文档内容
专题 25 概率的初步（八大题型）
【题型1事件类型】...........................................................1
【题型2可能性大小】.........................................................2
【题型3 概率的意义】.........................................................2
【题型4几何概率】............................................................4
【题型5概率公式】............................................................6
【题型6列表法与树状图法】....................................................7
【 题 型 7 游 戏 的 公 平
性】........................................................10
【 题 型 8 用 频 率 估 计 概
率】......................................................12
【题型1事件类型】
1．有两个事件，事件A：3人中至少有2人性别相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝
上的面的点数为2的倍数．下列说法正确的是（ ）
A．事件A、B都是随机事件
B．事件A、B都是必然事件
C．事件A是随机事件，事件B是必然事件
D．事件A是必然事件，事件B是随机事件
2．下列事件中属于随机事件的是（ ）
A．正数大于负数
B．三角形的内角和是180°
C．乘坐公共汽车恰好有座位
D．从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球
3．汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极
强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ）
A．瓮中捉鳖 B．拔苗助长 C．水中捞月 D．守株待兔
4．下列事件是必然事件的是（ ）
A．掷一枚硬币，正面向上 B．篮球运动员投篮一次，未投中C．任意画一个三角形，其内角和是180° D．经过有信号灯的路口，遇到绿灯
【题型2可能性大小】
1．一个箱子里有红球3个，白球4个，蓝球5个，黑球6个，任意摸出一个球，最有可能
摸到的是（ ）
A．红球 B．白球 C．蓝球 D．黑球
2．抛一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）
A．每抛2次，一定有一次反面朝上 B．可能有5次反面朝上
C．一定有5次反面朝上 D．不可能10次全是反面朝上
3．天气预报显示，某地下周一到周五的降水概率如图所示，则当地居民下周一到周五出门
时，最有可能带雨具的是（ ）
A．周一 B．周二 C．周四 D．周五
4．在下面（ ）盒子中，摸到红球的可能性最大．
A． B．
C． D．
5．某路口红绿灯的时间设置如下：直行绿灯40秒，左转绿灯20秒，红灯60秒，黄灯3秒．
出租车经过该路口，遇到哪一种灯的可能性最大（ ）
A．直行绿灯 B．左转绿灯 C．红灯 D．黄灯
【题型3概率的意义】
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，前5次都正面朝上，第6次正面朝上的概率是（ ）
1 1 1
A．不能确定 B． C． D．
4 3 2
2．下列说法正确的是（ ）
A．“清明时节雨纷纷”所描述的事件，是随机事件
B．“若a是实数，则|a)≥0”是不可能事件
C．小明进行掷硬币试验，扔了10次，有3次正面朝上，所以硬币正面朝上的概率为0.3
1
D．若抽奖活动的中奖概率为 ，则抽奖40次必中奖1次
40
3．某社区开展“垃圾分类”知识竞赛，题库中环保类题目占60%，小明随机抽取一题，抽
到环保类题目的概率是（ ）．
A．0.4 B．0.6 C．1 D．0.5
4．下列说法正确的是（ ）
A．“长沙市明天降雨的概率为75%”，意味着长沙市明天有75%的时间下雨
B．投掷一枚质地均匀的硬币10000次，出现正面朝上的次数不一定是5000次
C．“从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块9”是不可能事件
D．“某彩票中头奖的概率是0.0001”，表示买10000张这种彩票一定会有1张中头奖
5．关于概率意义的理解，下列说法正确的是（ ）
A．一种彩票中奖概率是5%，因此买100张这种彩票，一定会有5张中奖
3
B．做抛图钉的试验5次，有3次钉尖着地，因此钉尖着地的概率为
5
C．掷一枚质地均匀的硬币3次，有2次正面朝上．若再掷一次，则正面朝上的概率仍
1
是
2
D．射击试验中，射击一次有“中靶”和“脱靶”两种结果，因此“中靶”与“脱
1
靶”的概率都是
2
6．下列说法正确的是（ ）
A．一种福利彩票中奖率是千分之一，则买这种彩票1000张，一定会中奖
B．天气预报“明天降水概率为10%”，是指明天有10%的时间会下雨
1
C．连续掷一枚均匀硬币，若4次都是正面朝上，则第五次正面朝上的概率为
2
D．投掷一个瓶盖，第101次投掷时盖口朝上的频率比第100次投掷时更接近盖口朝上
的概率
7．如图是小明2025年4月3日查看某地区连续6天的天气预报列表（6行3列），其中对
于第2行第2列位置中的数字“60%”表示的实际意义最可能是（ ）A．表示该地区可能有60%的地区会下小雨
B．表示可能有60%的小雨会下在该地区
C．表示该地区会下小雨的概率为60%
D．表示该地区的最低温度为13℃的概率为60%
8．抛一枚质地均匀的六面体骰子，连续抛10次，落地时有4次6点朝上，如果第11次抛掷
这枚骰子，那么6点朝上的概率为（ ）
2 1 1 1
A． B． C． D．
5 6 3 2
【题型4几何概率】
1．如图，在由4个边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，
若随机向此正方形网格中投针，则落在△ABC内部的概率是（ ）
1 3 3 3
A． B． C． D．
2 4 8 2
2．已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，
其“落在海洋里”发生的可能性（ ）“落在陆地上”的可能性．
A．大于 B．等于 C．小于 D．三种情况都有可能
3．随机转动如下图的游戏转盘，当转盘停止转动后，指针落在“D”所示区域内的概率是
（ ）5 1 5 1
A． B． C． D．
6 3 12 12
4．如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，B´D的半径为AB，圆心为点A．若在
△ABC内任取一点，则这个点恰好在图中的阴影部分的概率为（ ）
2 π 3 ❑√2π
A． B． C． D．
π 4 π 5
5．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”．如图，矩形ABCD是以斐波那契数为边长的
正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的
弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的
概率为（ ）
π π 1 3
A． B． C． D．
8 4 4 4
6．如图，正方形ABCD的边长为2，分别以A、C为圆心，正方形的边长为半径画弧，在
正方形ABCD中随机抛掷一粒豆子，则豆子落在阴影区域内的概率为（ ）π−2 π−2 π−1 π−1
A． B． C． D．
2 4 2 4
7．如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB=15，AC=9，
BC=12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带
上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
6 8 5 9
【题型5概率公式】
1．从1，2，1.5，−4四个数中随机抽取1个数，这个数是负数的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 6
2．分别写有数字0，−1，−2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一
张，那么抽到非负数的概率是（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
3．在一个不透明的盒子中装有8个白球，4个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若
从中随机摸出一个球为白球的概率是（ ）
2 1 1 3
A． B． C． D．
3 3 2 4
4．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路
径，则它获得食物的概率是（ ）1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 6
5．一学校共有200人，其中参加物理竞赛的有120人，参加化学竞赛的有80人，两种都
不参加的有20人，则在学校中随机抽取一人，两科竞赛都参加的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
10 15 9 20
6．在一副完好的扑克牌中随机抽取一张牌，恰好抽中的是“方片3”的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
4 10 13 54
【题型6列表法与树状图法】
1．不透明的袋子中装有2个红球和1个绿球，它们除颜色外无其他差别．从中随机摸出一
个小球，不放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸
到绿球的概率是（ ）
4 2 2 1
A． B． C． D．
9 9 3 3
2．某口袋里放有编号为1—4的4个球，先从中摸出一球，记下号码，将它放回口袋搅匀
后，再摸一次，两次摸到的球号码相同的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
16 12 4 8
3．随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）
1 1 1
A．1 B． C． D．
2 4 8
4．如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入
口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从A口进入，从E口离开的概率是（
）
1 1 2 1
A． B． C． D．
6 3 3 2
5．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》（如图），它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先
随机抽取一本．不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大
学》的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
12 6 4 3
6．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚正面向上，另一枚反面向上的概率是（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
4 3 2 4
7．小明制作了3张卡片，分别涂上了红、黑、蓝三种颜色．从这三张卡片中一次随机抽取
两张，恰好是“红、蓝”的概率是（ ）
2 1 1 1
A． B． C． D．
3 2 3 6
8.一个不透明的袋子里装有2个白球，1个黑球，这些球除颜色不同外，其余都相同．
(1)从中任意摸出1个球是白球的概率；
(2)现从袋子中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个小球，记下颜色，
请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求摸到的两个球中恰好有一个球
是黑球的概率．
9．为提高学生的动手能力，师一学校引入了劳动课程，并从全校学生的成绩中随机抽取了
部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A．优秀；B．良好；C．合格；
D．不合格．并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图如图所示．根据上述信息，解答下列问题．
(1)本次抽样调查的学生人数为______，并补全条形统计图；
(2)求扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角的度数；
(3)在这次劳动课程中，九（1）班共有3名学生获得了优秀，3名学生中有1名男生和
2名女生，班主任决定从这3名学生中随机选出2名学生在班级做心得分享，请用列表
或画树状图的方法，求所选2名学生恰好是1男1女的概率．
10．名著赏析课上，张老师要求每位同学讲述一个关于西游记的小故事，因此制作了一个
可以自由转动的转盘，将其分成四个完全相同的扇形，把西游记中的部分人物名称
（师父：唐僧，徒弟：孙悟空、猪八戒、沙悟净）分别写在每个扇形区域内（如图所
示）．每位同学转动一次转盘，转盘停止后，指针所指区域内的人物即为所要讲述小
故事的主角（若指针指向两个扇形的分界线，则不计次数，重新转动，直到指针指向
一个扇形区域为止）．
(1)求该班同学小明讲述的小故事的主角是徒弟的概率；
(2)请你用列表或画树状图的方法，求该班同学小美和小丽所讲述的小故事的两个主角
是师徒关系的概率．
11．某校成立志愿者服务队，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，
③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学
校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ．
(2)用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．【题型7游戏的公平性】
1．如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、
3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有
人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下：
（1）同时转动转盘A与B．
（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，
直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那
么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理
由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由．
2．某班有50名同学，其中男生24人，女生26人．
(1)若从50名同学中随机选取1人作为某次活动的记录员，求选到男生的概率；
(2)若只在甲、乙两人中选1人，准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将
四张牌面数字分别为1、2、3、4的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2
张，若牌面数字之和为奇数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请用树
状图说明理由；
(3)在（2）中，只将四张牌面数字分别为1、2、3、4的扑克牌中牌面数字为4的换
为5，其余都不变，请直接回答：这个游戏（填“公平”或“不公平”）．3．今年10月，我市即将迎来第十五届省运会．此次省运会的吉祥物是阿福、阿仙．小明
和小颖只有一张省运会的门票，正商议着谁去观看．小明提议：我们分别在三张卡片
上写“阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取两张，能拼成阿福或
阿仙我获胜，否则你获胜．
(1)请写出小明、小颖获胜的概率
P（小明获胜）=_____，
P（小颖获胜）=_____；
(2)小明的提议对小颖_____；（填“公平”或“不公平”）
(3)请你利用若干张卡片，设计一个对小明和小颖都公平的新方案．
4．小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面
完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗
匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．若和为奇数，
则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．
(1)请你用画树状图或列表的方法，求出小明和小亮各自获胜的概率；
(2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由．5．某校举办艺术节，其中A班和B班的节目总成绩并列第一，学校决定从A、B两班中选
派一个班代表学校参加全省比赛，B班班长想法是：用八张扑克牌，将数字为1，2，
3，5的四张牌给A班班长，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏
规则进行：A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张
扑克牌数字相加，如果和为偶数，则A班去；如果和为奇数，则B班去．
(1)请用树状图或列表的方法求A班去参赛的概率；
(2)B班班长设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种
公平的游戏规则．
【题型8用频率估计概率】
1．王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为9cm2，他在该二维码
纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在0.6左右，则据
此估计此二维码中黑色区域的面积为（ ）
A．1.8cm2 B．4.5cm2 C．5.4cm2 D．9cm2
2．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共10个，它们除颜色外其他完全相同．通过多
次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在40%附近，则口袋中红球可能有（ ）
A．1个 B．2个 C．4个 D．6个
3．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的
个数，小刚向其中放入6个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回
盒中，不断重复，共摸球400次，其中66次摸到黑球，估计盒中大约有白球 ．
4．为了估计一个鱼池中鱼的条数，采用了如下方法：先从鱼池的不同地方捞出40条鱼，
给这些鱼做上记号后放回鱼池，过一段时间后，在同样的地方捞出200条鱼，其中有
记号的鱼有8条．请你估计鱼池中鱼的条数约为 条．
5．下面两个情境中我们都可以估计或计算各自的概率．(1)在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝
上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率；
(2)图②是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅
读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率．
6．在一个不透明的口袋里装有4个只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸
球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如
表是活动进行中的一组统计数据∶
摸球的
100 150 200 500 800 1000
次数
摸到白 73 117 152 370 604 751
球的次
数m
摸到白 0.73 0.78 0.76 0.74 0.755 0.751
球的频
m
率
n
(1)估计口袋中黑球有_____个，白球有____个；
(2)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌 均匀，再任意摸出一个球，
请用列表或画树状图的方法 求两次摸到的球的颜色正好相同的概率．
7．一个不透明的袋子中装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同．芳芳
从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图．
根据统计图提供的信息解决下列问题：(1)摸到黑球的频率约为____________________；（精确到0.1）
(2)估计袋子中黑球的个数．
1．如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积
是多少，他采取了以下办法：用一个长为4m，宽为3m的矩形将不规则图案围起来，
然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，
将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他可以估计不规则
图案的面积为 m2．
2．高尔顿钉板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图1是一个竖
直放置的高尔顿钉板，其中，灰色圆面表示钉板上的钉子，
A ，B ，B ，…，D ，D 分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均
1 1 2 3 4
相等，从入口A，处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的小球，小球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直
至小球落入下面的甲槽或乙槽内．
(1)求从入口A，处投放一个小球落入甲槽内的概率；
(2)某商家在研究了高尔顿钉板实验后，利用其进行抽奖促销活动销售一种商品．现有
如下抽奖方案：
方案一：商品定价54元，顾客入店购买一件该商品，可以在图1所示的钉板上玩一次
游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元；
方案二：商品定价a元，商家改进高尔顿钉板后如图2所示，将钉子减少为3层．顾
客入店购买一件该商品，可以在图2所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该
商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元．
已知一件该商品的成本为40元，假如某天有100人各购买了一件该商品，并参与了此
抽奖，请估算若要使商家采用方案一获利不少于方案二，那么方案二中的定价a最高
为多少元？并说明理由．
