75，则摸到白球的概率
可看作0.75，而小球总数为4，
∴口袋中白球的个数：4×0.75=3个，
所以口袋中黑球的个数：4−3=1个．
故答案为：1，3；
（2）解：画树状图，得：
∵ 16
共有 种等可能的结果，
其中两次摸到的球的颜色正好相同的有10种情况，
10 5
∴两次摸到的球的颜色正好相同的概率为 = ．
16 8
7．一个不透明的袋子中装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同．芳芳
从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图．
根据统计图提供的信息解决下列问题：(1)摸到黑球的频率约为____________________；（精确到0.1）
(2)估计袋子中黑球的个数．
【答案】(1)0.5
(2)20个
【分析】本题考查了概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情
况数与总情况数之比是解答本题的关键．
（1）根据统计图找到摸到黑球的频率稳定到的常数即为摸到黑球的概率；
（2）用总数乘以摸到黑球的频率即可得到黑球的个数．
【详解】（1）解：观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.5附近，
故摸到黑球的频率约为0.5，
故答案为：0.5．
（2）解：40×0.5=20（个），
估计袋子中黑球的个数为20个．
1．如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积
是多少，他采取了以下办法：用一个长为4m，宽为3m的矩形将不规则图案围起来，
然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，
将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他可以估计不规则
图案的面积为 m2．【答案】4.2
【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率．根据图2可得，小球落在不规则图
案内的概率约为0.35，再根据几何概率可得：不规则图案的面积÷长方形的面积=小球
落在不规则图案内的概率，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为0.35，长方形的面积
为3×4=12(m2)，
则不规则图案的面积为：12×0.35=4.2 (m2)，
故答案为：4.2．
2．高尔顿钉板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图1是一个竖
直放置的高尔顿钉板，其中，灰色圆面表示钉板上的钉子，
A ，B ，B ，…，D ，D 分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均
1 1 2 3 4
相等，从入口A，处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的小球，小球下落过程中，
总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直
至小球落入下面的甲槽或乙槽内．
(1)求从入口A，处投放一个小球落入甲槽内的概率；
(2)某商家在研究了高尔顿钉板实验后，利用其进行抽奖促销活动销售一种商品．现有
如下抽奖方案：
方案一：商品定价54元，顾客入店购买一件该商品，可以在图1所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元；
方案二：商品定价a元，商家改进高尔顿钉板后如图2所示，将钉子减少为3层．顾
客入店购买一件该商品，可以在图2所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该
商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元．
已知一件该商品的成本为40元，假如某天有100人各购买了一件该商品，并参与了此
抽奖，请估算若要使商家采用方案一获利不少于方案二，那么方案二中的定价a最高
为多少元？并说明理由．
3
【答案】(1)
4
(2)商品的定价a最高为55元，理由见解析
【分析】本题考查了概率的计算与应用，解题的关键是通过树形图分析所有可能情况，
结合概率公式进行计算，并根据获利情况建立不等式求解．
（1）通过画树形图列出小球下落的所有可能情况，根据概率公式计算小球落入甲槽的
概率．
（2）分别计算方案一和方案二商家的获利，根据方案一获利不少于方案二列出不等式，
求解得出方案二商品定价的最大值．
【详解】（1）解：根据题意，画出如下树形图，
共有8种等可能情况，其中落入甲槽内的有6种，
6 3
∴P()从入口A 处投放一个小球落人甲槽内的概率)= = ；
1 8 4
（2）解：方案二中的定价a最高为55元．
3
理由如下：由（1）知方案一中，P()从入口A 处投放一个小球落人甲槽内)= ，
1 4
3 1
∴P（从入口A 处投放一个小球落人乙槽内)=1− = ，
1 4 4
3 1
则商家的获利大约为100× ×(54−2)+100× ×(54−6)−100×40=1100（元）；
4 41
由题可知，方案二中，P（从入口A 处投放一个小球落入甲槽内）= ，
1 2
1
P()从入口A 处投放一个小球落人乙槽内)= ，
1 2
则商家的获利大约为
1 1
100× ×(a−2)+100× ×(a−6)−100×40=(100a−4400)（元）；
2 2
∵要使商家采用方案一的获利不少于方案二，则100a−4400≤1100，解得a≤55，
故方案二中商品的定价a最高为55元．
