文档内容
专题 25.1 概率初步（全章复习讲义）
目 录
一、专题核心定位..........................................................................................................................1
【核心目标】.........................................................................................................................................2
【学情适配】.........................................................................................................................................2
【中考对接】.........................................................................................................................................2
二、 知识体系图谱........................................................................................................................2
三、专题核心内容..........................................................................................................................3
第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关.................................................................................3
【模块1】知识精讲..............................................................................................................................3
2. 方法梳理............................................................................................................................................4
【模块2】基础题型通关（▲核心题型）...........................................................................................5
题型 1：事件类型的判断（基础必练）.............................................................................................5
题型 2：直接列举法求概率（同步必练）.........................................................................................5
题型 3：列表法求概率（同步必练）.................................................................................................6
题型 4：树状图法求概率（同步必练）.............................................................................................6
题型 5：频率估计概率（同步必练）.................................................................................................7
第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚.................................................................................8
模块 3：高频模型：方法精讲.............................................................................................................8
模块 4：易错题型专项突破（△重点警示）.....................................................................................8
易错类型 1：混淆“放回”与“不放回”情境下的概率计算（忽略总结果数的变化）..............8
易错类型 2：忽略试验结果的“等可能性”（误将非等可能结果当作等可能计算）..................9
易错类型 3：混淆“频率”与“概率”（将单次试验频率等同于概率）......................................9
易错类型 4：几何概率中混淆“几何度量类型”（误将长度当作面积计算）............................10
第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破....................................................................10
模块 5：中考高频题型分类突破.......................................................................................................10
题型 1：古典概率计算（★中考必考题）.......................................................................................11
题型 2：游戏公平性判断与设计（★中考常考题）........................................................................11
题型 3：频率估计概率的实际应用（★中考应用性考点）............................................................12题型 4：几何概率计算（★中考提升题）.......................................................................................13
题型 5：概率与统计综合（★中考冲刺题）...................................................................................14
题型 6：概率创新压轴题（★中考冲刺题）...................................................................................15
四、专题配套资源........................................................................................................................17
分层作业设计：...................................................................................................................................17
基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】.................................................................17
能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】.................................................................21
五、反思：错题归因手册：.........................................................................................................24
一、专题核心定位
【核心目标】
夯实概率的概念本质，掌握随机事件判断、古典概率计算（直接列举法、列表法、树状图
法）、频率估计概率三大核心能力，能熟练运用概率知识解决游戏公平性判断、实际情境概率计
算、统计与概率综合等问题，建立“随机观念”与“模型思想”的逻辑思维，为后续统计推断、复
杂概率问题学习奠定基础。
【适用场景】
人教版九上同步培优、期中、期末复习、中考一轮基础巩固、中考二轮专题突破；
【学情适配】
基础薄弱生：掌握核心概念、基本计算方法与基础题型，实现“能辨事件、会算基础概率”；
中等生：熟练运用三种列举法计算概率，突破含“放回”与“不放回”情境、游戏公平性判断等综
合题型；
优等生：掌握跨知识点综合技巧，解决概率与几何、统计、函数的综合问题、压轴创新题型，强化
解题策略与思想方法。
【中考对接】
标注高频考点（★）、核心题型（▲）、易错点（△），明确概率在中考中“基础性”与“综合
性”双重作用（如古典概率计算、游戏公平性设计与判断、频率估计概率的实际应用、概率与统计
图表综合），精准对接近年中考“实际应用”“模型构建”的命题趋势。二、知识体系图谱
三、专题核心内容
第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关
【模块1】知识精讲
1. 概念辨析（△重点突破）
（1）事件的类型：
①必然事件：在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．
②不可能事件：在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．
③随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
（2）概率的定义：①对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值称为随机事件A发生的概率，记为P
（A）。核心公式：若一次试验中有种n等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，则P
（A）= （0≤P（A）≤1）。
②列举法的适用场景：
直接列举法：适用于试验涉及的对象单一、等可能结果数目较少的情况；
列表法：适用于一次试验涉及两个因素，且等可能结果数目较多的情况；
树状图法：适用于一次试验涉及三个或更多个因素，需不重不漏列出所有等可能结果的情况。
（3）频率与概率的关系：
在大量重复试验中，事件A发生的频率 （m为发生次数，n为试验总次数）会稳定在某个常
数p附近，这个常数p就是事件A的概率，即P（A）= 。频率是概率的近似值，概率是频率
的稳定值。
2. 方法梳理
（1）坐标的书写与象限的判定（★中考基础考点）：
（1）事件类型的判断（★中考基础考点）：
①依据事件发生的确定性与随机性区分必然事件、不可能事件和随机事件；
②结合实际情境分析事件发生的可能性，如“太阳从东方升起”为必然事件，“掷骰子掷出7
点”为不可能事件，“掷硬币正面朝上”为随机事件。
（3）古典概率的计算步骤（★中考核心考点）：
①判断试验结果是否为等可能事件； ②确定试验的总结果数n； ③找出事件A包含的结果数
m； ④代入公式P（A）= 计算概率。
【要点提示】计算时需注意“放回”与“不放回”情境的区别：放回时每次试验的总结果数不
变，不放回时总结果数逐次减少。
（4）频率估计概率的应用（★中考基础考点）：①收集大量重复试验的频率数据； ②观察频率的稳定值，将其作为概率的估计值； ③应用
于实际问题，如通过摸球试验频率估计袋中某种颜色球的数量。
（5）游戏公平性的判断（★中考应用性考点）：
①计算游戏双方各自获胜的概率； ②若双方获胜概率相等，则游戏公平；若不相等，则游戏
不公平； ③可通过调整规则（如改变得分标准、试验条件）使游戏公平。
【模块2】基础题型通关（▲核心题型）
题型 1：事件类型的判断（基础必练）
【例题1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．在地球上，太阳东升西落 B．亚运会射击运动员射击一次命中靶心
C．两点之间线段最短 D．a是实数，
【变式1】（25-26九年级上·浙江·期中）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．平面内画一个三角形，内角和为180°
C．挑选30名同学，有人生日在1月 D．打开电视，它正在播放广告
【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上．
①守株待兔；
②水中捞月；
③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；
④任意画一个三角形，其内角和为180°；
⑤若 ，则 ；
⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数．
（1）其中是必然事件的有 ；（2）其中是随机事件的有 ； （3）其中是确定事件的有
．
题型 2：直接列举法求概率（同步必练）
【例题2】（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色
与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止
时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概
率是（ ）A． B． C． D．
【变式1】（25-26九年级上·全国·月考）某校举行秋季运动会，甲、乙两人报名参加 比赛，
预赛分 、 、 三组进行，运动员通过抽签决定分组．则甲、乙两人恰好分到同一组的概率是
．
【变式2】（2025·江苏南京·三模）桌面上倒扣着3个不透明的纸杯，其中2个纸杯中放有小球．
（1）随机翻开1个纸杯，其中放有小球的概率是__________；
（2）随机翻开2个纸杯，求2个纸杯中均放有小球的概率．
题型 3：列表法求概率（同步必练）
【例题3】（25-26九年级上·山西晋中·期中）五台山不仅是世界文化景观遗产，也是国家地质公园
和国家森林公园．某兴趣小组整理了三个关于五台山的主题进行研究：“五台山宗教历史及文化研
究”“五台山传统文化和古建筑研究”“五台山地质结构和生态环境研究”．若小新和小明分别从
这三个主题中随机选择一个进行研究，则他们选中同一个主题的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26九年级上·山西晋中·期中）为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利
用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影．小明和小红两位同
学从这三部电影中随机选择一部观看，他们恰好选择看同一部电影的概率为 ．【变式2】（25-26九年级上·重庆·期中）小江要从“志存高远、厚积薄发、勤能补拙、博学笃
行”4个词语中随机抽取2个组成标语，其中抽中“勤能补拙”的概率为 ．
题型 4：树状图法求概率（同步必练）
【例题4】（25-26九年级上·重庆·期中）小影和晓成准备在周一、周二、周三、周四这四天中选择
一天上游泳兴趣班，求两人都选到周四的概率为 ．
【变式1】（25-26九年级上·江西九江·期中）小张与小李相约去江西省科技馆参观，某个展览馆有
甲、乙两个入口，A，B，C三个出口，那么小张恰好选择从甲入口进入，并从C出口走出的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）某班学生到吉林省博物馆参加研学活动．博物馆为同
学们准备了以契丹文八角铜镜为背景的三款文创产品：“A．书签”、“B．钥匙扣”、“C．冰箱
贴”，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品，如果抽到每一款的可能性相同，用画树状图（或
列表）的方法，求甲、乙两位同学都抽不到“C．冰箱贴”的概率．
题型 5：频率估计概率（同步必练）
【例题5】（25-26九年级上·浙江金华·期中）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的
试验：不透明袋子中共装有10个球，其中有1个黑球、2个白球、3个红球和4个黄球，这些球除
颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色
最有可能是（ ）
A．黑球 B．白球 C．红球 D．黄球
【变式1】（2025·浙江丽水·二模）小梦在研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率时，用同一枚图钉做实验得到如下数据
掷图钉的次数 10 100 300 500 800 1000 2000
针尖朝上的频
率
请利用以上数据估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是 ．
【变式2】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）在一个不透明的袋子里有红球、白球若干个，其中白
球12个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个
球．不断重复这一过程，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里红球
的个数是 ．
第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚
模块 3：高频模型：方法精讲
模型 适用场景 解题方法
①单因素：直接列举法，确定总结果数n和事件A包含的结
已知试验的等可能结果，
求随机事件的概率，包括
古典概率 果数m，代入P（A）= ；②双因素：列表法，横行列第一
“放回”与“不放回”情
计算模型 个因素结果，竖行列第二个因素结果，统计总结果数和目
境、单因素与多因素试
标结果数；③三因素及以上：树状图法，按步骤列出所有
验。
结果，避免重复或遗漏；④区分“放回”（总结果数不
变）与“不放回”（总结果数递减）。
①收集数据：进行大量重复试验，记录事件发生的频率；
无法直接计算概率的实际 ②估计概率：取频率的稳定值作为概率的估计值；③应
频率估计
问题，如估计总体数量、 用：若已知总体数量，可通过“事件发生数量=总体数量×
概率模型
预测事件发生可能性。 概率估计值”计算；若已知事件发生数量和频率，可估计
总体数量。
随机点落在几何图形内的
①确定几何模型：根据情境判断用长度、面积还是体积作
概率问题，如投镖、转
几何概率 为度量标准；②计算总区域度量值S总和事件A对应的区域
盘、区域取点等，基本事
计算模型 度量值；③代入公式计算P（A）；④确保随机点在区域内
件与几何度量（长度、面
均匀分布，保证结果的等可能性。
积、体积）相关。
结合统计图表（条形统计
①解读统计图表：从图表中提取数据，确定试验的总结果
概率与统 图、扇形统计图、折线统
数（如总人数、总次数）；②确定事件A对应的统计数据
计综合模 计图）或统计数据（平均
（如符合条件的人数、次数）；③将统计数据转化为总结
型 数、众数、中位数）求概
果数n和目标结果数m，代入概率公式计算。
率。
模块 4：易错题型专项突破（△重点警示）
易错类型 1：混淆“放回”与“不放回”情境下的概率计算（忽略总结果数的变化）
【例题6】（25-26九年级上·陕西西安·月考）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”
“香”“校”“园”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸前先搅拌均匀．（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为______；
（2）先从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求取出的两
个球上的汉字能组成“书香”的概率．
【变式1】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）一个盒子内装有大小、形状均相同的四个球，其中1
个红球、1个绿球和2个白球．小明从中摸出一个球后不放回，再摸出一个球，则两次摸到的球的
颜色一样的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2025·浙江·模拟预测）盒子里有2个黑球，1个红球（除颜色不同外其余均相同）．
从中任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，则摸出的2个球颜色相同的概率为
．
【变式3】（2025·北京·模拟预测）不透明袋子中仅有红、绿小球各一个，两个小球除颜色外无其
他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸到的球中有一
个绿球、一个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
易错类型 2：忽略试验结果的“等可能性”（误将非等可能结果当作等可能计算）
【例题7】将一枚图钉抛起，落地后会出现“钉尖朝上“和“钉帽朝上”两种情况。有人认为这两
种情况是等可能的，因此“钉尖朝上“的概率是。请判断该观点是否正确，并说明理由。
【变式1】一个不透明的口袋里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其
中有白球 个，黄球 个，若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为 ．
求口袋中红球的个数；
小明说：“口袋中共有三种颜色的球，所以从袋中任意摸出一球，摸到红球、白球或黄球的概
率都是 ”．请你判断小明的说法正确吗？为什么？
【变式2】某超市举办抽奖活动，规则如下：在一个不透明的箱子里放入红、黄、蓝三种颜色的
小球若干（除颜色外完全相同），顾客随机摸出一个球，摸到红球中—等奖，黄球中二等奖，蓝球
中三等奖。超市宣称“三种奖项的中奖概率均为“。请你分析该宣称是否一定成立，并说明超市如
何操作才能让宣称成立。易错类型 3：混淆“频率”与“概率”（将单次试验频率等同于概率）
【例题8】某超市为了解顾客对某品牌牛奶的喜爱程度，随机调查了10名顾客，其中有6人喜欢
该品牌牛奶，因此超市宣称“该品牌牛奶的受欢迎概率是0.6。请分析该宣称是否合理，并说明如
何才能更准确地估计受欢迎概率。
【变式1】掷一枚质地均匀的硬币5次，其中2次正面朝上，3次反面朝上，现再掷一次．小明认
为，因为硬币质地均匀，前面已经是2次正面朝上，3次反面朝上，所以这一次一定是正面朝上，
即这一次正面朝上的概率为1；小凡认为，每次硬币正面朝上和反面朝上的可能性是相同的，所以
这一次正面朝上的概率仍然是 ．你同意谁的观点？你是怎么想的？
【变式2】一个质地均匀的袋子里有4个红球和1个白球，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率
是 。某同学连续摸球5次（每次摸出后放回并摇匀），结果一次白球都没摸到，他认为“概率是
错的"。请判断该同学的观点是否正确，并说明理由。
易错类型 4：几何概率中混淆“几何度量类型”（误将长度当作面积计算）
【例题9】一个长方形桌面的长为4m，宽为2m，桌面上有一个边长为1m的正方形装饰物（如图，
装饰物中心与桌面中心重合）。随机向桌面投掷一枚小石子（石子落在桌面任意位置的可能性相
等），求石子落在装饰物上的概率。
易错解答：桌面的总长度为4m，装饰物的长度为1m，因此概率为 。
正确解答：几何概率中，平面区域取点需用面积度量。
·桌面总面积：4×2=8（m2）；
·装饰物面积：1×1=1（m2）；
·所求概率=
【变式1】在一块长10m、宽5m的长方形草坪上，有一条宽1m的长方形小路（小路平行于草坪
的长，且贯穿草坪）。随机在草坪上撒一把种子（种子落在草坪任意位置的可能性相等），求种子
落在小路上的概率。
【变式2】如图，在Rt ABC， =90°，AC=3，BC=4。点D是AB 的动点（不与A、B重合），点
E是 ABC 的动点（不与边界重合）。（1）求点D落在AB中点的概率；
（2）求点E在 ACD （DAB 点）内的概率
第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破
模块 5：中考高频题型分类突破
题型 1：古典概率计算（★中考必考题）
【例题10】（23-24七年级下·山东烟台·期中）袋子里装有若干个白球、红球和4个黄球，它们除
颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是 ．
（1）求袋子中的球共有多少个？
（2）若从袋子中随机摸出一个球，摸到白球与摸到红球的概率之比是 ，求袋子中白球与红球
各有多少个？
（3）请你设计一个通过改变袋子中球的个数的方案，使得从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的
概率是 ．
【变式1】（2024·广西贵港·一模）16世纪，意大利学者吉罗拉莫·卡尔达诺是第一个系统地推算概
率的人，他最初研究的是“掷骰子”游戏中的概率问题．若抛掷一枚均匀的正四面体骰子，骰子每
个面上分别刻有1，2，3，4点，则骰子着地一面的点数为偶数的概率为 ．
【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）四张大小质地均相同的卡片上分别标有数字 ， ， ， ，
现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的 张中随
机抽取第二张．
（1）用画树状或列表的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；
（2）计算抽得的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是多少？
（3）如果抽取第一张后放回，再抽第二张，（2）的问题答案是否改变？如果改变，变为多少？
（只写出答案，不写过程）
题型 2：游戏公平性判断与设计（★中考常考题）
【例题11】（25-26九年级上·陕西西安·期中）数学兴趣活动课上，小轩和小辉玩抽卡片游戏，如
图，他们制作了5张卡片，除正面不同外，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同．小轩将它
们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上．（1）若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的是“高陵果子”的概率是______．
（2）若规定：小轩从中随机抽取一张卡片（不放回），小辉再从中随机抽取一张卡片，若这两张
卡片中没有水果，则小轩赢，否则小辉赢．请你用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平?
（注：水果是卡片D，E）
【变式1】（25-26九年级上·浙江·期中）甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘 平均
分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲转动转盘 一次，乙转动转盘 一次，
当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在
分界线上，则无效．要重新转动转盘．
（1）用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由；若不公平，请改动转盘 上的一个数字使得游
戏公平（不需要写出理由）．
【变式2】（25-26九年级上·山东济南·期中）电影《志愿军：浴血和平》于2025年9月30日上映，
小明和小刚都想去看，但只有一张电影票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则
如下：
将四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋
中随机摸出一个球，记下数字后放回，另一人再从袋中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字
之和大于5，则小明获胜；否则小刚获胜．
（1）请利用画树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；
（2）这个游戏规则是否公平？请说明理由．
题型 3：频率估计概率的实际应用（★中考应用性考点）
【例题12】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的
方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次研究中，一共调查了 名学生；
（2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是
（3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读
的学生概率是多少？
【变式1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种
结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，高明辉随机出的是“剪刀”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
C．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上
D．用2、3、4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数
【变式2】（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000
元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现
在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？
答：甲得 元；乙得 元．
题型 4：几何概率计算（★中考提升题）
【例题13】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形 中，分别以B，D为圆心，
以正方形的边长2为半径画弧，形成阴影部分的树叶图案．（计算时π取3）
（1）求阴影部分的面积；（2）若在正方形 中随机撒一粒豆子，求豆子落在阴影区域内的概率．（豆子落在弧上不
计）
【变式1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在等腰 中， ，
，以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ，以点 为圆心， 为半径画弧，
交 于点 ．若一个小球在等腰 内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图， 为三角形纸板 的中线，点 为 上
一点且 ．点 、 是边 的三等分点，将一个飞镖随机投掷到该纸板上（假设飞镖一
定落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
题型 5：概率与统计综合（★中考冲刺题）
【例题14】（25-26九年级上·广东深圳·期中）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一
轮科技革命和产业变革的重要驱动．宝安区在某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设
置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉
类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如
下统计图：项目 选择人数 频率
A．决策类人工智能
B．人工智能机器人
C．语音类人工智能
D．视觉类人工智能
（1）填空： ______， ______；扇统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度
数为______；
（2）若该中学共有600名九年级学生，那么估计该中学选择“D（人工智能机器人）”专业意向的
学生有______人；
（3）已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，
丁同学选了“C（语音类人工智能）”，从中选2人到深圳华为总部观摩学习，请利用画树状图或
列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率．
【变式1】（2025九年级上·浙江·专题练习）从 四个数中随机选取两个不同的数，分别
记为 ，则关于 的一元二次方程 有一正一负两个实数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为
整点，正方形边长的整点称为边整点，如图，第一个正方形有4个边整点，第二个正方形有8个边
整点，第三个正方形有12个边整点，…，按此规律继续作下去，若从内向外共作了5个这样的正
方形，那么其边整点的个数共有 个，这些边整点落在函数 的图象上的概率是 ．题型 6：概率创新压轴题（★中考冲刺题）
【例题15】（2025·贵州·一模）为弘扬中国传统文化，某中学决定针对七年级学生开设传统艺术文
化类课程．开设课程前，为了解他们对书法、音乐、绘画、剪纸、戏曲这5类课程的偏好情况，课
程组老师随机抽取部分七年级学生进行问卷调查，并形成了如下调查报告（不完整）：
调查主
某中学七年级学生对传统艺术文化类课程的偏好情况
题
调查方
抽样调查
式
调查对
某中学部分七年级学生
象
您更希望开设的传统艺术文化类课程为（必选且只选1项，在其后的括号里打
√）
调查内
容 A．书法（ ） B．音乐（ ） C．绘画（ ）
D．剪纸（ ） E．戏曲（ ）
问卷全部收回，并将调查结果统计如下：
被抽取学生偏好情况频数分布表
组别 频数（人数）
A
B a
C 4
D b
E
被抽取学生偏好情况扇形统计图调查结
……
论
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中， ， ；
（2）若该中学七年级学生人数为 人，请估计该中学七年级学生中希望开设戏曲课程的学生人
数；
（3）已知选择绘画的学生中有2名男生和2名女生，现要从中随机选取2名学生参加“绘画展出
活动”，请用列表或画树状图的方法，求被选取的2名学生恰好为1男1女的概率．
【变式1】（2025·湖北武汉·三模）下面是常用的化学试剂，下面两种化学试剂一混合后能生成
（碳酸钙）沉淀的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，点D、点E是直线 与矩形
的边 、 的交点， ， ．若动点 在矩形 内随机运动，则动点P落在
内（包括边界）的概率为 ．
四、专题配套资源分层作业设计：
基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】
一、单选题
1．（25-26九年级上·吉林辽源·月考）下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 B．打开电视频道，正在播放《焦点访谈》
C．关于x的方程 有实数根 D．射击运动员射击一次，命中十环
2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个
红球，5个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）甲，乙两人玩“剪刀、石头、布”游戏，两人出相同手势算
平手，则两人玩一次恰好平手的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）一个不透明的盒子中装有花色为红桃和梅花的扑克牌共20张，
它们除花色不同外其余完全相同．每次抽卡前先将盒子内的扑克牌洗匀，随机抽取一张记下花色后
放回，通过大量重复试验后发现，摸到花色为红桃的扑克牌的频率稳定在 ，估计盒子中花色为
红桃的扑克牌有（ ）
A．12张 B．9张 C．6张 D．3张
5．（25-26九年级上·山东青岛·期中）体育，让生活更精彩；运动，让身体更健康．某校为了解九
年级学生的排球垫球水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，其中有35人连续垫球超过40个．
已知该年级共有450名学生，据此估计，从该年级任意抽取一名学生，这名学生连续垫球超过40
个的概率约为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·河北·模拟预测）三个小伙伴相约去看电影，打开订票软件的界面，在如图的最佳观影选
框内，选出同一横排的三个相邻的位置，则同时随机选中图8中三个画“☆”座位的概率为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
7．（24-25六年级下·上海宝山·期末）以下四个事件中，摸球一次，摸到红球的可能性从小到大的
排列顺序是 .（这些球除颜色外都相同）
① 8个白球，2个红球，3个黑球；② 3个蓝球，9个白球，1个红球
③ 6个白球，4个蓝球，3个红球；④ 2个黑球，4个红球，7个白球
8．（25-26九年级上·浙江·期中）一个布袋里放着红球、黄球和白球的个数之比是 ，从布袋
里任意摸出1个球，是红球的概率是 ，则 为 ．
9．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）第 届华中图书交易会于 年 月 日至 日在武汉国
际会展中心举办．若小张随机从 三个人口中选择一个进入，再随机从 两个出口中选择
一个离开，则小张从 口进入， 口离开的概率是 ．
10．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生
活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴
影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 左右，
则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为
11．（24-25七年级下·四川成都·期末） 和 两个纸箱中装有苹果和梨． 中苹果有 个，梨8个，
中苹果有10个，梨 个，从两个纸箱中摸出苹果的概率均为 ，则 ．
12．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）为测量一块不规则草地面积，某班学习小组在草地的外围画
了一个长5米，宽4米的矩形，学生分四个小组在不远处蒙上双眼向草地方向掷石子，石子落点记
录如下表：
一 二 三 四
项目名称组别
组 组 组 组石子落在草地内的
59 63 61 57
次数
石子落在阴影内的
19 20 19 22
次数
请你用概率的相关知识算出草地的面积大约是 平方米．
三、解答题
13．（25-26九年级上·浙江·期中）已知一个口袋中装有5个只有颜色不同的球，其中有3个白球，
2个黑球．
（1）求从中随机取出一个球是黑球的概率是多少；
（2）若往口袋中再放入 个白球和8个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是 ，求 的值．
14．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）为落实新课程标准，阳光中学开设了5门劳动课程，分别是
A．蔬菜种植，B．整理收纳，C．简单烹饪，D．动物饲养，E．家电维修．学生可以从这些课程
中随机选择一门学习．
（1）九（1）班的小辰从中随机选择一门课程，他选择的课程是“B．整理收纳”的概率是
____________；
（2）九（2）班的明明和亮亮也分别选择了一门劳动课程进行学习，请用画树状图或列表的方法求
他们两人选择的劳动课程相同的概率．
15．（25-26九年级上·甘肃白银·期中）在不透明的口袋中装有一个白色、一个红色和若干个黄色的
乒乓球（除颜色外其余都相同），为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球试验，下表是本次试验
的一些数据：
摸球的次数 15 80 180 600 1000
摸到白球的次数 5 21 39 250
摸到白球的频率 0.33 0.26 0.22 0.25
（1）试完成表格中所缺的部分．
（2）试估计摸到白球的概率及黄色乒乓球的个数．
（3）求连续摸球两次（不放回）结果是一红一黄的概率．
16．（2025·四川德阳·一模）近期，国产 大模型 的强势崛起，在全球科技领域掀起热
潮，随着 等中国 大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球 领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产 大模型 应用场景
的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种： 非常了解，
比较了解， 基本了解， 不太了解．实践小组把这次调查结果整理并绘制成下面不完整的条
形统计图和扇形统计图．
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是______；估计全校非常了解国产 大模型
的应用场景的有______人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产 大模型
的应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时
被选中的概率．
能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】
一、单选题
1．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）下列事件中是不可能事件的是（ ）
A．三角形内角和等于 B．两实数之和为正
C．抛物线 的开口方向向上 D．抛一枚硬币2次都正面朝上
2．（24-25九年级下·河北邢台·期中）一个不透明的盒子里有5个红球、3个黄球和2个蓝球，这些
球仅颜色不同．从中任意摸出一球，则下列说法中错误的是（ ）
A．摸到红球的概率最大 B．摸到蓝球的概率最小
C．摸到黄球的概率为 D．摸到蓝球的概率为3．（23-24九年级下·湖南株洲·自主招生）把一枚六个面编号分别为 ，0，1，2，3，4的质地均
匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为a、b，则二次函数 的
图象与x轴有交点的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·河南开封·期中）将分别标有“金”、“明”、“中”、“学”汉字的四个小
球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，
不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·贵州贵阳·月考）如图所示的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别
标有数字 ，0， ， ．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰
好指在分界线上时，不记录且重新转动），则两次记录的数字都是有理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）小明做“用频率估计概率”的试验时，根据统计结果，绘制
了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）
A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
B．抛一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是奇数
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“布”
D．一个不透明的袋子中有5个红球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球是黑球
二、填空题
7．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）下列事件中是确定事件的是 （填序号）：
①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数；
②对于实数 、 ，有 ；
③车辆随机经过一个路口，遇到红灯；
④14人中至少有2人在同一个月过生日．
8．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）不透明的盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外
无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，取得黑棋的概率是 ，放回后，往盒中再放进10枚黑棋．
搅匀后从盒中随机取出一枚棋子，取得黑棋的概率为 ，则 ．
9．（2025·浙江·模拟预测）三张完全相同的卡片上分别写有函数 ， ， ，从中随机
抽取一张，则所得卡片上的函数图像在第一象限内 随 的增大而减小的概率是 ．
10．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）物理老师在复习《物质的形态及其变化》这一章内容时，
将写有“汽化”“液化”“熔化”“升华”字样的卡片背面朝上吸附在黑板上（背面完全一样），
小明和小颖先后抽取一张卡片（不放回），则抽到的卡片内容对应的物态变化过程都是要吸热的概
率是 ．
11．（25-26九年级上·浙江温州·期中）现有七张分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的卡片，其中
标有数字1，4，5，7的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡
片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 ．
12．（24-25九年级下·全国·随堂练习）欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，
以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，惟手熟尔，’”可见技
能可以通过反复苦练而达到熟能生巧．如图，已知铜钱的直径为 ，厚度为 ，一枚铜钱的
平均密度约为 ．为计算铜钱的质量，做如下试验：将一滴油（油滴的大小忽略不计）随机
滴在铜钱上，重复m次，记录下油滴恰好穿过中心孔的次数为n次．由此可以估计，一枚铜钱的质
量约为 （用含m．n， 的式子表示）．三、解答题
13．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的球共12个，
它们除颜色外完全相同，其中红球有5个，白球有4个．
（1）从盒子中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率．
（2）若往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，使得从盒子里随机摸出一个球，红球的概率不
超过 ，摸出黑球的概率是 ，请设计一个符合条件的放球方案．
14．（18-19七年级下·福建三明·期末）有一组互不全等的三角形，它们的三边长均为整数，每个三
角形有两条边的长分别为4和9
（1）请写出其中一个三角形的第三边长 ；
（2）设组中最多有n个三角形，求n的值；
（3）当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为奇数的概率．
15．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规
定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可
以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000
落在“橙汁”区域的次
68 111 136 345 564 701
数
落在“橙汁”区域的频
0.68 0.74 0.68 0.69
率
（1）填空： __________， __________．
（2）假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是__________．（精确到0.1）
（3）在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？
16．（24-25九年级下·湖南衡阳·期中）为积极落实《关于在义务教育学校实施“ 专项行动”的通知》，学校需确保每日综合体育活动时间不低于2小时，课间活动时长统一调整为15分钟．
某校开设了“一人一球”体育拓展课程，学生可根据自己的喜好选择一门球类项目（ ：篮球： ：
足球： ：排球： ：羽毛球： ：乒乓球），学校随机对该校部分学生的选课情况进行调查、绘
制成两幅不完整的统计图（如图所示）．请根据以上信息，回答下列问题：
（1）此次调查的学生总数是___________人，选择羽毛球的学生人数为___________人；
（2）扇形统计图中，求 项目所对应的扇形圆心角的度数；
（3）踢足球项目中表现最好的4名同学由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，
求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
五、反思：错题归因手册：
．
