文档内容
专题 05 概率初步
题型1 事件类型（常考点） 题型9 几何概率
题型2 可能性大小（常考点） 题型10 用列举法或树状图求概率（重点）
题型3 概率的意义 题型11 频率估计概率（常考点）
题型4 概率公式（常考点） 题型12 游戏的公平性
题型一 事件类型 （共 4 小题）
1.（25-26九年级上·江苏南通·期末）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯的事件为（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
【答案】C
【分析】本题考查了事件的分类，理解随机事件的概念是解题的关键．根据事件类型的定义，遇到红
灯可能发生也可能不发生，具有不确定性，因此属于随机事件．
【详解】解：∵ 交通信号灯的变化是随机的，
∴ 经过路口时可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或其他信号，
∴ 该事件是随机事件．
故选：C．
2．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球
B．从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块
C．抛掷一枚一元硬币，正面朝上
D．抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7
【答案】D
【分析】此题主要考查事件的分类，解题的关键是熟知事件的分类，根据事件发生的可能性大小即可
判断．
【详解】解：A、从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球，是不可能事件，故本选
项不符合题意；
B、从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块，是不确定事件，故本选项不符合题意；C、抛掷一枚一元硬币，正面朝上，是不确定事件，故本选项不符合题意；
D、抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7，是必然事件，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（24-25九年级上·河南开封·期末）下列事件是随机事件的是（ ）
A．地球绕着太阳转
B．将油滴入水中，油和水相融
C．菱形的四条边相等
D．小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势
【答案】D
【分析】根据事件的分类解答即可．
本题考查了事件的分类，正确掌握分类是解题的关键．
【详解】解：A. 地球绕着太阳转是必然事件，不符合题意；
B. 将油滴入水中，油和水相融是不可能事件，不符合题意；
C. 菱形的四条边相等是必然事件，不符合题意；
D. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势是随机事件，符合题意；
故选：D．
4．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）下列事件中，必然事件是（ ）
A．明天是晴天 B．地球自西向东自转
C．篮球队员在罚球线投篮一次，投中 D．掷一枚硬币，正面朝上
【答案】B
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发
生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条
件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、明天是晴天是随机事件，本选项不符合题意；
B、地球自西向东自转是必然事件，本选项符合题意；
C、篮球队员在罚球线投篮一次，投中是随机事件，本选项不符合题意；
D、掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，本选项不符合题意；
故选：B．
题型 二 可能性大小 （共 4 小题）
1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ）A．水中捞月 B．守株待兔 C．旭日东升 D．夕阳西下
【答案】A
【分析】本题考查了事件的分类，事件分为不可能事件、随机事件、必然事件，不可能事件可能性为
0，必然事件可能性为1，随机事件可能性介于0和1之间，据此逐项判断即可求解﹒
【详解】解：A. 水中捞月是不可能事件，可能性为0；
B. 守株待兔是随机事件，可能性大于0但小于1；
C. 旭日东升是必然事件，可能性为1；
D. 夕阳西下是必然事件，可能性为1﹒
故选：A
2．（23-24七年级上·江苏苏州·开学考试）某地的天气预报中说：“明天的降水概率是90%”．根据这个
信息，下列说法正确的是（ ）
A．明天不可能下雨 B．明天一定下雨
C．明天下雨的可能性很小 D．明天下雨的可能性很大
【答案】D
【分析】本题考查事件发生的可能性．根据题意可知降水概率是90%接近100%，即可得到本题答案．
【详解】解：∵明天的降水概率是90%，
∴明天下雨的可能性很大，
故选：D．
3．（24-25九年级下·贵州六盘水·月考）一个不透明的盒子中装有2个红球，3个黄球，6个黑球，9个白
球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到球的颜色可能性最大的是（ ）
A．黄色 B．黑色 C．白色 D．红色
【答案】C
【分析】本题主要考查可能性的大小，首先判断出每种颜色的球的数量的多少，然后判断出摸出的可
能性的大小即可．
【详解】解：∵一个不透明的盒子中装有2个红球，3个黄球，6个黑球，9个白球，
∴白球个数最多，
∴从中任意摸出一个球，摸到白球的可能性最大，
故选：C．
4．（24-25九年级上·江西新余·月考）某日天气预报信息显示：明天最高气温32℃，最低气温25℃，降
水概率为90%．根据此信息，下列说法中，你最认可的是（ ）
A．明天一定下雨 B．明天不可能下雨C．明天下雨的可能性较小 D．明天下雨的可能性较大
【答案】D
【分析】本题主要考查概率的意义，根据降水的概率所提供的数字进行判断是解答本题关键．
根据题意，明天是否下雨和最高温度、最低温度无关，根据降水概率为90%进行分析，明天下雨的可
能性较大．
【详解】解：降水概率为90%，那么明天下雨的可能性较大．
故选：D．
题型 三 概率的意义 （共 5 小题）
1．（24-25九年级上·广东清远·期末）概率试验活动环节，数学老师连续随机掷一枚质地均匀的硬币，前4
次的结果都是正面朝上，则第5次的结果是正面朝上的概率是（ ）
1 1 1
A． B． C． D．1
2 4 5
【答案】A
【分析】本题考查了概率的意义，概率公式．根据概率的意义，即可解答．
【详解】解：概率试验活动环节，数学老师连续随机掷一枚质地均匀的硬币，前4次的结果都是正面朝
1
上，则第5次的结果是正面朝上的概率是 ，
2
故选：A．
3
2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某事件A发生的概率是 ，则下列推断正确的是（ ）
100
A．做100次这种实验，事件A必发生3次
B．做100次这种实验，事件A不可能发生4次
C．做1000次这种实验，事件A必发生30次
D．大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次
【答案】D
【分析】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．根据概率的意义，即可解答．
3
【详解】解：某事件A发生的概率是 ，大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次，
100
故选：D
3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）向空中抛一枚硬币，硬币落地后正面朝上的概率为（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
4 3 3 2【答案】D
【分析】本题考查了概率的意义，明确概率的意义及计算方法是解题的关键．
直接利用概率的意义分析得出答案．
【详解】解：∵抛掷一枚硬币只有两种情况：正面朝上或反面朝上，
1
∴硬币落地后正面朝上的概率为 ．
2
故选：D．
4．（24-25九年级上·广东广州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．一颗质地均匀的骰子已连续掷了2023次，其中掷出5点的次数最少，则第2024次一定掷出5点
B．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该彩票一定会中奖
C．天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨
D．任意画一个三角形，其内角和一定是180∘
【答案】D
【分析】本题考查了概率的意义，理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小是解题的
关键．
【详解】解：A. 一颗质地均匀的骰子已连续掷了2023次，其中掷出5点的次数最少，则第2024次不
一定掷出5点，原说法错误；
B. 某种彩票中奖的概率是1%，买100张该彩票不一定会中奖，原说法错误；
C. 天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天下雨的几率是50%，原说法错误；
D. 任意画一个三角形，其内角和一定是180∘，说法正确；
故选：D．
5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）若气象部门预报明天下雪的概率是85%，则下列说法正确的是（ ）
A．明天一定下雪 B．明天一定不下雪
C．明天85%的地方下雪 D．明天下雪的可能性较大
【答案】D
【分析】本题考查了概率的意义，根据概率的意义去理解即可，熟练掌握意义是解题的关键．
【详解】解：∵气象部门预报明天下雪的概率是85%，
∴明天下雪的可能性比较大，
故选：D．
题型 四 概率公式 （共 5 小题）
1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献，某中学拟从这4部数学名著中选择1部作
为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为 （ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
4 2 3 6
【答案】A
【分析】本题考查了简单的概率公式，由概率公式即可得出答案，掌握简单的概率公式是解题的关键．
【详解】解：从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀
1
算经》的概率为 ，
4
故选：A．
2．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）掷一枚质地均匀的正六面体骰子，掷得5的概率是 ．
1
【答案】
6
【分析】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据概
率公式直接求解即可．
【详解】解：∵抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子，其六个面上分别标有1、2、3、4、5、6这六个
数字，其中点数为5的有1种情况，
1
∴掷得5的概率是 ．
6
1
故答案为： ．
6
3．（24-25九年级上·广东中山·期末）如图，A是某公园的进口，B,C,D,E,F是不同的出口，若小华从
A处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为 ．
3
【答案】
5
【分析】根据简单概率公式计算概率即可．
本题考查了简单概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：一共有5种等可能性，其中从东面出口出来的可能性有3种，3
故从东面出口出来的概率为 ．
5
3
故答案为： ．
5
4．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）根据物理学知识我们知道，在如图所示的电路图中，当开关S 和S 同
1 3
时闭合时，绿灯会发光；当开关S 和S 同时闭合时．红灯会发光．那么随机闭合开关S 、S 、S 中的
2 3 1 2 3
两个，可以使绿灯发光的概率为（ ）
2 1 1 3
A． B． C． D．
3 2 3 4
【答案】C
【分析】该题考查了概率的计算，能够正确的写出所有的可能情况，清楚概率的计算方法是解答该题
的关键．根据概率计算方法解答即可．
【详解】解：随机闭合开关S 、S 、S 中的两个，共有3种等可能的结果，其中可以使绿灯发光的结果
1 2 3
数为1种，
1
∴可以使绿灯发光的概率为 ，
3
故选；C．
5．（24-25九年级上·山东临沂·期末）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从
2
中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是 ，则袋子中至少有 个绿球．
5
【答案】2
【分析】本题主要考查了概率公式，根据概率公式直接得出结论即可，熟知概率等于所求情况数除以
总情况数是解题的关键．
2
【详解】解：∵恰好摸到绿球的概率是 ，且绿球的数量为正整数，
5
∴袋子中至少有2个绿球，故答案为：2．
题型 五 几何概率 （共 6 小题）
1．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图
中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（ ）
5 4 3 2
A． B． C． D．
7 7 7 7
【答案】C
【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，概率公式，轴对称图形，分别将7个空白处涂黑，判断出
所得图案是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行计算．
【详解】解：如图①②③任意一处涂黑时，图案为轴对称图形，
∵共有7个空白处，将①②③处任意一处涂黑，图案为轴对称图形，共3处，
3
∴构成轴对称图形的概率是 ．
7
故选：C．
2．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形内，飞镖投中正方形内各点机
会均等，则飞镖落入阴影区域内概率为（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
2 3 4 4【答案】C
【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式求概率是解题的关键．根据题意得：图中阴影部分
1
面积为正方形面积的 ，根据概率即可求解．
4
【详解】解：如图，
由题意得：∠1=∠2,∠3=∠4,AO=DO，
∴△AOB≌△DOC(AAS)，
∴S =S ，
△AOB △DOC
1
∴图中阴影部分面积为正方形面积的 ，
4
1
则飞镖落入阴影区域内概率为 ，
4
故选：C．
3．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，我国古代数学家赵爽使用的弦图是由四个全等的直角三角形
构成的正方形ABCD，若AF=4，BF=3，在弦图区域内随机取点，则该点落在正方形EFGH区域
内的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
15 20 24 25
【答案】D
【分析】本题考查几何概型，属于基础题．
先由勾股定理求出AB=5，然后求出大正方形面积为25，小正方形面积为1，根据几何概型公式计算即可．
【详解】解：∵AF=4，BF=3，
∴AB=❑√AF2+BF2=5
1
∴故大正方形面积为25，四个全等的直角三角形面积之和为4× ×3×4=24，
2
∴小正方形面积为25−24=1，
1
∴正方形EFGH区域内的概率为 ．
25
故选：D．
4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，长为10cm，宽为5cm的长方形纸上有两个半径均为1cm的圆，
随机往纸上扎针，落在圆内的概率为（ ）
1 1 π π
A． B． C． D．
50 25 50 25
【答案】D
【分析】本题考查几何概率的求法：注意圆、长方形的面积计算．用到的知识点为：概率＝相应的面
积与总面积之比．分别求出圆和长方形的面积，它们的面积比即为针落在阴影部分的概率．
【详解】解：长方形的面积=10×5=50cm2，
两个圆的总面积是：2πcm2，
2π π
则针落在阴影部分的概率是 = ；
50 25
故选D．
5．（24-25九年级下·全国·期末）小明把如图所示的正八边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落
在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．
3
【答案】
8【分析】此题考查了几何概率，用阴影部分的面积比总面积即可求解，掌握概率的计算公式是解题的
关键．
【详解】解：∵正八边形纸板平均分为8等份，其中阴影区域占3等份，
3
∴飞镖落在阴影区域的概率是 ．
8
3
故答案为：
8
6．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图是4×4的正方形网格飞镖游戏板，假设飞镖击中游戏板的每一
处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分
的概率是
1
【答案】
4
【分析】本题考查了几何概率，掌握几何概率的计算方法是解题的关键．
根据几何概率的计算方法解答即可．
1 1
【详解】解：由题意得：一个阴影小三角形的面积为 ×1×1= ，
2 2
1
则阴影部分面积为 ×8=4，
2
∵正方形网格的面积为4×4=16，
4 1
∴任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是 = ，
16 4
1
故答案为： ．
4
题型 六 用列表法或树状图求概率 （共 7 小题）
1．（24-25九年级上·广东梅州·期末）如图，小李与小陈做“石头，剪刀，布”的猜拳游戏，规定当两人
出拳的手指数之和为奇数时小李获胜，则小李获胜的概率为（ ）5 4 1 2
A． B． C． D．
9 9 3 3
【答案】B
【分析】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意列出表格是解题的关键．
【详解】解：将小李与小陈的出拳情况的手指数之和列为下表：
石头 剪刀 布
石头 0 2 5
剪刀 2 4 7
布 5 7 10
则共有9种情况，其中两人出拳的手指数之和为奇数的情况有4种，
4
∴小李获胜的概率为 ．
9
故选：B．
2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）图，电路图上有3个开关S ，S ，S 和1个小灯泡，现随机闭合两个
1 2 3
开关，小灯泡发光的概率为（ ）
1 1 2 3
A． B． C． D．
2 3 3 4
【答案】C
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，设开关S ，S ，S 分别用①，②，③表示，画出树状
1 2 3
图，根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【详解】解：设开关S ，S ，S 分别用①，②，③表示，画树状图如下：
1 2 3由树状图可知，共有6种等结果，其中小灯泡发光的结果有①②、①③、②①、③①，共4种，
4 2
∴小灯泡发光的概率为 = ，
6 3
故选：C．
3．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）在一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字2，
3，4．从袋子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位数字，然后放回，再取出一个小球，用
小球上的数字作为个位数字，这样组成一个两位数，请用列表法或画树状图的方法完成下列问题．
(1)按这种方法能组成哪些两位数？
(2)组成的两位数能被3整除的概率是多少？
【答案】(1)能组成的两位数有：22，23，24，32，33，34，42，43，44；
1
(2)
3
【分析】此题主要考查了利用树形图求概率．
（1）根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数和能组成的两位数的情况数；
（2）结合树状图可知组成的两位数能被3整除的数有33，42，24，由概率公式即可求出其概率．
【详解】（1）解：画树形图如下：
有图可知，能组成的两位数有：22，23，24，32，33，34，42，43，44；
（2）解：由树状图可知组成的两位数能被3整除的数有33，42，24，
3 1
∴组成的两位数能被3整除的概率是 = ．
9 3
4．（2016·山东聊城·一模）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“灵”、“武”的四
个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
(1)若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；
(2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的概率．
1
【答案】(1)
4
1
(2)
6
【分析】本题主要考查了利用列表法或树状图法求概率：
（1）直接根据概率公式计算，即可求解；
（2）根据题意，列出表格，可得一共有12种等可能结果，其中甲取出的两个球上的汉字恰能组成
“美丽”或“灵武”的有2种，再根据概率公式计算，即可求解．
1
【详解】（1）解：根据题意得：摸出球上的汉字刚好是“美”的概率为 ；
4
（2）解：根据题意，列出表格如下：
美 丽 灵 武
美 丽美 灵美 武美
丽 美丽 灵丽 武丽
灵 美灵 丽灵 武灵
武 美武 丽武 灵武
一共有12种等可能结果，其中甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的有2种，
2 1
所以甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的概率为 = ．
12 6
5．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）徐州有着丰富的旅游资源，近年逐渐成为国内热门旅游城市．甲、
乙两人分别从云龙山、博物馆、回龙窝这三个景点中选择一个参观，且选择每个景点的机会相等，请
用列表或画树状图的方法，求两人选择同一景点的概率．
1
【答案】
3
【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合
两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
列出表格或画出树状图，根据概率=所求情况数与总情况数之比即可求解．
【详解】解：将云龙山记作 A ，博物馆记作 B ，回龙窝记作 C ．
（法一）列表 （如图1）．共有9种等可能结果， 其中两人选择同一景点的情况有3种．
3 1
∴P （两人选择同一景点）= = ．
9 3
（法二）画树状图（如图2）．
共有9种等可能结果， 其中两人选择同一景点的情况有3种．
3 1
∴P （两人选择同一景点）= = ．
9 3
6．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容为学生开设四
类社团活动（要求每人必须参加且只能参加一类活动）：A．合唱社团B．足球社团；C．科技社团；
D．文学社团，为了了解学生对这四类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并
根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
(1)本次参与调查的学生共有________人；将条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中“科技社团”所对应的百分比为________%，“文学社团”所对应的圆心角度数为
________．
(3)现从“文学社团”表现优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取两名同学参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中甲和丁两名同学的概率．
【答案】(1)80；图见解析
(2)30；36
1
(3)
6
【分析】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复
不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．解答本题的关键要熟练掌握概率
的求法：概率等于所求情况数与总情况数之比．
（1）由B的人数除以所占百分比得出此次调查一共随机抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）用“科技社团”的人数除以总人数即可得解；由360°乘以D的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和丁两名同学的结果有2种，再由概率公
式求解即可．
【详解】（1）此次调查的学生人数为：16÷20%=80（人），
∴B足球社团的人数为：80−16−24−8=32（人），
补全条形统计图为：
故答案为：80；
24
（2）扇形统计图中“科技社团”所对应的百分比为 ×100%=30%；
80
8
“文学社团”扇形统计图中圆心角α=360°× =36°，
80
故答案为：30；36；
（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和丁两名同学的结果有2种，
2 1
∴恰好选中甲和丁两名同学的概率为 = ．
12 6
7．（24-25九年级上·北京东城·期末）中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中
庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的
书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．
(1)从中随机抽取1张，抽到“孟子”书签的概率是________；
(2)从中随机一次性抽取2张，用列表法或树状图法，求随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大
学”的概率．
1
【答案】(1)
4
1
(2)
6
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式．
（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“孟子”书签的结果有1种，利用概率公式可得答
案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的结果数，
再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“孟子”书签的结果有1种，
1
∴抽到“孟子”书签的概率为 ，
41
故答案为： ；
4
（2）解：列表如下：
A B C D
A (A,B)(A,C()A,D)
B (B,A) (B,C)(B,D)
C (C,A()C,B) (C,D)
D (D,A()D,B)(D,C)
共有12种等可能的结果，其中随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的结果有：(B,C)，
(C,B)，共2种，
2 1
∴随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率为 = ．
12 6
题型 七 频率估计概率 （共 5 小题）
1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘
制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率
B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率
C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率
D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率
【答案】C
【分析】本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重
复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定
在0.33左右的特征，匹配对应的试验．
【详解】解：由题意知，试验的频率约为0.33，1
A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ≈0.17，与0.33不符；
6
1
B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率 =0.5，与0.33不符；
2
1
C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有 1 种，概率 ≈0.33，与统
3
计图中频率的稳定值一致；
D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果
1
有 1 种，概率 =0.25，与0.33不符．
4
故选：C．
2．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）在一个不透明的布袋中装有20个黄、白两种颜色的球，它们除颜
色外其他都相同，欢欢通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可
能有（ ）
A．6个 B．10个 C．14个 D．18个
【答案】C
【分析】本题利用了大量试验得到的频率可以估计事件的概率．根据频率估计概率的原理，摸到黄球
的概率约为0.3，由此计算黄球数量，再用总数减去黄球数量得到白球数量．
【详解】解：由题意可知，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，因此黄球的概率约为0.3，
布袋中共有20个球，黄球的数量为：0.3×20=6（个），
白球的数量为总数减去黄球数量：20−6=14（个），
因此，布袋中白球可能有14个，
故选：C．
3．（23-24九年级上·山东·期中）某城市绿化部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下的统计图，种植
这种树苗1000棵，估计可以成活的棵数为（ ）A．950 B．900 C．850 D．800
【答案】B
【分析】本题主要考查了折线统计图，用频率估计概率，已知概率求数量，根据统计图可得随着实验
次数的增加，种植这种树苗的成活率逐渐稳定在0.90附近，则可估计种植这种树苗成活的概率约为
0.90，据此求解即可．
【详解】解：由统计图可知，随着实验次数的增加，种植这种树苗的成活率逐渐稳定在0.90附近，
∴种植这种树苗成活的概率约为0.90，
∴种植这种树苗1000棵，估计可以成活的棵数为1000×0.90=900棵，
故选：B．
4．（24-25九年级上·江西上饶·期末）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用
计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录
如下：
试验次数 100 300 500 1000 1600 2000
“有2个人同月过生日”的 79 229 385 781 1251 1562
次数
“有2个人同月过生日”的 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781
频率
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是 ．
【答案】0.78
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识：在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某
个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率．根据表格中的数据解答即可．
【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是
0.78．
故答案为：0.78．
5．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如今，二维码已逐渐进入了人们的生活，为民众提供了极大的便利．
如图，已知面积为4cm2的正方形二维码，想估算出二维码黑色部分的面积，可以用投针实验在正方形
区域内随机扎100个小孔点，若有40个小孔点在空白部分内，则黑色部分的面积约为 cm2．【答案】2.4
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆
动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个
固定的近似值就是这个事件的概率．用正方形的面积乘以点落在黑色部分的频率即可得出答案．
100−40
【详解】解∶黑色部分的面积约为4× =2.4(cm2)，
100
故答案为∶2.4．
题型 八 游戏的公平性 （共 4 小题）
1．（24-25九年级上·广东潮州·期末）如图，两个可自由转动的转盘，转盘A被分成3等份，转盘B被分
成2等份，转盘A上的数字分别是1，2，3，转盘B上的数字分别是1，2．小王与小张两名同学用这
两个转盘做游戏，游戏规则如下：同时用力转动A，B两个转盘．两个转盘停止后，将指针所指区域
的两数相乘（当指针落在两个扇形的交线上时，当作指向右边的扇形），如果积为2的倍数，则小王
获胜；否则，小张获胜．
(1)用列表法或画树状图求小王获胜的概率；
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你改变游戏规则，使这个
游戏对双方都公平．
2
【答案】(1)
3
(2)不公平，规则见解析
【分析】(1)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
(2)修改使双方获胜的概率相等即可．
本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者
取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【详解】（1）解：根据题意，列表如下：
1 2 3
1 1 2 32 2 4 6
一共有6种等可能结果，其中两个数的积为2的倍数有4种结果，
4 2
所以，P(积为2的倍数)= = ，
6 3
2
因此小王获胜的概率是 ．
3
（2）解：不公平，
游戏规则修改为：两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相加，
如果和为2的倍数，则小王获胜：否则，小张获胜(答案不唯一)．
2．（24-25九年级上·广东珠海·期末）甲、乙两人玩转盘游戏，如图是一个可以自由转动的转盘，转盘上
有三个等面积区域，分别标有1、2、3．甲转动转盘两次，乙分别记录转盘两次停下时指针所在区域
的数字（若指针落在两区域分界线上，则此次转动无效，重新转动）．当两次数字不相同时，就算甲
赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并用概率知识说明理由．
【答案】这个游戏不公平，理由见解析
【分析】本题考查了游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，
概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图法．列表展示所有9种等可能的结果，再
2 1
找出两次数字不相同得结果数为6，所以甲赢的概率为 ，则乙赢的概率为 ，然后比较两个概率的大
3 3
小可判断游戏规则说法公平．
【详解】解：列表如下：
1 2 3
1 1,1 2,1 3,1
2 2,1 2,2 3,2
3 3,1 2,3 3,3
共有9种机会均等的结果，其中数字相同的有3种，数字不相同的有6种，6 2 3 1
所以P = = ，P = = ，
(甲赢) 9 3 (乙赢) 9 3
∴P ≠P ，
(乙赢) (甲赢)
∴这个游戏不公平．
3．（24-25九年级上·河北张家口·期末）甲、乙两个不透明的袋子中，分别装有大小材质完全相同的小球，
其中甲口袋中小球编号分别是1，2，3，4，乙口袋中小球编号分别是2，3，4，先从甲口袋中任意摸
出一个小球，记下编号为m，再从乙口袋中摸出一个小球,记下编号为n．
(1)如图，嘉嘉用树状图表示(m,n)的所有可能情况，请补全树状图．
(2)游戏规则：m>n时，小明获胜；mn，共3种等可能结果，满足mn的等可能结果有(3,2)，(4,2)，(4,3)，共3种等可能结果，
则满足m
