文档内容
专题 05 概率初步
题型1 事件类型（常考点） 题型9 几何概率
题型2 可能性大小（常考点） 题型10 用列举法或树状图求概率（重点）
题型3 概率的意义 题型11 频率估计概率（常考点）
题型4 概率公式（常考点） 题型12 游戏的公平性
题型一 事件类型 （共 4 小题）
1.（25-26九年级上·江苏南通·期末）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯的事件为（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
2．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球
B．从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块
C．抛掷一枚一元硬币，正面朝上
D．抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7
3．（24-25九年级上·河南开封·期末）下列事件是随机事件的是（ ）
A．地球绕着太阳转
B．将油滴入水中，油和水相融
C．菱形的四条边相等
D．小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势
4．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）下列事件中，必然事件是（ ）
A．明天是晴天 B．地球自西向东自转
C．篮球队员在罚球线投篮一次，投中 D．掷一枚硬币，正面朝上
题型 二 可能性大小 （共 4 小题）
1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ）
A．水中捞月 B．守株待兔 C．旭日东升 D．夕阳西下
2．（23-24七年级上·江苏苏州·开学考试）某地的天气预报中说：“明天的降水概率是90%”．根据这个信息，下列说法正确的是（ ）
A．明天不可能下雨 B．明天一定下雨
C．明天下雨的可能性很小 D．明天下雨的可能性很大
3．（24-25九年级下·贵州六盘水·月考）一个不透明的盒子中装有2个红球，3个黄球，6个黑球，9个白
球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到球的颜色可能性最大的是（ ）
A．黄色 B．黑色 C．白色 D．红色
4．（24-25九年级上·江西新余·月考）某日天气预报信息显示：明天最高气温32℃，最低气温25℃，降
水概率为90%．根据此信息，下列说法中，你最认可的是（ ）
A．明天一定下雨 B．明天不可能下雨
C．明天下雨的可能性较小 D．明天下雨的可能性较大
题型 三 概率的意义 （共 5 小题）
1．（24-25九年级上·广东清远·期末）概率试验活动环节，数学老师连续随机掷一枚质地均匀的硬币，前4
次的结果都是正面朝上，则第5次的结果是正面朝上的概率是（ ）
1 1 1
A． B． C． D．1
2 4 5
3
2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某事件A发生的概率是 ，则下列推断正确的是（ ）
100
A．做100次这种实验，事件A必发生3次
B．做100次这种实验，事件A不可能发生4次
C．做1000次这种实验，事件A必发生30次
D．大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次
3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）向空中抛一枚硬币，硬币落地后正面朝上的概率为（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
4 3 3 2
4．（24-25九年级上·广东广州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．一颗质地均匀的骰子已连续掷了2023次，其中掷出5点的次数最少，则第2024次一定掷出5点
B．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该彩票一定会中奖
C．天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨
D．任意画一个三角形，其内角和一定是180∘
5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）若气象部门预报明天下雪的概率是85%，则下列说法正确的是（ ）
A．明天一定下雪 B．明天一定不下雪
C．明天85%的地方下雪 D．明天下雪的可能性较大题型 四 概率公式 （共 5 小题）
1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、
《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献，某中学拟从这4部数学名著中选择1部作
为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为 （ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
4 2 3 6
2．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）掷一枚质地均匀的正六面体骰子，掷得5的概率是 ．
3．（24-25九年级上·广东中山·期末）如图，A是某公园的进口，B,C,D,E,F是不同的出口，若小华从
A处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为 ．
4．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）根据物理学知识我们知道，在如图所示的电路图中，当开关S 和S 同
1 3
时闭合时，绿灯会发光；当开关S 和S 同时闭合时．红灯会发光．那么随机闭合开关S 、S 、S 中的
2 3 1 2 3
两个，可以使绿灯发光的概率为（ ）
2 1 1 3
A． B． C． D．
3 2 3 4
5．（24-25九年级上·山东临沂·期末）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从
2
中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是 ，则袋子中至少有 个绿球．
5
题型 五 几何概率 （共 6 小题）
1．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图
中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（ ）5 4 3 2
A． B． C． D．
7 7 7 7
2．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形内，飞镖投中正方形内各点机
会均等，则飞镖落入阴影区域内概率为（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
2 3 4 4
3．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，我国古代数学家赵爽使用的弦图是由四个全等的直角三角形
构成的正方形ABCD，若AF=4，BF=3，在弦图区域内随机取点，则该点落在正方形EFGH区域
内的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
15 20 24 25
4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，长为10cm，宽为5cm的长方形纸上有两个半径均为1cm的圆，
随机往纸上扎针，落在圆内的概率为（ ）
1 1 π π
A． B． C． D．
50 25 50 255．（24-25九年级下·全国·期末）小明把如图所示的正八边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落
在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．
6．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图是4×4的正方形网格飞镖游戏板，假设飞镖击中游戏板的每一
处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分
的概率是
题型 六 用列表法或树状图求概率 （共 7 小题）
1．（24-25九年级上·广东梅州·期末）如图，小李与小陈做“石头，剪刀，布”的猜拳游戏，规定当两人
出拳的手指数之和为奇数时小李获胜，则小李获胜的概率为（ ）
5 4 1 2
A． B． C． D．
9 9 3 3
2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）图，电路图上有3个开关S ，S ，S 和1个小灯泡，现随机闭合两个
1 2 3
开关，小灯泡发光的概率为（ ）
1 1 2 3
A． B． C． D．
2 3 3 43．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）在一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字2，
3，4．从袋子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位数字，然后放回，再取出一个小球，用
小球上的数字作为个位数字，这样组成一个两位数，请用列表法或画树状图的方法完成下列问题．
(1)按这种方法能组成哪些两位数？
(2)组成的两位数能被3整除的概率是多少？
4．（2016·山东聊城·一模）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“灵”、“武”的四
个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
(1)若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；
(2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求甲取出的两个球上的汉字恰
能组成“美丽”或“灵武”的概率．
5．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）徐州有着丰富的旅游资源，近年逐渐成为国内热门旅游城市．甲、
乙两人分别从云龙山、博物馆、回龙窝这三个景点中选择一个参观，且选择每个景点的机会相等，请
用列表或画树状图的方法，求两人选择同一景点的概率．6．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容为学生开设四
类社团活动（要求每人必须参加且只能参加一类活动）：A．合唱社团B．足球社团；C．科技社团；
D．文学社团，为了了解学生对这四类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并
根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
(1)本次参与调查的学生共有________人；将条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中“科技社团”所对应的百分比为________%，“文学社团”所对应的圆心角度数为
________．
(3)现从“文学社团”表现优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取两名同学参加演讲比赛，请用列
表或画树状图的方法，求出恰好选中甲和丁两名同学的概率．
7．（24-25九年级上·北京东城·期末）中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中
庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的
书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．
(1)从中随机抽取1张，抽到“孟子”书签的概率是________；
(2)从中随机一次性抽取2张，用列表法或树状图法，求随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大
学”的概率．题型 七 频率估计概率 （共 5 小题）
1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘
制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率
B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率
C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率
D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率
2．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）在一个不透明的布袋中装有20个黄、白两种颜色的球，它们除颜
色外其他都相同，欢欢通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可
能有（ ）
A．6个 B．10个 C．14个 D．18个
3．（23-24九年级上·山东·期中）某城市绿化部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下的统计图，种植
这种树苗1000棵，估计可以成活的棵数为（ ）
A．950 B．900 C．850 D．800
4．（24-25九年级上·江西上饶·期末）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用
计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录
如下：
试验次数 100 300 500 1000 1600 2000“有2个人同月过生日”的 79 229 385 781 1251 1562
次数
“有2个人同月过生日”的 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781
频率
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是 ．
5．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如今，二维码已逐渐进入了人们的生活，为民众提供了极大的便利．
如图，已知面积为4cm2的正方形二维码，想估算出二维码黑色部分的面积，可以用投针实验在正方形
区域内随机扎100个小孔点，若有40个小孔点在空白部分内，则黑色部分的面积约为 cm2．
题型 八 游戏的公平性 （共 4 小题）
1．（24-25九年级上·广东潮州·期末）如图，两个可自由转动的转盘，转盘A被分成3等份，转盘B被分
成2等份，转盘A上的数字分别是1，2，3，转盘B上的数字分别是1，2．小王与小张两名同学用这
两个转盘做游戏，游戏规则如下：同时用力转动A，B两个转盘．两个转盘停止后，将指针所指区域
的两数相乘（当指针落在两个扇形的交线上时，当作指向右边的扇形），如果积为2的倍数，则小王
获胜；否则，小张获胜．
(1)用列表法或画树状图求小王获胜的概率；
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你改变游戏规则，使这个
游戏对双方都公平．2．（24-25九年级上·广东珠海·期末）甲、乙两人玩转盘游戏，如图是一个可以自由转动的转盘，转盘上
有三个等面积区域，分别标有1、2、3．甲转动转盘两次，乙分别记录转盘两次停下时指针所在区域的数
字（若指针落在两区域分界线上，则此次转动无效，重新转动）．当两次数字不相同时，就算甲赢，否则
就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并用概率知识说明理由．
3．（24-25九年级上·河北张家口·期末）甲、乙两个不透明的袋子中，分别装有大小材质完全相同的小球，
其中甲口袋中小球编号分别是1，2，3，4，乙口袋中小球编号分别是2，3，4，先从甲口袋中任意摸
出一个小球，记下编号为m，再从乙口袋中摸出一个小球,记下编号为n．
(1)如图，嘉嘉用树状图表示(m,n)的所有可能情况，请补全树状图．
(2)游戏规则：m>n时，小明获胜；m
