第12讲指数函数（原卷版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第 12 讲 指数函数 【基础知识网络图】 指数与指数函数 指 数 指数 指数 函 数 的概 运算 的 图 念 性质 像 与 性质 图象与性质 【基础知识全通关】 一、指数与指数幂的运算 1．根式 （1） 次方根的概念与性质 概念 一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 ， . ①当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数. 这时， 的 次方根用符号 表示. 次 方 性质 根 ②当 是偶数时，正数 的 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正 数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号 表示.正的 次方根与负的 次方根可以合并写成 .负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作 .（2）根式的概念与性质 概念 式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数. ① . 根 式 性质 ②当 为奇数时， . ③当 为偶数时， . 【注】速记口诀： 正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为偶无意义，零取方根仍为零． 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是 . 于是，在条件 下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ② 正 数 的 负 分 数 指 数 幂 的 意 义 与 负 整 数 指 数 幂 的 意 义 相 仿 ， 我 们 规 定 且 . ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）有理数指数幂 规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数 幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数 ，均有下面的运算性质： ① ； ② ； ③ . （3）无理数指数幂 对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因 此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数 幂是一个确定的实数. 一般地，无理数指数幂 是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性 质同样适用于无理数指数幂. 二、指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念 一般地，函数 叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 . 【注】指数函数 的结构特征： (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x； (3)系数：ax的系数是1. 2．指数函数 的图象与性质 图象定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y=a−x与y=ax的图象关于y轴对称 过定点 过定点 ，即 时， 单调性 在 上是减函数 在 上是增函数 当 时， ； 当 时， ； 函数值的 变化情况 当 时， 当 时， 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其 中0d>1>a>b>0. 【考点研习一点通】 考点01指数运算、化简、求值 1 1 + =2 1.已知 3a =5b =c ，且 a b ，求c的值。2.计算下列各式： (1) ； 1 1 − 7 ( ) 3 ×(− ) 0 +80.25 ×√ 4 2+(√ 3 2×√3) 6 8 6 (2) ； 4 1 a3 −8a3b √3 b 3 ÷(1−2 )×√a 2 2 a (3)a3 +2√ 3ab+4b3 . 3．计算： －0＋＋ ＝______. 4．计算： ＝________.(a>0，b>0) 5．若 ，则 ＝________.6．已知 则a，b，c的大小关系是________． 考点02 指数函数的图象及应用 7.(多选)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是( ) A．a＝b＝0 B．a1，b<0 B．a>1，b>0 C．00 D．00 B．ln(y－x＋1)<0 C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0 12.[高考改编题]若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是( ) A．a＋b≤0 B．a－b≥0 C．a－b≤0 D．a＋b≥0命题点2 解简单的指数方程或不等式 13. (1)若 ，则函数y＝2x的值域是( ) A. B. C. D．[2，＋∞) 14.已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______． 命题点3 指数函数性质的综合应用 15. (1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取 值范围是________． (2)不等式4x－2x＋1＋a>0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________． 【考点易错】 易错01 根式、指数幂的化简与求值 【典例1】镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片 越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别 制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为 ， ， ．则这三种镜片中，制作出最 薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ） A．甲同学和乙同学 B．丙同学和乙同学 C．乙同学和甲同学 D．丙同学和甲同学 【典例2】计算：( 2 1) 1 2−(−9.6) 0− ( 8 ) 3 2 + (3) −2． 4 27 2 【变式1】 2 1  7 23      1.计算：1.5－3×  60＋80.25× 4 2 ＋( 3 2 × 3 )6－ 31 2 3  3  7  23      1    2.计算： 2 ×  60＋ 84 × 4 2 －  3 ＝________. 易错02：根式、指数幂的条件求值 【典例3】已知 x+x−1=3， 则 x 3 2+x − 3 2 的值为__________． 1 1  x2 x 2 3 xx1 【典例4】设 ，求 的值． 【变式3】 1 1  a2 a 2 3 已知 ，求下列各式的值. a2 a2 1 （1） a1a1 ；（2） a2 a2 ；（3） aa11 易错03：指数函数的图象 【典例5】如图，①②③④中不属于函数 ， ， 的一个是（ ）A．① B．② C．③ D．④ 【典例6】函数y＝ax－ (a>0，且a≠1)的图象可能是（ ） A． B． C． D． 易错04：指数函数的性质及其应用 【典例7】已知 ， 且 ，设 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【典例8】（2021·北京高三其他模拟）已知函数 则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 2x28x1 1 y  (3 x1) 【典例9】函数   的值域是_________. 3 f(x)ax2(a 0,且a 1,x0) (3,0.5) 【典例10】已知函数 的图像经过点 ，（1）求a值； f(x)ax2(x0) （2）求函数 的值域； 【巩固提升】 1．设 ，则 （ ） A． B． C． D． 2.函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( ) 3.已知函数 的定义域和值域都是 ，则 _____________. 4.下列各式比较大小正确的是( ) A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62 C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1 5．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是 ( ) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 6．与函数y＝(a－1)x2－2x－1在同一个坐标系内的图象可能是( )7.已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( ) A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0 C．2－a<2c D．2a＋2c<2 8.函数y＝2x－x2的值域为( ) A. B. C. D．(0,2] 9.设函数 ，若 ，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 10. 已知函数 ，则 f (x)是 A．奇函数，且在R上是增函数 B．偶函数，且在(0,+∞)上是增函数 C．奇函数，且在R上是减函数 D．偶函数，且在(0,+∞)上是减函数 11.若函数 的最小值为 ，则实数 的取值范围为 A． B． C． D． 12.函数 的值域为________．13．已知函数 （ 且 ）的图象过定点 ，则点 的坐标为 _______. 14．已知 ，则 =__________. 15．已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是__________． 16．已知函数 ，若 ，则实数 的值是_______． 17．已知 ，则 __________． 18．若不等式−x2+2x+3≤21−3a对任意实数x都成立，则实数a的最大值为________. 19．已知函数 ，若 ，则函数 的图 象恒过定点__________． 20．（1） ； （2） . 21．已知函数 . （1）若 ，求方程 的根；（2）若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围. 22．已知函数 （ 且 ）是定义在 上的奇函数. （1）求 的值； （2）求函数 的值域； （3）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.