2022-2023学年九年级数学上册期末真题重组培优卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（3分）（2022·广东广州·中考真题）直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0实
数解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】D
【分析】根据直线y=x+a不经过第二象限，得到a≤0，再分两种情况判断方程的解的情况.
【详解】∵直线y=x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
∵方程ax2+2x+1=0，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a<0时，方程为一元二次方程，
∵ =b2-4ac=4-4a，
∴4∆-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D.
【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易
错点是a的取值范围，再分类讨论.
2．（3分）（2022·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与
原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转
结束时，点A的坐标为（ ）
A．(√3,-1) B．(-1,-√3) C．(-√3,-1) D．(1,√3)【答案】B
【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A的坐标即可．
【详解】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，AB∥x轴，
∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°，
∴OP＝√AO2-AP2＝√3，
∴A（1，√3），
第1次旋转结束时，点A的坐标为（√3，-1）；
第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，-√3）；
第3次旋转结束时，点A的坐标为（-√3，1）；
第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，√3）；
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，-√3），
故选：B
【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规
律的方法，属于中考常考题型．
3．（3分）（2022·广西梧州·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC,∠BAC=36°，
在弧AB上取点D（不与点A，B重合），连接BD,AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（ ）
A．60° B．62° C．72° D．73°
【答案】C
【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质可求∠ACB的度数，然后根据圆周定理求出∠BAD=∠BCD，
∠ABD=∠ACD，从而可求出∠BAD+∠ABD的度数．
【详解】解：连接CD，则∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∠BAC=36°，
180°-36°
∴∠ACB= =72°，
2
∴∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=72°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，
∠ABD=∠ACD是解题的关键．
4．（3分）（2022·全国·九年级课时练习）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA=2，OB=1，
OC=√3，则ΔAOB与ΔBOC的面积之和为（ ）
√3 √3 3√3
A． B． C． D．√3
4 2 4
【答案】C
【分析】将ΔAOB绕点B顺时针旋转60°得ΔBCD，连接OD，得到△BOD是等边三角形，再利用勾股
定理的逆定理可得∠COD=90°，从而求解．
【详解】解：将ΔAOB绕点B顺时针旋转60°得ΔBCD，连接OD，∴OB=OD，∠BOD=60°，CD=OA=2，
∴ΔBOD是等边三角形，
∴OD=OB=1，
∵OD2+OC2=12+(√3) 2=4，CD2=22=4，
∴OD2+OC2=CD2，
∴∠DOC=90°，
∴ΔAOB与ΔBOC的面积之和为
√3 1 3√3
S +S =S +S = ×12+ ×1×√3= ．
△BOC △BCD △BOD △COD 4 2 4
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将
ΔAOB与ΔBOC的面积之和转化为S +S ，是解题的关键．
△BOC △BCD
5．（3分）（2022·山东枣庄·中考真题）如图，将 ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋
转90°，得到 A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是△（ ）
△
A．（4，0） B．（2，﹣2） C．（4，﹣1） D．（2，﹣3）
【答案】C
【分析】根据平移和旋转的性质，将△ABC先向右平移1个单位，再绕P点顺时针方向旋转90°，得到
△A′B′C′，即可得点B的对应点B'的坐标．【详解】作出旋转后的图形如下：
∴B'点的坐标为（4，﹣1），
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变换−旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
6．（3分）（2022·山东烟台·中考真题）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是
（ ）
1 2 1
A． B． C． D．1
3 3 2
【答案】B
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由
概率公式求解即可．
【详解】解：把S 、S 、S 分别记为A、B、C，
1 2 3
画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB、AC、BA、CA，
4 2
∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为 = ．
6 3
故选：B．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步
或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，列出树状图是解题的关键．
7．（3分）（2022·山东菏泽·中考真题）如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，
AB=DE=2,DG=3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时
开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与
x的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】根据平移过程，可分三种情况，当0≤x<1时，当1≤x<3时，当3≤x≤4时，利用直角三角形的
性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．
【详解】过点C作CM⊥AB于N，DG=3，
在等腰Rt△ABC中，AB=2，
∴CN=1，
①当0≤x<1时，如图，CM=x，
∴PQ=2x，
1 1
∴y= ⋅PQ⋅CM= ×2x⋅x=x2 ，
2 2
∴0≤x<1，y随x的增大而增大；
②当1≤x<3时，如图，
1
∴y=S = ×2×1=1，
△ABC 2
∴当1≤x<3时，y是一个定值为1；
③当3≤x≤4时，如图，CM=x-3，
∴PQ=2(x-3)，1 1 1 1
∴y= AB⋅CN- PQ⋅CM= ×2×1- ×2×(x-3) 2=1-(x-3) 2
,
2 2 2 2
当x=3，y=1，当3<x<4，y随x的增大而减小，当x=4，y=0，
结合ABCD选项的图象，
故选：B．
【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题
的关键．
m
8．（3分）（2022·山东潍坊·中考真题）已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+ =0有两个不相等
4
1 1
的实数根x，x．若 + =4m，则m的值是（ ）
1 2 x x
1 2
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在
【答案】A
【分析】先由二次项系数非零及根的判别式Δ>0，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根
m+2 1 1 1
据根与系数的关系可得出x +x = ，x x = ，结合 + =4m，即可求出m的值．
1 2 m 1 2 4 x x
1 2
m
【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+ =0有两个不相等的实数根x、x，
4 1 2
∴¿，
解得：m>−1且m≠0，
m
∵x、x 是方程mx2−(m+2)x+ =0的两个实数根，
1 2 4
m+2 1
∴x +x = ，x x = ，
1 2 m 1 2 4
1 1
∵
+ =4m，
x x
1 2
m+2
m
∴ =4m，
1
4
∴m=2或−1，
∵m>−1，
∴m=2．故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据二次
b c
项系数非零及根的判别式Δ>0，找出关于m的不等式组；(2)牢记x +x =- ，x ⋅x = ．
1 2 a 1 2 a
9．（3分）（2022·四川资阳·中考真题）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x=-1，
且过点(0,1)．有以下四个结论：①abc>0，②a-b+c>1，③3a+c<0，④若顶点坐标为(-1,2)，当
m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为-2，此时m的取值范围是-3≤m≤-1．其中正确结论的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
b
【分析】①：根据二次函数的对称轴- =-1，c=1，即可判断出abc＞0；
2a
②：结合图象发现，当x=-1时，函数值大于1，代入即可判断；
③：结合图象发现，当x=1时，函数值小于0，代入即可判断；
④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x=-1，且过点(0,1)，
b
∴- =-1，c=1，
2a
∴ab＞0，∴abc＞0，故①正确；
从图中可以看出，当x=-1时，函数值大于1，因此将x=-1代入得，(-1) 2 ⋅a+(-1)⋅b+c＞1，即
a-b+c>1，故②正确；
b
∵- =-1，∴b=2a，从图中可以看出，当x=1时，函数值小于0，
2a
∴a+b+c＜0，∴3a+c＜0，故③正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为(-1,2)，∴设二次函数的解析式为y=a(x+1) 2+2，将(0,1)代入得，1=a+2，
解得a=-1，
∴二次函数的解析式为y=-(x+1) 2+2，
∴当x=1时，y=-2；
∴根据二次函数的对称性，得到-3≤m≤-1，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象
和性质是本题的关键．
10．（3分）（2022·四川·九年级专题练习）如图，已知OA=6，OB=8，BC=2，⊙P与OB、AB均相
切，点P是线段AC与抛物线y=ax2的交点，则a的值为（ ）
9 11
A．4 B． C． D．5
2 2
【答案】D
【分析】在Rt△AOB中，由勾股定理求得AB=10；再求得直线AC的解析式为y=-x+6；设⊙P的半径
为m，可得P（m，-m+6）；连接PB、PO、PC，根据S =S +S +S 求得m=1，即可得点
△AOB △AOP △APB △BOP
P的坐标为（1，5）；再由抛物线y=ax2过点P，由此即可求得a=5．
【详解】在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，
∴AB=√OA2+OB2=√62+82=10；
∵OB=8，BC=2，∴OC=6，
∴C（0，6）；
∵OA=6，
∴A（6，0）；
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴¿ ，
解得¿，
∴直线AC的解析式为y=-x+6；
设⊙P的半径为m，
∵⊙P与OB相切，
∴点P的横坐标为m，
∵点P在直线AC上，
∴P（m，-m+6）；
连接PB、PO、PA，
∵⊙P与OB、AB均相切，
∴△OBP边OB上的高为m，△AOB边AB上的高为m，
∵P（m，-m+6）；
∴△AOP边OA上的高为-m+6，
∵S =S +S +S ，
△AOB △AOP △APB △BOP1 1 1 1
∴ ×6×8= ×6×(-m+6)+ ×10m+ ×8m，
2 2 2 2
解得m=1，
∴P（1，5）；
∵抛物线y=ax2过点P，
∴a=5．
故选D．
【点睛】本题考查了切线的性质定理、勾股定理、待定系数法求解析式，正确求出⊙P的半径是解决问题
的关键．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
11．（3分）（2022·全国·九年级单元测试）若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，且点P到y
轴的距离小于2，则n的取值范围是____________．
【答案】1≤n<10
【分析】先判断-2<m<2，再根据二次函数的性质可得：n=m2+2m+2=(m+1) 2+1，再利用二次函数的
性质求解n的范围即可．
【详解】解：∵点P到y轴的距离小于2，
∴-2<m<2，
∵点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，
∴n=m2+2m+2=(m+1) 2+1，
∴当m=-1时，n有最小值为1．
当m=2时，n=(2+1) 2+1=10，
∴n的取值范围为1≤n<10.
故答案为：1≤n<10
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．
12．（3分）（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小
值是________．
【答案】6
【分析】根据a－b2＝4得出b2=a-4，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．
【详解】∵a－b2＝4∴b2=a-4
将b2=a-4代入a2－3b2＋a－14中
得：a2 －3b2 ＋a－14=a2-3(a-4)+a-14=a2-2a-2
a2-2a-2=a2-2a+1-3=(a-1) 2-3
∵b2=a-4≥0
∴a≥4
当a=4时，(a-1) 2-3取得最小值为6
∴a2-2a-2的最小值为6
∵a2 －3b2 ＋a－14=a2-2a-2
∴a2 －3b2 ＋a－14的最小值6
故答案为：6．
【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．
13．（3分）（2022·贵州遵义·中考真题）如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF
的最小值为_____．
3√2
【答案】
2
【分析】连接AC,与对称轴交于点P, 此时DE+DF最小，求解即可.
【详解】连接AC,与对称轴交于点P,此时DE+DF最小，
∵点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，
1 1
∴DE= PC,DF= PB,
2 2
在二次函数y=x2+2x﹣3中，当x=0时，y=-3,
当y=0时，x=-3或x=1.
即A(-3,0),B(1,0),C(0,-3).
OA=OC=3,
AC=√32+32=3√2,
点P是抛物线对称轴上任意一点，
则PA=PB,
PA+PC=AC,
PB+PC=3√2,
1 3√2
DE+DF的最小值为： (PB+PC)= .
2 2
3√2
故答案为 .
2
【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出点P的位置是解
题的关键.
14．（3分）（2022·辽宁辽宁·中考真题）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是
OD的中点，连接CE并延长交AD于点G，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接EF，点H为
GE
EF的中点．连接OH，则 的值为_______．
OH√10
【答案】
3
【分析】以O为原点，平行于AB的直线为x轴，建立直角坐标系，过E作EM⊥CD于M，过F作
FN⊥DC，交DC延长线于N，设正方形ABCD的边长为2，从而求出E的坐标，然后根据待定系数法求出
直线CE的解析式，即可求出G的坐标，从而可求出GE，根据旋转的性质可求出F的坐标，进而求出H
的坐标，则可求OH，最后代入计算即可得出答案．
【详解】解：以O为原点，平行于AB的直线为x轴，建立直角坐标系，过E作EM⊥CD于M，过F作
FN⊥DC，交DC延长线于N，如图：
设正方形ABCD的边长为2，则C（1，1），D（﹣1，1），
∵E为OE中点，
1 1
∴E（- ， ），
2 2
1 1
设直线CE解析式为y＝kx+b，把C（1，1），E（- ， ）代入得：
2 2
¿，
解得¿，
1 2
∴直线CE解析式为y= x+ ，
3 31 2 1
在y= x+ 中，令x＝﹣1得y＝ ，
3 3 3
1
∴G（﹣1， ），
3
√ 1 2 1 1 2 √10
∴GE＝ (-1+ ) +( - ) ＝ ，
2 3 2 6
∵将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，
∴CE＝CF，∠ECF＝90°，
∴∠MCE＝90°﹣∠NCF＝∠NFC，
∵∠EMC＝∠CNF＝90°，
∴△EMC≌△CNF（AAS），
∴ME＝CN，CM＝NF，
1 1
∵E（- ， ），C（1，1），
2 2
1 3
∴ME＝CN＝ ，CM＝NF＝ ，
2 2
3 1
∴F（ ，- ），
2 2
∵H是EF中点，
1
∴H（ ，0），
2
1
∴OH＝ ，
2
√10
GE 6 √10
∴ ＝ ＝ ．
OH 1 3
2
√10
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，两点间距离公式等知识，以O为原点，平行于AB的直
线为x轴，建立直角坐标系是解题的关键．
15．（3分）（2022·山东济南·中考真题）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平
移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照
上面描述依次连续变换．例如：如图，点O(0,0)按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到O (1,0)，再将O (1,0)绕原点顺时针旋转90°得到O (0,-1)，再将O (0,-1)绕原点顺时针旋转90°得
1 1 2 2
到O (-1,0)…依次类推．点(0,1)经过“011011011”变换后得到点的坐标为______．
3
【答案】(-1,-1)
【分析】根据题意得出点(0,1)坐标变化规律，进而得出变换后的坐标位置，进而得出答案．
【详解】解：点(0,1)按序列“011011011”作变换，表示点(0,1)先向右平移一个单位得到(1,1)，再将
(1,1)绕原点顺时针旋转90°得到(1,-1)，再将(1,-1)绕原点顺时针旋转90°得到(-1,-1)，然后右平移
一个单位得到(0,-1)，再将(0,-1)绕原点顺时针旋转90°得到(-1,0)，再将(-1,0)绕原点顺时针旋转90°
得到(0,1)，然后右平移一个单位得到(1,1)，再将(1,1)绕原点顺时针旋转90°得到(1,-1)，再将(1,-1)
绕原点顺时针旋转90°得到(-1,-1)．
故答案为：(-1,-1)
【点睛】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出点坐标变化规律是解题关键．
16．（3分）（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，ΔABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分
别在边AC，AB上，若DA=EB，则∠DOE的度数是____度．
【答案】120
【分析】本题可通过构造辅助线，利用垂径定理证明角等，继而利用SAS定理证明三角形全等，最后根据
角的互换结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解本题．
【详解】连接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下图所示：
因为等边三角形ABC，OH⊥AC，OM⊥AB，
由垂径定理得：AH=AM，又因为OA=OA，故△OAH≅△OAM（HL）．
∴∠OAH=∠OAM．
又∵OA=OB,AD=EB,
∴∠OAB=∠OBA=∠OAD,
∴△ODA≅△OEB（SAS）,
∴∠DOA=∠EOB,
∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB．
又∵∠C=60°以及同弧A´B，
∴∠AOB=∠DOE=120°．
故本题答案为：120．
【点睛】本题考查圆与等边三角形的综合，本题目需要根据等角的互换将所求问题进行转化，构造辅助线
是本题难点，全等以及垂径定理的应用在圆综合题目极为常见，圆心角、弧、圆周角的关系需熟练掌握．
三．解答题（共7小题，满分70分）
17．（8分）（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，⊙O的直径AB垂直于弦DC于点F，点P在AB的延长
线上，CP与⊙O相切于点C．
(1)求证：∠PCB=∠PAD；
(2)若⊙O的直径为4，弦DC平分半径OB，求：图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析2
(2) π
3
【分析】(1)首先可证得∠OBC=∠OCB，由圆周角定理得：∠ADF=∠OBC，可得
∠OCB=∠ADF，再根据切线的性质，可得∠PCB+∠OCB=90°，根据垂直的定义可得
∠PAD+∠ADF=90°，据此即可证得；
1
(2)首先由弦DC平分半径OB，OB=OC，可得OF= OD，∠ODF=30°，∠DOF=60°，再根据
2
∵AB⊥DC，可得DF=FC，即可证得S =S =S ，最后由S =S 即可求得．
△CFB △CFO △DFO 阴影部分 扇形BOD
【详解】（1）证明：如图，连接OC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
由圆周角定理得：∠ADF=∠OBC，
∴∠OCB=∠ADF，
∵CP与⊙O相切，
∴OC⊥PC，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∵AB⊥DC，
∴∠PAD+∠ADF=90°，
∴∠PCB=∠PAD；
（2）解：如图：连接OD，
∵弦DC平分半径OB，OB=OC，1
∴ BF=OF，在Rt△ODF中，OF= OD，
2
∴∠ODF=30°，
∴∠DOF=60°，
∵AB⊥DC，
∴DF=FC，
∵BF=OF，AB⊥DC，
∴S =S =S ，
△CFB △CFO △DFO
60π×22 2
∴S =S = = π．
阴影部分 扇形BOD 360 3
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，扇形的面积公式，作出辅助线是解决本
题的关键．
18．（8分）（2022·宁夏·中考真题）如图，是边长为1的小正方形组成的8×8方格，线段AB的端点在格
点上．建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为(2,1)和(-1,3)．
(1)画出该平面直角坐标系xOy；
(2)画出线段AB关于原点O成中心对称的线段A B ；
1 1
(3)画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形．（画出一个即可）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据其中一个点的坐标，即可确定原点位置；
（2）根据中心对称的性质，即可画出线段AB；
1 1
（3）根据平行四边形的判定即可画出图形．
【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）解：如图，线段A B 即为所求；
1 1
（3）解：如图，平行四边形AOBD即为所求(答案不唯一)．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，平行四边形的判定，中心对称的作图，熟练
掌握作图方法是解题的关键．
19．（8分）（2022·山东临沂·中考真题）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接
AD，CD．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长
线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理
由．
(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)∠DPQ大小不变，理由见解析
(3)CP=AQ，证明见解析
【分析】（1）连接BD，由等边三角形的性质可得AC垂直平分BD，继而得出AB=BC=CD=AD，便可
证明；（2）连接PB，过点P作PE∥CB交AB于点E，PF⊥AB于点F，可证明△APE是等边三角形，由等腰
三角形三线合一证明∠APF=∠EPF，∠QPF=∠BPF，即可求解；
（3）由等腰三角形三线合一的性质可得AF = FE，QF = BF，即可证明．
（1）
连接BD，
∵ △ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∵点B，D关于直线AC对称，
∴AC垂直平分BD，
∴DC=BC,AD=AB，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）
当点Р在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小不发生变化，始终等于60°，理由如下：
∵将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，
∴PQ=PD，
∵ △ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
连接PB，过点P作PE∥CB交AB于点E，PF⊥AB于点F，
则∠APE=∠ACB=60°,∠AEP=∠ABC=60°，∴∠APE=∠BAC=60°=∠AEP，
∴△APE是等边三角形，
∴AP=EP=AE，
∵PF⊥AB，
∴∠APF=∠EPF，
∵点B，D关于直线AC对称，点P在线段AC上，
∴PB = PD，∠DPA =∠BPA，
∴PQ = PD，
∵PF⊥AB，
∴∠QPF=∠BPF，
∴∠QPF -∠APF =∠BPF -∠EPF，
即∠QPA = ∠BPE，
∴∠DPQ =∠DPA - ∠QPA=∠BPA-∠BPE = ∠APE = 60°；
（3）
AQ= CP，证明如下：
∵AC = AB，AP= AE，
∴AC - AP = AB – AE，即CP= BE，
∵AP = EP，PF⊥AB，
∴AF = FE，
∵PQ= PD，PF⊥AB，
∴QF = BF，
∴ QF - AF = BF – EF，即AQ= BE，
∴AQ= CP．
【点睛】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等，熟练掌
握知识点是解题的关键．
20．（10分）（2022·贵州铜仁·中考真题）某校开展主题为“防疫常识知多少”的调查活动，抽取了部分
学生进行调查，调查问卷设置了A：非常了解、B：比较了解、C：基本了解、D：不太了解四个等级，
要求每个学生填且只能填其中的一个等级，采取随机抽样的方式，并根据调查结果绘制成如图所示不完整
的频数分布表和频率直方图，根据以上信息回答下列问题：等级 频数 频率
A 20 0.4
B 15 b
C 10 0.2
D a 0.1
（1）频数分布表中a=____________，b=____________，将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校有学生1000人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”防疫常识的学生
共有多少人？
（3）在“非常了解”防疫常识的学生中，某班有5个学生，其中3男2女，计划在这5个学生中随机抽选
两个加入防疫志愿者团队，请用列表或画树状图的方法求所选两个学生中至少有一个女生的概率．
【答案】（1）5,0.3；（2）700；（3）0.7．
【分析】（1）根据频率分布表计算出被调查的总人数，即可算出a,b；
（2）利用样本估计总体的统计思想，先求出调查结果中“非常了解”和“比较了解”的频率之和，再乘
上该校总人数即可得到；
（3）利用树状图列出所有的情况，选出满足条件的情况数，利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）∵被调查的总人数为：20÷0.4=50（人），
∴a=50-(20+15+10)=5（人），
15
∴b= =0.3，
50
故答案是：a=5,b=0.3，
（2）根据频数分布表知，“非常了解”和“比较了解”的频率之和为：0.4+0.3=0.7，
利用样本估计总体的思想，若该校有学生1000人，校“非常了解”和“比较了解”防疫常识的学生共有：1000×0.7=700（人）；
（3）设3男生对应大写字母A,B,C，两女生对应大写字母D,E，在这5个学生中随机抽选两个加入防疫
志愿者团队的所有结果，利用树状图呈现如下：
共有20种等可能结果，满足所选两个学生中至少有一个女生有：14种，
14
由概率公式得所选两个学生中至少有一个女生的概率为：P= =0.7．
20
【点睛】本题考查了频率分布表、频率分布直方图、样本估计总体的统计思想、利用树状图或列表法求概
率问题，解题的关键是：能从图表中获取信息，会画树状图列出所有的情况，利用概率公式求概率．
21．（10分）（2022·全国·九年级专题练习）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和
滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的30%和20%．去年，新丰收公
司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了m%，漫灌试验田的面积减少
了2m%．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了m%．
9
经测算，今年的灌溉用水量比去年减少 m%，求m的值．
5
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩
投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水
费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
【答案】（1）漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨；
（2）20；（3）节省水费大于两项投入之和
【分析】（1）根据题意，设漫灌方式每亩用水x吨，列出方程求解即可；
（2）由（1）结果，结合题意列出方程，求解方程；
（3）分别求出节省的水费，维修费，添加设备费，比较大小即可．
【详解】（1）解：设漫灌方式每亩用水x吨，则
x×100+100×30%x+100×20%x=15000，
x=100，
漫灌用水：100×100=10000，喷灌用水：30%×10000=3000，
滴灌用水：20%×10000=2000，
答：漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨．
（2）由题意得，
100×(1-2m%)×100×(1-m%)+100×(1+m%)×30×(1-m%)+100×(1+m%)×20×(1-m%)
( 9 )
=15000× 1- m% ，
5
解得m =0（舍去），m =20，所以m=20．
1 2
9
（3）节省水费：15000× m%×2.5=13500元，
5
维修投入：300×30=9000元，
新增设备：100×2m%×100=4000元，
13500>9000+4000，
答：节省水费大于两项投入之和．
【点睛】本题考查一元一次方程，一元二次方程实际应用，解一元二次方程，掌握题中等量关系正确列式
计算是解题关键．
22．（12分）（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐
标原点），A两点，且二次函数的最小值为-1，点M(1,m)是其对称轴上一点，y轴上一点B(0,1)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S
与t的函数关系式；
(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2-2x
3
(2)S=-t2+ t+1
2
(3)存在，N(1,-1)或(3,3)或(-1,3)
【分析】（1）由二次函数的最小值为-1，点M(1,m)是其对称轴上一点，得二次函数顶点为(1,-1)，设
顶点式y=a(x-1) 2-1，将点O(0,0)代入即可求出函数解析式；
（2）连接OP，根据S=S +S -S 求出S与t的函数关系式；
△AOB △OAP △OBP
（3）设N(n,n2-2n)，分三种情况：当AB为对角线时，当AM为对角线时，当AN为对角线时，由中点
坐标公式求出n即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的最小值为-1，点M(1,m)是其对称轴上一点，
∴二次函数顶点为(1,-1)，
设二次函数解析式为y=a(x-1) 2-1，
将点O(0,0)代入得，a-1=0，
∴a=1，
∴y=(x-1) 2-1=x2-2x；
（2）如图，连接OP，
当y=0时，x2-2x=0，∴x=0或2，∴A(2,0)，
∵点P在抛物线y=x2-2x上，
∴点P的纵坐标为t2-2t，
∴S=S +S -S
△AOB △OAP △OBP
1 1 1
= ×2×1+ ×2(-t2+2t)- t
2 2 2
3
=-t2+ t+1；
2
（3）设N(n,n2-2n)，
当AB为对角线时，由中点坐标公式得，2+0=1+n，∴n=1，∴N(1,-1)，
当AM为对角线时，由中点坐标公式得，2+1=n+0，∴n=3，∴N(3,3)，
当AN为对角线时，由中点坐标公式得，2+n=0+1，∴n=-1，∴N(-1,3)，
综上：N(1,-1)或(3,3)或(-1,3)．
【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线与图形面积，平行四边形的性质，熟练掌握待
定系数法及平行四边形是性质是解题的关键．
23．（14分）（2022·浙江·九年级专题练习）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切
半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC=5,BE=3．点P，Q分别在线段
AP 5
AB,BE上（不与端点重合），且满足 = ．设BQ=x,CP= y．
BQ 4
(1)求半圆O的半径．
(2)求y关于x的函数表达式．
(3)如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ,RQ．
①当△PQR为直角三角形时，求x的值．
CF'
②作点F关于QR的对称点F'，当点F'落在BC上时，求 的值．
BF'15
【答案】(1)
8
5 5
(2)y= x+
4 4
9 21 19
(3)① 或 ；②
7 11 9
OD CO
【分析】（1）连接OD，设半径为r，利用△COD∽△CBE，得 = ，代入计算即可；
BE CB
（2）根据CP=AP十AC，用含x的代数式表示 AP的长，再由（1）计算求AC的长即可；
（3）①显然∠PRQ<90°，所以分两种情形，当 ∠RPQ=90°时，则四边形RPQE是矩形，当
∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H， 则四边形PHER是矩形，分别根据图形可得答案；
②连接AF,QF'，由对称可知QF=QF',∠F'QR=∠EQR=45°，利用三角函数表示出BF'和BF的
长度，从而解决问题．
（1）
解：如图1，连结OD．设半圆O的半径为r．
∵CD切半圆O于点D，
∴OD⊥CD．
∵BE⊥CD，
∴OD∥BE，
∴△COD∽△CBE，
OD CO
∴ = ，
BE CB
r 5-r
即 = ，
3 5
15 15
∴r= ，即半圆O的半径是 ．
8 8
（2）15 5
由（1）得：CA=CB-AB=5-2× = ．
8 4
AP 5
∵ = ,BQ=x，
BQ 4
5
∴AP= x．
4
∵CP=AP+AC，
5 5
∴y= x+ ．
4 4
（3）
①显然∠PRQ<90°，所以分两种情况．
ⅰ）当∠RPQ=90°时，如图2．
∵PR⊥CE，
∴∠ERP=90°．
∵∠E=90°，
∴四边形RPQE为矩形，
∴PR=QE．
3 3 3
∵PR=PC⋅sinC= y= x+ ，
5 4 4
3 3
∴ x+ =3-x，
4 4
9
∴x= ．
7
ⅱ）当∠PQR=90°时，过点P作PH⊥BE于点H，如图3，则四边形PHER是矩形，
∴PH=RE,EH=PR．
∵CB=5,BE=3，
∴CE=√52-32=4．
4
∵CR=CP⋅cosC= y=x+1，
5
∴PH=RE=3-x=EQ，
∴∠EQR=∠ERQ=45°，
∴∠PQH=45°=∠QPH，
∴HQ=HP=3-x，
3 3
由EH=PR得：(3-x)+(3-x)= x+ ，
4 4
21
∴x= ．
11
9 21
综上所述，x的值是 或 ．
7 11
②如图4，连结AF,QF'，
由对称可知QF=QF'，∠F'QR=∠EQR
∵BE⊥CE，PR⊥CE，
∴PR∥BE，
∴∠EQR=∠PRQ，5 5
∵BQ=x，CP= x+ ，
4 4
∴EQ=3-x，
∵PR∥BE，
∴△CPR∽△CBE，
CP CB
∴ = ，
CR CE
5 5
x+
即：4 4 5，
=
CR 4
解得：CR=x+1，
∴ER=EC-CR=3-x，
即：EQ= ER
∴∠EQR=∠ERQ=45°，
∴∠F'QR=∠EQR=45°
∴∠BQF'=90°，
4
∴QF=QF'=BQ⋅tanB= x．
3
∵AB是半圆O的直径，
∴∠AFB=90°，
9
∴BF=AB⋅cosB= ，
4
4 9
∴ x+x= ，
3 4
27
∴x= ，
28
CF' BC-BF' BC 3 19
∴ = = -1= -1= ．
BF' BF' BF' x 9
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角函数
等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键．
