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专题 24.13 圆章末十大题型总结（培优篇）
【人教版】
【题型1 巧用圆的半径相等】..................................................................................................................................1
【题型2 由点与圆的位置关系求求范围】..............................................................................................................5
【题型3 弧、弦、角、之间的关系】....................................................................................................................11
【题型4 垂径定理】................................................................................................................................................17
【题型5 圆周角定理】............................................................................................................................................22
【题型6 圆内接四边形】........................................................................................................................................28
【题型7 直线与圆的位置关系】............................................................................................................................35
【题型8 切线长定理的运用】................................................................................................................................39
【题型9 弧长的计算】............................................................................................................................................45
【题型10 扇形面积的计算】....................................................................................................................................49
【题型1 巧用圆的半径相等】
【方法点拨】解决此类问题的关键是连接半径，抓住圆的半径相等是关键.
【例1】（2023秋·广东汕头·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的弦，OD为⊙O半径．OC⊥AB，垂
足为C，OD∥AB，OD=2OC，则∠ODB为（ ）度
A．60 B．65 C．70 D．75
【答案】D
【分析】连接OB，则OB=OD，由OC⊥AB，则∠OBC=30°，再由OD∥AB，即可求出答案．
【详解】解：如图：连接OB，则OB=OD，1
∵OC= OD，
2
1
∴OC= OB，
2
∵OC⊥AB，
∴∠OBC=30°，
∵OD∥AB，
∴∠BOD=∠OBC=30°，
∴∠OBD=∠ODB=75°，
故选D．
【点睛】本题考查了圆，平行线的性质，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是
解题的关键．
【变式1-1】（2023秋·河北唐山·九年级统考期中）如图，半圆O的直径AB=10，将半圆O绕点B顺时针
旋转45°得到半圆O'，与AB交于点P，那么AP=（ ）
A．2.5 B．5 C．10-5√2 D．10√2-5
【答案】C
【分析】先根据题意判断出△O'PB是等腰直角三角形，由勾股定理求出PB的长，进而可得出AP的长．
【详解】解：如下图，连接O'P，由题意得：∠OBA'=45°，
∵O'P=O'B，
∴∠O'PB=∠OBA'=45°,
∴△O'PB是等腰直角三角形，
∴PB=√2BO'=5√2，
∴AP=AB-BP=10-5√2，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据旋转的性
质求出△O'PB是等腰直角三角形．
【变式1-2】（2023秋·河北唐山·九年级唐山市第十二中学校考期末）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延
长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（ ）
A．42° B．28° C．21° D．20°
【答案】B
【分析】连接OD，易得OD=BE，利用三角形外角的性质得到∠ODC=2∠E，
∠AOC=∠ODC+∠E，进行求解即可；
【详解】解：连接OD，则：OD=OB=OC，
∴∠OCD=∠ODC，∵DE=OB，
∴OD=DE，
∴∠DOE=∠E，
∴∠ODC=∠DOE+∠E=2∠E，
∴∠OCD=2∠E，
∴∠AOC=∠OCD+∠E=3∠E，
1
∴∠E= ∠AOC=28°；
3
故选B．
【点睛】本题考查圆的认识，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质．熟练掌握圆内半径均相等，
得到等腰三角形，是解题的关键．
【变式1-3】（2023秋·天津南开·九年级南开翔宇学校校考期末）如图，⊙O 的半径为 2，AB 为圆上一
动弦，以 AB为边作正方形ABCD，求OD的最大值 ．
【答案】2√2+2
【分析】把AO绕点A顺时针旋转90°得到AO'，得到△AOO'是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形
的性质求出OO'，再根据正方形的性质可得AB=AD，再求出∠BAO=∠DAO'，然后利用“边角边”
证明△ABO和△ADO'全等，根据全等三角形对应边相等可得DO'=BO，再根据三角形的任意两边之和
大于第三边求解即可．
【详解】如图，连接AO、BO、把AO绕点A顺时针旋转90°得到AO'，连接DO'
∴△AOO'是等腰直角三角形，
∵AO=2，
∴OO'=√22+22=2√2，
在正方形ABCD中，AB=AD， ∠BAD=90°，
∵∠BAO+∠BAO'=∠DAO'+∠BAO'=90°，∴∠BAO=∠DAO'，
在△ABO和△ADO'中，
¿，
∴△ABO≌△ADO' （SAS），
∴DO'=BO=2，
∴OO'＋O'D≥OD，
当O、O'、D三点共线时，取“=”，
此时，OD的最大值为2√2+2．
故答案为：2√2+2．
【点睛】本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用旋转作辅助
线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
【题型2 由点与圆的位置关系求求范围】
【方法点拨】解决此类问题关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；
当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
【例2】（2011秋·江苏泰州·九年级统考期中）直角坐标系中，已知点A(1,0)，⊙A的半径是5，若点
D(-2,a)在⊙A外，则a的范围是( )
A．a>4 B．a>4或a<-4 C．a<-4 D．-45，则DA=√(-2-1) 2+(a-0) 2>5，
即√9+a2>5，∴a2>16，
∴a>4或a<-4，
故选B．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离公式，点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置与半径的关系是解题
的关键．
【变式2-1】（2023春·河北石家庄·九年级校考开学考试）在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示
的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法错误的是（ ）
A．当a<5时，点B在⊙A内 B．当15时，点B在⊙A外
【答案】A
【分析】先找出与点A的距离为2的点1和5，再根据点与圆的位置关系的判定方法即可解．
【详解】解：由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，
∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上；
当dr即当a<1或a>5时，点B在⊙A外．
由以上结论可知选项B、C、D不符合题意，选项A符合题意．
故选：A．
【点睛】题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当
d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d√2时，⊙M与射线OA只有一个公共点．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的
关键．
【题型8 切线长定理的运用】
【方法点拨】切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两
条切线的夹角.
【例8】（2023春·浙江·九年级期中）小明准备以“青山看日出”为元素为永嘉县某名宿设计标志示意图，
如图所示，他利用两个等边三角形和一个圆分别表示青山和日出，已知点B，E，C，F在同一条直线上，
且BE=EC=2CF，四边形ABEG和四边形GCFD的面积之差为7√3，则CF的长是 ；连结AD，
若⊙O是△ADG的内切圆，则圆心O到BF的距离是 ．
【答案】 2 4√3-2【分析】设CF=x，表示出相关线段的长，根据四边形ABEG和四边形GCFD的面积之差，得到
S -S ，求出x值即可；连结AD，连接OG并延长交BF于点M，设圆O与AC的切点为H，
△ABC △≝¿=7√3¿
连接OH，连接AE，作DN⊥AE，垂足为N，证明△ADG为直角三角形，求出内切圆半径，再根据切
线长定理得到∠HGO，从而证明OM⊥BF，求出GM，从而得到OM即可．
【详解】解：∵BE=EC=2CF，
∴设CF=x，则BE=EC=2x，
∴BC=2x+2x=4x，EF=2x+x=3x，
∵△ABC与△≝¿为等边三角形，
∴S △ABC = √ 4 3 BC2= √ 4 3 ×(4x) 2=4√3x2 ， S △≝¿= √ 4 3 EF2= √ 4 3 ×(3x)2= 4 9 √3x2¿ ，
∵S -S ，
△ABC △≝¿=7√3¿
9
∴4√3x2- √3x2=7√3，
4
∴x2=4，
∴x=2，
∴CF=2．
连结AD，连接OG并延长交BF于点M，设圆O与AC的切点为H，连接OH，连接AE，作DN⊥AE，
垂足为N，
∵等边△ABC的边长为4×2=8，E为BC中点，
∴AE=√3CE=4√3，∠AEC=90°，
∵∠DEC=60°，
∴∠DEN=30°，
∵DE=3×2=6，
1
∴DN= DE=3，NE=√3DN=3√3，
2∴AN=4√3-3√3=√3，
∴AD=√AN2+DN2=2√3，
∵AG=AC-GC=8-4=4，DG=DE-EG=6-4=2，
∴AG2=16=DG2+AD2，
∴∠ADG=90°，△ADG为直角三角形，
AD+DG-AG 2√3+2-4
∴内切圆半径DH= = =√3-1，
2 2
∵∠HGD=60°，
1
∴∠HGO= ∠HGD=30°，
2
∴OG=2OH=2(√3-1)=2√3-2，
∵∠HGO=30°，∠AGE=180°-60°=120°，
∴∠EGM=180°-30°-120°=30°，
∴∠GME=180°-60°-30°=90°，
∴OM⊥BF，
√3 √3
∵GM= ≥= ×4=2√3，
2 2
∴OM=OG+GM=2√3-2+2√3=4√3-2，
∴圆心O到BF的距离为4√3-2，
故答案为：2，4√3-2．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理，切线长定理，切线的性质.
【变式8-1】（2023·北京·九年级专题练习）如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切
点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC．
(1)求证：∠AOC=2∠PAC；
(2)连接OB，若AC∥OB，⊙O的半径为5，AC=6，求AP的长．
【答案】(1)见解析(2)10
【分析】（1）过O作OH⊥AC于H，得到∠OHA=90°，根据切线的性质得到∠OAP=90°，根据余
角的性质得到∠AOH=∠PAC，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）连接OB，延长AC交PB于E，根据切线的性质得到OB⊥PB，PA=PB，根据矩形的性质得到
OH=BE，HE=OB=5，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：过O作OH⊥AC于H，
∴∠OHA=90°，
∴∠AOH+∠OAC=90°，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠OAC+∠PAC=90°，
∴∠AOH=∠PAC，
∵OA=OC，
∴∠AOC=2∠AOH，
∴∠AOC=2∠PAC；
（2）解：连接OB，延长AC交PB于E，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OB⊥PB，PA=PB，
∵AC∥OB，
∴AC⊥PB，
∴四边形OBEH是矩形，
∴OH=BE，HE=OB=5，
∵OH⊥AC，OA=OC，
1
∴AH=CH= AC=3，
2∴OH= √OC2-CH2 =4，
∴BE=OH=4，AE=AH+HE=8，
∵PA2=AE2+PE2，
∴PA2=82+(PA-4) 2，
∴PA=10．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线
是解题的关键．
【变式8-2】（2023·山西大同·校联考一模）如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，
若∠ACE=25°，则∠D的度数是 ；
【答案】50°
【分析】连接BC，由切线长定理证明∠DBC=∠DCB，再求得∠BCD=180°-90°-25°=65°，最
后由三角形的内角和定理求得∠D的度数．
【详解】解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，，
∴BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∵∠ACE=25°，
∴∠BCD=180°-90°-25°=65°，
∴ ∠DBC=∠DCB=65°，
∴∠D=180°-2×65°=50°；故答案为50°．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理等知识，综合性强，难度一般．
【变式8-3】（2023秋·辽宁鞍山·九年级校联考期中）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与
BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB=6，DB=8，
∠EDB=∠EPB．
(1)求证：PB是⊙O的切线：
(2)求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到∠OBP为直角，即可得证；
（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到
PC=PB=6，由PD-PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8-r，利用勾股定
理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．
【详解】（1）证明：∵DE⊥PE，
∴∠DEO=90°，
∵∠EDB=∠EPB，∠BOE=∠EDB+∠DEO，∠BOE=∠EPB+∠OBP，
∴∠OBP=∠DEO=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB为⊙O的切线；
（2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，
根据勾股定理得：PD=√62+82=10，∵PD与PB都为⊙O的切线，
∴PC=PB=6，
∴DC=PD-PC=10-6=4；
在Rt△CDO中，设OC=r，则有OD=8-r，
根据勾股定理得：(8-r) 2=r2+42，
解得：r=3，
则圆的半径为3．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理,切线长定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
【题型9 弧长的计算】
【方法点拨】解决此类问题掌握弧长的计算公式是关键.
【例9】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，同一个圆中的两条弦AB、CD相交于点E．若
∠AEC=120°，AC=4，则A´D与B´C长度之和的最小值为（ ）
4 2
A．4π B．2π C． π D． π
3 3
【答案】C
【分析】如图，以AC为边作等边△ACH，则∠AHC=60°，而∠AEC=120°，则E在△ACH的外
接圆P上运动，记AB，CD所在的圆为⊙O，连接OA，OB，OC，OD，证明∠AOD+∠BOC=120°，
再证明OA+OC≥AC，（当A，O，C三点共线时取等号），再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：如图，以AC为边作等边△ACH，则∠AHC=60°，而∠AEC=120°，
∴∠AHC+∠AEC=60°+120°=180°，
∴点E在△ACH的外接圆P上运动，记AB，CD所在的圆为⊙O，连接OA，OB，OC，OD，
1 1
∴∠ACD= ∠AOD，∠BAC= ∠BOC，
2 2
∴∠AOD+∠BOC
=2(∠ACD+∠BAC)
=2(180°-∠AEC)
=2×(180°-120°)=120°，
∵OA+OC≥AC，（当A，O，C三点共线时取等号），
1
当OA+OC=AC时，⊙O半径最小，此时半径为 AC=2，
2
120π×2 4
∴此时A´D与B´C长度的和最小，最小值为： = π．
180 3
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形的三边关系的应用，三角形外接圆的含义，圆周角定理的应
用，弧长的计算，确定弧长和取最小值时圆心O的位置是解题的关键．
【变式9-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在等边三角形ABC中，D为BC的中点，AD´ B交AC
于点E，若AB＝2，则D´E的长为 ．
π
【答案】
3
【分析】连接AD，证明AB是直径，取AB的中点O，连接OE，OD．证明∠DOE=60°，利用弧长公
式求解即可．
【详解】解：连接AD，
∵ABC是等边三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AB是直径，
取AB的中点O，连接OE，OD．
∵ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠B＝60°，
∵OA＝OE＝OB＝OD，
∴△AOE，△BOD都是等边三角形，
∴∠AOE＝∠BOD＝60°，
∴∠DOE＝180°-2×60°＝60°，
60π⋅1 π
∴D´E的长= = ，
180 3
π
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了弧长公式，圆周角定理，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
【变式9-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，分别以正方形ABCD的顶点D，C为圆心， 以AB长
为半径画AC，BD．若AB=2，则阴影部分的周长为 （结果保留π）．
【答案】2π+4
【分析】由∠ADC=∠BCD=90°，可知A´C与B´D的长度相等，由弧长的计算公式求出A´C与B´D的长
度，再将阴影部分的周长转化为A´C的长+B´D的长+AD+BC，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，且AB=2，
∴AB=BC=CD=DA=2，∠ADC=∠BCD=90°，
90
∴A´C的长＝B´D的长＝ ⋅π×2=π，
180
∴阴影部分的周长＝A´C的长＋B´D的长+AD+BC
=π+π+2+2
=2π+4．故答案为：2π+4．
【点睛】本题主要考查了求不规则图形的周长，把不规则图形转化为规则的图形，并且熟练掌握弧长的计
算公式是解题的关键．
【变式9-3】（2023秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，
直线AD∥BC，AB=AD，点O在BD上．
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求劣弧BC的长．
【答案】(1)直线AD与圆O相切，理由见解析
(2)4π
【分析】（1）连接OA．由平行线的性质结合题意可求出∠BAD=120°，结合等腰三角形的性质可求出
∠ABD=∠D=30°，从而可求出∠ABD=∠BAO=30°，进而可求出
∠OAD=∠BAD-∠BAO=90°，即直线AD与圆O相切；
（2）连接OC．求出∠OBC=∠ABC-∠ABD=30°．再根据等腰三角形的性质可求出
∠BOC=120°，最后根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）直线AD与圆O相切．
证明：如图，连接OA．
∵AD∥BC，∠ABC=60°，
∴∠BAD=180°-∠ABC=120°．
∵AB=AD，180°-∠BAD
∴∠ABD=∠D= =30°．
2
∵OA=OB，
∴∠ABD=∠BAO=30°，
∴∠OAD=∠BAD-∠BAO=90°，即OA⊥AD．
∵OA为圆O半径，
∴直线AD与圆O相切；
（2）解：如图，连接OC．
∵∠ABC=60°，∠ABD=30°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABD=30°．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
120π×6
∴劣弧BC的长为 =4π．
180
【点睛】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，切线的判定，弧长公式．正确
连接辅助线是解题关键．
【题型10 扇形面积的计算】
【方法点拨】解决此类问题掌握扇形面积的计算公式是关键.
【例10】（2023秋·贵州黔西·九年级校考期中）如图，有一圆形纸片圆心为O，直径AB的长为2，
BC//AD，将纸片沿BC、AD折叠，交于点O，那么阴影部分面积为（ ）2π 1 π √3 π √3 2π √3
A． - B． + C． - D． -
3 2 3 4 2 2 3 2
【答案】D
【分析】如图，过点O作OG⊥BC于G，延长交⊙O于E，反向延长GO交AD于H，连接OC、OD，由
1 √3
折叠得OG=GE= ，利用OC=1，求出∠OCG=30°，CG=√OC2-OG2= ，得到BC=2CG=√3，
2 2
∠BOC=120°，同理：AD=√3，证明△BOG≌△AOH，推出OG=OH，得到弓形BC与弓形AD的面积相等，
利用阴影的面积=2（S -S ）代入数值计算即可．
扇形BOC △BOC
【详解】如图，过点O作OG⊥BC于G，延长交⊙O于E，反向延长GO交AD于H，连接OC、OD，
由折叠得OG=GE，
∵OG⊥BC，
∴∠OGC=90°，CG=BG，
1 1
∵OG= OE= ，OC=1，
2 2
√3
∴∠OCG=30°，CG=√OC2-OG2= ，
2
∴BC=2CG=√3，∠BOC=120°，
同理：AD=√3，
∵AD∥BC，
∴∠OBC=∠OAD，OH⊥AD，
∵OA=OB，
∴△BOG≌△AOH，
∴OG=OH，
∴弓形BC与弓形AD的面积相等，120π×12 1 1 2π √3
∴阴影的面积=2（S -S ）=2×( - ×√3× )= - ，
扇形BOC △BOC 360 2 2 3 2
故选：D．
．
【点睛】此题考查折叠的性质，同圆的半径相等，垂径定理，勾股定理，直角三角形30度角的性质，平行
线的性质，扇形面积计算公式，全等三角形的判定及性质，熟记各部分知识并综合运用是解题的关键．
【变式10-1】（2023春·重庆·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，AB=2√3，
∠ABC=120°，把菱形ABCD绕着顶点A逆时针旋转30°得到菱形AB'C'D'，点C的运动轨迹为弧CC'，
则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【答案】3π-3√3
【分析】连接BD,交AC于点O,由菱形的性质求出BO，AC，以及S ，由旋转的性质求出
△ABC
S =S' =3√3，再根据S =S -S 可得结论
ΔABC ΔABC 阴影 扇形CAC' △AB'C'
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=2√3,AD∥BC,
∴∠BAD+∠ABC=180°,
∵∠ABC=120°,
∴∠BAD=60°,
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠BAC=∠DAC=30°连接BD,交AC于点O,则BD⊥AC,
1 1
∴BO= AB= ×2√3=√3,AC=2AO
2 2
由勾股定理得，AO=√AB2-BO2=√(2√3) 2-(√3) 2=3
∴AC=2AO=2×3=6,
1 1
∴S ❑ = AC⋅BO= ×6×√3=3√3
△ ABC 2 2
由旋转得，△AB'C' ≅△ABC,
∴AC'=AC=6,∠CAC'=∠BAC=30°,S =S' =3√3
ΔABC ΔABC
∴S =S -S
阴影 扇形CAC' △AB'C'
30π×62
= -3√3
360
=3π-3√3
故答案为：3π-3√3
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，扇形的面积公式，勾股定理，熟练掌握旋转变换只改变图
形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．
【变式10-2】（2023·重庆·校联考二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°,点C为半径OA的中点，以
点О为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D．点E为弧AB的中点，连接CE、DE．若OA=4，则
阴影部分的面积为 ．【答案】4π-4√2
【分析】连接OE，过点E作EF⊥OB于F，证明EF=OF，利用勾股定理求出EF=OF=2√2，再利用
S =S -2S△DOE求出答案.
阴影 扇形AOB
【详解】如图，连接OE，过点E作EF⊥OB于F，
∵点E为弧AB的中点，
∴A´E=B´E，
∴∠AOE=∠BOE，
∵∠AOB=90°,
∴∠AOE=∠BOE=45°，
∵EF⊥OB，
∴∠OEF=∠BOE=45°，
∴EF=OF,
∵OE=OA=4，
∵EF2+OF2=OE2,
∴EF=OF=2√2,
∵OC=OD=2，
90π×42 1
∴S =S -2S△DOE= -2× ×2×2√2=4π-4√2,
阴影 扇形AOB 360 2
故答案为：4π-4√2.
【点睛】此题考查扇形的弧、弦、圆心角定理，勾股定理，扇形面积公式，将图形引出恰当的辅助线，将不规则的图形拆分为规则图形求出面积是解题的关键.
【变式10-3】（2023春·河南驻马店·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD的长为
半径画弧，交AB于点F，再以B为圆心，BA的长为半径画弧，交CD于点E．已知AB=2√2，AD=2，
则图中阴影部分的面积为 ．
3
【答案】 π-2
2
【分析】利用割补法将阴影部分分成三部分，即S =S +S +(S -S )，然后分别求
阴影 扇形AGF △AEG 扇形BAE △ABE
每部分的面积即可．
【详解】解：由题意和题图可知，BE与扇形DAF只有一个交点，则BE与扇形DAF相切，设这个切点为
G，
连接AE，AG，则AG⊥BE．
过点E作EH⊥AB，交AB于点H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=2，CD=AB=2√2．
由题意可得，BE=AB=2√2，
∴在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE=√(2√2) 2-22=2．
∴DE=CD-CE=2√2-2，CE=BC，
∴∠CBE=45°，
∴∠ABE=45°，
即扇形BAE的圆心角为45°．
∴在Rt△DAE和Rt△GAE中，¿∴Rt△DAE≌Rt△GAE(HL)，
∴EG=DE=2√2-2，
∴BG=2√2-(2√2-2)=2．
∴∠GAF=∠CBE=45°，
即扇形AGF的圆心角为45°．
∴S =S +S +(S -S )
阴影 扇形AGF △AEG 扇形BAE △ABE
45×22π 1 (45⋅(2√2) 2 π 1 )
= + AG⋅EG+ - AB⋅EH
360 2 360 2
1 1 ( 1 )
= π+ ×2×(2√2-2)+ π- ×2√2×2
2 2 2
1
= π+2√2-2+π-2√2
2
3
= π-2．
2
3
故答案为： π-2．
2
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式、切线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直
角三角形的判定与性质等知识，要熟练运用扇形的面积公式和三角形的面积公式．解题的关键是能够正确
运用割补法将不规则图形转化成规则图形面积的和差．
