文档内容
专题 25.1 概率初步（全章复习讲义）
目 录
一、专题核心定位..........................................................................................................................2
【核心目标】.........................................................................................................................................2
【学情适配】.........................................................................................................................................2
【中考对接】.........................................................................................................................................2
二、 知识体系图谱........................................................................................................................3
三、 专题核心内容........................................................................................................................3
第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关.................................................................................3
【模块1】知识精讲..............................................................................................................................3
2. 方法梳理............................................................................................................................................4
【模块2】基础题型通关（▲核心题型）...........................................................................................5
题型 1：事件类型的判断（基础必练）.............................................................................................5
题型 2：直接列举法求概率（同步必练）.........................................................................................6
题型 3：列表法求概率（同步必练）.................................................................................................8
题型 4：树状图法求概率（同步必练）...........................................................................................10
题型 5：频率估计概率（同步必练）...............................................................................................12
第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚...............................................................................13
模块 3：高频模型：方法精讲...........................................................................................................13
模块 4：易错题型专项突破（△重点警示）...................................................................................14
易错类型 1：混淆“放回”与“不放回”情境下的概率计算（忽略总结果数的变化）............14
易错类型 2：忽略试验结果的“等可能性”（误将非等可能结果当作等可能计算）................16
易错类型 3：混淆“频率”与“概率”（将单次试验频率等同于概率）....................................18
易错类型 4：几何概率中混淆“几何度量类型”（误将长度当作面积计算）............................19
第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破....................................................................20
模块 5：中考高频题型分类突破.......................................................................................................20
题型 1：古典概率计算（★中考必考题）.......................................................................................20
题型 2：游戏公平性判断与设计（★中考常考题）........................................................................22
题型 3：频率估计概率的实际应用（★中考应用性考点）............................................................25题型 4：几何概率计算（★中考提升题）.......................................................................................28
题型 5：概率与统计综合（★中考冲刺题）...................................................................................30
题型 6：概率创新压轴题（★中考冲刺题）...................................................................................34
四、专题配套资源........................................................................................................................37
分层作业设计：...................................................................................................................................37
基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】.................................................................37
能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】.................................................................48
五、反思：错题归因手册：.........................................................................................................59
一、专题核心定位
【核心目标】
夯实概率的概念本质，掌握随机事件判断、古典概率计算（直接列举法、列表法、树状图
法）、频率估计概率三大核心能力，能熟练运用概率知识解决游戏公平性判断、实际情境概率计
算、统计与概率综合等问题，建立“随机观念”与“模型思想”的逻辑思维，为后续统计推断、复
杂概率问题学习奠定基础。
【适用场景】
人教版九上同步培优、期中、期末复习、中考一轮基础巩固、中考二轮专题突破；
【学情适配】
基础薄弱生：掌握核心概念、基本计算方法与基础题型，实现“能辨事件、会算基础概率”；
中等生：熟练运用三种列举法计算概率，突破含“放回”与“不放回”情境、游戏公平性判断等综
合题型；
优等生：掌握跨知识点综合技巧，解决概率与几何、统计、函数的综合问题、压轴创新题型，强化
解题策略与思想方法。
【中考对接】
标注高频考点（★）、核心题型（▲）、易错点（△），明确概率在中考中“基础性”与“综合
性”双重作用（如古典概率计算、游戏公平性设计与判断、频率估计概率的实际应用、概率与统计
图表综合），精准对接近年中考“实际应用”“模型构建”的命题趋势。二、知识体系图谱
三、专题核心内容
第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关
【模块1】知识精讲
1. 概念辨析（△重点突破）
（1）事件的类型：
①必然事件：在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．
②不可能事件：在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．
③随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
（2）概率的定义：①对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值称为随机事件A发生的概率，记为P
（A）。核心公式：若一次试验中有种n等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，则P
（A）= （0≤P（A）≤1）。
②列举法的适用场景：
直接列举法：适用于试验涉及的对象单一、等可能结果数目较少的情况；
列表法：适用于一次试验涉及两个因素，且等可能结果数目较多的情况；
树状图法：适用于一次试验涉及三个或更多个因素，需不重不漏列出所有等可能结果的情况。
（3）频率与概率的关系：
在大量重复试验中，事件A发生的频率 （m为发生次数，n为试验总次数）会稳定在某个常
数p附近，这个常数p就是事件A的概率，即P（A）= 。频率是概率的近似值，概率是频率
的稳定值。
2. 方法梳理
（1）坐标的书写与象限的判定（★中考基础考点）：
（1）事件类型的判断（★中考基础考点）：
①依据事件发生的确定性与随机性区分必然事件、不可能事件和随机事件；
②结合实际情境分析事件发生的可能性，如“太阳从东方升起”为必然事件，“掷骰子掷出7
点”为不可能事件，“掷硬币正面朝上”为随机事件。
（3）古典概率的计算步骤（★中考核心考点）：
①判断试验结果是否为等可能事件； ②确定试验的总结果数n； ③找出事件A包含的结果数
m； ④代入公式P（A）= 计算概率。
【要点提示】计算时需注意“放回”与“不放回”情境的区别：放回时每次试验的总结果数不
变，不放回时总结果数逐次减少。
（4）频率估计概率的应用（★中考基础考点）：①收集大量重复试验的频率数据； ②观察频率的稳定值，将其作为概率的估计值； ③应用
于实际问题，如通过摸球试验频率估计袋中某种颜色球的数量。
（5）游戏公平性的判断（★中考应用性考点）：
①计算游戏双方各自获胜的概率； ②若双方获胜概率相等，则游戏公平；若不相等，则游戏
不公平； ③可通过调整规则（如改变得分标准、试验条件）使游戏公平。
【模块2】基础题型通关（▲核心题型）
题型 1：事件类型的判断（基础必练）
【例题1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．在地球上，太阳东升西落 B．亚运会射击运动员射击一次命中靶心
C．两点之间线段最短 D．a是实数，
【答案】B
【分析】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，正确区分各种事件是解题关键．
直接利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别判断得出答案．
解：A．太阳东升西落是必然发生的，必然事件，不符合题意；
B．射击运动员射击一次，可能命中靶心也可能不命中，随机事件，符合题意；
C．两点之间线段最短是几何公理，必然事件，不符合题意；
D．对于实数 ， 恒成立，故 不可能发生，不可能事件，不符合题意；
故选：B．
【变式1】（25-26九年级上·浙江·期中）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．平面内画一个三角形，内角和为180°
C．挑选30名同学，有人生日在1月 D．打开电视，它正在播放广告
【答案】B
【分析】本题考查事件的分类，熟练掌握必然事件和随机事件是解题的关键，必然事件是指在一定
条件下一定会发生的事件，选项A、C、D均为随机事件，不一定发生；选项B根据三角形内角和定
理，内角和恒为180°，是必然事件．
解：选项A，掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件；
由三角形的内角和定理，平面内任意三角形的内角和恒为180°，
则选项B是必然事件；
选项C，挑选30名同学，有人生日在1月是随机事件；选项D，打开电视，它正在播放广告是随机事件，
因此，只有B是必然事件，
故选：B．
【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上．
①守株待兔；
②水中捞月；
③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；
④任意画一个三角形，其内角和为180°；
⑤若 ，则 ；
⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数．
（1）其中是必然事件的有 ；
（2）其中是随机事件的有 ；
（3）其中是确定事件的有 ．
【答案】 ④⑥ ①③⑤ ②④⑥
【分析】本题主要考查了事件的分类，
根据随机事件，确定事件的定义解答即可.
解：①守株待兔是随机事件；②水中捞月是不可能事件，属于确定事件；③连续抛同一枚硬币2次
都是正面朝上，这个事件是随机事件；④任意画一个三角形，其内角和为 是必然事件，属于确
定事件；⑤若 ，则 或 ，所以 是随机事件；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是
奇数属于必然事件，属于确定事件；
必然事件的有：④⑥；
随机事件的有：①③⑤；
确定事件的有：②④⑥.
故答案为：④⑥；①③⑤；②④⑥.
题型 2：直接列举法求概率（同步必练）
【例题2】（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色
与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止
时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概
率是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查列举法求概率，列举出所有的可能性，利用概率公式进行求解即可．
解：由题意，同时转动两个转盘一次，可能出现的结果为（红，黄），（红，蓝），（红，绿），
（白，黄），（白，蓝），（白，绿），共6种等可能的结果，其中配成紫色的结果只有（红，
蓝）1种，
∴ ；
故选A．
【变式1】（25-26九年级上·全国·月考）某校举行秋季运动会，甲、乙两人报名参加 比赛，
预赛分 、 、 三组进行，运动员通过抽签决定分组．则甲、乙两人恰好分到同一组的概率是
．
【答案】
【分析】本题考查列举法求概率，通过列举所有可能的分组结果，计算甲、乙分到同一组的情况数
与总情况数的比值即可．
解：甲、乙两人抽签分组所有可能出现的结果有： 、 、 、 、 、
、 、 、 ，共9种，它们出现的可能性相同，其中，甲、乙恰好分到同一
组的结果有3种，即 、 、 ，
因此，概率为 ，
故答案为： ．
【变式2】（2025·江苏南京·三模）桌面上倒扣着3个不透明的纸杯，其中2个纸杯中放有小球．
（1）随机翻开1个纸杯，其中放有小球的概率是__________；
（2）随机翻开2个纸杯，求2个纸杯中均放有小球的概率．【答案】（1） ；（2） ．
【分析】本题考查了概率公式，列举法求概率，掌握概率公式是解题关键．
（1）根据概率公式求解即可；
（2）利用列举法求解即可．
解：（1）解：桌面上倒扣着3个不透明的纸杯，其中2个纸杯中放有小球，
则随机翻开1个纸杯，其中放有小球的概率是 ，
故答案为： ；
（2）解：所有可能出现的结果有：（球 ，球 ）、（球 ，无）、（球 ，无）共3种，它们出现
1 2 1 2
的可能性相同．
所有的结果中，满足“2个纸杯中均放有小球”（记为事件M）的结果有1种，
所以 ．
题型 3：列表法求概率（同步必练）
【例题3】（25-26九年级上·山西晋中·期中）五台山不仅是世界文化景观遗产，也是国家地质公园
和国家森林公园．某兴趣小组整理了三个关于五台山的主题进行研究：“五台山宗教历史及文化研
究”“五台山传统文化和古建筑研究”“五台山地质结构和生态环境研究”．若小新和小明分别从
这三个主题中随机选择一个进行研究，则他们选中同一个主题的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，正确列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况是解题关键．根据题意列出表格表示出所有等可能的情况，再找出符合题意的情况，最后根据概
率公式计算即可．
解：设选择“五台山宗教历史及文化研究”为事件A，“五台山传统文化和古建筑研究”为事件
B，“五台山地质结构和生态环境研究”为事件C，
根据题意可列表格如下，
小新 小明 A B C
A A，A B，A C，A
B A，B B，B C，B
C A，C B，C C，C
由表格可知共有9种等可能的情况，其中他们选中同一个主题的概率有3种，
∴选中同一个主题的概率为 ．
故选A ．
【变式1】（25-26九年级上·山西晋中·期中）为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利
用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影．小明和小红两位同
学从这三部电影中随机选择一部观看，他们恰好选择看同一部电影的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，概率公式，列表或画树状图可得出所有等可能的结果
以及这两人选择同一部电影的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：将《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》分别记为A，B，C，
列表如下：
A B C
A
B
C由表知，共有9种等可能结果，其中两人选择同一部电影的有3种结果，
小明和小红两位同学恰好选择看同一部电影的概率为 ，
故答案为： ．
【变式2】（25-26九年级上·重庆·期中）小江要从“志存高远、厚积薄发、勤能补拙、博学笃
行”4个词语中随机抽取2个组成标语，其中抽中“勤能补拙”的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
先列出表格，从中得出所有结果数与符合条件的结果数，再求出抽中“勤能补拙”的概率．
解：“志存高远、厚积薄发、勤能补拙、博学笃行”4个词语分别记为A，B，C，D，
列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有 种等可能的结果，其中有“勤能补拙”6种，
其中抽中“勤能补拙”的概率为 ，
故答案为： ．
题型 4：树状图法求概率（同步必练）
【例题4】（25-26九年级上·重庆·期中）小影和晓成准备在周一、周二、周三、周四这四天中选择
一天上游泳兴趣班，求两人都选到周四的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查了画树状图求概率，能准确地画出树状图是解题的关键；先画出树状图，可知总
共有16种等可能的结果，两人都选周四只有1种情况，从而可求解．
解：画树状图，如图所示：由图可知，总共有16种等可能的结果，两人都选周四只有1种情况，因此两人都选到周四的概率
为 ，
故答案为： ．
【变式1】（25-26九年级上·江西九江·期中）小张与小李相约去江西省科技馆参观，某个展览馆有
甲、乙两个入口，A，B，C三个出口，那么小张恰好选择从甲入口进入，并从C出口走出的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有6种等可能的结果，其中小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的结果有1种，
再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的结果有1种，
∴小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的概率为 ，
故选：B．
【变式2】（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）某班学生到吉林省博物馆参加研学活动．博物馆为同
学们准备了以契丹文八角铜镜为背景的三款文创产品：“A．书签”、“B．钥匙扣”、“C．冰箱
贴”，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品，如果抽到每一款的可能性相同，用画树状图（或
列表）的方法，求甲、乙两位同学都抽不到“C．冰箱贴”的概率．【答案】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题关键是正确列表或画出树状图．
先画出树状图，再得出所有可能结果与符合条件的结果数，再利用概率公式求解．
解：画出树状图，
共有9种情况，其中甲、乙两位同学都抽不到“C．冰箱贴”有4种，
所以甲、乙两位同学都抽不到“C．冰箱贴”的概率为 ．
题型 5：频率估计概率（同步必练）
【例题5】（25-26九年级上·浙江金华·期中）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的
试验：不透明袋子中共装有10个球，其中有1个黑球、2个白球、3个红球和4个黄球，这些球除
颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色
最有可能是（ ）
A．黑球 B．白球 C．红球 D．黄球
【答案】B
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即
为概率值得到抽到该球的概率为 ，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案．
解：由题意得，该球的频率稳定在 左右，即抽到该球的概率为 ，
∵抽到黑球的概率为 ，抽到白球的概率为 ，抽到红球的概率为 ，抽到黄球
的概率为 ，
∴该球的颜色最有可能是白球，故选：B．
【变式1】（2025·浙江丽水·二模）小梦在研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率时，用同一枚图
钉做实验得到如下数据
掷图钉的次数 10 100 300 500 800 1000 2000
针尖朝上的频
率
请利用以上数据估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键．根据用频率估计
概率即可得到答案．
解：观察数据可得，“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是 ，即 ．
故答案为： ．
【变式2】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）在一个不透明的袋子里有红球、白球若干个，其中白
球12个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个
球．不断重复这一过程，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里红球
的个数是 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查利用频率估算概率及根据概率求个数问题，解题的关键是理解题意；根据频
率估计概率，摸到红球的频率稳定在0.4，即摸到红球的概率为0.4，从而摸到白球的概率为0.6，
利用白球个数求总球数，再求红球数即可．
解：∵摸到红球的频率稳定在0.4，
∴摸到红球的概率为0.4，摸到白球的概率为 ，
∵白球有12个，
∴总球数为 ，
∴红球个数为 ；
故答案为8．
第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚
模块 3：高频模型：方法精讲
模型 适用场景 解题方法
古典概率 已知试验的等可能结果，
计算模型 求随机事件的概率，包括 ①单因素：直接列举法，确定总结果数n和事件A包含的结“放回”与“不放回”情 果数m，代入P（A）= ；②双因素：列表法，横行列第一
境、单因素与多因素试 个因素结果，竖行列第二个因素结果，统计总结果数和目
验。 标结果数；③三因素及以上：树状图法，按步骤列出所有
结果，避免重复或遗漏；④区分“放回”（总结果数不
变）与“不放回”（总结果数递减）。
①收集数据：进行大量重复试验，记录事件发生的频率；
无法直接计算概率的实际 ②估计概率：取频率的稳定值作为概率的估计值；③应
频率估计
问题，如估计总体数量、 用：若已知总体数量，可通过“事件发生数量=总体数量×
概率模型
预测事件发生可能性。 概率估计值”计算；若已知事件发生数量和频率，可估计
总体数量。
随机点落在几何图形内的
①确定几何模型：根据情境判断用长度、面积还是体积作
概率问题，如投镖、转
几何概率 为度量标准；②计算总区域度量值S总和事件A对应的区域
盘、区域取点等，基本事
计算模型 度量值；③代入公式计算P（A）；④确保随机点在区域内
件与几何度量（长度、面
均匀分布，保证结果的等可能性。
积、体积）相关。
结合统计图表（条形统计
①解读统计图表：从图表中提取数据，确定试验的总结果
概率与统 图、扇形统计图、折线统
数（如总人数、总次数）；②确定事件A对应的统计数据
计综合模 计图）或统计数据（平均
（如符合条件的人数、次数）；③将统计数据转化为总结
型 数、众数、中位数）求概
果数n和目标结果数m，代入概率公式计算。
率。
模块 4：易错题型专项突破（△重点警示）
易错类型 1：混淆“放回”与“不放回”情境下的概率计算（忽略总结果数的变化）
【例题6】（25-26九年级上·陕西西安·月考）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”
“香”“校”“园”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为______；
（2）先从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求取出的两
个球上的汉字能组成“书香”的概率．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（ ）根据概率公式直接计算即可；
（ ）画出树状图，再根据树状图解答即可求解；
本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．
解：（1）解：从中任取一个球，共有 种等结果，球上的汉字刚好是“书”的结果只有 种，
∴球上的汉字刚好是“书”的概率为 ，
故答案为： ；
（2）解：画树状图如下：由树状图可知，共有 种等可能得结果，其中取出的两个球上的汉字能组成“书香”的结果有 种，
∴取出的两个球上的汉字能组成“书香”的概率为 ．
【变式1】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）一个盒子内装有大小、形状均相同的四个球，其中1
个红球、1个绿球和2个白球．小明从中摸出一个球后不放回，再摸出一个球，则两次摸到的球的
颜色一样的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据题意画树状图，得出总共有12种等可能结果．两次
颜色相同只能是两次都摸到白球，有2种方式，根据概率公式求解，即可．
解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况
∴两次都摸到白球的概率是：
故选：B．
【变式2】（2025·浙江·模拟预测）盒子里有2个黑球，1个红球（除颜色不同外其余均相同）．
从中任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，则摸出的2个球颜色相同的概率为
．
【答案】
【分析】利用画树状图法解答即可．
本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握解法是解题的关键．
解：画树状图如解图，由树状图可得共有6种等可能的结果，其中2个球颜色相同的结果有2种，
摸出的2个球颜色相同的概率为 ．故答案为： ．
【变式3】（2025·北京·模拟预测）不透明袋子中仅有红、绿小球各一个，两个小球除颜色外无其
他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸到的球中有一
个绿球、一个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列表法与树状图法，根据题意列表得共有 种等可能的结果，其中两次摸到的
球中有一个绿球、一个红球的结果有 种，然后通过概率公式即可求解．
解：列表如下，
红 绿
红 （红，红） （绿，红）
绿 （红，绿） （绿，绿）
由列表可知，共有 种等可能的结果，其中两次摸到的球中有一个绿球、一个红球的结果有 种，
∴两次摸到的球中有一个绿球、一个红球的概率是 ，
故选： ．
易错类型 2：忽略试验结果的“等可能性”（误将非等可能结果当作等可能计算）
【例题7】将一枚图钉抛起，落地后会出现“钉尖朝上“和“钉帽朝上”两种情况。有人认为这两
种情况是等可能的，因此“钉尖朝上“的概率是。请判断该观点是否正确，并说明理由。
解：易错解答：正确，因为只有两种结果，所以每种结果的概率都是。
正确解答：不正确，图钉的形状不均匀（钉尖重、钉帽轻），落地时“钉帽朝上“的稳定性更强，
两种结果发生的
可能性不相等，因此不能用计算概率。需通过大量重复试验，用频率估计概率（如抛1000次，若
钉尖朝上300
次，则概率约为0.3）。
【变式1】一个不透明的口袋里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球 个，黄球 个，若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为 ．
求口袋中红球的个数；
小明说：“口袋中共有三种颜色的球，所以从袋中任意摸出一球，摸到红球、白球或黄球的概
率都是 ”．请你判断小明的说法正确吗？为什么？
【答案】⑴6； ⑵小明的说法不正确，理由见分析
【分析】（1）首先设口袋中红球的个数为x，根据题意得： ，则可求得答案；（2）分
别求得摸到红球、白球或黄球的概率，即可知小明的说法错误.
解：（1）设口袋中红球的个数为 ，
根据题意得： ，
解得： ； 不正确．
（2）∵ （白球） ， （红球） ， （黄球） ；
∴小明的说法不正确．
【点拨】此题考查了概率公式的应用，掌握用到的知识点：概率=所求情况数与总情况数之比是解
决本题的关键.
【变式2】某超市举办抽奖活动，规则如下：在一个不透明的箱子里放入红、黄、蓝三种颜色的
小球若干（除颜色外完全相同），顾客随机摸出一个球，摸到红球中—等奖，黄球中二等奖，蓝球
中三等奖。超市宣称“三种奖项的中奖概率均为“。请你分析该宣称是否一定成立，并说明超市如
何操作才能让宣称成立。
易错解答：成立，因为有三种颜色的球，每种颜色的可能性相等，所以中奖概率都是
正确解答：不一定成立，只有当三种颜色的小球数量相等时，摸出每种颜色球的可能性才相等，概
率才为；若
三种颜色的小球数量不同（如红球1个、黄球2个、蓝球3个），则可能性不等，中奖概率也不同。
超市要让宣称成立，需保证红、黄、蓝三种颜色的小球数量相同（且摸球前充分摇匀，确保每个球
被摸到的可能性相等）。
易错类型 3：混淆“频率”与“概率”（将单次试验频率等同于概率）【例题8】某超市为了解顾客对某品牌牛奶的喜爱程度，随机调查了10名顾客，其中有6人喜欢
该品牌牛奶，因此超市宣称“该品牌牛奶的受欢迎概率是0.6。请分析该宣称是否合理，并说明如
何才能更准确地估计受欢迎概率。
易错解答：合理，因为10名顾客中有6人喜欢，频率是0.6，所以概率是0.6。
正确解答：不合理。样本容量过小（仅10人），调查结果具有偶然性，不能反映整体顾客的喜好
概率；要更准确地估计，需扩大调查样本（如调查1000名或更多顾客），通过大量数据计算频率，
此时频率才会趋近于真实的概率（受欢迎概率）。
【变式1】掷一枚质地均匀的硬币5次，其中2次正面朝上，3次反面朝上，现再掷一次．小明认
为，因为硬币质地均匀，前面已经是2次正面朝上，3次反面朝上，所以这一次一定是正面朝上，
即这一次正面朝上的概率为1；小凡认为，每次硬币正面朝上和反面朝上的可能性是相同的，所以
这一次正面朝上的概率仍然是 ．你同意谁的观点？你是怎么想的？
【答案】小凡，具体见分析
【分析】根据概率的意义分析即可，一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳
定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记作P（A）=p，概率从某种数量上
刻画一个不确定事件发生的可能性的大小．
解：同意小凡的观点，理由如下：
因为掷硬币为独立的重复试验，每次掷硬币出现正面的概率都为 ，所以第 次掷硬币出现正面朝
上的概率为 ．
【点拨】本题考查了概率的意义，理解概率的意义是解题的关键．
【变式2】一个质地均匀的袋子里有4个红球和1个白球，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率
是 。某同学连续摸球5次（每次摸出后放回并摇匀），结果一次白球都没摸到，他认为“概率是
错的"。请判断该同学的观点是否正确，并说明理由。
易错解答：正确，因为5次试验中白球一次都没出现，频率是0，所以概率不是
正确解答：不正确。概率是 摸球的固有属性，与单次试验结果无关；5次试验属于少星试验，频
率为0是可能出现的偶然情况（如连续掷5次硬币都正面朝上）。若该同学摸球1000次，每次放回摇匀，摸出白球的频率会逐渐趋近于 ，从而验证概率的正确性。
易错类型 4：几何概率中混淆“几何度量类型”（误将长度当作面积计算）
【例题9】一个长方形桌面的长为4m，宽为2m，桌面上有一个边长为1m的正方形装饰物（如图，
装饰物中心与桌面中心重合）。随机向桌面投掷一枚小石子（石子落在桌面任意位置的可能性相
等），求石子落在装饰物上的概率。
易错解答：桌面的总长度为4m，装饰物的长度为1m，因此概率为 。
正确解答：几何概率中，平面区域取点需用面积度量。
·桌面总面积：4×2=8（m2）；
·装饰物面积：1×1=1（m2）；
·所求概率=
【变式1】在一块长10m、宽5m的长方形草坪上，有一条宽1m的长方形小路（小路平行于草坪
的长，且贯穿草坪）。随机在草坪上撒一把种子（种子落在草坪任意位置的可能性相等），求种子
落在小路上的概率。
易错解答：草坪的总长度为10m，小路的长度为10m，因此概率为 11%=5（误将小路长
度与草坪的“长+宽”对比，忽略面积属性）
正确解答：用面积度量概率。
草坪总面积（含小路）：10×5=50（m2）；
小路面积：10×1=10（m2）；
所求概率=
【变式2】如图，在Rt ABC， =90°，AC=3，BC=4。点D是AB 的动点（不与A、B重合），点
E是 ABC 的动点（不与边界重合）。
（1）求点D落在AB中点的概率；
（2）求点E在 ACD （DAB 点）内的概率
易错解答：（1）AB的长度为5（由勾股定理得），中点将AB分为两段，每段长25，因此概率为=（2） ACD的AC 长为3， ABC的AC边长为3，因此概率为 =1（误将边长当作面积度量）。
正确解答：（1）点D在“线段AB上运动”，用长度度量概率：
AB= ；
“点D落在中点”是一个“点”，线段上单个点的长度为0，因此概率为=0；
（2）点E在“△ABC内运动”，用面积度量概率：
ABC的面积： ×3×4=6；
D为AB中点， ACD 面积是 ABC面积的一半，即 ×6=3.
所求概率= .
第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破
模块 5：中考高频题型分类突破
题型 1：古典概率计算（★中考必考题）
【例题10】（23-24七年级下·山东烟台·期中）袋子里装有若干个白球、红球和4个黄球，它们除
颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是 ．
（1）求袋子中的球共有多少个？
（2）若从袋子中随机摸出一个球，摸到白球与摸到红球的概率之比是 ，求袋子中白球与红球
各有多少个？
（3）请你设计一个通过改变袋子中球的个数的方案，使得从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的
概率是 ．
【答案】（1）32个；（2）袋子中白球有12个，红球16个；（3）向袋子中加入4个红球，摸到
红球的概率是 ．
【分析】本题考查概率问题，读懂题意，掌握概率计算公式是解决问题的关键．（1）用黄球的个数除以摸到黄球的概率即可解决问题；
（2）根据摸到白球与摸到红球的概率之比是 ，根据球的总量列式求解即可；
（3）根据红球个数及总球数，按照摸到红球的概率是 即可设计出方案．
解：（1）解： ，
∴袋子中的球共有32个．
（2）∵ ，
∴ ，
因此，袋子中白球有12个，红球16个．
（3）设向袋子中加入x个红球．
根据题意得 ，解得： ，经检验符合题意，
因此，向袋子中加入4个红球，摸到红球的概率是 ．
【变式1】（2024·广西贵港·一模）16世纪，意大利学者吉罗拉莫·卡尔达诺是第一个系统地推算概
率的人，他最初研究的是“掷骰子”游戏中的概率问题．若抛掷一枚均匀的正四面体骰子，骰子每
个面上分别刻有1，2，3，4点，则骰子着地一面的点数为偶数的概率为 ．
【答案】 /0.5
【分析】根据概率公式进行计算即可．
解：∵有4种等可能的情况，其中着地一面的点数为偶数的有2个，
∴骰子着地一面的点数为偶数的概率为： ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了利用概率公式进行计算，解题的关键是熟练掌握概率公式，准确计算．
【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）四张大小质地均相同的卡片上分别标有数字 ， ， ， ，
现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的 张中随
机抽取第二张．
（1）用画树状或列表的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；
（2）计算抽得的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是多少？
（3）如果抽取第一张后放回，再抽第二张，（2）的问题答案是否改变？如果改变，变为多少？（只写出答案，不写过程）
【答案】（1）答案见分析；（2） ；（3）改变，
【分析】本题考查了概率的求法，熟练掌握概率公式是解题的关键．
（1）用树状图列举出 次不放回实验的所有可能情况即可；
（2）看是奇数的情况占所有情况的多少即可；
（3）属于 次放回实验，和为奇数以及和为偶数的情况相等，那么概率是 ．
解：（1）解：如图：
（2）由（1）得共有 种，和为奇数有 种，
∴概率 ．
（3）如图：
共有 种等可能的情况，和为奇数的有 种，
∴答案改变，概率 ．
题型 2：游戏公平性判断与设计（★中考常考题）
【例题11】（25-26九年级上·陕西西安·期中）数学兴趣活动课上，小轩和小辉玩抽卡片游戏，如
图，他们制作了5张卡片，除正面不同外，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同．小轩将它
们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上．（1）若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的是“高陵果子”的概率是______．
（2）若规定：小轩从中随机抽取一张卡片（不放回），小辉再从中随机抽取一张卡片，若这两张
卡片中没有水果，则小轩赢，否则小辉赢．请你用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平?
（注：水果是卡片D，E）
【答案】（1） ；（2）这个游戏不公平，见分析
【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率的简单计算是解题的关键，
（1）利用概率的计算即可得到答案；
（2）根据题意画出树状图，分别计算出小轩赢或小辉赢的概率，然后比较即可得到答案．
解：（1）解：由概率公式可得，抽到的是“高陵果子”的概率是： ，
故答案为： ．
（2）解：由题可得树状图如下：
小轩赢的情况为：“两张非水果”的概率为： ，
小辉赢的情况为：“至少有一张水果” 的概率为： ，
∵ ，
∴这个游戏不公平．
【变式1】（25-26九年级上·浙江·期中）甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘 平均
分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲转动转盘 一次，乙转动转盘 一次，
当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在
分界线上，则无效．要重新转动转盘．
（1）用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由；若不公平，请改动转盘 上的一个数字使得游
戏公平（不需要写出理由）．【答案】（1） ；（2）不公平；甲获胜的概率 小于乙获胜的概率 ；把A盘中的数字1或3换
成2，另一个不变，即可保证游戏的公平
【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率，游戏的公平性等知识，正确列表或画出树状图是解
题的关键；
（1）列表或画树状图，可以求出所有可能事件的总数及事件发生的总数，由概率公式即可求解；
（2）根据（1）中列表或树状图可求得乙获胜的概率，若两概率不相等，则改动转盘 上的一个数
字使得游戏公平即可．
解：（1）解：列表如下：
A B 2 3 4
1
3
事件所有可能情况为6种，其中指针所在区域的数字之和为偶数的有2种，
则甲获胜的概率为 ．
答：甲获胜的概率为 ．
（2）解：不公平；
理由如下：
由（1）知，指针所在区域的数字之和为奇数的有4种，
则乙获胜的概率为 ．
而甲获胜的概率 小于乙获胜的概率 ，
所以游戏不公平．
把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平．
答：游戏不公平；甲获胜的概率 小于乙获胜的概率 ；把A盘中的数字1或3换成2，另一个不
变，即可保证游戏的公平．【变式2】（25-26九年级上·山东济南·期中）电影《志愿军：浴血和平》于2025年9月30日上映，
小明和小刚都想去看，但只有一张电影票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则
如下：
将四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋
中随机摸出一个球，记下数字后放回，另一人再从袋中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字
之和大于5，则小明获胜；否则小刚获胜．
（1）请利用画树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；
（2）这个游戏规则是否公平？请说明理由．
【答案】（1） ；（2）不公平，理由见分析
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性，熟知概率计算公式是解题的
关键．
（1）画树状图，共有16种等可能的结果，其中两次数字之和大于5的结果有6种，再由概率公式
求解即可；
（2）根据（1）求出小刚获胜的概率，再比较两人获胜的概率即可得到答案．
解：（1）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有16种等可能性的结果数，其中摸出的两个球上的数字之和大于5的结果数
有6种，
∴小明获胜的概率为 ；
（2）解：这个游戏规则不公平，理由如下：
由（1）可得摸出的两个球上的数字之和不大于5的结果数有10种，
∴小刚获胜的概率为 ，
∵ ，
∴小刚获胜的概率比小明的大，
∴这个游戏规则不公平．
题型 3：频率估计概率的实际应用（★中考应用性考点）【例题12】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的
方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成
如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次研究中，一共调查了 名学生；
（2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是
（3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读
的学生概率是多少？
【答案】（1） ；（2）补全条形统计图，见分析；阅读部分圆心角是 ；（3）
【分析】本题考查统计与概率，解题的关键是能够正确的从两幅统计图中获取信息．
（1）根据爱好运动人数的百分比以及人数即可求出共调查的人数；
（2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形，然后用 乘以爱
好阅读的人数所占百分比；
（3）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率．
解：（1）爱好运动的人数为 ，所占百分比为
共调查人数为： 人，
故答案为：100；
（2）∵爱好上网人数为： 人，
∴爱好上网的人数所占百分比为 ，
爱好阅读人数为： 人，
补全条形统计图，如图所示，阅读部分圆心角是 ，
故答案为： ；
（3）爱好阅读的学生人数所占的百分比为 ，
用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为 ；
故答案为 ．
【变式1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种
结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，高明辉随机出的是“剪刀”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
C．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上
D．用2、3、4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数
【答案】B
【分析】本题考查了用频率估计概率的知识点，解题的关键在于从折线图读取稳定频率，观察折线
在大次数试验后稳定在哪个数值附近；图中最后频率大约在 到 之间，即约 ，再
去比对选项即可．
解：选项A、“石头、剪刀、布”，出“剪刀”的概率 ，与题意不符；选项B 、掷骰子点数为6的概率 ，与题意相符；
选项C 、两枚硬币都正面朝上的概率 ，与题意不符；
选项D 、用2、3、4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数，末位为 或 时是偶数，可
能情况：末位 时前两位排列有 种，末位 时也有 种，总共4种；所有三位数有 种，概率
，与题意不符．
故选：B．
【变式2】（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000
元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现
在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？
答：甲得 元；乙得 元．
【答案】
【分析】本题考查了列举法求概率．
列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案．
解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况，
∵甲三胜二负，
∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜，
∴甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，
∴甲得 元、乙得 元．
故答案为： ，
题型 4：几何概率计算（★中考提升题）
【例题13】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形 中，分别以B，D为圆心，
以正方形的边长2为半径画弧，形成阴影部分的树叶图案．（计算时π取3）
（1）求阴影部分的面积；
（2）若在正方形 中随机撒一粒豆子，求豆子落在阴影区域内的概率．（豆子落在弧上不
计）【答案】（1）2；（2）
【分析】（1）根据阴影部分的面积等于半径为2的扇形的面积的2倍减去正方形的面积及扇形面
积公式计算即可；
（2）用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求解．
解：（1）解：由题意可得，
；
（2）解：由题意可得，
豆子落在阴影区域内的概率为 ．
【点拨】本题考查几何概率、扇形的面积公式，解题的关键是正确求出阴影部分的面积．
【变式1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在等腰 中， ，
，以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ，以点 为圆心， 为半径画弧，
交 于点 ．若一个小球在等腰 内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了扇形的面积，几何概率的计算；熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先利用
扇形的面积公式求出扇形 和扇形 的面积，再减去 的面积即可得阴影部分的面积，
再进一步利用概率公式计算即可．
解： 是等腰直角三角形，
，，
∴ ，
∴图中阴影部分的面积是
，
∴一个小球在等腰 内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是：
，
故选：D．
【变式2】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图， 为三角形纸板 的中线，点 为 上
一点且 ．点 、 是边 的三等分点，将一个飞镖随机投掷到该纸板上（假设飞镖一
定落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了几何概率的计算，掌握概率的计算公式是解题的关键．连接 ，设三角形纸
板 的面积为 ，根据中线的性质得到 ，根据三等分点的定义得到
， ，则有 ， ，再由 得到
，则 ，进而求出阴影部分面积为 ，再利用概率的计算公式即
可求解．
解：如图，连接 ，设三角形纸板 的面积为 ，
∵ 为三角形纸板 的中线，
∴ ，
∵点 、 是边 的三等分点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分面积 ，
∴飞镖落在阴影部分的概率是 ．
故答案为： ．
题型 5：概率与统计综合（★中考冲刺题）
【例题14】（25-26九年级上·广东深圳·期中）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一
轮科技革命和产业变革的重要驱动．宝安区在某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设
置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉
类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如
下统计图：项目 选择人数 频率
A．决策类人工智能
B．人工智能机器人
C．语音类人工智能
D．视觉类人工智能
（1）填空： ______， ______；扇统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度
数为______；
（2）若该中学共有600名九年级学生，那么估计该中学选择“D（人工智能机器人）”专业意向的
学生有______人；
（3）已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，
丁同学选了“C（语音类人工智能）”，从中选2人到深圳华为总部观摩学习，请利用画树状图或
列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率．
【答案】（1） ； ； ；（2） ；（3）
【分析】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图、用样本估计总体、概率公
式，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键．
（1）用表格中 的人数除以频率可得调查的人数，用 的人数除以调查的人数可得 的值，用调
查的人数乘以 的频率可得 的值，用 乘以 的人数所占的百分比，即可得出答案．
（2）根据用样本估计总体，用 乘以 的频率，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及这两位同学选的项目一样的结果数，再利用概率公式可
得出答案．
解：（1）解：调查的学生人数为 （人），
∴ ， ，C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角故答案为： ； ；
（2） （人）
故答案为： ；
（3）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
共有12种等可能的结果，其中两位同学选的项目一样的结果有2种，
∴这两位同学选的项目一样的概率为 ．
【变式1】（2025九年级上·浙江·专题练习）从 四个数中随机选取两个不同的数，分别
记为 ，则关于 的一元二次方程 有一正一负两个实数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，概率，由题意可得，
从 中随机选取两个不同的数作为 和 ，所有可能的有序组合共有 种，由方程的
解一正一负可得 ，又由 可知 时，方程始终有一正一负两个实数解，再求出满
足条件的情况即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
解：从 中随机选取两个不同的数作为 和 ，所有可能的有序组合共有 种，
当方程的解一正一负时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 时， ，方程始终有一正一负两个实数解，
∴ 或 ，
当 时， 可取 ，有 种；
当 时， 可取 ，有 种；∴ 满足条件的情况共 种，
∴一正一负两个实数解的概率为 ，
故选： ．
【变式2】（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为
整点，正方形边长的整点称为边整点，如图，第一个正方形有4个边整点，第二个正方形有8个边
整点，第三个正方形有12个边整点，…，按此规律继续作下去，若从内向外共作了5个这样的正
方形，那么其边整点的个数共有 个，这些边整点落在函数 的图象上的概率是 ．
【答案】 60
【分析】本题考查了简单随机事件的概率，利用列举法得到所有等可能的结果数为n，再从中选出
符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了解决规律型问
题的方法和二次函数图象上点的坐标特征．
利用整点的个数与正方形的序号数的关系可得到第四个正方形有 个边整点，第五个正方形有
个边整点，则可计算出其边整点的个数为60个，然后根据二次函数图象上点的坐标特征可确
定这些边整点落在函数 的图象上的个数，再利用概率公式求解．
解：第一个正方形有 个边整点， 第二个正方形有 个边整点， 第三个正方形有 个边整
点， 第四个正方形有 个边整点， 第五个正方形有 个边整点， 所以其边整点的个数共有
（个），
这些边整点落在函数 的图象上的有 、 、 ，共3个，所以些边整点落在函数 的图象上的概率
故答案为：60， ．
题型 6：概率创新压轴题（★中考冲刺题）
【例题15】（2025·贵州·一模）为弘扬中国传统文化，某中学决定针对七年级学生开设传统艺术文
化类课程．开设课程前，为了解他们对书法、音乐、绘画、剪纸、戏曲这5类课程的偏好情况，课
程组老师随机抽取部分七年级学生进行问卷调查，并形成了如下调查报告（不完整）：
调查主
某中学七年级学生对传统艺术文化类课程的偏好情况
题
调查方
抽样调查
式
调查对
某中学部分七年级学生
象
您更希望开设的传统艺术文化类课程为（必选且只选1项，在其后的括号里打
√）
调查内
容 A．书法（ ） B．音乐（ ） C．绘画（ ）
D．剪纸（ ） E．戏曲（ ）
问卷全部收回，并将调查结果统计如下：
被抽取学生偏好情况频数分布表
组别 频数（人数）
A
B a
C 4
D b
E
被抽取学生偏好情况扇形统计图调查结
……
论
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中， ， ；
（2）若该中学七年级学生人数为 人，请估计该中学七年级学生中希望开设戏曲课程的学生人
数；
（3）已知选择绘画的学生中有2名男生和2名女生，现要从中随机选取2名学生参加“绘画展出
活动”，请用列表或画树状图的方法，求被选取的2名学生恰好为1男1女的概率．
【答案】（1）7；11；（2） 人；（3）
【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图的应用、用样本估计总体、列举法求概率．
（1）通过扇形统计图中的比例关系求出总人数，进而求出 的值．
（2）利用样本中戏曲课程的占比估计总体中戏曲课程的人数．
（3）通过列表或树状图的方法求出符合条件的概率．
解：（1）解：本次调查的七年级学生人数为 （人），
∴ ， ．
（2） （人）
答：估计该中学七年级学生中希望开设戏曲课程的学生为 人．
（3）根据题意列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 — （男2，男1） （女1，男1） （女2，男1）
男2 （男1，男2） — （女1，男2） （女2，男2）
女1 （男1，女1） （男2，女1） — （女2，女1）
女2 （男1，女2） （男2，女2） （女1，女2） —
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中被选取的2名学生恰好为1男1女的结果有8种，∴P
（被选取的2名学生恰好为1男1女） ，
答：被选取的2名学生恰好为1男1女的概率为 ．
【变式1】（2025·湖北武汉·三模）下面是常用的化学试剂，下面两种化学试剂一混合后能生成（碳酸钙）沉淀的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查概率公式的运用，先找出从四种化学试剂中选两种的所有组合情况，再确定
能生成 沉淀的组合情况，最后根据概率公式计算概率．
解：从4种化学试剂 、 、 、 中选2种的组合，有 和 、
和 、 和 、 和 、 和 、 和
共6种；
根据化学知识知：
和 反应，化学方程式为 ，会生成 沉淀；
和 反应，化学方程式为 ，会生成 沉
淀，
其他组合反应不会生成 沉淀，
所以能生成 沉淀的组合有2种；
所以，生成 沉淀的概率为 ，
故选：A．
【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，点D、点E是直线 与矩形
的边 、 的交点， ， ．若动点 在矩形 内随机运动，则动点P落在内（包括边界）的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的几何应用、矩形的性质，几何概率等知识点．先根据直线的解析式
求出点 ， 的坐标，从而可得 、 的长，再分别求解矩形与 的面积，结合概率公式
计算即可．
解：点D、点E是直线 与矩形 的边 、 的交点， ， ，
∴ ， ，矩形面积为 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
当 时，则 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ， ，
则 的面积是 ，
∴动点P落在 内（包括边界）的概率为 ．
故答案为： ．
四、专题配套资源
分层作业设计：
基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】一、单选题
1．（25-26九年级上·吉林辽源·月考）下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 B．打开电视频道，正在播放《焦点访谈》
C．关于x的方程 有实数根 D．射击运动员射击一次，命中十环
【答案】C
【分析】本题考查了事件的分类，必然事件是指一定会发生的事件，选项C中方程的判别式恒为正，
因此总有实数根，是必然事件；其他选项都不是必然事件，即可作答．
解：A、抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上，不是必然事件，故该选项不符合题意；
B、打开电视频道，正在播放《焦点访谈》，不是必然事件，故该选项不符合题意；
C、∵ ， ，∴关于x的方程 有实数根，是
必然事件，该选项符合题意；
D、射击运动员射击一次，命中十环，不是必然事件，故该选项不符合题意；
故选：C
2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个
红球，5个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了概率公式的应用．由一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2
个红球，5个白球，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解：∵一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球，
∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是： ．
故选：A．
3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）甲，乙两人玩“剪刀、石头、布”游戏，两人出相同手势算
平手，则两人玩一次恰好平手的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列
出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的情况数，找出两人玩一
次恰好平手的情况数，即可求出所求概率．
解：设剪刀、石头、布分别A、B、C，列表如下：
甲
A B C
乙
A
B
C
∴共有9种可能结果，其中两人玩一次恰好平手的有3种，
∴P（两人玩一次恰好平手） ．
故选：C．
4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）一个不透明的盒子中装有花色为红桃和梅花的扑克牌共20张，
它们除花色不同外其余完全相同．每次抽卡前先将盒子内的扑克牌洗匀，随机抽取一张记下花色后
放回，通过大量重复试验后发现，摸到花色为红桃的扑克牌的频率稳定在 ，估计盒子中花色为
红桃的扑克牌有（ ）
A．12张 B．9张 C．6张 D．3张
【答案】C
【分析】本题考查了利用频率求数量，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固
定的近似值就是这个事件的概率．
利用频率估计概率，红桃出现的频率稳定在 ，即概率约为 ，再根据概率公式计算红桃牌的
数量．
解：∵摸到红桃的频率稳定在 ，
∴ （红桃） ．
∵总牌数为20张，
设红桃牌有x张，
∴ （红桃） ．
∴ ，
∴ ．故估计红桃牌有6张．
故选：C．
5．（25-26九年级上·山东青岛·期中）体育，让生活更精彩；运动，让身体更健康．某校为了解九
年级学生的排球垫球水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，其中有35人连续垫球超过40个．
已知该年级共有450名学生，据此估计，从该年级任意抽取一名学生，这名学生连续垫球超过40
个的概率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了用样本估计总体概率，灵活运用样本估计总体概率的方法解决实际问题是
解题的关键．
先用样本频率估计总体概率，样本中垫球超过40个的频率即为概率的估计值．
解：∵ 样本容量为50，其中垫球超过40个的人数为35，
∴ 样本频率为 ，
∴ 估计从总体中任意抽取一名学生垫球超过40个的概率约为 ．
故选C．
6．（2024·河北·模拟预测）三个小伙伴相约去看电影，打开订票软件的界面，在如图的最佳观影选
框内，选出同一横排的三个相邻的位置，则同时随机选中图8中三个画“☆”座位的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了概率的计算，理解图示找出选出同一横排的三个相邻的位置的结果，同时随机
选中图中三个画“☆”座位的结果是解题的关键，根据题意，运用概率公式计算即可．
解：从上往下，第一排空位有7个，选出同一横排的三个相邻的位置的结果有5种，
第二排中，选出同一横排的三个相邻的位置的结果有1种，
∴选出同一横排的三个相邻的位置的结果共有6种情况，其中同时随机选中图中三个画“☆”座位
的结果有1种，∴同时随机选中图中三个画“☆”座位的概率为 ，
故选：A ．
二、填空题
7．（24-25六年级下·上海宝山·期末）以下四个事件中，摸球一次，摸到红球的可能性从小到大的
排列顺序是 .（这些球除颜色外都相同）
① 8个白球，2个红球，3个黑球；② 3个蓝球，9个白球，1个红球
③ 6个白球，4个蓝球，3个红球；④ 2个黑球，4个红球，7个白球
【答案】②①③ ④
【分析】本题考查了事件的可能性，在所有球中红球占的比例越高，摸到红球的可能性越大，由此
可解．
解：①一共13个球，其中2个红球，摸到红球的可能性为 ；
②一共13个球，其中1个红球，摸到红球的可能性为 ；
③一共13个球，其中3个红球，摸到红球的可能性为 ；
④一共13个球，其中4个红球，摸到红球的可能性为 ；
，
因此摸到红球的可能性从小到大的排列顺序是②①③④，
故答案为：②①③④．
8．（25-26九年级上·浙江·期中）一个布袋里放着红球、黄球和白球的个数之比是 ，从布袋
里任意摸出1个球，是红球的概率是 ，则 为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了简单事件的概率；根据概率公式，红球的概率等于红球数量与总球数的比值，
利用给定概率建立方程求解．
解：设红球、黄球、白球的数量分别为 、 、 ，
则总球数 ．
红球的概率为 ．因此 ，
解得： ，
即 ．
故答案为：2．
9．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）第 届华中图书交易会于 年 月 日至 日在武汉国
际会展中心举办．若小张随机从 三个人口中选择一个进入，再随机从 两个出口中选择
一个离开，则小张从 口进入， 口离开的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了概率和树状图，画树状图后，得到所有可能的结果总数以及从 口进入且从
口离开的结果只有 种，进而求概率．
解：画树状图如下：
由树状图可知，所有可能的结果总数为 种，
其中，从 口进入且从 口离开的结果只有 种，
根据概率公式，即： ．
故答案为： ．
10．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生
活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴
影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 左右，
则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为
【答案】12
【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．
用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 左右，
∴落入黑色部分的概率是 ．
∴据此可以估计黑色部分的面积为 ．
故答案为：12．
11．（24-25七年级下·四川成都·期末） 和 两个纸箱中装有苹果和梨． 中苹果有 个，梨8个，
中苹果有10个，梨 个，从两个纸箱中摸出苹果的概率均为 ，则 ．
【答案】18
【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
结合概率公式可列方程为 ，求出m，n的值，即可得出答案．
解：∵从两个纸箱中摸出苹果的概率均为 ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解且符合题意，
∴ ．
故答案为：18．
12．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）为测量一块不规则草地面积，某班学习小组在草地的外围画
了一个长5米，宽4米的矩形，学生分四个小组在不远处蒙上双眼向草地方向掷石子，石子落点记
录如下表：
一 二 三 四
项目名称组别
组 组 组 组
石子落在草地内的
59 63 61 57
次数
石子落在阴影内的
19 20 19 22
次数
请你用概率的相关知识算出草地的面积大约是 平方米．
【答案】15
【分析】本题主要考查了矩形的面积公式、用频率估计概率．先求出石子落在草地内的次数与总次数的比值，然后用总面积乘以该比值，即可估算出草地的面积．
解：矩形的面积为： （平方米），
石子落在草地内的概率为： ，
∴草地的面积大约是： （平方米）．
故答案为：15．
三、解答题
13．（25-26九年级上·浙江·期中）已知一个口袋中装有5个只有颜色不同的球，其中有3个白球，
2个黑球．
（1）求从中随机取出一个球是黑球的概率是多少；
（2）若往口袋中再放入 个白球和8个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了概率的运算，熟悉掌握运算方法是解题的关键．
（1）利用黑球个数比上总数即可得到概率；
（2）利用白球个数比上总数等于 ，列出方程运算即可．
解：（1）从中随机取出一个球是黑球的概率是 ；
（2）根据题意可得 ，
解得 ，
经检验 是分式方程的解，
．
14．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）为落实新课程标准，阳光中学开设了5门劳动课程，分别是
A．蔬菜种植，B．整理收纳，C．简单烹饪，D．动物饲养，E．家电维修．学生可以从这些课程
中随机选择一门学习．
（1）九（1）班的小辰从中随机选择一门课程，他选择的课程是“B．整理收纳”的概率是
____________；
（2）九（2）班的明明和亮亮也分别选择了一门劳动课程进行学习，请用画树状图或列表的方法求
他们两人选择的劳动课程相同的概率．
【答案】（1） ；（2）【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，列表法或树状图法求概率，解题关键是掌握上述知识
点并能运用求解．
（1）直接利用概率公式求解；
（2）画出树状图，再利用概率公式求解．
解：（1）解：阳光中学开设了5门劳动课程，分别是A．蔬菜种植，B．整理收纳，C．简单烹饪，
D．动物饲养，E．家电维修．
九（1）班的小辰从中随机选择一门课程，他选择的课程是“B．整理收纳”的概率是 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有 种等可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中他们两人选择的劳动
课程相同的情况有5种，
所以他们两人选择的劳动课程相同的概率为 ．
15．（25-26九年级上·甘肃白银·期中）在不透明的口袋中装有一个白色、一个红色和若干个黄色的
乒乓球（除颜色外其余都相同），为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球试验，下表是本次试验
的一些数据：
摸球的次数 15 80 180 600 1000
摸到白球的次数 5 21 39 250
摸到白球的频率 0.33 0.26 0.22 0.25
（1）试完成表格中所缺的部分．
（2）试估计摸到白球的概率及黄色乒乓球的个数．
（3）求连续摸球两次（不放回）结果是一红一黄的概率．
【答案】（1）见分析；（2）摸到白球的概率是 ；黄色乒乓球有2个；（3）
【分析】本题主要考查了列表法求概率，用频率估计概率，求频数，
（1）根据总数乘以频率等于频数，再根据频数除以总数得出频率估计概率；（2）先求出球的总数，再分别减去白球和红球的个数即可；
（3）列表得出所有可能出现的结果和符合条件的结果，再根据概率公式得出答案.
解：（1）解： ；
摸球的次数 15 80 180 600 1000
摸到白球的次
5 21 39 150 250
数
摸到白球的频
0.33 0.26 0.22 0.25 0.25
率
（2）解：摸到白球的概率是 ，
， .
所以摸到白球的概率是 ，黄色乒乓球有2个；
（3）解：
第一次 第二
白 红 黄1 黄2
次
白 （白，红） （白，黄1） （白，黄2）
红 （红，白） （红，黄1） （红，黄2）
黄1 （黄1，白） （黄1，红） （黄1，黄2）
黄2 （黄2，白） （黄2，红） （黄2，黄1）
一共有12种可能出现的结果，一红一黄有4种，所以连续摸球两次（不放回）结果是一红一黄的
概率是 .
16．（2025·四川德阳·一模）近期，国产 大模型 的强势崛起，在全球科技领域掀起热
潮，随着 等中国 大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球 领域扮演更加重
要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产 大模型 应用场景
的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种： 非常了解，比较了解， 基本了解， 不太了解．实践小组把这次调查结果整理并绘制成下面不完整的条
形统计图和扇形统计图．
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是______；估计全校非常了解国产 大模型
的应用场景的有______人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产 大模型
的应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时
被选中的概率．
【答案】（1） ， ；（2）见分析；（3）
【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得调查的人数，用 乘
以C组的人数所占的百分比，即可得扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数；根据用样本估计总
体，用3000乘以扇形统计图中A的百分比，即可得出答案；
（2）求出B组和D组的人数，补全条形统计图即可；
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及甲和乙两名学生同时被选中的结果数，再利用概率公式
可得出答案．
解：（1）解：由题意得，调查的人数为 （人），
扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是 ．
估计全校非常了解国产 大模型 的应用场景的有 （人）．
故答案为： ； ．（2） 组的人数为 （人），
组的人数为 （人），
补全条形统计图如图所示．
（3）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲，乙 甲，丙 甲，丁
甲
乙，甲 乙，丙 乙，丁
乙
丙，甲 丙，乙 丙，丁
丙
丁，甲 丁，乙 丁，丙
丁
共有12种等可能的结果，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数有： 甲，乙 ， 乙，甲 ，共
2种，
甲和乙两名学生同时被选中的概率为 ．
【点拨】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计
图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】
一、单选题
1．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）下列事件中是不可能事件的是（ ）
A．三角形内角和等于 B．两实数之和为正C．抛物线 的开口方向向上 D．抛一枚硬币2次都正面朝上
【答案】A
【分析】本题考查事件的分类，同时考查了二次函数的图象和性质，实数的运算，三角形的内角和
定理，根据相关知识点，结合不可能事件是一定条件下，一定不会发生的事件，进行判断即可．
解：A、三角形内角和等于 ，是不可能事件，符合题意；
B、两实数之和为正，是随机事件，不符合题意；
C、抛物线 的开口方向向上，是必然事件，不符合题意；
D、抛一枚硬币2次都正面朝上，是随机事件，不符合题意；
故选A．
2．（24-25九年级下·河北邢台·期中）一个不透明的盒子里有5个红球、3个黄球和2个蓝球，这些
球仅颜色不同．从中任意摸出一球，则下列说法中错误的是（ ）
A．摸到红球的概率最大 B．摸到蓝球的概率最小
C．摸到黄球的概率为 D．摸到蓝球的概率为
【答案】C
【分析】本题主要考查了事件可能性大小以及简单概率计算，熟练掌握简单概率公式是解题关键．
根据可能性等于所求情况数与总情况数之比、简单概率计算公式，逐项分析判断即可．
解：A、因为盒子里红球数量最多，所以摸到红球的概率最大，该选项说法正确，不符合题意；
B、 因为盒子里蓝球数量最少，摸到蓝球的概率最小，该选项说法正确，不符合题意；
C、因为盒子里共装有 个球，3个黄球，所以摸到黄球的概率为 ，该选项说法错误，符合题意；
D、摸到蓝球的概率为 ，故该选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
3．（23-24九年级下·湖南株洲·自主招生）把一枚六个面编号分别为 ，0，1，2，3，4的质地均
匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为a、b，则二次函数 的
图象与x轴有交点的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题考查的是概率的公式，二次函数与x轴的交点问题，掌握知识点是解题的关键．
先求出掷2次骰子有 等可能性结果，再根据二次函数 的图象与x轴有交点，
得到 ，且 ，再把a，b的值一一代入检验，看是否满足．最后把满足的个数除以掷骰子
可能出现的点数的总个数即可．
解：掷2次骰子有 等可能性结果，
∵二次函数 的图象与x轴有交点，
∴ ，即 ，且 ，
∴满足的点有：① ， 或0或1或2或3或4，② ， 或0或1，③
或0，④ ， 或0，⑤ ， 或0，
共有15种，故概率为： ．
故选A．
4．（25-26九年级上·河南开封·期中）将分别标有“金”、“明”、“中”、“学”汉字的四个小
球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，
不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查不放回摸球的概率计算，通过列表法列出所有等可能结果，再找出能组成“金
明”的结果数，利用概率公式求解即可．
解：设“金”、“明”、“中”、“学”分别用A、B、C、D表示．
列表如下：
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
由表可知，共有12种等可能结果．
其中能组成“金明”（即A和B）的结果有2种：（A，B）和（B，A）．∴ P（组成“金明”） ．
故选：B．
5．（23-24九年级上·贵州贵阳·月考）如图所示的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别
标有数字 ，0， ， ．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰
好指在分界线上时，不记录且重新转动），则两次记录的数字都是有理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能
的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概
率等于所求情况数与总情况数之比；列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，
然后再用概率公式求解即可．
解：列表可得：
0
0
由表格可得，共有 种等可能出现的结果，其中两次记录的数字都是有理数的情况有 种，
故两次记录的数字都是有理数的概率为 ，
故选：C．
6．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）小明做“用频率估计概率”的试验时，根据统计结果，绘制
了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
B．抛一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是奇数
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“布”
D．一个不透明的袋子中有5个红球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球是
黑球
【答案】D
【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频
率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率 ，计算四个选项的概率，约为0.17
者即为正确答案．
解：A、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率为 ，故A选项错误，不符合题意；
B、抛一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是奇数的概率为 ，故B选项错误，不符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“布”的概率为 ，故C选项错误，不符合
题意；
D、一个不透明的袋子中有5个红球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球是黑
球的概率为 ，符合题意；
故选：D．
二、填空题
7．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）下列事件中是确定事件的是 （填序号）：
①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数；
②对于实数 、 ，有 ；
③车辆随机经过一个路口，遇到红灯；
④14人中至少有2人在同一个月过生日．
【答案】 /
②④ ④②【分析】本题主要考查了确定事件和随机事件的定义，掌握确定性事件包括不可能事件和必然事件
成为解题的关键．
根据确定事件和随机事件的定义逐个判断即可．
解：①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数，是随机事件，不符合题意；
②对于实数 、 ，有 ，是不可能事件，是确定性事件，符合题意；
③车辆随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
④14人中至少有2人在同一个月过生日是必然事件，是确定性事件，符合题意．
故答案为：②④．
8．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）不透明的盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外
无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，取得黑棋的概率是 ，放回后，往盒中再放进10枚黑棋．
搅匀后从盒中随机取出一枚棋子，取得黑棋的概率为 ，则 ．
【答案】40
【分析】本题考查概率的计算及比的应用，以及二元一次方程组的求解．根据概率计算公式和比例
的性质求解即可求解．
解：由题可知 ，整理得 ，
解得 ，
∴ ，
故答案为：40．
9．（2025·浙江·模拟预测）三张完全相同的卡片上分别写有函数 ， ， ，从中随机
抽取一张，则所得卡片上的函数图像在第一象限内 随 的增大而减小的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数图像性质及概率，掌握函数图像性质是解题关
键．根据函数图像性质，依次分析题中一次函数、反比例函数、二次函数在第一象限的特征，再通
过计算求解概率即可．解：由题意，一次函数 的函数图像在第一象限内 随 的增大而增大，反比例函数 的函
数图像在第一象限内 随 的增大而减小，二次函数 的函数图像在第一象限内 随 的增大而
增大，
这三个函数的函数图像在第一象限内y随x的增大而减小的有 个，
从中随机抽取一张，所得卡片上的函数图像在第一象限内y随x的增大而减小的概率 ．
故答案为： ．
10．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）物理老师在复习《物质的形态及其变化》这一章内容时，
将写有“汽化”“液化”“熔化”“升华”字样的卡片背面朝上吸附在黑板上（背面完全一样），
小明和小颖先后抽取一张卡片（不放回），则抽到的卡片内容对应的物态变化过程都是要吸热的概
率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了列举法和概率公式，熟练掌握列举法是解题的关键．首先确定吸热的物态
变化过程为汽化、熔化和升华，共3张卡片，放热的为液化，1张卡片；再列举小明和小颖先后抽
取不放回时，两人抽到卡片的所有情况，利用概率公式计算即可；
解：总共有4张卡片，小明先抽一张，小颖再抽一张，不放回，因此总共有 种可能的结果：汽化
和熔化，汽化和升华，汽化和液化，熔化和汽化，熔化和升华，熔化和液化，升华和汽化，升华和
熔化，升华和液化，液化和汽化，液化和熔化，液化和升华；
∵吸热的物态变化过程有汽化、熔化和升华，共3张卡片，
∴两人都抽到吸热卡片的情况有 种，
∴两人都抽到吸热卡片的概率为 ．
故答案为： ．
11．（25-26九年级上·浙江温州·期中）现有七张分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的卡片，其中
标有数字1，4，5，7的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡
片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率．先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
解：画树状图为：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙大的结果数有7种，
∴甲出的卡片数字比乙大的概率是 ．
故答案为： ．
12．（24-25九年级下·全国·随堂练习）欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，
以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，惟手熟尔，’”可见技
能可以通过反复苦练而达到熟能生巧．如图，已知铜钱的直径为 ，厚度为 ，一枚铜钱的
平均密度约为 ．为计算铜钱的质量，做如下试验：将一滴油（油滴的大小忽略不计）随机
滴在铜钱上，重复m次，记录下油滴恰好穿过中心孔的次数为n次．由此可以估计，一枚铜钱的质
量约为 （用含m．n， 的式子表示）．
【答案】
【分析】此题考查了频率估计概率的应用和分式的加减运算，得出中心孔的面积占整个铜钱圆面积
的 是解题的关键．求出铜钱的体积后，再用铜钱的体积乘以铜钱的平均密度即可得到答案．
解：∵将一滴油随机滴在铜钱上，重复 次，记录下油恰好穿过中心孔的次数为 次．
∴由此可以估计，中心孔的面积占整个铜钱圆面积的 ，
∴铜钱的实际面积为 （ ），
∴铜钱的体积为 （ ），∴由此可以估计，一枚铜钱的质量约为 ，
故答案为： ．
三、解答题
13．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的球共12个，
它们除颜色外完全相同，其中红球有5个，白球有4个．
（1）从盒子中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率．
（2）若往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，使得从盒子里随机摸出一个球，红球的概率不
超过 ，摸出黑球的概率是 ，请设计一个符合条件的放球方案．
【答案】（1） ；（2）红，白，黑个数分别是2，1，1（答案不唯一）
【分析】本题考查简单事件的概率计算，理解题意是解答的关键．
（1）根据简单事件的概率计算公式求解即可；
（2）设加入 个红球， 个黑球，根据随机摸出一个球，红球的概率不超过 ，摸出黑球的概率
是 ，列出不等式和方程，即可求解．
解：（1）解：∵红，白，黑三种颜色的球共12个，白球有4，
∴从盒子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是 ．
（2）解：∵红，白，黑三种颜色的球共12个，红球有5个，白球有4个，
∴黑球有 个，
往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，则总共 个球，
设加入 个红球， 个黑球，
∵红球的概率不超过 ，摸出黑球的概率是 ，
∴ ，
解得： ， ，
∴放入红，白，黑个数分别是2，1，1或者1，2，1或者0，3，1 或者3，0，1 （答案不唯一，
选择一种答案即可）．
14．（18-19七年级下·福建三明·期末）有一组互不全等的三角形，它们的三边长均为整数，每个三
角形有两条边的长分别为4和9
（1）请写出其中一个三角形的第三边长 ；
（2）设组中最多有n个三角形，求n的值；（3）当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为奇数的概率．
【答案】（1） ；（2） 的值为 ；（3）该三角形周长为奇数的概率是 ．
【分析】本题考查三角形三边的关系，概率的计算．
（1）设三角形的第三边为 ，根据三角形的三边关系即可求解；
（2）求出 的所有整数值，即可得 的值；
（3）先求出该三角形周长为奇数的所有情况，再除以总个数即可．
解：（1）解：设三角形的第三边为 ，
∵每个三角形有两条边的长分别为 和 ，
∴ ，
∴ ，
∴其中一个三角形的第三边的长可以为 （答案不唯一）．
故答案为： ．
（2）解： ∵ ，它们的边长均为整数，
∴ ， ， ， ， ， ， ，
∴组中最多有 个三角形，
∴ ．
∴ 的值为 ．
（3）解：∵ ， 为奇数，
∴当第三边长为 ， ， ， 时，该三角形周长为奇数，
∴该三角形周长为奇数的概率是 ．
15．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规
定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可
以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘
100 150 200 500 800 1000
的次数
落在“橙
汁”区域 68 111 136 345 564 701
的次数
落在“橙
汁”区域
0.68 0.74 0.68 0.69
的频率（1）填空： __________， __________．
（2）假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是__________．（精确到0.1）
（3）在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？
【答案】（1）0.705，0.701；（2）0.7；（3）
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆
动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这
个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越
来越精确．
（1）根据频率的算法，频率 频数÷总数，可得各个频率；填空即可；
（2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率；
（3）利用频率估计概率结合概率的意义可得表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是 ，再
计算即可．
解：（1）解： ； ；
故答案为：0.705，0.701；
（2）解：当n很大时，频率将会接近 ，
故获得“橙汁”的概率大约是 ，
故答案为：0.7；
（3）解：∵获得“橙汁”的概率大约是 ；
∴获得“可乐”的概率大约是 ；
在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是 ．
16．（24-25九年级下·湖南衡阳·期中）为积极落实《关于在义务教育学校实施“ 专项行动”
的通知》，学校需确保每日综合体育活动时间不低于2小时，课间活动时长统一调整为15分钟．
某校开设了“一人一球”体育拓展课程，学生可根据自己的喜好选择一门球类项目（ ：篮球： ：
足球： ：排球： ：羽毛球： ：乒乓球），学校随机对该校部分学生的选课情况进行调查、绘
制成两幅不完整的统计图（如图所示）．请根据以上信息，回答下列问题：
（1）此次调查的学生总数是___________人，选择羽毛球的学生人数为___________人；（2）扇形统计图中，求 项目所对应的扇形圆心角的度数；
（3）踢足球项目中表现最好的4名同学由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，
求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【答案】（1）50，12；（2）扇形统计图中扇形B的圆心角度数是 ；（3）
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的应用，求概率．
（1）从两个统计图可知，样本中喜欢“A：篮球”的学生有10人，占被调查人数的 ，根据频
率 频数 总数即可求出被调查人数；再根据各组频数之和等于样本容量可求出喜欢“D：羽毛
球”的人数；
（2）求出样本中喜欢“B：足球”的学生人数占被调查人数的百分比，进而可求出相应圆心角的度
数；
（3）画出树状图，根据概率公式计算即可.
解：（1）解： 人，
样本中喜欢“D：羽毛球”的人数为 人．
故答案为：50，12；
（2）解： ．
答：扇形统计图中扇形B的圆心角度数是 ；
（3）解：画树状图如下：
由图可知，共12种等可能的情况，其中刚好抽到1名男生与1名女生情况有6种，
∴从中随机抽取2名参加比赛，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率 .五、反思：错题归因手册：
．
