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专题 25.1 概率【十一大题型】
【人教版】
【题型1 事件的判断】...........................................................................................................................................1
【题型2 概率公式的计算】...................................................................................................................................2
【题型3 列举法或树状图求概率（卡片问题）】................................................................................................4
【题型4 列举法或树状图求概率（转盘问题）】................................................................................................4
【题型5 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】................................................................................6
【题型6 列举法或树状图求概率（放回的摸球问题）】....................................................................................6
【题型7 列举法或树状图求概率（电路问题）】................................................................................................7
【题型8 列举法或树状图求概率（数字问题）】................................................................................................8
【题型9 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】........................................................................................8
【题型10 利用频率估计概率】...............................................................................................................................9
【题型11 统计概率综合】.....................................................................................................................................11
【知识点1 必然事件、不可能事件、随机事件】
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样得事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，
这样得事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生得事件称为随机事件。
必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定得，所以它们统称为确定性事件。
【题型1 事件的判断】
【例1】（2022秋•安次区校级月考）下列事件中，满足随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等的
是（ ）
A．一个密封的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，摸出每个球的可能性
B．在80个相同的零件中，检验员从中取出一个零件进行检验，取出每件产品的质量可能性
C．一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1﹣6点数朝上的可能性
D．小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性
【变式1-1】（2022秋•安次区校级月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生
B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生
D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生
【变式1-2】（2022•武昌区模拟）下列事件中，一定是不可能事件的是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的数字是3
B．通常温度降到0℃以下，纯净水结冰
C．度量一个三角形的内角的度数，其和为360°
1
D．某次抽奖活动中奖的概率为 ，小明买100张奖券，可能会中奖
100
【变式1-3】（2022•兰考县二模）下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个矩形是轴对称图形”是不可能事件
B．“一名射击运动员射击一次正中靶心”是必然事件
C．“明天会下雨”是随机事件
D．“两个整数的和一定大于0”是必然事件
【知识点2 概率】
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小得数值，称为随机事件A发生得概率，
记作P（A）。
一般地，如果在一次试验中，有n种可能得结果，并且它们发生得可能性都相等，事件A包含其中得
m种结果，那么事件A发生得概率P（A）= 。由m与n得含义可知0≤m≤n，因此0≤ ≤1，因此
0≤P（A）≤1、
当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0、
【题型2 概率公式的计算】
【例2】（2022•花溪区模拟）如图，在方格纸中，以 AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，则P ，
1
P，P，P 四个点中，任选一个符合条件的点P的概率是（ ）
2 3 41 1 3
A． B． C． D．1
4 2 4
【变式2-1】（2022•成都模拟）有五张正面分别标有数﹣2，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字不同
外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为 a，则使关于x的方程
ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的概率 ．
【变式2-2】（2022春•肇东市期末）掷一个质地均匀的骰子，观察向下的一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数为2；
（2）点数为奇数；
（3）点数大于2且小于6．
【变式2-3】（2022•文山州模拟）这是一个古老的传说，讲一个犯人利用概率来增加他得到宽恕的机会．
给他两个碗，一个里面装着5个黑球，另一个里面装着除颜色不同外其它都一样的5个白球．把他的眼
睛蒙着，然后要选择一个碗，并从里面拿出一个球，如果他拿的是黑球就要继续关在监狱里面，如果他
拿的是白球，就将获得自由．在蒙住眼睛之前允许他把球混合，重新分装在两个碗内（两个碗球数可以
不同）．你能设想一下这个犯人怎么做，使得自己获得自由的机会最大？则犯人获得自由的最大机会是
（ ）
1 2 3 13
A． B． C． D．
2 3 5 18
【知识点3 用列表法求概率】
当一次试验要涉及两个因素并且可能出现得结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常用
列表法。
列表法就是用表格得形式反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，以及某一事件发生得可能得次数与
方式，并求出概率得方法。
【知识点4 用树状图求概率】
当一次试验要涉及3个或更多得因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常
采用树形图。树形图就是反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，并求出概率得方法。
（1）树形图法同样适用于各种情况出现得总次数不就是很大时求概率得方法。
（2）在用列表法与树形图法求随机事件得概率时，应注意各种情况出现得可能性务必相同。
【题型3 列举法或树状图求概率（卡片问题）】
【例3】（2022•兰考县二模）现有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有数字1、2，B
盒里有三张卡片，分别标有数字3、4、5，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．从A盒、B盒里各随机抽取一张卡片，则抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的概率为（ ）
5 1 1 1
A． B． C． D．
6 2 3 6
【变式3-1】（2022•肇东市校级一模）现有三张正面分别标有数字﹣1，2，3的不透明卡片，它们除数字
外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机
抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为 m，n，则点 P（m，n）在第二象限的概率为
（ ）
1 1 2 2
A． B． C． D．
2 3 3 9
【变式3-2】（2022•宁夏）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、
《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上
述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机
抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 ．
【变式3-3】（2022•新野县一模）现有四张完全相同的卡片，在正面分别标有数字0，﹣9，﹣3，8，把卡
片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字的积恰好是0的概率是（ ）
7 1 1 1
A． B． C． D．
12 3 2 6
【题型4 列举法或树状图求概率（转盘问题）】
【例4】（2022•海港区模拟）如图，是两个圆形转盘，同时旋转两个转盘，两个转盘的指针都不落在
“1”区域的概率是（ ）
3 1 3 1
A． B． C． D．
4 4 8 8
【变式4-1】（2022•安徽模拟）如图是一个游戏转盘，连续自由转动转盘两次（如果落在分隔线上，则重
新转动，直至转到其中一块区域），则两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的概率是（ ）1 1 1 1
A． B． C． D．
9 6 4 3
【变式4-2】（2022•盐城校级模拟）如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机
会均等．
（1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向2的概率为 ；
（2）小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树
状图的方法说明理由．
游戏规则：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字，若两数之积为偶数，则小明胜；否则小
华胜．
【变式4-3】（2022•沈河区一模）如图是甲、乙两个转盘，其中甲转盘被分成四个面积相等的扇形，乙转
盘被分成三个面积相等的扇形，转动转以时，如指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向
某一扇形区域为止．
（1）转动甲转盘时指针指向偶数区域的概率是 ．
（2）请用树状图或列表法求分别转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5的概率．
【题型5 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】
【例3】（2022•武汉模拟）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为 1，2，3，4的四个小球（除标号外无其他差异）．从口袋中随机摸出两个小球，记下标号．若两个小球的标
号之积为奇数，则甲获胜；若两个小球的标号之积为偶数，则乙获胜．乙获胜的概率是（ ）
1 1 1 5
A． B． C． D．
12 6 2 6
【变式5-1】（2022•沙坪坝区校级开学）不透明的袋子中装了2个红球，1个黑球，1个白球，这些球除颜
色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，摸出1个红球1个黑球的概率为 ．
【变式5-2】（2022秋•中原区校级期末）将分别标有“郑”“州”“加”“油”汉字的四个小球装在一个
不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回；再随机
摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
8 6 4 2
【变式5-3】（2022•泌阳县四模）一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个小球，其中有3个小球是白色
的，2个小球是红色的，1个小球是黑色的，那么不放回连续取出两个小球都是白色的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
5 4 3 2
【题型6 列举法或树状图求概率（放回的摸球问题）】
【例6】（2022•同安区二模）小林和小华在进行摸球游戏．在不透明的袋子里有 4个分别标有数字1、2、
3、4的小球，这些小球除数字外完全一样．小林先摸，将摸到的小球数字记为m，然后将小球放回．再
由小华摸球，小华摸到的小球数字记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，就称小林、小华两人“心有灵
犀”．则小林、小华两人“心有灵犀”的概率是（ ）
1 3 1 5
A． B． C． D．
4 8 2 8
【变式6-1】（2022•宛城区一模）一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都
相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回搅匀，再从中摸出第2个球．则两次摸出的球颜
色相同的概率是（ ）
5 4 1 1
A． B． C． D．
9 9 3 9
【变式6-2】（2022•西工区模拟）将分别标有“精”“准”“扶”“贫”汉字的四个小球装在一个不透明
的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，放回后；再随机摸出
一球，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
4 6 8 16【变式6-3】（2022春•郸城县校级月考）一个不透明的盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共4个，它
们除颜色外完全相同，其中红球有2个，蓝球有1个．小明从盒子里随机摸出1个小球，然后放回摇匀，
再随机摸出1个，则两次摸到的小球颜色为一红一蓝的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 5 4 3
【题型7 列举法或树状图求概率（电路问题）】
【例7】（2022•武汉模拟）如图，电路图上有三个开关S ，S ，S 和两个小灯泡L ，L ，随机闭合开关
1 2 3 1 2
S，S，S 中的两个，能让灯泡L 发光的概率是（ ）
1 2 3 2
1 1 2 1
A． B． C． D．
2 4 3 3
【变式7-1】（2022•海勃湾区校级一模）如图，电路图上有 4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭
合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为
（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
2 3 3 4
【变式7-2】（2022•烟台模拟）如图，电路图中，当随机闭合S、S、S、S、S 中的两个开关时，能够让
1 2 3 4 5
灯泡发光的概率为 ．【变式7-3】（2022•商水县三模）如图电路中，随机闭合开关S ，S ，S ，S 中的两个，能够点亮灯泡的
1 2 3 4
概率为 ．
【题型8 列举法或树状图求概率（数字问题）】
【例8】（2022秋•恩施市期末）从﹣2、﹣1、0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标
轴上的概率（ ）
1 1 2
A． B． C．1 D．
3 2 3
【变式8-1】（2022•常德）从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
【变式8-2】（2022•港北区二模）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x
的一元二次方程ax2+4x+c＝0没有实数根的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 5
【变式8-3】（2022春•浦东新区校级期末）从3至8的6个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数互
素的概率是 ．
【题型9 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】
【例9】（2022•武汉）班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同
学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是（ ）1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
【变式9-1】（2022•海淀区二模）“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，
5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从
A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同．现有一个音乐小
球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
25 10 5 5
【变式9-2】（2022•安庆模拟）某市中考体育项目有：中长跑（1000米/男生、800米/女生）、坐位体前
屈、立定跳远、一分钟跳绳、掷实心球、篮球运球、足球运球，其中中长跑设定为必考项目，考生可以
在余下六个项目中自主选择2个不同的项目进行考试，则恰好选中坐位体前屈和一分钟跳绳的概率是（
）
1 1 1 1
A． B． C． D．
3 36 30 15
【变式9-3】（2022•青山区模拟）把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片都按同样的方式剪成相同
的三段，然后将上、中、下三段分别混合均匀，从三堆图片中随机各抽出一张，则这三张图片恰好组成
一张完整风景图片的概率为（ ）
1 2 1 1
A． B． C． D．
27 27 9 3
【题型10 利用频率估计概率】
【例10】（2022春•广陵区校级期末）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红
球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白
球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数n 63 a 247 365 484 606
n 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 b
摸到白球的频率
s
（1）按表格数据格式，表中的a＝ ；b＝ ；
（2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.1）；
（3）请推算：摸到红球的概率是 （精确到0.1）；
（4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有 只．
【变式10-1】（2022春•顺德区校级期末）小明做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，共做了100次实
验，实验的结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 14 15 23 16 20 12
（1）计算“4点朝上”的频率．
（2）小明说：“根据实验，一次实验中出现3点朝上的概率最大”．他的说法正确吗？为什么？
（3）小明投掷一枚骰子，计算投掷点数小于3的概率．
【变式10-2】（2022秋•溧水区期末）某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物 10元以
上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活
动进行中的一组统计数据：
（1）计算并完成表格：
转动转盘的次数n 100 200 500 800 1000 2000
落在“铅笔”的次数m 67 145 357 552 704 1396
m 0.670 0.725 0.714 0.690 0.704
落在“铅笔”的频率
n
（2）请估计，当n很大时，频率将会接近 （精确到0.1）
（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是 ，理由是： ．
【变式10-3】（2022春•淮安区期中）某班“红领巾义卖”活动中设立了一个可以自由转动的转盘．规定：
顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000
落在“书画作品”区域的次数m 60 122 180 298 a 604
m 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604
落在“书画作品”区域的频率
n
（1）完成上述表格：a＝ ；b＝ ；
（2）请估计当n很大时，频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概
率约是 ；（结果全部精确到0.1）
（3）如果要使获得“手工作品”的可能性大于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域
的扇形的圆心角至少还要增加是多少度？
【题型11 统计概率综合】
【例11】（2022•平邑县一模）某校初三（1）班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”
的调查活动，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图 1、图2两个不完整的统计图，
请根据图中的信息解答下列问题．
（1）初三（1）班接受调查的同学共有多少名；
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育活动C”所对应的圆心角度数；
（3）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生；老师想从5名同学中任选两名同学进
行交流，直接写出选取的两名同学都是女生的概率．
【变式11-1】（2022•凤山县模拟）今年5月份，某校九年级学生参加了中考体育考试，为了了解该校九年
级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表和扇形统计图，根据图表中的信息解答下列问题：
分组 分数段（分） 频数
A 36≤x＜41 2
B 41≤x＜46 5
C 46≤x＜51 15
D 51≤x＜56 m
E 56≤x＜61 10
（1）求全班学生人数和m的值；
（2）直接写出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段；
（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生1人，女生2人．现需从这3人中随机选取2人到八年
级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．
【变式11-2】（2022•永安市模拟）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、
丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分．
运动员丙测试成绩统计表
测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩（分） 7 6 8 b 7 5 8 a 8 7
（1）若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则成绩表中的a＝ ，b＝ ；
（2）若在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？
请用你所学过的统计量加以分析说明（参考数据：三人成绩的方差分别为S 2＝0.81、S 2＝0.4、S 2
甲 乙 丙
＝0.8）（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从乙手中
传出，第二轮结束时球又回到乙手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）
【变式11-3】（2022•岱岳区三模）2015年2月27日，在中央全面深化改革领导小组第十次会议上，审议
通过了《中国足球改革总体方案》，体制改革、联赛改革、校园足球等成为改革的亮点．在联赛方面，
作为国内最高水平的联赛﹣﹣中国足球超级联赛今年已经进入第 12个年头，中超联赛已经引起了世界
的关注．图9是某一年截止倒数第二轮比赛各队的积分统计图．
（1）根据图，请计算该年有 支中超球队参赛；
（2）补全图一中的条形统计图；
（3）根据足球比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，最后得分最高者为冠军．倒
数第二轮比赛后积分位于前4名的分别是A队49分，B队49分，C队48分，D队45分．在最后一轮的
比赛中，他们分别和第4名以后的球队进行比赛，已知在已经结束的一场比赛中，A队和对手打平．请
用列表或者画树状图的方法，计算C队夺得冠军的概率是多少？
