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第 12 讲 指数与指数函数
一、指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 (1)R
值域 (2) (0 ，＋∞ )
(3)过定点 (0 ， 1) ，即x＝0时，y＝1
(4)当x＞0时， y ＞ 1 ； (5)当x＜0时， y ＞ 1 ；当x＞0时，0
性质
当x＜0时， 0 ＜ y ＜ 1 ＜ y ＜ 1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数
[常用结论]
二、指数函数图象的画法
1.画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象， 底数 a，b，
c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝
ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．
3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研
究．
1、【2020年新课标2卷理科】若 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数，
，
， ， ，则A正确，B错误；
与 的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
2、【2020年新课标3卷理科】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公
布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其中K
为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C
【解析】 ，所以 ，则 ，
所以， ，解得 .
故选：C.
3、【2020年新高考1卷（山东卷）】基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再
0
生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型： 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R，T近
0
似满足R =1+rT.有学者基于已有数据估计出R=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病
0 0
例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【解析】因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，
则 ，所以 ，所以 ，
所以 天.
故选：B.
4、【2018年新课标1卷文科】设函数 ，则满足 的x的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将函数 的图像画出来，观察图像可知会有 ，解得 ，所以满足
的x的取值范围是 ，故选D.
[ π π]
5、【2022年全国甲卷】函数y=(3x−3−x)cosx在区间 − , 的图象大致为（ ）
2 2A． B．
C． D．
【答案】A
π π
【解析】令f(x)=(3x−3−x )cosx,x∈[− , ]，
2 2
则f(−x)=(3−x−3x )cos(−x)=−(3x−3−x )cosx=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除BD；
π
又当x∈(0, )时，3x−3−x>0,cosx>0，所以f(x)>0，排除C.
2
故选：A.
1、已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则( )
A．c ＝b，
因为b＝ ＝ ＝ ，
c＝ ＝ ＝ ，则b>c.综上所述，a>b>c.
2、若函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则( )
A．a>1，b>1 B．a>1,01 D．00，a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则a的值是( )
A.或 B.或2
C. D．2
【答案】 B
【解析】当a>1时，函数单调递增，
f(x) ＝2f(x) ，
max min
∴f(2)＝2f(1)，
∴a2＝2a，∴a＝2；
当01)的值域是[1，＋∞)
C. 若am>an(a>0，a≠1)，则m>n
D. 函数f(x)＝ax-2－3(a>0，a≠1)的图象必过点(2，－2)
【答案】 BD
【解析】 对于A，根据指数函数的定义可得y＝2x-1不是指数函数，故A错误；对于B，当a>1时，y＝ax2
＋1≥1，故B正确；对于C，当0an，得m0，
所以1＋λ＝0，解得λ＝－1，
所以f(x)＝3x－3－x.
令3x＝t>0，则f(x)>1，即t－>1，
解得t<或t>.
又因为t>0，所以t>，即3x>，所以x>log，
3
所以f(x)>1的解集为(log，＋∞).
3
(2) 若f(x)≤6对x∈[0，2]恒成立，
则λ≤6×3x－(3x)2在区间[0，2]上恒成立．
令3x＝m∈[1，9]，
则g(m)＝－m2＋6m，图象的对称轴为直线 m＝3，
所以g(m)在区间[1，3]上单调递增，在区间[3，9]上单调递减，
所以g(m) ＝g(9)＝－81＋54＝－27，
min
所以λ的取值范围是(－∞，－27].
变式1、关于函数f (x)＝的性质，下列说法中正确的是( )
A．函数f (x)的定义域为R
B．函数f (x)的值域为(0，＋∞)
C．方程f (x)＝x有且只有一个实根
D．函数f (x)的图象是中心对称图形
【答案】 ACD
【解析】 函数f (x)＝的定义域为R，所以A正确；
因为y＝4x在定义域内单调递增，所以函数f (x)＝在定义域内单调递减，所以函数的值域为，所以方程f
(x)＝x只有一个实根，所以B不正确，C正确；
因为f (x＋1)＋f (－x)＝＋
＝＋＝，
∴f (x)关于对称，所以D正确．
变式2、(2022·江苏南通市区期中)设函数f(x)的定义域为R，f(x)为偶函数，f(x＋1)为奇函数，当x∈[1，2]
时，，若f(0)＋f(1)＝－4，则 ．
【答案】4－4
【解析】由题意，因为f(x＋1)是奇函数，f(x)是偶函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x＋2)＝－
f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，则x＝0时，f(1)＝－f(1)，则f(1)＝0，由f(0)＋f(1)＝
－4，可得f(0)＝－4，即f(2)＝－f(0)＝4，则，解得a＝2，b＝－4，所以(－)＝－f(－＋2)＝－f()＝－(2×2
－4)＝4－．
变式3、已知函数 ，则（ ）．
A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于点 对称
C． 在 上单调递增 D． 在 上单调递减
【答案】A【解析】 的定义域为 ，
A：因为 ，
所以函数 的图象关于 对称，因此本选项正确；
B：由A知 ，所以 的图象不关于点 对称，因此本选项不正确；
C：
函数 在 时，单调递增，
在 时，单调递减，因此函数 在 时单调递增，在 时单调递减，故本选项
不正确；
D：由C的分析可知本选项不正确，
故选：A
1、已知指数函数 ，将函数 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的 倍，
得到函数 的图象，再将 的图象向右平移 个单位长度，所得图象恰好与函数 的图象重合，
则a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得 ，再将 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 ，
又因为 ，所以， ，整理可得 ，
因为 且 ，解得 .故选：D.
2、(2022·江苏省第一次大联考)航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫斯基(K．E．Tsiolkovsky)于1903年给出
火箭最大速度的计算公式v＝Vln(1＋)．其中，V 是燃料相对于火箭的喷射速度，M是燃料的质量，m 是
0 0 0
火箭(除去燃料)的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度．已知V ＝2km/s，则当火箭的最大速度v
0
可达到10km/s时，火箭的总质量(含燃料)至少是火箭(除去燃料)的质量的( )倍
A．e5 B．e5－1 C．e6 D．e6－1
【答案】A
【解析】由题意可知，2ln(1＋)＝10，则1＋＝＝e5，即火箭的总质量(含燃料)至少是火箭(除去燃料)的质量
的e5，故答案选A．
3、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)(多选题)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋3)＝f(x－1)，若当
x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，则下列结论正确的是( )
A．当x∈[－2，0]时， B．f(2019)＝1
C．y＝f(x)的图像关于点(2，0)对称 D．函数g(x)＝f(x)－log x有3个零点
2
【答案】ABD
【解析】由题意，已知 f(x)是定义在R上的偶函数，且 f(x＋3)＝f(x－1)，即该函数周期为4，又因为
x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，f(x)＝f(－x)＝，所以选项A正确；f(2019)＝
f(4×505－1)＝f(－1)＝f(1)＝1，所以选项B正确；y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，则f(3)＋f(1)＝0，但是
f(3)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(3)＋f(1)≠0与f(3)＋f(1)＝0矛盾，所以选项C错误；可作出函数的图象即可得到，
函数有3个零点，所以选项D正确；综上，答案选ABD．
4、（2022·广东汕头·二模）（多选题）设a，b，c都是正数，且 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B． C． D．【答案】ACD
【分析】
设 ，根据指数与对数的关系，利用换底公式及指数幂的运算法则，逐一验证四个选项得答案．
【详解】
解：设 ，则 ， ， ，
所以
，
即 ，所以 ，所以 ，故D正确；
由 ，所以 ，故A正确，B错误；
因为 ， ，
又 ，所以 ，即 ，故C正确；
故选：ACD
