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第25章 概率初步章末题型过关卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022•陵城区二模）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有 40个，除颜色
外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则
口袋中白色球的个数很可能是（ ）
A．6 B．16 C．18 D．24
【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率＝频数计算白球的个数，即可求出
答案．
【解答】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，
∴摸到白球的频率为1﹣15%﹣45%＝40%，
故口袋中白色球的个数可能是40×40%＝16个．
故选：B．
2．（3分）（2022•泰州）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）
A．20 B．300 C．500 D．800
【分析】随着试验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可．
【解答】解：观察表格发现：随着试验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，
所以抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近1000×0.5＝500次，
故选：C．
3．（3分）（2022•湖州）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸
出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（ ）
4 1 1 1
A． B． C． D．
9 3 6 9
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】解：列表得：
黑 白 白
黑 （黑，黑） （黑，白） （黑，白）白 （白，黑） （白，白） （白，白）
白 （白，黑） （白，白） （白，白）
∵共9种等可能的结果，两次都是黑色的情况有1种，
1
∴两次摸出的球都是黑球的概率为 ，
9
故选：D．
4．（3分）（2022秋•常宁市期末）以下说法合理的是（ ）
2
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
3
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
1
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
2
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝
1
上的概率还是
2
【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
2
【解答】解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 是错误的，
3
3次试验不能总结出概率，故选项A错误，
某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误，
1
某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 不正确，中靶与
2
不中靶不是等可能事件，故选项C错误，
小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的
1
可能性是 ，故选项D正确，
2
故选：D．
5．（3分）（2022•贵港）从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率
是（ ）
1 1 3
A． B． C． D．1
4 2 4
【分析】列举出所有等可能的情况数，找出能构成三角形的情况数，即可求出所求概率．【解答】解：从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，所有等可能情况有：3，5，7；
3，5，10；3，7，10；5，7，10，共4种，
其中能构成三角形的情况有：3，5，7；5，7，10，共2种，
2 1
则P（能构成三角形）= = ，
4 2
故选：B．
6．（3分）（2022•东营）从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a和b，则a2+b2＞19的概率是（
）
1 5 7 1
A． B． C． D．
2 12 12 3
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与a2+b2＞19的情况，再利用
概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，a2+b2＞19的有4种结果，
4 1
∴a2+b2＞19的概率是 = ，
12 3
故选：D．
7．（3分）（2022春•临漳县期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，
绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任意抽出一张的花色是红桃
C．袋子中有1个红球和2个黄球，它们除颜色外都相同，从中任取一球是黄球
D．掷一枚质地均匀的骰子，向上的面的点数是偶数【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在0.5左右，进而得出答案．
1
【解答】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为 ，不符合题意；
3
1
B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任意抽出一张的花色是红桃的概率为 ，不符合题意；
4
2
C、袋子中有1个红球和2个黄球，它们除颜色外都相同，从中任取一球是黄球的概率为 ，不符合题
3
意；
1
D、掷一枚质地均匀的骰子，向上的面的点数是偶数的概率为 ，符合题意；
2
故选：D．
8．（3分）（2022•青岛）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中
一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是（ ）
1 3 1 1
A． B． C． D．
4 4 3 2
【分析】由于第二个转盘不等分，所以首先将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，然后画树状图，
由树状图求得所有等可能的结果与可配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：如图，将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，
画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，可配成紫色的有3种情况，
1
∴可配成紫色的概率是： ．
2
故选：D．9．（3分）（2022•郑州模拟）太原是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即
将提上日程．根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾．现有
投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同
的垃圾桶，投放正确的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 8 12 16
【分析】回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶分别用 A，B，C，D表示，垃圾分别
用a，b，c，d表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为a、b，画出树状图，由概率公式即可得出答案．
【解答】解：回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶分别用 A，B，C，D表示，垃圾
分别用a，b，c，d表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为a、b，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果
有1个，
1
∴分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为 ；
12
故选：C．10．（3分）（2022•武侯区校级自主招生）将一枚六个面编号分别为 1、2、3、4、5、6的质地均匀的正
方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为 a，第二次掷出的点数为b，则使关于x、y的方程组
{ax+by=2
，只有正数解的概率为（ ）
2x+ y=3
1 1 5 13
A． B． C． D．
12 6 18 36
【分析】首先分两种情况：①当a﹣2b＝0时，方程组无解；
②当a﹣2b≠0时，方程组的解为由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．把方程组两式联合求
3b-2 4-3a 3b-2 4-3a
解可得x= ，y= ，再由x、y都大于0可得x= ＞0，y= ＞0，求出a、b的范
2b-a 2b-a 2b-a 2b-a
围，列举出a，b所有的可能结果，然后求出有正数解时，所有的可能，进而求出概率．
【解答】解：①当a﹣2b＝0时，方程组无解；
②当a﹣2b≠0时，方程组的解为由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．
3b-2 4-3a
易知a，b都为大于0的整数，则两式联合求解可得x= ，y= ，
2b-a 2b-a
3b-2 4-3a
∵使x、y都大于0则有x= ＞0，y= ＞0，
2b-a 2b-a
4 2 4 2
∴解得a＜ ，b＞ 或者a＞ ，b＜ ，
3 3 3 3
∵a，b都为1到6的整数，
∴可知当a为1时b只能是1，2，3，4，5，6；或者a为2，3，4，5，6时b无解，
这两种情况的总出现可能有6种；
（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6），
6 1
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求概率为= = ，
36 6
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022•玉州区一模）从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、
外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、
地理4科中任选2科．若小玲在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是
1
．
3【分析】在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，可得选择生物的概
率；
【解答】解：在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，因此选择生物
1
的概率为 ；
3
1
故答案为： ；
3
12．（3分）（2022•邓州市二模）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代
数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为 3：4，现随
24
机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
25
【分析】针尖落在阴影区域的概率就是四个直角三角形的面积之和与大正方形面积的比．
【解答】解：设两直角边分别是3x，4x，则斜边即大正方形的边长为5x，小正方形边长为x，
所以S ＝25x2，S ＝x2，S ＝24x2，
大正方形 小正方形 阴影
则针尖落在阴影区域的概率为24x2 24．
=
25x2 25
24
故答案为： ．
25
13．（3分）（2022•茂名模拟）为了估算湖里有多少条鱼，从湖里捕上100条做上标记，然后放回湖里，
经过一段时间待标记的鱼全混合于鱼群中后，第二次捕得200条，发现其中带标记的鱼25条，我们可
以估算湖里有鱼 80 0 条．
【分析】第二次捕得200条所占总体的比例＝标记的鱼25条所占有标记的总数的比例，据此直接解答．
200 25
【解答】解：设湖里有鱼x条，则 = ，解可得x＝800．
x 100
故答案为：800．
1 2
14．（3分）（2022•江北区一模）从﹣1，﹣2， ， 四个数中，任取一个数记为k，再从余下的三个数
2 31
中，任取一个数记为b．则一次函数y＝kx+b的图象不经过第四象限的概率是 ．
6
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与一次函数 y＝kx+b的图象经
过第四象限的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图如下：
∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第四象限，
∴k＞0、b≥0，
2 1
则一次函数y＝kx+b的图象不经过第四象限的概率为 = ，
12 6
1
故答案为： ．
6
15．（3分）（2022•襄州区模拟）在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、平行四边形、矩形、圆
的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中一次性随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图案都是
1
轴对称图形的概率为 ．
2
【分析】根据轴对称图形的定义得到等边三角形、矩形和圆是轴对称图形，然后用 A、B、C、D分别表
示等边三角形、平行四边形、矩形、圆，画树状图展示所有 12种等可能的结果数，其中抽到的卡片上
印有的图案都是轴对称图形有6种，再利用概率的定义计算即可．
【解答】解：等边三角形、矩形和圆是轴对称图形，
用A、B、C、D分别表示等边三角形、平行四边形、矩形、圆，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形有6种结果，
6 1
所以抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为 = ．
12 2
1
故答案为：
216．（3分）（2022•南京二模）如图是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1，2，3，4和方块1，
2，3，4．将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之
1
和等于5的概率是 ．
4
【分析】先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：
可以用下表列举所有可能得到的牌面数字之和：
方块 1 2 3 4
黑桃
1 1+1＝2 2+1＝3 3+1＝4 4+1＝5
2 1+2＝3 2+2＝4 3+2＝5 4+2＝6
3 1+3＝4 2+3＝5 3+3＝6 4+3＝7
4 1+4＝5 2+4＝6 3+4＝7 4+4＝8
从上表可知，共有16种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌的牌面数字之和等于5的情况共
4 1
出现4次，因此牌面数字之和等于5的概率为 = ．
16 4
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022•灞桥区模拟）小亮、小芳和两个陌生人甲、乙同在如下所示的地下车库等电梯，已知
两个陌生人到1至3/层的任意一层出电梯，并设甲在a层出电梯，乙在b层出电梯．
（1）请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率．
（2）小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏
是否公平？并说明理由．
3层2层
1层
车库
【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率
公式即可得出答案；
（2）根据该旅公式先求出小亮获胜的概率和小芳获胜的概率，然后进行比较，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况数，其中甲、乙二人在同一层楼出电梯的有3种，
3 1
则甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率是 = ．
9 3
4
（2）∵两人在相邻楼层出电梯的概率是 ，
9
7
∴小亮获胜的概率为 ，
9
2
∴小芳获胜的概率为 ，
9
7 2
∵ ＞ ，
9 9
∴该游戏不公平．
18．（6分）（2022秋•江北区校级期中）“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，某校自复学以来成立了
“防疫志愿者服务队”，设立三个“服务监督岗”：A洗手监督岗，B戴口罩监督岗，C就餐监督岗．
李老师和杨老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到三个监督岗．
1
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ；
3
（2）用列表法或画树状图法，求李老师和杨老师至少有一个被分配到“戴口罩监督岗”的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，李老师和杨老师至少有一个被分配到“戴口罩监督岗”的结
果有5种，再由概率公式求解即可．1
【解答】解：（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ，
3
1
故答案为： ；
3
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，李老师和杨老师至少有一个被分配到“戴口罩监督岗”的结果有5种，
5
∴李老师和杨老师至少有一个被分配到“戴口罩监督岗”的概率为 ．
9
19．（8分）（2022秋•滑县月考）如图，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点分别位于正方形网
格的格点上．
（1）现以D，E，F，G，H中的三个点为顶点画三角形，在所画的三角形中与△ABC不全等但面积相
等的三角形是 △ DFG 或△ DHF ．（填一个三角形即可）
（2）先从D，E两个点中任意取一个点，再从F，G，H三个点中任意取两个不同的点，以所取得这三
个点为顶点画三角形，求所画三角形与△ABC面积相等的概率（用树状图或列表法求解）．
【分析】（1）根据格点之间的距离得出△ABC的面积进而得出三角形中与△ABC不全等但面积相等的
三角形；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中与△ABC面积相等的有3种，再由概率公式求解即可．
1
【解答】解：（1）∵△ABC的面积= ×3×4＝6，△DEH的面积＝△DFG的面积＝△DHF的面积
2
1
= ×3×4＝6，
2
∴只有△DFG或△DHF的面积也为6且不与△ABC全等，∴与△ABC不全等但面积相等的三角形是：△DFG或△DHF；
故答案为：△DFG或△DHF；
（2）画树状图得出：
由树状图可知共有出现的情况有△DHG，△DHF，△DGF，△EGH，△EFH，△EGF，6种等可能的结
果，
其中与△ABC面积相等的有3种，即△DHF，△DGF，△EGF，
3 1
∴所画三角形与△ABC面积相等的概率为 = ．
6 2
20．（8分）（2022•万柏林区模拟）为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织七、八、九年级学生参加
了“颂党恩，跟党走”作文大赛．该校对参赛作文分年级进行了统计，并绘制了图 1和图2不完整的统
计图．
请根据图中信息回答下面的问题：
（1）参赛作文的篇数共 10 0 篇；
（2）图中：m＝ 4 5 ，扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为 12 6 °；
（3）把条形统计图补充完整；
（4）经过评审，全校共有4篇作文获得特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中选
取2篇刊登在学校校报上，请用树状图或列表法求七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率．
【分析】（1）根据七年级的作文篇数和所占的百分比，可以计算出参赛作文的总篇数；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出m的值和扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数；（3）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出八年级参赛作文的篇数，从而可以将条形
统计图补充完整；
（4）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率．
【解答】解：（1）参赛作文的篇数共20÷20%＝100（篇），
故答案为：100；
100-20-35
（2）m%= ×100%＝45%，
100
∴m＝45，
35
扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为：360°× =126°，
100
故答案为：45，126；
（3）八年级参加的作文篇数为：100﹣20﹣35＝45，
补全的条形统计图如右图所示；
（4）设七年级的那一篇记为A，八年级和九年级的三篇记为B，
树状图如下图所示：
由上可得，一共有12种可能性，其中七年级特等奖作文被刊登在校报上的可能性有6种，
6 1
故七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率为 = ．
12 2
21．（8分）（2022•锦州）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，另有一个可以自由旋转的圆盘．被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1、2、3（如图所示）．小
颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一
个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去．
（1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率；
（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两指针所指数字之和小于
4的情况，则可求得小颖参加比赛的概率；
（2）根据小颖获胜与小亮获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公平；使游戏公平，只
要概率相等即可．
【解答】解：（1）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况，
3 1
∴P（和小于4）= = ，
12 4
1
∴小颖参加比赛的概率为： ；
4
（2）不公平，
1
∵P（小颖）= ，
4
3
P（小亮）= ．
4
∴P（和小于4）≠P（和大于等于4），
∴游戏不公平；
可改为：若两个数字之和小于5，则小颖去参赛；否则，小亮去参赛．22．（8分）（2022•南京二模）经过某路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能
性大小相同，现有甲、乙、丙三辆汽车经过这个路口．
（1）求甲、乙两辆汽车向同一方向行驶的概率；
1
（2）甲、乙、丙三辆汽车向同一方向行驶的概率是 ．
9
【分析】（1）画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲、乙两辆汽车向同一方向行驶的情况数，即
可求出所求的概率；
（2）根据题意画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲、乙、丙三辆汽车向同一方向行驶的情况数
即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：
共有9种等情况数，其中甲、乙两辆汽车向同一方向行驶的有3种，
3 1
则甲、乙两辆汽车向同一方向行驶的概率是 = ；
9 3
（2）根据题意画图如下：
共有27种等情况数，其中甲、乙、丙三辆汽车向同一方向行驶的有3种，
3 1
则P（三辆汽车朝一个方向行驶）= = ．
27 9
1
故答案为： ．
9
23．（8分）（2022秋•海曙区期末）生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图①）来表示不同的
信息，类似地，可通过在网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格（如图②），通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．
（1）用树状图或列表格的方法，求图③可表示不同信息的总个数（图中标号1、2表示两个不同位置的
小方格，下同）；
（2）图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为 1 6 ；
（3）某校需要给每位师生制作一张“校园同出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示
个人身份信息，若该校师生共506人，则n的最小值为 3 ．
【分析】（1）画出树状图，即可得出答案；
（2）画出树状图，即可得出答案；
（3）由题意得出规律，即可得出答案．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有4种等可能结果，
∴图③可表示不同信息的总个数为4；
（2）画树状图如下：共有16种等可能结果，
故答案为：16；
（3）由图②得：当n＝1时，21＝2，
由图④得：当n＝2时，22×22＝16，
∴n＝3时，23×23×23＝512，
∵16＜506＜512，
∴n的最小值为3，
故答案为：3．
