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专题 21.10 一元二次方程章末八大题型总结（拔尖篇）
【人教版】
【题型1 利用根与系数的关系降次求值】..............................................................................................................1
【题型2 利用一元二次方程的解法解特殊方程】.................................................................................................3
【题型3 利用一元二次方程求最值】....................................................................................................................8
【题型4 利用一元二次方程的根求取值范围】....................................................................................................11
【题型5 一元二次方程中的新定义问题】...........................................................................................................14
【题型6 一元二次方程中的规律探究】................................................................................................................20
【题型7 一元二次方程在几何中的动点问题】...................................................................................................25
【题型8 一元二次方程与几何图形的综合问题】...............................................................................................33
【题型1 利用根与系数的关系降次求值】
【例1】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，则
(α2+2024α+2)(β2+2024β+2)的值为（ ）
A．-2021 B．2021 C．-2023 D．2023
【答案】A
【分析】由α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，根据根于系数关系可得，α⋅β=1，α+β=-2023，
由一元二次方程根的定义可得α2+2023α+1=0，β2+2023β+1=0，即可求解；
【详解】∵ α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，
∴α2+2023α+1=0，
β2+2023β+1=0，
α⋅β=1，α+β=-2023，
∴(α2+2024α+2)(β2+2024β+2)
=(α2+2023α+1+α+1)(β2+2023β+1+β+1)
=(α+1)(β+1)=α⋅β+α+β+1
=1-2023+1
=-2021
故选A．
【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答
该题的关键．
【变式1-1】（2023春·四川南充·九年级四川省营山中学校校考期中）已知a，b是方程x2-x-1=0的两根，
则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（ ）
A．19 B．20 C．14 D．15
【答案】D
【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用
降次的方法即可求得结果的值．
【详解】∵a与b是方程x2-x-1=0的两根
∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0
∴a2=a+1，b2=b+1
∵a3=a2·a=(a+1)a=a2+a=a+1+a=2a+1，同理：b3=2b+1
∴2a3+5a+3b3+3b+1
=2(2a+1)+5a+3(2b+1)+3b+1
=9a+9b+6
=9(a+b)+6
=9×1+6
=15
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行
整式的运算是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·全国·九年级专题练习）已知a是方程x2-2021x+1=0的一个根，则
2021
a3-2021a2- =
．
a2+1
【答案】-2021
【分析】由方程根的定义可得a2-2021a+1=0，变形为a2+1=2021a．再将a2-2021a+1=0等号两边2021
同时乘a并变形得a3-2021a2=-a，代入a3-2021a2-
逐步化简即可．
a2+1
【详解】∵a是方程x2-2021x+1=0的一个根．
∴a2-2021a+1=0，即a2+1=2021a．
将a2-2021a+1=0等号两边同时乘a得：
a(a2-2021a+1)=0，即a3-2021a2=-a．
2021 2021 1 a2+1 2021a
∴a3-2021a2- =-a- =-a- =- =- =-2021．
a2+1 2021a a a a
故答案为：-2021．
【点睛】本题考查一元二次方程解的定义以及代数式求值．熟练掌握整体代入的思想是解答本题的关键．
【变式1-3】（2023春·四川自贡·九年级统考期末）若m、n是一元二次方程x2+2x-1=0的两个实数根，
n3+n2m
则 的值为（ ）
2n-1
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】C
n3+n2m
【分析】利用方程根的定义和根与系数关系得到n2+2n-1=0，m+n=-2， 分子进行因式分解
2n-1
后，利用整体代入即可得到答案．
【详解】解：∵m，n是x2+2x-1=0的两个实数根
∴n2+2n-1=0，m+n=-2
∴n2=1-2n
n3+n2m
∴
2n-1
n2 (n+m)
=
2n-1
-2(1-2n)
=
2n-1
=2
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数关系等知识，关键在于利用因式分解正确变形，用
整体代入方法解决．【题型2 利用一元二次方程的解法解特殊方程】
【例2】（2023春·上海青浦·九年级校考期末）解方程：
(1)√x+2-√8-x=2；
2x 1
(2)
- =1；
x2-2x-3 x-3
(3)2x2-3√2x2-1+1=0
【答案】(1)x=7
3+√17 3-√17
(2)x = ，x = ；
1 2 2 2
√10 √10
(3)x =- ，x = ，x =-1，x =1．
1 2 2 2 3 4
【分析】（1）移项后两边平方得出x+2=4+4√8-x+8-x，求出x-5=2√8-x，再方程两边平方得出
x2-10x+25=4(8-x)，求出x，再进行检验即可；
（2）观察可得最简公分母是(x-3)(x+1)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；
（3）令t=√2x2-1，则2x2-1-3√2x2-1+2=0，代入原方程，得t2-3t+2=0，所以t =2，t =1，然
1 2
后分两种情况分别解方程即可．
【详解】（1）√x+2-√8-x=2
解：移项得，√x+2=2+√8-x，
两边平方得，x+2=4+4√8-x+8-x，
合并同类项得，2x-10=4√8-x，
∴x-5=2√8-x，
两边平方得，x2-10x+25=4(8-x)，
整理得，x2-6x-7=0，
∴(x+1)(x-7)=0，
解得：x =-1，x =7，
1 2
经检验，x =-1，不是原方程的解，
1
∴原方程的解为：x=7．
2x 1
（2） - =1
x2-2x-3 x-3
解：方程两边同时乘以(x-3)(x+1)得， 2x-(x+1)=x2-2x-3整理得，x2-3x-2=0，
3±√32-4×1×(-2) 3±√17
解得，x= = ，
2 2
3+√17 3-√17
∴x = ，x = ，
1 2 2 2
3+√17 3-√17
经检验，x = ，x = 时，(x-3)(x+1)≠0，
1 2 2 2
3+√17 3-√17
∴原方程的根为：x = ，x = ．
1 2 2 2
（3）2x2-3√2x2-1+1=0
解：2x2-1-3√2x2-1+2=0
令t=√2x2-1，代入原方程得，t2-3t+2=0，
∴(t-2)(t-1)=0，
解得：t =2，t =1，
1 2
当t =2时，√2x2-1=2，即： 2x2-1=4，
1
5 √10 √10
∴x2= ，解得：x =- ，x = ，
2 1 2 2 2
当t =1时，√2x2-1=1，即： 2x2-1=1，
2
∴x2=1，解得：x =-1，x =1，
3 4
经检验x ，x ，x ，x 都为原方程的解
1 2 3 4
√10 √10
∴原方程的解为：x =- ，x = ，x =-1，x =1．
1 2 2 2 3 4
【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键；还考查了解分式方程，
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注
意要验根．
【变式2-1】（2023春·上海·九年级期中）解方程：mx2-3=x2+2 (m≠1)
√5(m-1)
【答案】当m>1时，原方程的解是x=± ，当m<1时，原方程无实数解
m-15
【分析】先移项，再合并同类项可得(m-1)x2=5，根据m≠1求出x2= ，再讨论m-1<0时，
m-1
m-1>0，分别计算出方程的解.
【详解】解：移项得：mx2-x2=2+3，
化简得：(m-1)x2=5，
∵m≠1，
5
∴x2=
，
m-1
5
当m-1<0时，x2= <0，
m-1
∴原方程无实数解，
5
当m-1>0时，x2= >0，
m-1
√ 5 √5(m-1) √ 5 √5(m-1)
∴x = = ，x =- =-
1 m-1 m-1 2 m-1 m-1
√ 5 √5(m-1)
∴当m>1时，原方程的解是x=± =±
m-1 m-1
当m<1时，原方程无实数解．
【点睛】此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键.
【变式2-2】（2023春·内蒙古通辽·九年级统考期末）阅读理解：
解方程：x3-x=0．
解：方程左边分解因式，得
x(x+1)(x-1)=0，
解得x =0，x =1，x =-1．
1 2 3
问题解决：
（1）解方程：4x3-12x2-x=0．
（2）解方程：(x2-x) 2-3(x2-x)=0．
（3）方程(2x2-x+1) 2-2(2x2-x)-5=0的解为 ．
3+√10 3-√10 1+√13 1-√13
【答案】（1）x =0，x = ，x = ；（2）x =0，x =1，x = ，x = ；
1 2 2 3 2 1 2 3 2 4 2
1+√17 1-√17
（3）x = ，x = ．
1 4 2 4【分析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程和一元二次方程，求出方程的解即可；
（2）先分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可；
（3）整理后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：（1）4x3-12x2-x=0，
∴x(4x2-12x-1)=0，
∴x=0，4x2-12x-1=0，
3+√10 3-√10
解得：x =0，x = ，x = ；
1 2 2 3 2
（2）(x2-x) 2-3(x2-x)=0，
∴(x2-x)(x2-x-3)=0，
∴x2-x=0，x2-x-3=0，
1+√13 1-√13
解得：x =0，x =1，x = ，x = ；
1 2 3 2 4 2
（3）(2x2-x+1) 2-2(2x2-x)-5=0，
整理得：(2x2-x) 2=4，
开方得：2x2-x=±2，
∴2x2-x-2=0，2x2-x+2=0，
1+√17 1-√17
解方程2x2-x-2=0得：x = ，x = ；
1 4 2 4
方程2x2-x+2=0中Δ=-15<0，此方程无解，
1+√17 1-√17
所以原方程的解为：x = ，x = ，
1 4 2 4
1+√17 1-√17
故答案为x = ，x = ．
1 4 2 4
【点睛】本题考查了解高次方程，解一元二次方程，根的判别式等知识点，能把高次方向转化成低次方程
是解此题的关键．
【变式2-3】（2023春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）解方程：
(1)x4+2x3-9x2-2x+8=0；
(2)|x-1|+|x-2|+|2x-3|=4；(3)x2+ y2+xy-3 y+3=0．
【答案】(1)x =-1,x =1,x =-4,x =2
1 2 3 4
5 1
(2)x= 或x=
2 2
x=-1
(3){
y=2
【分析】（1）利用拆项分组的方法把左边分解因式，再化为一次方程即可；
（2）分四种情况去绝对值，化为一元一次方程，再解一元一次方程即可；
（3）先整理为关于y的一元二次方程，根据根的判别式求解x=-1, 再代入原方程求解y即可.
【详解】（1）解：x4+2x3-9x2-2x+8=0
∴x4+2x3-8x2-(x2+2x-8)=0,
∴x2 (x2+2x-8)-(x2+2x-8)=0,
∴(x2-1)(x2+2x-8)=0,
∴(x+1)(x-1)(x+4)(x-2)=0,
解得：x =-1,x =1,x =-4,x =2
1 2 3 4
（2）解：|x-1|+|x-2|+|2x-3|=4
当x≥2时，原方程为：x-1+x-2+2x-3=4, 即4x=10,
5
解得：x= , 经检验符合题意；
2
3
当 ≤x<2时，原方程为：x-1+2-x+2x-3=4, 即2x=6,
2
解得：x=3，经检验不符合题意舍去，
3
当1≤x< 时，原方程为：x-1+2-x+3-2x=4, 即4-2x=4,
2
解得：x=0, 经检验不符合题意，舍去，
当x<1时，原方程为：1-x+2-x+3-2x=4, 即4x=2,
1
解得：x= ，经检验符合题意；
2
5 1
综上：方程的解为x= 或x=
2 2（3）解：x2+ y2+xy-3 y+3=0
整理为：y2+(x-3)y+x2+3=0,
∴△=(x-3) 2-4(x2+3)=-3(x+1) 2≥0,
∵-3(x+1) 2≤0, 则-3(x+1) 2=0,
∴x=-1,
所以原方程化为：y2-4 y+4=0,
解得：y=2,
x=-1
所以方程的解为：{
y=2
【点睛】本题考查的是利用因式分解解高次方程，分段去绝对值符号解绝对值方程，利用一元二次方程根
的判别式解二元二次方程，熟练的掌握解方程的合适的方法是解本题的关键.
【题型3 利用一元二次方程求最值】
【例3】（2023春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）设实数x,y,z满足
x2+ y2+z2-xy- yz-zx=27，则|y-z|的最大值为 .
【答案】6
【分析】先将已知等式配成一个完全平方的形式，再令¿，将完全平方式转化为一个只含a和b的等式，然
后将问题转化为已知一元二次方程的根的情况，求未知参数问题，最后利用根的判别式求解即可.
【详解】x2+ y2+z2-xy- yz-zx=27
两边同乘以2得：2(x2+ y2+z2-xy- yz-zx)=54
整理得：(x- y) 2+(y-z) 2+(x-z) 2=54①
令¿，则x-z=a+b
代入①得：a2+b2+(a+b) 2=54
化简得：a2+ba+b2-27=0
由题意可知，关于a的一元二次方程a2+ba+b2-27=0有实数根
则方程的根的判别式Δ=b2-4(b2-27)≥0
解得：|b|≤6，即|y-z|≤6
所以|y-z|的最大值为6故答案为：6.
【点睛】本题是一道难题，考查了求代数式的极值的知识，在已知条件转换变形后，将其看成一个一元二
次方程的实数根的情况来分析是解题关键.
【变式3-1】（2023春·四川泸州·九年级校考期末）已知实数x，y满足x2+3x+ y-3=0，则x+y的最大值
为 ．
【答案】4
【分析】用含x的代数式表示y，计算x+y并进行配方即可.
【详解】∵x2+3x+ y-3=0
∴y=-x2-3x+3
∴x+ y=-x2-2x+3=-(x+1) 2+4
∴当x=-1时，x+y有最大值为4
故答案为4
【点睛】本题考查的是求代数式的最大值，解题的关键是配方法的应用.
【变式3-2】（2023·浙江金华·九年级期中）当a= ，b= 时，多项式
a2-2ab+2b2-2a-4b+25有最小值，这个最小值是 ．
【答案】 4 3 15
【分析】利用配方法将多项式a2-2ab+2b2-2a-4b+25转化为(a-b-1) 2+(b-3) 2+15，然后利用非
负数的性质进行解答．
【详解】解：a2-2ab+2b2-2a-4b+25
=a2-2ab-2a+b2+2b+1+b2-6b+9+15
=a2-2a(b+1)+(b+1) 2+(b-3) 2+15
=(a-b-1) 2+(b-3) 2+15
∴当a=4，b=3时，多项式a2-2ab+2b2-2a-4b+25有最小值15．
故答案为：4，3，15．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式3-3】（2023春·山东济南·九年级阶段练习）阅读下面材料：
丽丽这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形.类比这一
特性，丽丽发现像m+n，mnp，√m2+n2等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变.太神奇了！于是她把这样的式子命名为神奇对称式.
她还发现像m2+n2，(m-1)(n-1)等神奇对称式都可以用mn,m+n表示.例如：
m2+n2=(m+n) 2-2mn，(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1.于是丽丽把mn和 m+n称为基本神奇对称式
.
请根据以上材料解决下列问题：
1 n
（1）代数式① ， ②m2-n2 ， ③ ， ④ xy + yz + zx中，属于神奇对称式的是__________（填序
mn m
号）；
（2）已知(x-m)(x-n)=x2-px+q.
① q=__________（用含m，n的代数式表示）；
1 1
② 若p=3，q=-2，则神奇对称式 + =__________；
m n
m3+1 n3+1
③ 若√p2-q=0 ，求神奇对称式 + 的最小值.
m n
3
【答案】（1）①，④;（2）① q=mn.② - ;③-2.
2
【分析】（1）根据题意新定义的神奇对称式任意交换两个字母的位置，式子的值不变来判断
（2）①由所学知识十字相乘法表示对应系数相等可求出
1 1
②把 + 通分用mn与m+n的形式表示，然后转换成用p、q表示的代数式代入即可求出值
m n
m3+1 n3+1
③把神奇对称式 + 转换成用p、q表示的代数式，再根据求根公式求出范围
m n
【详解】解：（1）①，④符合神奇对称式的定义，②③交换字母的位置，式子的值会变故不符合
神奇对称式的定义．所以答案应为①，④
（2）①∵(x-m)(x-n)=x2-(m+n)x+mn=x2-px+q，
∴p=m+n，q=mn.
故答案应为：q = mn .
1 1 m+n p 3 3
② + = = = - 故答案应为-
m n mn q 2 2
③∵(x-m)(x-n)=x2-(m+n)x+mn=x2-px+q，∴p=m+n，q=mn.
m3+1 n3+1
+
m n
1 1
= m2+ +n2+
m n
m+n
=（m+n） 2-2mn+
mn
p
=p2-2q+
.
q
∵√p2-q=0，
∴q=|p|.
即q=±p.
（i）当q=p时，
∴原式=p2-2p+1=（p-1） 2≥0.
（ii）当q=-p时，
∴原式=p2+2p-1=（p+1） 2-2≥-2.
m3+1 n3+1
综上， + 的最小值为-2.
m n
【点睛】本题是一道综合性比较强的题，运用了整式的乘法、十字相乘、求根公式等知识点；对新定义的
公式的理解也是一项考点．难度相对较大．
【题型4 利用一元二次方程的根求取值范围】
【例4】（2023春·四川眉山·九年级校考期中）关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不等的实数根
x，x，且x＜1＜x，那么a的取值范围是（ ）
1 2 1 2
2 2 2 2 2
A．﹣ ＜a＜ B．a＞ C．a＜﹣ D．﹣ ＜a＜0
7 5 5 7 11
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x＜1＜x，
1 2
即（x-1）（x-1）＜0，xx-（x+x）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．
1 2 1 2 1 2
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
则a≠0且△＞0，
由（a+2）2-4a×9a=-35a2+4a+4＞0，2 2
解得- 或m= .
2 2
【分析】分两种情况讨论，当1-m2=0,当1-m2≠0时，即m≠±1, 再分别求解方程的解，再列不等式组，
解不等式组可得答案.
【详解】解：当1-m2=0, 则m=±1,
当m=1时，方程化为-2x-1=0,
1
解得x=- , 不符合题意；
2
当m=-1时，方程化为2x-1=0,
1
解得x= , 此时符合题意；
2
当1-m2≠0时，即m≠±1,
由(1-m2 )x2-2mx-1=0可得(m2-1)x2+2mx+1=0,
∴[(m+1)x+1][(m-1)x+1]=0,
1 1
解得：x =- ,x =- ,
1 m+1 2 m-1
1
- <2
m+1
∴{ ,
1
- >2
m-1
1
得：m>-
2
1
- <2
m-1
{ ,
1
- >0
m-13
得：m>
2
3 1
综上：m的取值范围为：m> 或m=
2 2
【点睛】本题考查的是根据方程的解的情况求解参数的取值范围，清晰的分类讨论是解本题的关键.
【变式4-3】（2023春·山东烟台·九年级山东省烟台第十中学校考期中）若关于x的方程
1
(m2-5m+6)x2-(3-m)x+ =0无解，则m的取值范围是 ．
4
【答案】m≥3
【分析】根据题意，可分为两种情况进行分析：①m2-5m+6=0时，有-(3-m)=0此时方程无解，可求
出m的值；②m2-5m+6≠0时，由根的判别式Δ<0，即可求出m的取值范围．
【详解】解：根据题意，
1
∵关于x的方程(m2-5m+6)x2-(3-m)x+ =0无解，
4
1
①当m2-5m+6=0时，则原方程是一元一次方程，即-(3-m)x+ =0；
4
则有：¿，
解得：m=3；
②当m2-5m+6≠0时，则原方程为一元二次方程，
∴m≠3，m≠2，
1
∴Δ=[-(3-m)] 2-4×(m2-5m+6)× <0，
4
解得：m>3；
综合上述，m的取值范围是m≥3；
故答案为：m≥3．
【点睛】本题考查了方程无解问题，根的判别式求参数的取值范围，以及解一元二次方程，解题的关键是
熟练掌握方程无解问题，注意运用分类讨论的思想进行解题．
【题型5 一元二次方程中的新定义问题】
【例5】（2023春·四川资阳·九年级统考期末）定义：已知x ，x 是关于x的一元二次方程
1 2
x
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若x 0，m<0且m≠-1，可求出m
的取值范围．最后分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：x2+9x+14=0，
(x+2)(x+7)=0，
∴x+2=0或x+7=0，
∴x =-7，x =-2．
1 2
-7 7
∵-7<-2，3< = <4，
-2 2
∴此方程为“限根方程”；
（2）∵方程2x2+(k+7)x+k2+3=0的两个根分比为x 、x ，
1 2
k+7 k2+3
∴x +x =- ，x x = ．
1 2 2 1 2 2
∵x +x +x x =-1，
1 2 1 2
k+7 k2+3
∴- + =-1，
2 2解得：k =2，k =-1．
1 2
分类讨论：①当k=2时，原方程为2x2+9x+7=0，
7
∴x =- ，x =-1，
1 2 2
x 7
∴x 0，m<0且m≠-1，
∴(1-m) 2+4m>0，即(1+m) 2>0，
∴m<0且m≠-1．
分类讨论：①当-1-6，求x的取值范围；
（3）小明发现，无论x取何值，计算(x2-2x+3)*(-x2+2x-5)时，得出结果总是负数，你认为小明的结
论正确吗？请说明理由．
8 10
【答案】（1）-13，-5；（2）2≤x< 或 5，
∴AC=17，
∴BE+BF≥17，
故答案为：17．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及解一
元二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程方法是解题关键．
【题型8 一元二次方程与几何图形的综合问题】
【例8】（2023春·浙江杭州·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点
E作EF⊥AC，交边AD，AB于点F，H，连接CF，CH．
（1）求证：CF＝CH；
（2）若正方形ABCD的边长为1，当△AFH与△CDF的面积相等时，求AE的长．
-√2+√10
【答案】（1）见详解；（2）
4
【分析】（1）利用正方形的性质得到∠FAE＝∠HAE＝45°，再证明△AEF≌△AEH得到EF＝EH，然后根据
线段垂直平分线的性质得到结论；
1
（2）设AE＝x，根据等腰直角三角形的性质得到AF＝√2x，FH＝2x，利用三角形面积公式得到 •2x•x＝
2
1
×1•（1−√2x），然后解方程即可．
2
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠FAE＝∠HAE＝45°，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝∠AEH＝90°，
在△AEF和△AEH中，
¿，
∴△AEF≌△AEH（ASA），∴EF＝EH，
∴AC垂直平分FH，
∴CF＝CH；
（2）解：设AE＝x，则AF＝√2x，DF＝1-√2x，FH＝2AE＝2x，
∵△AFH与△CDF的面积相等，
1 1
∴ •2x•x＝ ×1•（1−√2x），
2 2
-√2+√10 -√2-√10
整理得2x2＋√2x −1＝0，解得x = ，x = （舍去），
1 4 2 4
-√2+√10
∴AE＝ ．
4
【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组
对角．也考查了全等三角形的判定与性质．
【变式8-1】（2023春·浙江温州·九年级校联考期中）欧几里得的《原本》记载，形如x2+bx=a2的方程
b b
的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC= ，再在斜边AB上截取AD= ，则该方
2 2
程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．BD的长
【答案】D
【分析】在直角△ABC中，利用勾股定理列出关系式，把各自的长度代入，化简后与已知方程比较，即
可确定出所求．
【详解】解：在Rt△ABC中，
根据勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
b
∵BC=a，AC=AD= ，
2
b b
∴( )
2+a2=(BD+
)
2
，
2 2
整理得：BD2+bBD=a2，
比较方程x2+bx=a2，可得BD是方程x2+bx=a2的一个正根．故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，弄清题意是解本题的关键．
【变式8-2】（2023春·浙江金华·九年级统考期末）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统
数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一
个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a=5，b=3，则矩形ABCD的面积是 ．
【答案】30
【分析】设小正方形的边长为x，利用a、b、x表示矩形的面积，再用a、b、x表示三角形以及正方形的面
积，根据面积列出关于a、b、x的关系式，解出x，即可求出矩形面积．
【详解】解：设小正方形的边长为x，
∴矩形的长为(a+x) ，宽为(b+x) ，
1 1 1
由图1可得： (a+x)(b+x)= ax×2+ bx×2+x2 ，
2 2 2
整理得：x2+ax+bx-ab=0，
∵a=5，b=3，
∴x2+8x-15=0，
∴x2+8x=15，
∴矩形的面积为(a+x)(b+x)=(x+5)(x+3)=x2+8x+15=15+15=30 ．
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，设出小正方形的边长列一元二次方程和整体代换
是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·广东江门·九年级校考期中）《代数学》中记载，形如x2+10x=39的方程，求正数
解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为
5
x的矩形，得到阴影部分面积x2+4×
5
x=x2+10x=39，大正方形的面积为4×
(5) 2
+39=64，则大正
2 2 25
方形的边长为8，x=8-2× =3，所以方程x2+10x=39的正数解为x=3．”小聪按此方法解关于x的方
2
程x2+12x+m=0，构造图②所示的图形，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为 ．
【答案】x=4√6-6
【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为3，先计算出大正方形的面积=阴影部分的
面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【详解】x2+12x+m=0，
x2+12x=-m
∵阴影部分的面积为60，
∴x2+12x=60，
如图②所示的图形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为3x的矩形，得到阴影部分面积
x2+4×3x=x2+12x=60，
∴大正方形的面积为4×32+60=96，
∴大正方形的边长为√96=4√6，
∴x=4√6-2×3=4√6-6，
∴方程x2+12x+m=0的正数解为x=4√6-6．
故答案为：x=4√6-6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题目给的材料是解题的关键．
