文档内容
专题05 概率初步
（16个高频易错题型讲练 共48题 新教材）
【原卷版】
易错题型1 判断事件发生的可能性的大小.......................................................................................................................1
易错题型2 改变条件使事件发生的可能性相同..............................................................................................................2
易错题型3 列举随机实验的所有可能结果.......................................................................................................................3
易错题型4 判断实验所得结果是否是等可能的..............................................................................................................3
易错题型5 根据概率公式计算概率.....................................................................................................................................4
易错题型6 已知概率求数量...................................................................................................................................................4
易错题型7 几何概率.................................................................................................................................................................5
易错题型8 列举法求概率........................................................................................................................................................5
易错题型9 列表法或树状图法求概率.................................................................................................................................6
易错题型10 游戏的公平性......................................................................................................................................................7
易错题型11 求某事件的频率.................................................................................................................................................7
易错题型12 由频率估计概率.................................................................................................................................................8
易错题型13 用频率估计概率的综合应用..........................................................................................................................9
易错题型14 利用概率计算随机事件发生的平均次数................................................................................................10
易错题型15 概率在转盘抽奖中的应用............................................................................................................................10
易错题型16 概率在比赛中的应用.....................................................................................................................................12
易错题型1 判断事件发生的可能性的大小
1．（24-25九年级上·全国·单元测试）下列事件可能性大小正确的是（ ）
1
A．从一副54张的扑克牌中抽出一张红桃的可能性是
4
1
B．掷一枚骰子得到的点数是奇数的可能性是
3
1
C．从写有0−9的数字卡片中任意抽取一张，得到的数小于3的可能性是
52
D．从装有4个红球和6个白球的袋子里任意摸出一个红球的可能性是
5
2．（25-26九年级上·湖南湘潭·月考）盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，
摸到 球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加 个这种颜色
的球．
3．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
1
A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为
3
B．不可能事件发生机会为0
C．买一张彩票会中奖是可能事件
D．一件事发生机会为1.0%，这件事就有可能发生
易错题型2 改变条件使事件发生的可能性相同
4．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要
使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（23-24九年级上·全国·课后作业）不透明的盒子里有1号球（红色）、2号球（红色）、3号球
（红色）、4号球（白色）、5号球（白色）、6号球（绿色），这6个球的形状和大小完全一样．小丽从
这个盒子里任意摸出一个球．
(1)能够事先确定小丽摸出的球的颜色吗？
(2)小丽摸到每一种颜色的球的可能性一样吗？
(3)如果想让小丽摸到红色球和白色球的可能性一样，该怎么办？写出你的方案．
6．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图是一个等分成8个扇形区域的转盘．
(1)转动转盘一次，指针指向哪种颜色的区域的可能性最小？
(2)转动转盘一次，指针指向哪种颜色的区域的可能性最大？
(3)请重新设置8个扇形区域的颜色，使得（1）中指针指向的颜色的区域出现的可能性大于（2）中指针指
向的颜色的区域．易错题型3 列举随机实验的所有可能结果
7．（2025·贵州遵义·模拟预测）在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张
开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．
接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有 种张开方式．
8．（2025九年级上·全国·专题练习）现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，
从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后
使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第
一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数，则
表中空白处可以填写的数为 ．
4
9．（24-25九年级上·全国·期末）三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，
所有等可能的结果有（ ）
A．12种 B．6种 C．4种 D．3种
易错题型4 判断实验所得结果是否是等可能的
10．（24-25九年级上·全国·单元测试）在抛掷一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列可作实
验替代物的是（ ）
A．一只小球 B．两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃）
C．一个啤酒瓶盖 D．一枚图钉
11．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如果手头没有硬币，下列方法可以模拟掷硬币实验的是（ )
A．掷一个瓶盖，盖面朝上代表正面，盖面朝下代表反面
B．掷一枚图钉，钉尖着地代表正面，钉帽着地代表反面
C．用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面
D．转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面
12．（24-25九年级上·全国·课后作业）在做针尖落地的实验中，正确的是（ ）
A．甲做了4 000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4 001次时，针尖肯定不会触地
B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻
抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度
C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取
D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的
进行统计，他不满意的就不要
易错题型5 根据概率公式计算概率
13．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的4个白球，6个红
球，则任意摸出一个球是红球的概率是 ．
14．（25-26九年级上·浙江温州·期中）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红
球，5个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）
2 5 2 1
A． B． C． D．
7 7 5 3
15．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，任意闭
合其中一个开关，小灯泡不发光的概率为（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
2 3 4 4
易错题型6 已知概率求数量
16．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）一个不透明的盒子中有红球m个，白球15个，绿球n个，三
种球除颜色外都相同，从中任取一个球，若取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是
17．（25-26九年级上·山东济南·期中）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除
3
颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为 ，则红球的个数为 ．
5
18．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在一个不透明的布袋中装有8个白球，若干个黑球，它们除颜
4
色不同外其余均相同，若从中随机拿出一个球为白球的概率是 ，则布袋中黑球的个数为（ ）
5
A．2个 B．8个 C．10个 D．12个易错题型7 几何概率
19．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直线
EF过点O，分别交AD，BC于点E，F，一个小球在平行四边形ABCD内自由滚动，它落在阴影部分的
概率是 ．
20．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）若向如图所示的正方形游戏板投掷一次飞镖（假设飞镖落在游
戏板上，且落在游戏板上任何一点的机会均等），则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
21．（25-26九年级上·重庆江北·期中）如图，正方形ABCD是由8个大小相等的三角形构成，随机的
往正方形ABCD内投掷一个排球，落在阴影区域的概率为 ．
易错题型8 列举法求概率
22．（25-26九年级上·陕西西安·期中）小明同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分
别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数之和小于6的概率是（ ）
1 1 5 5
A． B． C． D．
6 3 6 18
23．（25-26九年级上·山东青岛·期中）为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，
合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，
抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（ ）1 1 4 2
A． B． C． D．
9 3 9 3
24．（25-26九年级上·福建三明·期中）有三张外观一样的牌，牌面数字分别为3、4、5，从中随机抽出
两张牌，牌面数字和为奇数的概率为 ．
易错题型9 列表法或树状图法求概率
25．（25-26九年级上·内蒙古·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关S ，S ，S 中的两个，能
1 2 3
让灯泡L 发光的概率是 ．
2
26．（25-26九年级上·山西晋中·期中）某校计划在运动会期间，组织一次拔河比赛，裁判员让甲、乙
两队长通过“石头、剪刀、布”的方式选择场地．游戏规则如下：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，获
胜一方可优先选择场地．若两人出相同的手势，则平局．请用列表或画树状图的方法，列出甲、乙两队长
的手势可能出现的情况，并判断裁判员这种做法是否合理．
27．（25-26九年级上·陕西西安·期中）“双减”背景下，教育部门对课后作业作了明确的要求，为了
解某学校七年级学生课后作业时长情况，对该校七年级抽取部分学生进行了问卷调查，调查结果分四类显
示：A表示“30分钟以内完成”，B表示“30－60分钟以内完成”，C表示“60－90分钟以内完成”，D表
示“90分钟以上完成”．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
(1)这次调查的总人数是______人；B类所占的百分比是______；在扇形统计图中，C类扇形圆心角的度数
是______；
(2)在A类学生中，有2名男生和4名女生，再需从这6名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
易错题型10 游戏的公平性
28．（25-26九年级上·河南周口·月考）甲、乙两名同学在课间玩抽卡片游戏，游戏规则如下：将背面
完全相同、正面分别标有数字1，2，3，4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先从中随机抽取一
张卡片，不放回；乙再从剩下的3张中随机抽取一张卡片．
(1)甲抽到卡片上的数字是奇数的概率为___________；
(2)若两次抽取的数字之和为奇数，则甲获胜；若数字之和为偶数，则乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公
平吗？请说明理由．
29．（25-26九年级上·山东青岛·期中）小明和小强做摸球游戏，在一个不透明的盒子中装入2个红球
和1个白球，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，小强再从中随机摸出
一个球，若两人摸到的球颜色相同，则小明获胜，否则小强获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个
游戏对双方是否公平．
30．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入
场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相
等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配
成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（ ）
A．公平 B．对小颖有利 C．对小亮有利 D．公平性不可预测
易错题型11 求某事件的频率
31．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）在一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，且只有
颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，
不断重复．下表是活动进行中的一组数据50
摸球的次数n 100 150 200 800 1000
0
29
摸到白球的次数m 59 96 116 480 601
0
摸到白球的频率
m 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601
n
(1)上表中的a=________．
(2)摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.1）．
(3)请问：若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，此时摸到白球的概率又是多少呢？
32．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）在一个不透明的盒子里装5个白球和15个黑球，这些球除
颜色外都相同，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色，再把它放回
盒子中搅匀．
(1)小明做摸球试验20次，其中摸出白球6次，则这20次摸球试验中，摸出白球的频率是_____；
(2)求摸到黑球的概率；
2
(3)在盒子中球的总个数不变的情况下，请通过改变盒子中黑球和白球的数量，使摸到白球的概率为 ．
5
33．（24-25九年级上·全国·随堂练习）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复
试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%，下列说法错误的是（ ）
A．钉尖着地的频率是0.4
B．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近
C．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4
D．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8
易错题型12 由频率估计概率
34．（25-26九年级上·山西晋中·期中）某生物科技公司为检测该公司罗氏虾苗的成活率，在同等条件
下，大量地投放虾苗，并统计成活情况，计算成活的频率，如下表：
投放总量n 400 750 1500 3500 7000 …成活量m 369 662 1335 3203 6335 …
成活的频率
m 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 …
n
根据表格，估计这种罗氏虾苗成活的概率为 ．（结果精确到0.1）
35．（25-26九年级上·陕西西安·期中）小明通过做实验用频率估计概率，统计了某一实验结果的频率，
并绘制了如图所示的统计图，下列问题：①掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率；②从一个装有2个
白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到红球的概率；③将标有数
字1、2、3的三张除数字外完全相同的卡片放在暗箱中，一次摸出两张卡片，摸出两张卡片上数字的积为
奇数的概率；④从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率．其中符合小明实验结果的问题可能是
．
36．（25-26九年级上·吉林辽源·月考）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共30个，这些球除颜色
外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球大约有 个．
易错题型13 用频率估计概率的综合应用
37．（2025·贵州贵阳·二模）在一个不透明的口袋中装有5张印有中药艾片的卡片和若干张印有中药白
果的卡片，它们除卡片上的图案不同其余均相同，通过多次摸卡片试验后发现，摸到印有艾片的卡片的频
率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
38．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成
活的情况进行调查统计，并绘制了如下折线统计图：(1)这种树苗成活概率的估计值为______．
(2)若移植这种树苗50000棵，估计可以成活______棵．
(3)若计划成活90000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？
39．（2025·山东济南·二模）在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何
区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄
球的频率是0.4，则口袋中大约有红球 个．
易错题型14 利用概率计算随机事件发生的平均次数
1
40．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）在某实验中，已知事件A发生的概率为 ，那么进行1000次
10
这种实验，事件A发生的次数约为 次．
1
41．（24-25九年级上·全国·课后作业）事件A发生的概率为 ，大量重复做这种试验，平均每100次实
4
验，事件A发生的次数是
42．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够
多时，平均来说，购买 个这样的电子产品，可能会出现1个次品．
易错题型15 概率在转盘抽奖中的应用
43．（24-25九年级上·河北石家庄·月考）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的
可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机
会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就
可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（ ）1 5 1 4
A． B． C． D．
2 9 3 9
44．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）某商场举办有奖促销活动，凡购买一定金额的商品，即可
参与转盘抽奖．如图，转盘分为A，B，C，D四个区域，自由转动转盘，指针对准A，B，C，D区域时，
分别对应“谢谢惠顾”“一等奖”“二等奖”“三等奖”，转到指针对准公共线位置时重转．
(1)若某顾客转动一次转盘，求其获得“一等奖”的概率．
(2)若某顾客转动一次转盘，求其中奖的概率．
45．（24-25九年级上·广东佛山·月考）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘．并规
定：顾客每购买100元的商品， 就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色
或绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元购物券（转盘被等分成20个扇形），甲顾客
购物120元，他获得购物券的概率是多少？易错题型16 概率在比赛中的应用
46．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图A和图B均是一个均匀的可以自由转动的转盘，A盘被分成
了6个面积相等的扇形区域，B盘被分成3个面积相等的扇形区域，在每一个扇形内均标有不同的自然数，
分别旋转两个转盘，转盘停止后，将A盘转出的数字记为a，B盘转出的数字记为b．
(1)若分别转动A盘和B盘一次，求A盘，B盘转出数字“2”的概率；
(2)小华认为，A盘转出的数字大于4的概率与B盘转出数字“4”的概率相同，请你判断他的看法是否正
确，并说明理由．
47．（24-25九年级上·全国·单元测试）某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为
0.25，平均每场有12次3分球未投中．
(1)该运动员去年的比赛中共投出多少个3分球？共投中多少个3分球？
(2)在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小明说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3
分球，你认为小明的说法正确吗？请说明理由．
48．（24-25九年级上·全国·单元测试）抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一
枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果
一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏 （填“公平”、
“不公平”）．
