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第 25 章概率初步过关测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
B．射击运动员射击一次，命中10环
C．掷一次骰子，向上一面的点数是4
D．方程ax2+2x+1=0是一元二次方程
【答案】A
【分析】本题考查了必然事件．熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解
题的关键．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，逐一判断即可解答．
【详解】解：A. 从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球，是必然事件，符合题意；
B. 射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意；
C. 掷一次骰子，向上一面的点数是4，是随机事件，不符合题意；
D. 方程ax2+2x+1=0是一元二次方程，是随机事件，不符合题意．
故选：A．
2．如图所示的是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是（ ）
1 1 2 3
A． B． C． D．
4 2 3 4
【答案】D
【分析】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计
算方法是利用长度比，面积比，体积比等．用蓝色区域的圆心角除以周角可得到指针落
在蓝色区域的概率．
【详解】解：∵红色区域的圆心角为90°，
∴蓝色区域的圆心角为360°−90°=270°，270° 3
∴指针落在蓝色区域的概率是 = ，
360° 4
故选：D．
3．如图是一个游戏转盘，转盘表面平均分为3份，标为数字“1”“2”“3”．自由转动转盘，
当转盘停止转动后，指针落在数字“1”所示区域内的概率为（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
2 4 3 3
【答案】D
【分析】本题主要考查了概率公式，正确理解概率的求法是解题关键，直接根据转盘中
平均分配为3份，“1”有1份，进而即可得出答案．
【详解】解：由转盘可得，转盘平均分配为3份，“1”有1份，
1
故自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字”1”所示区域内的概率是： ，
3
故选：D．
4．小明和小强做游戏，抽到黑球算小明获胜，抽到白球算小强获胜，小明想获胜，选择图
（ ）机会最大．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了概率公式，准确理解概率的定义并运用公式求解是解题关键．
根据概率计算公式逐项进行判断即可．
5
【详解】A．小明获胜的概率是 ；
6
4
B．小明获胜的概率是 ；
6
3 1
C．小明获胜的概率是 = ；
6 22 1
D．小明获胜的概率是 = ；
6 3
故选：A．
5．如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小李帮妈妈打印了一个收款二维
码，如图所示，该二维码的面积为18cm2，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复
试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑色区域的
面积为（ ）
A．10.8cm2 B．9.6cm2 C．7.2cm2 D．11.2cm2
【答案】A
【分析】本题考查了用频率估计概率，掌握概率公式是解题的关键．先计算出点落在黑
色区域的频率稳定值，再用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可求解．
【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，
∴点落在黑色区域的频率稳定在1−0.4=0.6左右，
∴估计此二维码中黑色区域的面积为18×0.6=10.8cm2．
故选：A．
6．从−1，3，6这三个数中任取两个数作为点P的横坐标和纵坐标，则点P在第二象限的
概率是（ ）
1 1 2 3
A． B． C． D．
3 2 3 4
【答案】A
【分析】本题主要考查了利用列表法与树状图法求概率的方法，先列表或画图展示所有
等可能的结果数n，再找出某事件发生的结果数m，然后根据概率的定义计算出这个事
m
件的概率为 ，先画树状图展示所有6种等可能的结果，再找到符合条件的结果数，继
n
而利用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图为 ，共有6种等可能的结果，它们是
(−1,3)、(−1,6)、(3,−1)、(3,6)、(6,−1)、(6,3)，其中点P在第二象限的共2
种结果，它们是(−1,3)、(−1,6)，
2 1
∴点P在第二象限的概率是 =
6 3
故选：A ．
7．李明同学利用被等分成10份的转盘（如图①）做“用频率估计概率”的试验时，统计
了某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，则最有可能符合这一结果的试
验是（ ）
A．转动转盘后，出现比5小的数
B．转动转盘后，出现奇数
C．转动转盘后，出现能被3整除的数
D．转动转盘后，出现能被5整除的数
【答案】C
【分析】本题考查利用频率估算概率，求概率，根据统计图可知，出现这种结果的概率
约为0.3，逐一求出各选项中的概率，进行判断即可．
【详解】解：由统计图可知，出现这种结果的概率约为0.3；
A、转盘共有10种等可能的结果，其中出现比5小的数的结果有4种，故概率为0.4，
不符合题意；
B、转盘共有10种等可能的结果，其中出现奇数的结果有5种，故概率为0.5，不符合
题意；
C、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被3整除的数的结果有3种，故概率为0.3，符合题意；
D、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被5整除的数的结果有2种，故概率为
0.2，不符合题意；
故选C
8．两所学校计划共同组织春季研学活动，目前给出的研学路线共有3条，分别为：红色研
学路线、科普研学路线和国防教育研学路线．若两校均从中随机选择一条路线进行研学
活动，则两校选择同一路线进行研学活动的概率为（ ）
1 2 1 2
A． B． C． D．
9 9 3 3
【答案】C
【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．
根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计
算即可．
【详解】解：设3条研学路线为A,B,C，
列表如下：
A B C
A (A,A()A,B)(A,C)
B (B,A)(B,B)(B,C)
C (C,A()C,B)(C,C)
由表格可得，共有9种等可能的结果，其中两校选择同一路线进行研学活动的情况有3
种，
3 1
∴两校选择同一路线进行研学活动的概率P= = ．
9 3
故选：C．
9．一个不透明的袋中装有2个红球，2个黄球，它们除颜色外完全相同，现有放回地从中
随机摸取两次小球，每一次只摸出1个小球，则两次摸出的小球都是红球的概率是（
）
1 1 1 1
A． B． C． D．
16 6 4 2
【答案】C
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解
题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总
情况数之比．
首先根据题意列表或画出树状图，然后由列表或树状图求得所有等可能的结果与两次摸
出两个球恰好是两个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：列表如下：
∗ 红1 红2 黄1 黄2
红1 (红1，红1) (红1，红2) (红1，黄1) (红1，黄2)
红2 (红2，红1) (红2，红2) (红2，黄1) (红2，黄2)
黄1 (黄1，红1) (黄1，红2) (黄1，黄1) (黄1，黄2)
黄2 (黄2，红1) (黄2，红2) (黄2，黄1) (黄2，黄2)
由表可知一共有16种情况，两次摸到的小球都是红球有4种情况，
4 1
所以两次摸出的小球都是红球的概率 = ，
16 4
故选：C．
10．从长度为3，5，7，m（其中m为整数）的四条线段中任取三条，使它们首尾顺次相
3
接能组成三角形的概率为 ，则m的值应为（ ）
4
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了概率公式和三角形三边关系，根据三角形三边关系正确列出不等
式是解题的关键．
根据题意可得满足条件任取三条能组成三角形的情况只有3种，再根据三角形三边关
系进行逐一判断即可．
【详解】解：∵四条线段任取三条所有的情况为4种，
3
∴当能组成三角形的概率为 时，
4
3
∴满足条件任取三条能组成三角形的情况为4× =3种，
4
∴有①3,5,7；②3,5,m；③3,7,m；④5,7,m，
∵3+5>7,7−3<5，∴能组成三角形，①能组成三角形；
A、当m=4时，对于②3,5,4有3+4>5,5−3<4，
∴②能组成三角形，
对于③3,7,4，3+4=7,7−3=4，
∴③不能组成三角形，
对于④5,7,4，5+4>7,7−4<5，
∴④能组成三角形，
∵满足条件任取三条能组成三角形的情况只有3种，
∴A选项符合题意；
B、当m=5时，对于②3,5,5有3+5>5,5−3<5，
∴②能组成三角形，
对于③3,7,5，3+5>7,7−3<5，
∴③能组成三角形，
对于④5,7,5，5+5>7,7−5<5，
∴④能组成三角形，
∴B选项不符合题意；
C、当m=6时，对于②3,5,6有3+5>6,6−3<5，
∴②能组成三角形，
对于③3,7,6，3+6>7,7−3<6，
∴③能组成三角形，
对于④5,7,6，5+6>7,7−5<6，
∴④能组成三角形，
∴C选项不符合题意；
D、当m=7时，对于②3,5,7有3+5>7,7−3<5，
∴②能组成三角形，
对于③3,7,7，3+7>7,7−3<7，
∴③能组成三角形，
对于④5,7,7，5+7>7,7−5<7，
∴④能组成三角形，
∴D选项不符合题意．
故选A．二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
11．掷一枚质地均匀的骰子，掷到的点数大于4的概率是 ．
1
【答案】
3
【分析】本题考查的是简单随机事件的概率，掌握简单随机事件的概率的计算公式：
“随机事件A的概率P =事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．”是
A
解题的关键．
一枚质地均匀的骰子有六个面，分别标有1，2，3，4，5，6，其中点数大于4的面有
2个，结合概率公式可得答案．
2 1
【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，掷到的点数大于4的概率是： = ．
6 3
1
故答案为： ．
3
12．在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子
2
中随机摸出1个球，摸到红球的概率为 ，则a= ．
3
【答案】8
【分析】本题考查了概率公式，分式方程的应用．
根据概率公式列方程计算即可．
【详解】∵在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．
2
若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为 ，
3
a 2
∴ = ，
4+a 3
解得：a=8，
经检验，a=8是原分式方程的解，
故答案为：8．
13．一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色不同外，其余均相同，
从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验
1000次，其中有200次摸到红球，由此估计盒子中的红球有 个．
【答案】2
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，概率公式的应用，解题的关键是根据题意列出方程求解．
200
利用频率估计概率可得到摸到红球的概率为 ，然后根据概率公式计算这个盒子中
1000
红球的数量．
【详解】解：∵共试验1000次，其中有200次摸到红球，
200 1
∴摸到红球的概率为 = ，
1000 5
x 1
设盒子中有x个红球，则 = ，
8+x 5
解得x=2，
经检验，x=2是该方程的解．
∴估计盒子中的红球有2个．
故答案为：2．
14．2024年6月2日清晨，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极——艾特肯盆地预选着陆区，
开启了人类探测器首次在月球背面的样品采集任务．小亮同学是航天知识爱好者，他
利用边长为16cm的正方形制作出七巧板如图1，并拼出火箭模型如图2．在对火箭模
型进行创意宣讲时，激光笔射出的小红点落在该模型的任意位置，它停在阴影部分的
概率为 ．
3
【答案】
16
【分析】本题主要考查几何概率．用阴影部分的面积除以正方形的总面积，即可得解．
【详解】解：如图，1 1
由题意得：EF=AC= AB=8，CD=AC=8，DG=CG= CD=4，
2 2
∴图③的面积为8×4=32，
1
图④的面积为 ×8×4=16，
2
正方形的面积为162=256，
32+16 3
∴停在阴影部分的概率为 = ，
256 16
3
故答案为：
16
三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（8分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”“香”“校”“园”的四个小
球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸前先搅拌均匀．
(1)若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为______；
(2)先从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求
取出的两个球上的汉字能组成“书香”的概率．
1
【答案】(1)
4
1
(2)
6
【分析】（1）根据概率公式直接计算即可；
（2）画出树状图，再根据树状图解答即可求解；
本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【详解】（1）解：从中任取一个球，共有4种等结果，球上的汉字刚好是“书”的结
果只有1种，
1
∴球上的汉字刚好是“书”的概率为 ，
41
故答案为： ；
4
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能得结果，其中取出的两个球上的汉字能组成“书香”
的结果有2种，
2 1
∴取出的两个球上的汉字能组成“书香”的概率为 = ．
12 6
16．（8分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只，某
学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，
不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601
m
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
m
n
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）；
(2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
【答案】(1)0.60
(2)白球3个，黑球2个
【分析】本题主要考查了频率估计概率，已知概率求数量，正确掌握相关性质内容是
解题的关键．
（1）根据表中的数据，估计出摸到白球的频率．
（2）根据口袋中白色的球的概率即可求出口袋中白球有多少只，即可求出黑球的数量．
【详解】（1）解：根据题意得：当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60．
故答案为：0.60
（2）解：∵当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60，
∴摸到白球的概率是0.60；
∴口袋中白球是：5×0.6=3（个），黑球是5−3=2（个）．
17．（8分）一个不透明的口袋中装有3个白球和5个红球，这些球除颜色外完全相同，充
分摇匀后随机摸出一球，发现是白球．
(1)如果将这个白球放回，摇匀后再摸出一球是白球的概率是多少？
(2)如果将这个白球不放回，再加入2个红球，将口袋摇匀后，摸出一球是白球的概率
是多少？
3
【答案】(1)
8
2
(2)
9
【分析】本题主要考查条件概率的理解与应用，重点在于分析不同操作(放回、不放回
并加入球)后总球数和目标球数的变化．
(1)放回白球后，总球数和白球数均恢复初始状态，概率直接由初始比例确定；
(2)不放回且加入红球后，总球数和剩余白球数发生变化，需重新计算概率．
【详解】（1）解：放回白球：第一次摸出白球后放回，口袋中仍为3个白球和5个红
球，总球数为8，
白球数 3
概率计算：第二次摸球时，白球数量未变，因此概率为：P= = ；
总球数 8
（2）不放回白球：第一次摸出白球后，剩余白球数为3−1=2，红球数仍为5，
加入2个红球：总红球数变为5+2=7，
总球数变为2+7=9，
2
剩余白球数为2，总球数为9，因此概率为：P= ．
9
18．（8分）国庆期间成都市某旅游机构抽样调查了外地游客对A、B、C、D四个景点作
为最佳旅游景点的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
(1)本次参加抽样调查的游客有_____，根据题中信息补全条形统计图；
(2)若某批次游客有8000人，请你估计选择D作为最佳旅游景点的有_____；(3)A旅游景点举行游客有奖问答活动．现有2男3女共5名游客回答对了问题．现从
这5名游客中随机抽取2名游客发放纪念品，请用列表或画树状图的方法求获得此次
纪念品的是一男一女的概率．
【答案】(1)600人，统计图见解析
(2)3200人
3
(3)
5
【分析】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．
（1）由D景点的人数除以所占百分比得出本次参加抽样调查的游客，然后求得B,C
的人数，补全统计图即可；
（2）由某批次游客的人数乘以D景点所占的百分比即可；
（3）列表，共有20种等可能的结果，其中获得此次纪念品的是一男一女的结果有12
种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：本次参加抽样调查的游客有：240÷40%=600（人），
则B景点的人数为：600×10%=60（人），
∴C景点的人数为：600−180−60−240=120（人），
故答案为：600人，
补全条形统计图如下：
（2）解：某批次游客有8000人，请你估计选择D作为最佳旅游景点的有：
8000×40%=3200（人）
故答案为：3200人；
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2 女3
男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男1，女3男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 男2，女3
女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女1，女3
女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 女2，女3
女3 女3，男1 女3，男2 女3，女1 女3，女2
那么一共有20种等可能的情况，其中抽到一男一女的情况有12种，那么获得此次纪
12 3
念品的是一男一女的概率为 = ．
20 5
19．（8分）现有三张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字−2，0，2，把这三张
卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
(1)随机的取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为非正数的概率；
(2)先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽
取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，用列表法或画树状图法求出点A在直线
y=x+2上的概率．
2
【答案】(1)
3
2
(2)
9
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，一次函数图象上点的坐标特征，
正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依
据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵数字−2，0，2，
∴非正数有−2，0，
2
∴随机的取一张卡片，抽取的卡片上的数字为非正数的概率 ；
3
（2）解：画树状图，由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，点A在直线y=x+2上的结果数有(−2,0)，
(0,2)两种，
2
∴点A在直线y=x+2上的概率是 ．
9
20．（8分）某班有50名同学，其中男生24人，女生26人．
(1)若从50名同学中随机选取1人作为某次活动的记录员，求选到男生的概率；
(2)若只在甲、乙两人中选1人，准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将
四张牌面数字分别为1、2、3、4的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2
张，若牌面数字之和为奇数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请用树
状图说明理由；
(3)在（2）中，只将四张牌面数字分别为1、2、3、4的扑克牌中牌面数字为4的换
为5，其余都不变，请直接回答：这个游戏（填“公平”或“不公平”）．
12
【答案】(1)
25
(2)不公平，见解析
(3)公平
【分析】本题围绕概率计算与游戏公平性判断展开．
（1）先算从50名同学中选男生的概率，用男生人数除以总人数；
（2）用树状图法分析从1、2、3、4中取2张牌，按和的奇偶性决定甲乙参加，因
奇数概率大，游戏不公平；
（3）换牌为1、2、3、5，同样用树状图算出奇偶数概率相等，游戏公平；
【详解】（1）解：∵这个班有50名同学，其中男生24人，女生26人，
∴从50名同学中随机选取1人作为某次活动的记录员，
24 12
选到男生的概率是：P= = ；
50 25
（2）树状图如下：
1 2 3 4
由树状图可得：从 ， ， ， 四张扑克牌中任
取2张，一共有12种等可能的结果，
其中牌面数字之和为奇数的结果有8种，牌面数字之和为偶数的结果有4种，8 2
故牌面数字之和为奇数的概率是：P = = ，
1 12 3
4 1
牌面数字之和为偶数的概率是P = = ，
2 12 3
2 1
∵ > ，
3 3
∴甲能参加的概率大于乙能参加的概率 ，
∴这个游戏不公平；
（3）树状图如下：
1 2 3 5
由树状图可得：从 ， ， ， 四张扑克牌中任
取2张，一共有12种等可能的结果，
其中牌面数字之和为奇数的结果有6种，牌面数字之和为偶数的结果有6种，
6 1
故牌面数字之和为奇数的概率是：P = = ，
1 12 2
6 1
牌面数字之和为偶数的概率是：P = = ，
2 12 2
∴甲能参加的概率等于乙能参加的概率，
∴这个游戏公平；
21．（10分）某学校为了培养学生的兴趣和爱好，在课后延时服务活动中开设了A：象棋；
B：书法；C：机器人；D：舞蹈；E：手工制作五个兴趣小组（每名学生必选且只能
选一个），将参加各兴趣小组的人数绘制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图中
的信息，解答下列问题．
(1)参加兴趣小组的学生有 人；(2)把条形统计图补充完整，扇形统计图中的C组所对应圆心角的度数是 °；
(3)在A组最优秀的3名学生（2名男生1名女生）和B组最优秀的4名学生（2名男生
2名女生）中，各选1名学生参加区域性的课后延时服务成果展示，利用画树状图法
或列表法，求所选两名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)120；
(2)见解析，144；
1
(3) ．
2
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，熟练掌握以上知识
点是解题的关键；
（1）用参加B组的学生人数除以其所占的百分比可得本次参加兴趣小组的学生人数．
（2）用总的学生人数分别减去参加A，B，D，E组的学生人数，可求出参加C组的
学生人数，补全条形统计图即可；用360°乘以参加C组的学生所占的百分比，即可求
得C组所对应圆心角的度数．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数和所选两名学生中恰好是1名男生1名女生的
结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：30÷25%=120（人）
故答案为：120．
（2）解：C组人数：120−18−30−12−12=48（人）
补充的完整的条形统计图如下：
48
×360°=144°
120
故答案为：144．
（3）由题意画树状图如下：由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的结果有
6种，
6 1
∴P（1男1女）= = ．
12 2
