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2022-2023学年九年级数学上册期末真题重组培优卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（3分）（2022·广东广州·中考真题）直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0实
数解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】D
【分析】根据直线y=x+a不经过第二象限，得到a≤0，再分两种情况判断方程的解的情况.
【详解】∵直线y=x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
∵方程ax2+2x+1=0，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a<0时，方程为一元二次方程，
∵ =b2-4ac=4-4a，
∴4∆-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D.
【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易
错点是a的取值范围，再分类讨论.
2．（3分）（2022·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与
原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转
结束时，点A的坐标为（ ）
A．(√3,-1) B．(-1,-√3) C．(-√3,-1) D．(1,√3)【答案】B
【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A的坐标即可．
【详解】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，AB∥x轴，
∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°，
∴OP＝√AO2-AP2＝√3，
∴A（1，√3），
第1次旋转结束时，点A的坐标为（√3，-1）；
第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，-√3）；
第3次旋转结束时，点A的坐标为（-√3，1）；
第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，√3）；
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，-√3），
故选：B
【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规
律的方法，属于中考常考题型．
3．（3分）（2022·广西梧州·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC,∠BAC=36°，
在弧AB上取点D（不与点A，B重合），连接BD,AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（ ）
A．60° B．62° C．72° D．73°
【答案】C
【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质可求∠ACB的度数，然后根据圆周定理求出∠BAD=∠BCD，
∠ABD=∠ACD，从而可求出∠BAD+∠ABD的度数．
【详解】解：连接CD，则∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∠BAC=36°，
180°-36°
∴∠ACB= =72°，
2
∴∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=72°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，
∠ABD=∠ACD是解题的关键．
4．（3分）（2022·全国·九年级课时练习）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA=2，OB=1，
OC=√3，则ΔAOB与ΔBOC的面积之和为（ ）
√3 √3 3√3
A． B． C． D．√3
4 2 4
【答案】C
【分析】将ΔAOB绕点B顺时针旋转60°得ΔBCD，连接OD，得到△BOD是等边三角形，再利用勾股
定理的逆定理可得∠COD=90°，从而求解．
【详解】解：将ΔAOB绕点B顺时针旋转60°得ΔBCD，连接OD，∴OB=OD，∠BOD=60°，CD=OA=2，
∴ΔBOD是等边三角形，
∴OD=OB=1，
∵OD2+OC2=12+(√3) 2=4，CD2=22=4，
∴OD2+OC2=CD2，
∴∠DOC=90°，
∴ΔAOB与ΔBOC的面积之和为
√3 1 3√3
S +S =S +S = ×12+ ×1×√3= ．
△BOC △BCD △BOD △COD 4 2 4
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将
ΔAOB与ΔBOC的面积之和转化为S +S ，是解题的关键．
△BOC △BCD
5．（3分）（2022·山东枣庄·中考真题）如图，将 ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋
转90°，得到 A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是△（ ）
△
A．（4，0） B．（2，﹣2） C．（4，﹣1） D．（2，﹣3）
【答案】C
【分析】根据平移和旋转的性质，将△ABC先向右平移1个单位，再绕P点顺时针方向旋转90°，得到
△A′B′C′，即可得点B的对应点B'的坐标．【详解】作出旋转后的图形如下：
∴B'点的坐标为（4，﹣1），
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变换−旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
6．（3分）（2022·山东烟台·中考真题）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是
（ ）
1 2 1
A． B． C． D．1
3 3 2
【答案】B
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由
概率公式求解即可．
【详解】解：把S 、S 、S 分别记为A、B、C，
1 2 3
画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB、AC、BA、CA，
4 2
∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为 = ．
6 3
故选：B．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步
或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，列出树状图是解题的关键．
7．（3分）（2022·山东菏泽·中考真题）如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，
AB=DE=2,DG=3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时
开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与
x的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】根据平移过程，可分三种情况，当0≤x<1时，当1≤x<3时，当3≤x≤4时，利用直角三角形的
性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．
【详解】过点C作CM⊥AB于N，DG=3，
在等腰Rt△ABC中，AB=2，
∴CN=1，
①当0≤x<1时，如图，CM=x，
∴PQ=2x，
1 1
∴y= ⋅PQ⋅CM= ×2x⋅x=x2 ，
2 2
∴0≤x<1，y随x的增大而增大；
②当1≤x<3时，如图，
1
∴y=S = ×2×1=1，
△ABC 2
∴当1≤x<3时，y是一个定值为1；
③当3≤x≤4时，如图，CM=x-3，
∴PQ=2(x-3)，1 1 1 1
∴y= AB⋅CN- PQ⋅CM= ×2×1- ×2×(x-3) 2=1-(x-3) 2
,
2 2 2 2
当x=3，y=1，当30，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根
m+2 1 1 1
据根与系数的关系可得出x +x = ，x x = ，结合 + =4m，即可求出m的值．
1 2 m 1 2 4 x x
1 2
m
【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+ =0有两个不相等的实数根x、x，
4 1 2
∴¿，
解得：m>−1且m≠0，
m
∵x、x 是方程mx2−(m+2)x+ =0的两个实数根，
1 2 4
m+2 1
∴x +x = ，x x = ，
1 2 m 1 2 4
1 1
∵
+ =4m，
x x
1 2
m+2
m
∴ =4m，
1
4
∴m=2或−1，
∵m>−1，
∴m=2．故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据二次
b c
项系数非零及根的判别式Δ>0，找出关于m的不等式组；(2)牢记x +x =- ，x ⋅x = ．
1 2 a 1 2 a
9．（3分）（2022·四川资阳·中考真题）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x=-1，
且过点(0,1)．有以下四个结论：①abc>0，②a-b+c>1，③3a+c<0，④若顶点坐标为(-1,2)，当
m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为-2，此时m的取值范围是-3≤m≤-1．其中正确结论的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
b
【分析】①：根据二次函数的对称轴- =-1，c=1，即可判断出abc＞0；
2a
②：结合图象发现，当x=-1时，函数值大于1，代入即可判断；
③：结合图象发现，当x=1时，函数值小于0，代入即可判断；
④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x=-1，且过点(0,1)，
b
∴- =-1，c=1，
2a
∴ab＞0，∴abc＞0，故①正确；
从图中可以看出，当x=-1时，函数值大于1，因此将x=-1代入得，(-1) 2 ⋅a+(-1)⋅b+c＞1，即
a-b+c>1，故②正确；
b
∵- =-1，∴b=2a，从图中可以看出，当x=1时，函数值小于0，
2a
∴a+b+c＜0，∴3a+c＜0，故③正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为(-1,2)，∴设二次函数的解析式为y=a(x+1) 2+2，将(0,1)代入得，1=a+2，
解得a=-1，
∴二次函数的解析式为y=-(x+1) 2+2，
∴当x=1时，y=-2；
∴根据二次函数的对称性，得到-3≤m≤-1，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象
和性质是本题的关键．
10．（3分）（2022·四川·九年级专题练习）如图，已知OA=6，OB=8，BC=2，⊙P与OB、AB均相
切，点P是线段AC与抛物线y=ax2的交点，则a的值为（ ）
9 11
A．4 B． C． D．5
2 2
【答案】D
【分析】在Rt△AOB中，由勾股定理求得AB=10；再求得直线AC的解析式为y=-x+6；设⊙P的半径
为m，可得P（m，-m+6）；连接PB、PO、PC，根据S =S +S +S 求得m=1，即可得点
△AOB △AOP △APB △BOP
P的坐标为（1，5）；再由抛物线y=ax2过点P，由此即可求得a=5．
【详解】在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，
∴AB=√OA2+OB2=√62+82=10；
∵OB=8，BC=2，∴OC=6，
∴C（0，6）；
∵OA=6，
∴A（6，0）；
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴¿ ，
解得¿，
∴直线AC的解析式为y=-x+6；
设⊙P的半径为m，
∵⊙P与OB相切，
∴点P的横坐标为m，
∵点P在直线AC上，
∴P（m，-m+6）；
连接PB、PO、PA，
∵⊙P与OB、AB均相切，
∴△OBP边OB上的高为m，△AOB边AB上的高为m，
∵P（m，-m+6）；
∴△AOP边OA上的高为-m+6，
∵S =S +S +S ，
△AOB △AOP △APB △BOP1 1 1 1
∴ ×6×8= ×6×(-m+6)+ ×10m+ ×8m，
2 2 2 2
解得m=1，
∴P（1，5）；
∵抛物线y=ax2过点P，
∴a=5．
故选D．
【点睛】本题考查了切线的性质定理、勾股定理、待定系数法求解析式，正确求出⊙P的半径是解决问题
的关键．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
11．（3分）（2022·全国·九年级单元测试）若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，且点P到y
轴的距离小于2，则n的取值范围是____________．
【答案】1≤n<10
【分析】先判断-29000+4000，
答：节省水费大于两项投入之和．
【点睛】本题考查一元一次方程，一元二次方程实际应用，解一元二次方程，掌握题中等量关系正确列式
计算是解题关键．
22．（12分）（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐
标原点），A两点，且二次函数的最小值为-1，点M(1,m)是其对称轴上一点，y轴上一点B(0,1)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S
与t的函数关系式；
(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2-2x
3
(2)S=-t2+ t+1
2
(3)存在，N(1,-1)或(3,3)或(-1,3)
【分析】（1）由二次函数的最小值为-1，点M(1,m)是其对称轴上一点，得二次函数顶点为(1,-1)，设
顶点式y=a(x-1) 2-1，将点O(0,0)代入即可求出函数解析式；
（2）连接OP，根据S=S +S -S 求出S与t的函数关系式；
△AOB △OAP △OBP
（3）设N(n,n2-2n)，分三种情况：当AB为对角线时，当AM为对角线时，当AN为对角线时，由中点
坐标公式求出n即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的最小值为-1，点M(1,m)是其对称轴上一点，
∴二次函数顶点为(1,-1)，
设二次函数解析式为y=a(x-1) 2-1，
将点O(0,0)代入得，a-1=0，
∴a=1，
∴y=(x-1) 2-1=x2-2x；
（2）如图，连接OP，
当y=0时，x2-2x=0，∴x=0或2，∴A(2,0)，
∵点P在抛物线y=x2-2x上，
∴点P的纵坐标为t2-2t，
∴S=S +S -S
△AOB △OAP △OBP
1 1 1
= ×2×1+ ×2(-t2+2t)- t
2 2 2
3
=-t2+ t+1；
2
（3）设N(n,n2-2n)，
当AB为对角线时，由中点坐标公式得，2+0=1+n，∴n=1，∴N(1,-1)，
当AM为对角线时，由中点坐标公式得，2+1=n+0，∴n=3，∴N(3,3)，
当AN为对角线时，由中点坐标公式得，2+n=0+1，∴n=-1，∴N(-1,3)，
综上：N(1,-1)或(3,3)或(-1,3)．
【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线与图形面积，平行四边形的性质，熟练掌握待
定系数法及平行四边形是性质是解题的关键．
23．（14分）（2022·浙江·九年级专题练习）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切
半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC=5,BE=3．点P，Q分别在线段
AP 5
AB,BE上（不与端点重合），且满足 = ．设BQ=x,CP= y．
BQ 4
(1)求半圆O的半径．
(2)求y关于x的函数表达式．
(3)如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ,RQ．
①当△PQR为直角三角形时，求x的值．
CF'
②作点F关于QR的对称点F'，当点F'落在BC上时，求 的值．
BF'15
【答案】(1)
8
5 5
(2)y= x+
4 4
9 21 19
(3)① 或 ；②
7 11 9
OD CO
【分析】（1）连接OD，设半径为r，利用△COD∽△CBE，得 = ，代入计算即可；
BE CB
（2）根据CP=AP十AC，用含x的代数式表示 AP的长，再由（1）计算求AC的长即可；
（3）①显然∠PRQ<90°，所以分两种情形，当 ∠RPQ=90°时，则四边形RPQE是矩形，当
∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H， 则四边形PHER是矩形，分别根据图形可得答案；
②连接AF,QF'，由对称可知QF=QF',∠F'QR=∠EQR=45°，利用三角函数表示出BF'和BF的
长度，从而解决问题．
（1）
解：如图1，连结OD．设半圆O的半径为r．
∵CD切半圆O于点D，
∴OD⊥CD．
∵BE⊥CD，
∴OD∥BE，
∴△COD∽△CBE，
OD CO
∴ = ，
BE CB
r 5-r
即 = ，
3 5
15 15
∴r= ，即半圆O的半径是 ．
8 8
（2）15 5
由（1）得：CA=CB-AB=5-2× = ．
8 4
AP 5
∵ = ,BQ=x，
BQ 4
5
∴AP= x．
4
∵CP=AP+AC，
5 5
∴y= x+ ．
4 4
（3）
①显然∠PRQ<90°，所以分两种情况．
ⅰ）当∠RPQ=90°时，如图2．
∵PR⊥CE，
∴∠ERP=90°．
∵∠E=90°，
∴四边形RPQE为矩形，
∴PR=QE．
3 3 3
∵PR=PC⋅sinC= y= x+ ，
5 4 4
3 3
∴ x+ =3-x，
4 4
9
∴x= ．
7
ⅱ）当∠PQR=90°时，过点P作PH⊥BE于点H，如图3，则四边形PHER是矩形，
∴PH=RE,EH=PR．
∵CB=5,BE=3，
∴CE=√52-32=4．
4
∵CR=CP⋅cosC= y=x+1，
5
∴PH=RE=3-x=EQ，
∴∠EQR=∠ERQ=45°，
∴∠PQH=45°=∠QPH，
∴HQ=HP=3-x，
3 3
由EH=PR得：(3-x)+(3-x)= x+ ，
4 4
21
∴x= ．
11
9 21
综上所述，x的值是 或 ．
7 11
②如图4，连结AF,QF'，
由对称可知QF=QF'，∠F'QR=∠EQR
∵BE⊥CE，PR⊥CE，
∴PR∥BE，
∴∠EQR=∠PRQ，5 5
∵BQ=x，CP= x+ ，
4 4
∴EQ=3-x，
∵PR∥BE，
∴△CPR∽△CBE，
CP CB
∴ = ，
CR CE
5 5
x+
即：4 4 5，
=
CR 4
解得：CR=x+1，
∴ER=EC-CR=3-x，
即：EQ= ER
∴∠EQR=∠ERQ=45°，
∴∠F'QR=∠EQR=45°
∴∠BQF'=90°，
4
∴QF=QF'=BQ⋅tanB= x．
3
∵AB是半圆O的直径，
∴∠AFB=90°，
9
∴BF=AB⋅cosB= ，
4
4 9
∴ x+x= ，
3 4
27
∴x= ，
28
CF' BC-BF' BC 3 19
∴ = = -1= -1= ．
BF' BF' BF' x 9
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角函数
等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键．
