25 概率初步
【考点1：事件类型】
【考点2：可能性大小】
【考点3：概率的意义】
【考点4：几何概率】
【考点5：概率公式】
【考点6：列表法与树状图法】
【考点7：游戏的公平性】
【考点8：用频率估计概率】
知识点1：事件类型
必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）.
说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件.
（2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；
② 不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；
③ 如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1
【考点1：事件类型】
【典例1】下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．掷一枚骰子，向上一面的点数是7
B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．随意打开一本书，书的页码是奇数
D．明天下雨的概率是90%，则明天一定会下雨【答案】B
【分析】本题考查了不可能事件、必然事件和随机事件，不可能事件是指一定不会发生的事件；必然
事件是指一定会发生的事件；随机事件是指可能发生的事件，据此即可判断求解，掌握不可能事件、
必然事件和随机事件的定义是解题的关键．
【详解】解：A、掷一枚骰子，向上一面的点数是7，是不可能事件，该选项不合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，该选项符合题意；
C、随意打开一本书，书的页码是奇数，是随机事件，该选项不合题意；
D、明天下雨的概率是90%，则明天一定会下雨，是随机事件，该选项不合题意；
故选：B．
【变式1-1】经过有交通信号灯的路口，遇到红灯．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
【答案】C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，
不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能
发生也可能不发生的事件．
【详解】解：“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”这个事件是随机事件，
故选：C．
【变式1-2】掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面分别刻有1到6的点数，掷一次骰子，向上一面的
点数小于6，这个事件是（ ）
A．随机事件 B．确定性事件 C．必然事件 D．不可能事件
【答案】A
【分析】本题考查了随机事件，解决本题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.
【详解】解：掷一次骰子，向上一面的点数小于6，这个事件是随机事件，
故选A.
【变式1-3】诗词是中华文化的瑰宝，是中国文学的璀璨明珠，也是人类文明的共同财富．请指出所给
诗词描述的事件属于随机事件的是（ ）
A．锄禾日当午，汗滴禾下土 B．春眠不觉晓，处处闻啼鸟
C．白日依山尽，黄河入海流 D．离离原上草，一岁一枯荣
【答案】B
【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确
定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判
断相应事件的类型即可．
【详解】A. 锄禾日当午，汗滴禾下土，是必然事件，故选项不符合题意；
B. 春眠不觉晓，处处闻啼鸟是随机事件，故选项符合题意；
C. 白日依山尽，黄河入海流，是必然事件， 故选项不符合题意；
D. 离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件， 故选项不符合题意；
故选：B．
知识点2：概率
1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概
率，记为P(A) ．
（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事
件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ．
（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。
（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.
（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.
（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越
接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。
（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1
当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1
不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0
随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1
（6）可能性与概率的关系事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．
2. 求概率方法：
（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举
出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们
可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。
（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为
不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便
了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
【考点2：可能性大小】
【典例2】一个不透明的袋中装有3个白球和若干个红球，它们只有颜色上的区别．从袋中随机摸出一
个球，若摸到白球的可能性更大，则袋中红球可能有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题考查了可能性的大小，根据题意判断出白球的数量大于红球的数量是解题的关键． 根据
取到白球的可能性较大可以判断出白球的数量大于红球的数量，即可求解．
【详解】解：由题意可得袋中的白球数量大于红球数量，故袋中红球的个数少于3，
故选：A
【变式2-1】下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ）
A．瓜熟蒂落 B．旭日东升
C．守株待兔 D．夕阳西下
【答案】C
【分析】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的
可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．根据
事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．【详解】解：A选项，瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
B选项，旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
C选项，守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，发生的可能性大于0且小于
1；
D选项，夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意．
故选C．
【变式2-3】在下面（ ）盒子中，摸到红球的可能性最大．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查可能性大小的判断，不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，
可能性越大，反之则越小，数量相同，可能性也相同．理解不确定事件发生的可能性的大小与事物的
数量有关．
2
【详解】解：A选项，摸到红球的可能性 ；
3
4
B选项，摸到红球的可能性 ；
13
1
C选项，摸到红球的可能性 ；
2
D选项，摸到红球的可能性0；
根据上面的分析，在上面A盒子中，摸到红球的可能性最大．
故选：A．
【变式2-4】口袋里有7个红球、3个白球和1个黄球，球除颜色外完全相同，从中任意摸出1个球，那
么摸出（ ）的可能性最大．
A．红球 B．白球 C．黄球 D．蓝球
【答案】A
【分析】本题考查了事件可能性的大小，掌握事件发生的可能性大小的判定方法是解题的关键．
【详解】解：共有7+3+1=10球，
∵红球的个数大于白球的个数，红球的个数大于黄球的个数，白球的个数大于黄球的个数，即红球的个数最多，
∴摸出红球的可能性最大，
故选：A ．
【考点3：概率的意义】
【典例3】下列事件发生的概率为0的是（ ）
A．随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上．
B．今年冬天黑龙江会下雪．
C．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为18．
D．一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域．
【答案】C
【分析】本题主要考查了概率的意义，事件的分类，根据只有不可能发生的事件的概率为0进行求解即
可．
【详解】解：A、随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上是可能发生的，即该事件事件发生
的概率不为0，不符合题意；
B、今年冬天黑龙江可能会下雪，即该事件事件发生的概率不为0，不符合题意；
C、随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和不可能为18，即该事件事件发生的概率为0，符合题意；
D、一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针可能停在红色区域，
即该事件事件发生的概率不为0，不符合题意；
故选：C．
【变式3-1】若天气预报显示“明天降水概率为80%”，则下列说法正确的是（ ）
A．明天将有80%的时间下雨 B．明天将有80%的地区下雨
C．明天下雨的可能性较小 D．明天下雨的可能性较大
【答案】D
【分析】本题考查了概率的意义及应用，根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答，
熟练掌握概率的意义是解题的关键．
【详解】解：明天的降水概率为80%表示明天下雨的可能性较大．
故选：D．
【变式3-2】下列说法正确的是（ ）
1
A．已知一种彩票的中奖概率是 ，则买10000张这样的彩票一定会中奖
10000B．数据2，3，7，8，3，4，3，8的众数是8
C．调查深圳市人民对政府服务的满意程度适合用抽样调查
D．“甲、乙、丙三个队参加端午节赛龙舟比赛，甲队获得冠军”是必然事件
【答案】C
【分析】本题考查概率的意义、众数、抽样调查等知识，利用考点知识逐一判断后即可确定正确的选
项．
1
【详解】A、某种彩票的中奖概率为 ，每买10000张彩票，不一定有一张中奖，故说法错误，不
10000
符合题意；
B、数据2，3，7，8，3，4，3，8，其中3出现的次数最多，故众数是3，故说法错误，不符合题意；
C、调查深圳市人民对政府服务的满意程度适合用抽样调查，说法正确，符合题意；
D、“甲、乙、丙三个队参加端午节赛龙舟比赛，甲队获得冠军”是偶然事件，故说法错误，不符合题
意；
故选：C．
【变式3-3】抛一枚质地均匀的硬币；连续抛4次，硬币落地时都是正面朝上，如果第5次抛掷这枚硬
币，那么正面朝上的概率为（ ）
1 1 4 1
A． B． C． D．
4 5 5 2
【答案】D
【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．
m
【详解】解：∵概率是频率（多个）的波动稳定值，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率 会
n
稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，
∴抛掷硬币4次的结果不是事件的概率，
∵抛掷一枚质地均匀的硬币只有两种情况：正面朝上或反面朝上，
1
∴硬币正面朝上的概率都是 ．
2
故选：D．
【点睛】此题考查了概率的意义以及概率公式，明确概率的意义以及概率的计算方法是解答的关键．
【考点4：几何概率】
【典例4】一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
4 5 4
A． B． C． D．1
9 9 5
【答案】A
【分析】本题考查了几何概率，求出黑砖部分的面积占整体的几分之几即可，熟练掌握几何概率的求
法是解此题的关键．
4
【详解】解：这个图形的总面积为9，黑砖部分的面积为4，因此黑砖部分占整体的 ，
9
4
所以小球最终停留在黑砖上的概率是 ，
9
故选：A．
【变式4-1】假如小猫在如图所示的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上，它最终停留在
黑色方砖上的概率是（ ）．
1 1 3
A． B． C． D．1
4 2 4
【答案】A
【分析】本题考查几何概率，用阴影小正方形的面积除以总面积，即可得出结果．
4×12 1
【详解】解：设小正方形的边长为1，则小猫最终停留在黑色方砖上的概率是 = ；
16×12 4
故选A．
【变式4-2】七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、
一块正方形和一块平行四边形组成．某同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在
拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上
的概率是（ ）1 1 1 1
A． B． C． D．
4 6 7 8
【答案】D
【分析】本题主要考查了求几何概率，根据七巧板的特点求出阴影部分占整个图形面积的比值即可得
到答案．
1
【详解】解：设大正方形的变成为2x，则GE=x，点E到DC的距离为 x，
2
1
∴S =4x2 ，S = x2 ，
大正方形 阴影 2
1
x2
∴那么小球最终停留在阴影区域上的概率是2 1，
=
4x2 8
故选：D．
【变式4-3】类比“赵爽弦图”，可类似的构造如图所示的图形，它是由中间的小正六边形和6个全等
的直角三角形拼成的一个大正六边形，若在大正六边形内部随机取一点，则此点取自小正六边形的概
率是（ ）
1 1 ❑√3 2
A． B． C． D．
3 2 3 3
【答案】A
【分析】先对图形标注，根据内角和定理求出∠BAE=120°，即可得出
∠CAD=60°，∠ACD=30°，再设AD=1，根据直角三角形的性质得AC=2，由勾股定理求出
CD，根据题意可知BC=AD=1，可求AB=1，然后求出等边三角形的面积，进而得出正六边形的面积，最后根据面积比得出答案．
【详解】如图所示，
(6-2)×180°
正六边形的每个内角∠BAE= =120°，
6
∴∠CAD=60°，∠ACD=30°．
设AD=1，
∴AC=2，
根据勾股定理得CD=❑√AC2-AD2=❑√3．
根据题意可知BC=AD=1，
∴AB=AC-BC=1．
作OF⊥AB，交AB于点F，
∵△ABO是等边三角形，
1
∴AF= ．
2
❑√3
根据勾股定理得OF=❑√AO2-AF2=
，
2
1 ❑√3 ❑√3 1 ❑√3
∴S = ×1× = ，S = ×1×❑√3= ，
△ABO 2 2 4 △ACD 2 2
❑√3 3❑√3 ❑√3
∴正六边形的面积 ×6= ，六个直角三角形的面积为6× =3❑√3，
4 2 2
3❑√3 3❑√3
2 2 1
∴此点取自小正六边形的概率是 = = ．
3❑√3 9❑√3 3
+3❑√3
2 2
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理，概率的计算公式，理
解用面积比表示概率是解题的关键．
【考点5：概率公式】【典例5】从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（
）
3 13 1 1
A． B． C． D．
4 16 2 4
【答案】A
【分析】此题主要考查了概率计算以及三角形三边关系，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总
情况数之比；组成三角形的两条小边之和大于最大的边．
由4条线段中任意取3条，是一个列举法求概率问题，是无放回的问题，共有4种可能结果，每种结果
出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有3个结果．因而就可以求出概率．
【详解】解：由4条线段中任意取3条，共有4种可能结果，
分别为：2，3，4；2，3，5；3，4，5；2，4，5；
每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有2，3，4；3，4，5；2，4，5；共
3个结果，
3
所以P（能组成三角形）= ．
4
故选：A．
【变式5-1】如图是可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，并分别上1、2、3，转盘停止后，
指针指向边缘重转，则指针指向的数字为偶数的概率是 ．
1
【答案】
3
【分析】本题考查的是概率公式的应用.转盘转动共有三种结果，指针指向的数字为偶数的情况只有一
种，概率公式求解即可.
【详解】解：∵一共三种结果，指针指向的数字为偶数的情况只有一种，
1
∴P（指向偶数）=
3
1
故答案为： .
3
【变式5-2】从-3，0，1，2四个数中随机抽取一个为a的值，则a是方程x2+2x-3=0解的概率是
．1
【答案】 /0.5
2
【分析】本题考查了概率公式的应用以及一元二次方程的解法，首先解一元二次方程x2+2x-3=0，
可求得x的值，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵x2+2x-3=0，
∴(x-1)(x+3)=0，
解得：x =1,x =-3，
1 2
∵a是方程x2+2x-3=0的解，
∴a=1或-3，
2 1
∴从-3，0，1，2四个数中随机抽取一个为a的值，则a是方程x2+2x-3=0解的概率是 = ，
4 2
1
故答案为： ．
2
【变式5-3】如图，是我国古代的铜钱，方孔铜钱应天圆地方之说，是古人智慧的结晶．如图，将它简
易成几何图形，已知外圆的半径为6，里面正方形的边长为1．一小球（忽略体积的影响）在铜钱上自
由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在正方形里面的概率为 ．（结果保留π）
1
【答案】
36π
【分析】本题考查几何概率，解题的关键是明确题意，求出相应的概率．根据几何概率的求法：一个
小球停留在某个区域上的概率就是该区域的面积与总面积的比值．
【详解】由题意可得，小球最终停留在正方形里面的概率为：
1×1 1
=
，
π×62 36π
1
故答案为： ．
36π
【考点6：列表法与树状图法】
【典例6】红星中学为了解七年级学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上
发言的次数进行了统计，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5:2．
发言次数n
0≤n<3
A
3≤n<6
B
6≤n<9
C
9≤n<12
D
12≤n<15
E
15≤n<18
F
(1)求出样本容量，并补全直方图；
(2)该年级共有学生600人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数；
(3)已知A组发言的学生中恰有2位女生，E组发言的学生中恰有1位男生，现从A组与E组中分别抽一
位学生写报告，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．
【答案】(1)50，图见解析
(2)108人
5
(3)
12
【分析】本题考查了直方图与扇形图的应用，样本估计总体，画树状图法求概率；
（1）根据直方图可知B组人数为10人，根据已知可得B组发言的人数占20%，进而求得样本容量为50，结合扇形统计图进而求得F组人数，补全统计图，即可求解；
（2）用总人数乘以E,F两组的占比，即可求解；
（3）先求得A,E两组的男、女生人数，进而根据画树状图法求概率，即可求解．
【详解】（1）解：∵B、E两组发言人数的比为5：2，E的占比为8%，
∴B组发言的人数占20%，
由直方图可知B组人数为10人，
所以，被抽查的学生人数为：10÷20%=50人，
∴样本容量为50．
F组人数为：50×(1-6%-20%-30%-26%-8%)
=50×(1-90%)
=50×10%，
=5(人)，
C组人数为：50×30%=15(人)，
补全的直方图如图：
（2）由（1）可得F组的占比为10%，估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数：
600×(8%+10%)=108(人)；
（3）根据题意得：A组共有：50×6%=3(人)，有女生2人，则有男生1人；E组共有50×8%=4(人)，
则有女生4-1=3(人)；
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，其中所抽的两位学生恰好是一男一女的有5种情况，5
∴所抽的两位学生恰好是一男一女的概率为： ．
12
【变式6-1】】小梅和小华一起去参观某抗日烈士纪念馆，该纪念馆有A,B两个入口，有C,D,E,F四
个出口．若小梅同学随机选择一个入口进入，在离开纪念馆时再随机选择一个出口离开，则小梅恰好
从B入口进入纪念馆，从E或F出口离开纪念馆的概率为（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
2 4 3 8
【答案】B
【分析】本题考查了列表法与树状图法．画树状图展示所有8种等可能的结果，找出小梅恰好从B入口
进入场地，从E或F出口离开场地的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】画树状图为：
共有8种等可能的结果，小梅恰好从B入口进入场地，从E或F出口离开场地的结果数为2，所以小梅
2 1
恰好从B入口进入场地，从E或F出口离开场地的概率= = ．
8 4
故答案为：B．
【变式6-2】中国古典四大名著是悠悠中国文学史上灿烂辉煌的一笔．是世界宝贵的文化遗产．某中学
鼓励学生研读四大名著，并举行了分享研读心得比赛，每个年级有20名同学参加决赛．七、八各年级
决赛选手中前8名学生的比赛成绩统计如下图：根据图中信息，解答下列问题：
(1)八年级前8名学生中，比赛成绩的众数为______分；
(2)七年级前8名学生中，比赛成绩的中位数为______分；
(3)在分享会上老师采取抽签的形式决定分享内容，规则如下，在四张完全相同的卡片正面分别写了A
《水浒传》，B《西游记》，C《三国演义》，D《红楼梦》，然后背面朝上，洗匀放好．由满分同学
随机抽取一张，分享该卡片上的名著，然后放回．用列表或画树状图的方法求八年级的两名满分同学
分享同一本名著的概率．
【答案】(1)90
(2)80
1
(3)
4
【分析】本题考查了众数，中位数，用列表或画树状图的方法求概率，熟练掌握求众数，中位数，用
列表或画树状图的方法求概率是解题的关键；
（1）根据众数的求法求解即可；
（2）根据中位数的求法求解即可；
（3）先列表，再求概率即可；
【详解】（1）八年级前8名学生中，比赛成绩的众数为90分，
故答案为：90；
（2）七年级前8名学生中，比赛成绩按从小到大排列：70，80，80，80，80，90，90，100，则比赛
80+80
成绩的中位数= =80，
2
故答案为：80；
（3）列表如下：
A B C D
A (A,A) (B,A) (C,A) (D,A)
B (A,B) (B,B) (C,B) (D,B)
C (A,C) (B,C) (C,C) (D,C)
D (A,D) (B,D) (C,D) (D,D)
由表格可知一共有16种等可能性的结果数，其中两名满分同学分享同一本名著的结果数有4种，4 1
∴八年级的两名满分同学分享同一本名著的概率为 = ．
16 4
【变式6-3】“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的
看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必
要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计
图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图；
(2)扇形统计相中“D．没有必要”所在扇形的心角度数为______；
(3)该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对生活“垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人
数．
(4)小明和小华均是该校学生，请用表格或者树状图计算出他们都选“A．很有必要”的概率．
【答案】(1)见解析
(2)18°
(3)750人
1
(4)
16
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，扇形统计图与条形统计图．
（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出A组的人数，然后再根据条形统计图中的数据，即可得到
C组的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中D组的人数，可以计算出扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度
数；
（3）根据扇形统计图中A组所占的百分比，即可估算出该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必
要”的学生人数；
（4）据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出他们都选“A．很有必要”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：A组学生有：200×30%=60（人），
C组学生有：200-60-80-10=50（人），
补全统计图如下：
10
（2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为：360°× =18°，
200
故答案为：18°；
（3）根据题意得：2500×30%=750（人），
答：该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生大约有750人；
（4）根据题意画图如下：
共有16种等可能的情况数，其中他们都选“A．很有必要”的有1种，
1
则他们都选“A．很有必要”的概率是 ．
16
【考点7：游戏的公平性】
【典例7】甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，6．
将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽
取一张牌．
(1)请用列表或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
(2)若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；否则乙获胜，这个游戏公平吗？
1
【答案】(1)
3
(2)不公平【分析】本题考查列表法求概率，某个事件的概率可以通过事件发生次数除以总次数来计算．
（1）利用列表法得到所有可能出现的结果，根据概率公式计算即可；
（2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可．
【详解】（1）解：列表如下：
乙
2 3 6
甲
2 (2，2) (2，3) (2，6)
3 (3，2) (3，3) (3，6)
6 (6，2) (6，3) (6，6)
由表可知共有9种等可能的结果，其中两人抽取相同数字的结果有3种，
3 1
所以两人抽取相同数字的概率为 = ．
9 3
（2）解：由（1）中所列表格可知两人抽取的数字和为2的倍数的结果有5种，
5
所以甲获胜的概率为 ，
9
5 4
所以乙获胜的概率为1- = ．
9 9
5 4
因为 > ，
9 9
所以这个游戏不公平．
【变式7-1】有两个可以自由转动的均匀转盘A、B分别被分成4等份、3等份，并在每份内均标有数字，
如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：
①分别转动转盘A与B．
②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，
直到指针指向某一份为止）．
③如果和为0，王扬获胜；否则刘非获胜．(1)用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率；
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？若不公平，请制定一个新的游戏规则．
1
【答案】(1)
4
(2)不公平，新的游戏规则见解析
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每
个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况
数之比．
（1）用列表法列举出所有可能出现的结果情况，再根据概率的意义求解即可；
（2）根据获胜概率的大小判断游戏规则不公平，新的游戏规则合理即可．
【详解】（1）解：列表如下：
A╲
0 -1 -2
B
0 0 -1 -2
1 1 0 -1
2 2 1 0
3 3 2 1
共有12种等可能的结果，其中和为0的结果有3种，
3 1
∴王扬获胜的概率P= = ；
12 4
（2）解：这个游戏对双方不公平，理由如下：
1 9 3 1 3
由（1）可知，王扬获胜的概率为 ，刘菲获胜的概率为 = ， ≠ ，
4 12 4 4 4
∴二人获胜的概率不相等，因此游戏不公平，
新的游戏规则如下：①分别转动转盘A与B；②两个转盘停止转动后，将两个指针所指份内的数字相
加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）；③如果和为-1，王扬
获胜，和为2刘菲获胜．
【变式7-2】学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小
红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3
的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小
于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
1
【答案】(1)
3
(2)树状图见解析，该游戏对双方公平
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的
结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论．
【详解】（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同，
1
∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 ，
3
1
故答案为： ；
3
（2）解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于
4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，
3 1 3 1
∴小明获胜的概率为 = ，小红获胜的概率为 = ，
6 2 6 2
∴小明和小红获胜的概率相同，
∴该游戏对双方公平．
【变式7-3】如图，大小质地完全相同的A,B两个圆形转盘，都被平均分成3份，并涂上红、白两种颜
色．其中：A涂有白色2份，红色1份；B涂有红色2份，白色1份．两个转盘都是指针固定，转盘可自
由转动（若指针指向分界线，则重转）．(1)自由转动A转盘一次，求转盘停止后指针指向白色的概率；
(2)游戏规则：甲、乙两人让两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止时，若两个转盘指针所指区域的
颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．请问这个游戏规则对谁更有利？在不改变上述游戏规
则的情况下，若将A转盘重新涂上红、白两种颜色（转盘仍以3份均分），是否有可能使这个游戏对双
方都公平？若能，A转盘中红、白应各涂几份？若不能，请说明理由．
2
【答案】(1)
3
(2)这个游戏规则对乙更有利；没办法使这个游戏规则对双方都公平，理由见解析
【分析】本题考查了游戏的公平性，概率的计算方法，列表法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关
键．
（1）首先计算出各种情况的概率，然后比较即可；
（2）用列表法可以表示所有可能出现的结果，计算出甲、乙两人获胜的概率，即可知道游戏规则对谁
都公平，根据无论如何涂色都是有9种等可能的结果，不可能出现4.5种结果，所以不可能使这个游戏
对双方都公平．
【详解】（1）解：自由转动A转盘一次，指针指向白色的可能为2次，红色的可能为1次，
2 2
∴转盘停止后指针指向白色的概率 = ，
1+2 3
（2）解：如表：
由上表可知，共有9种等可能的结果，指针所指区域颜色相同的结果共有4种，
4
∴甲获胜的概率为 ，
9∵颜色不同的结果共有5种，
5
∴乙获胜的概率为 ，
9
∴这个游戏规则对乙更有利，
没有可能使这个游戏对双方都公平。因为无论如何涂色都是有9种等可能的结果，若使游戏对双方都公
平，那么颜色相同和颜色不同的结果都应为4或5种，而不可能出现4.5种结果，
∴不可能使这个游戏对双方都公平．
知识点3：频率与概率
1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数
2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率
3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，
这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。
【考点8：用频率估计概率】
【典例8】小鄂在数学书中看到了斐波那契曲线，于是将曲线画在了纸上小明看到后想计算阴影部分面
积于是他们决定在纸上随机戳点，并记录数据于下表
总点数 10 20 40 100
阴影部分点 4 11 23 47
数
若正方形的边长为4，则阴影部分面积约为（ ）
A．4.7 B．7.52 C．7.98 D．8【答案】B
【分析】本题考查利用频率估计概率，几何概率，根据频率估计出概率，再利用几何概率进行求解即
可．
【详解】解：由表格数据可知：点落在阴影部分的概率为47÷100=0.47，
∵正方形的边长为4，
∴正方形的面积为42=16，
∴阴影部分的面积为：16×0.47=7.52；
故选：B．
【变式8-1】某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的
折线图，那么下列符合这一结果的实验最有可能的是 ．（填序号）
①袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球；
②掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”；
③掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2；
④从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花．
【答案】③
【分析】本题主要考查概率的计算和频率估计概率思想，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上
得出的，不能单纯的依靠几次决定．
分别计算出每个事件的概率，其值在0.16—0.19的即符合题意．
【详解】解：①、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄
2
球的概率为 ，不符合题意；
3
1
②、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为 ，不符合题意；
2
1
③、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为 ，符合题意；
6
13
④、从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花的概率为 ，不符合题意．
54故答案为：③．
【变式8-2】为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实验，
实验数据如下：
在正方形内投掷的点数n 100 200 300 400 600 800 900 1000
落入小正方形区域的频数m 9 15 27 34 50 66 76 85
落入小正方形区域的频率 0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.085
m
n
试估计“点落入圆形区域内”的概率 (精确到0.01) ．
【答案】0.08
【分析】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种
可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频
率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，“点落入圆形区域内”的频率逐渐稳定到0.08附
近，
所以估计“点落入圆形区域内”的概率为0.08，
故答案为：0.08．
【变式8-3】一个不透明盒子中装有除颜色外均相同的10个白球和a个红球，从盒子中随机摸出1个球，
1
记下颜色后放回去摇匀，再从中摸出一球，重复摸多次，统计出摸到红球的频率接近 ，则a的值约为
3
．
【答案】5
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率
逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
a 1
【详解】由题意可得， = ，
10+a 3解得，a=5，
经检验a=5是原方程的根．
故答案为：5．
一、单选题
1．下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视，正在播放奥运赛事
B．袋中只有10个球，且都是红球，任意摸出一个球是红球
C．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上
D．2024年全年有367天
【答案】B
【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，一定会发生的事是必然事件，不一定发生的事是随
机事件，一定不会发生的事是不可能事件，进行判断即可．
【详解】解：A、打开电视，正在播放奥运赛事，是随机事件，不符合题意；
B、袋中只有10个球，且都是红球，任意摸出一个球是红球，是必然事件，符合题意；
C、掷一枚质地均匀的硬币正面朝上，是随机事件，不符合题意；
D、2024年全年有367天，是不可能事件，不符合题意；
故选B．
2．小宁书桌的抽屉有两层，每层都有一把锁，现在小宁手中有三把钥匙，其中有两把钥匙能开书桌的两
层抽屉的锁（一把钥匙只能开一把锁），从中随机选取两把钥匙，则恰好一次性（不能试）打开这两
把锁的概率是（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
2 3 9 6
【答案】D
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于
所求情况数与总情况数之比，画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然
后再用概率公式求解即可．
【详解】解：将两把锁分别记为A、B，将3把钥匙分别记为a，b，c，其中A与a配套，B与b配套，根据题意，画出树状图如下：
由树状图可得，共有6种等可能出现的结果，其中恰好一次性（不能试）打开这两把锁的情况有1种，
1
故所求概率为： ，
6
故选：D．
3．某超市开展“迎藏历新年”大酬宾活动，凡购物满200元者，可参与一次转盘抽奖（如图1）．德吉购
买了220元的物品，她最有可能抽中（ ）
A．一等奖 B．二等奖 C．三等奖 D．谢谢惠顾
【答案】C
【分析】本题主要考查可能性的大小，理解面积大的转到的可能性就大是解题的关键．根据图示发现
三等奖所占面积最大即可得到答案．
【详解】解：根据图示发现三等奖所占面积最大，
故她最有可能抽中三等奖．
故选C．
4．九年级（2）班有22名男生和28名女生，现从中随机抽取一名同学去领取劳动工具，下列说法正确的是
（ ）
A．抽到男生的可能性较大
B．抽到男、女生的可能性一样大
C．抽到女生的可能性较大
D．抽到男、女生的可能性大小不能确定
【答案】C
【分析】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；
反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．根据题意，只要求出男生和女生当选的可能性，再进行比较即可解答．
【详解】∵九年级（2）班有22名男生和28名女生，
22 22 11
∴现从中随机抽取一名同学去领取劳动工具，抽到男生的可能性为 = = ，
22+28 50 25
28 28 14
抽到女生的可能性为 = = ，
22+28 50 25
∴抽到女生的可能性大于抽到男生的可能性．
故选：C．
5．某校运动会4×400m的接力赛中，甲、乙两名同学都是第一棒，这两名同学各自随机从四个赛道中抽
取一个赛道，则甲、乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 4 6 8
【答案】A
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出
符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．画树状图展示所有12种等可
能的结果数，再找出甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意，画树状图如图，
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果有6种，
6 1
∴甲、乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为 = ．
12 2
故选：A．
6．在3×3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上．从A、D、E、
F四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B、C为顶点画四边形，则所画四边形是平
行四边形的概率为（ ）1 1 5 3
A． B． C． D．
2 3 12 12
【答案】B
【分析】本题主要考查了树状图法求概率，概率公式等知识点，熟练掌握树状图法求概率是解题的关
键．利用树状图得出从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，一共有12种可能，进而得出
以点A、E、B、C为顶点及以点D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，然后利用概率公式
即可求出答案．
【详解】解：用树状图列出所有可能出现的结果如下：
，
一共有12种等可能的结果，其中以点A、E、B、C为顶点及以点D、F、B、C为顶点所画的四边形
是平行四边形，共有4种结果，
4 1
∴所画的四边形是平行四边形的概率P= = ，
12 3
故选：B．
7．一个袋中装有红球2个，黄球3个，白球5个，每个球除颜色外都相同，小明从中任意摸出一个球，摸
到黄球的概率是（ ）
1 3 1
A． B． C． D．1
5 10 2
【答案】B
【分析】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键．
利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵袋中装有红球2个，黄球3个，白球5个，共10个球，
3
∴任意摸出一个球，摸到黄球的概率为 ．
10
故选：B．
8．一个盒子里有黑球6个，白球若干，这些球除颜色外都相同．将盒子里的球搅拌均匀，从中随机摸出一
个球，记下颜色后放回盒子里，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到白球．则盒子
中白球大约有（ ）
A．7个 B．10个 C．14个 D．16个
【答案】C【分析】本题主要考查本题考查了利用频率估计概率的知识，用球的总个数乘以摸到白球的频率即可．
用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估
计也就越精确．
30
【详解】解：估计这个口袋中球的数量为6÷ =20（个)，
100
20-6=14（个)，
答：盒子中白球大约有14个，
故选：C．
二、填空题
9．某校将举行田径运动会，某班的“体育达人”小健特别擅长“100米”、“200米”、“跳远”三个项
目，但运动会规则要求每位运动员最多能参加两个项目，小明只能从这三个项目中随机选择两项，则
他参加“100米”与“跳远”两个项目的概率是 ．
1
【答案】
3
【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图解答即可求解，掌握树状图
或列表法是解题的关键．
【详解】解：用A、B、C分别表示“100米”、“200米”、“跳远”三个项目，画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等结果，其中参加“100米”与“跳远”两个项目的结果有2种，
2 1
∴参加“100米”与“跳远”两个项目的概率是 = ，
6 31
故答案为： ．
3
10．在1×2的正方形网格格点上放三枚棋子，按如图所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放
在其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为
3
【答案】 /0.75
4
【分析】本题主要考查了几何概率，勾股定理的逆定理，先将第三枚棋子可能落在其余四个位置的格
点位置找到．再找出与已知格点构成直角三角形的3种情况，然后根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，第三枚棋子一共有A，B，C，D四个位置可以放置，其中能与已知两枚棋子
构成直角三角形的点是B、C、D三个点，
3
∴以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为 ，
4
3
故答案为： ．
4
11．如图，这是某电路的示意图，随机闭合开关S，S，S，中的任意2个，能同时使2盏小灯泡发光的概
1 2 3
率是 ．
2
【答案】
3
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个
灯泡发光的有4种，然后由概率公式求解即可，掌握概率公式是解题的关键．
【详解】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中能让两个灯泡发光的结果数为4，
4 2
∴能同时使2盏小灯泡发光的概率是： = ，
6 3
2
故答案为： ．
3
12．为了加强学生国防教育，某校举办了主题为“爱我中华，强我国防”的演讲比赛，甲、乙、丙、丁四
名学生分在同一个小组，赛前需要以抽签的方式确定出场顺序，主持人将表示出场顺序的卡片(除正面
分别写有1，2，3，4外，其余完全相同)背面朝上放在桌面上，洗匀后先由甲随机抽取一张，然后由
乙随机抽取一张，甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为 ．
1
【答案】 /0.5
2
【分析】本题考查画树状图或列表法求概率，掌握画树状图或列表法求概率方法是解题关键．
列表表示出所有等可能的情况和甲、乙抽到的出场顺序相邻的情况，然后根据概率公式求解即可．
【详解】列表如下：
1 2 3 4
1 (2,1) (3,1) (4,1)
2 (1,2) (3,2) (4,2)
3 (1,3) (2,3) (4,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4)
∴共有12种等可能的情况，其中甲、乙抽到的出场顺序相邻的情况有6种，
1
∴甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为 ．
21
故答案为： ．
2
13．如图，有两个转盘，转盘A被分成两等份，分别标有数字1，2，转盘B被分成三等份，分别标有数字
1，2，3，转动两个转盘各一次，指针指向的数字之和为3的概率是 ．
1
【答案】
3
【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，根据题意，把所有等可能结果表示出来，
再根据概率计算公式即可求解．
【详解】解：根据题意，把所有等可能表示出来如下，
B 1 2 3
A
1 (1,1) (1,2) (1,3)
2 (2,1) (2,2) (2,3)
∴共有6种等可能结果，其中数字之和为3的有两种，(1,2)，(2,1)，
2 1
∴数字之和为3的概率是 = ，
6 3
1
故答案为： ．
3
14．某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如下表：
每次试验粒
50 100 300 400 600 1000
数
发芽频数 47 96 284 380 571 950
估计这批青稞发芽的概率是 ．（结果保留到0.01）
【答案】0.95
【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定
的近似值就是这个事件的概率．先计算各次的发芽率，利用频率估计概率即可．
【详解】分别计算各次的发芽率，
47
=0.94，
50
96
=0.96，
100
284
≈0.95，
300
380
=0.95，
400
571
≈0.95，
600
948
≈0.95，
1000
估计这批青稞发芽的概率是0.95．
故答案为：0.95．
三、解答题
15．有3个完全相同的小球，把它们分别标上号码1，2，3，放在一个不透明的口袋中，随机摸出一个小
球放回后再随机摸出另一个小球．
(1)采用画树状图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能的结果．
(2)求摸出的两个小球的号码之和等于5的概率．
【答案】(1)见解析
2
(2)
9
【分析】本题考查借助树状图或列表法求概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相
m
同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
n
（1）画树状图列举出所有情况；
（2）让摸出的两个球号码之和等于5的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】（1）解：根据题意，可以画出如下的树形图：从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有9种．
（2）解：由树状图知摸出的两个小球号码之和等于5的有2种结果，
2
∴摸出的两个小球号码之和等于5的概率为 ．
9
16．在一个盲盒中放有6个白球，7个黄球和若干个红球，这些球除颜色外完全相同，每次把球充分搅匀
后，任意摸出一个球，记下颜色再放回盲盒中，经过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在
0.3左右．
(1)估计盲盒中大约有______个红球；
(2)从盲盒中取出2个白球，2个黄球，1个红球放入到一个不透明的袋子中，从中同时随机摸出两个球，
请用列表法或树状图法求摸到两个球颜色相同的概率．
【答案】(1)7
1
(2)摸到两个球颜色相同的概率为
5
【分析】本题主要考查了已知概率求数量，树状图法或列表法求解概率，用频率估计概率：
（1）根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到白球的概率为0.3，据此求出总的总数即
可得到答案。
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到摸到两个球颜色相同的结果数，最后依据概率计算
公式求解即可．
【详解】（1）解：∵经过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.3左右，
∴摸到白球的概率为0.3，
∴盒中球的总个数约为6÷0.3=20（个），
∴估计盲盒中红球大约有20-6-7=7（个），
故答案为：7；
（2）解：分别用A、B表示两个白球，C、D表示两个黄球，E表示红球，列表如下：
A B C D EA (B,A) (C,A) (D,A) (E,A)
B (A,B) (C,B) (D,B) (E,B)
C (A,C) (B,C) (D,C) (E,C)
D (A,D) (B,D) (C,D) (E,D)
E (A,E) (B,E) (C,E) (D,E)
由表知，共有20种等可能结果，其中摸到两个球颜色相同的有4种结果，
4 1
∴摸到两个球颜色相同的概率为 = ．
20 5
17．为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，某校积极倡导人文运动观念，提高同学们的
身体素质．该校对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分
成四组：A:0≤x<3;B:3≤x<6;C:6≤x<9;D:9≤x≤12，并绘制了如下两幅不完整的统计图：
请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
(1)该校此次调查共抽取了________名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为
________°，并补全条形统计图；
(2)若该校八年级共300名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数，
(3)若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2
名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率．
【答案】(1)80，162，补全条形统计图见解析
(2)105
2
(3)
3
【分析】（1）由“A组”的学生人数除以所占百分比即可求出一共随机抽取的学生人数，再用“B”组的学生人数除以总人数，再乘以360°即可得到“B”组对应的扇形圆心角的度数，最后用总人数减
去已知被调查每组七、八年级的学生人数即可把条形统计图补充完整；
（2）300乘以八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生所占比例即可，
（3）画树状图，用恰好选中七年级和八年级各1名同学的结果数除以总的结果数即可得出结果．
【详解】（1）解：该校此次调查共抽取的学生人数为：(10+6)÷20%=80（名），
20+16
扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为 ×360°=162°，
80
“C”组八年级的学生人数为：80-10-6-16-20-6-8-4=10（人），
补全条形统计图如下：
；
10+4
（2）解：根据题意：300× =105（人），
6+20+10+4
答：八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数为105人；
（3）解：设七年级和八年级的2名同学分别用字甲，乙，丙，丁表示，
树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好选中七年级和八年级各1名同学的结果有8种，即甲和丙，甲和丁，乙
和丙，乙和丁，丙和甲，丙和乙，丁和甲，丁和乙，
8 2
∴恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率为 = ．
12 3
【点睛】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此
题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了条形
统计图和扇形统计图．
